九年级数学上册第二十二章二次函数基础过关单元测试卷含解析新版新人教版

第二十二章 二次函数 （基础过关）考试时间：120分钟一、选择题（每小题3分,共36分）1.抛物线y =x 2﹣6x +5的顶点坐标为 A 、（3,﹣4）B 、（3,4）C 、（﹣3,﹣4）D 、（﹣3,4）【答案】A 。

【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式,求顶点坐标,或者用顶点坐标公式求解：∵y =x 2﹣6x +5=x 2﹣6x +9﹣9+5=（x ﹣3）2﹣4,∴抛物线y =x 2+6x +5的顶点坐标是（3,﹣4）．故选A 。

【考点】二次函数的性质。

2.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x 轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分,则水喷出的最大高度是A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米【答案】A 。

【解析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标,利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：∵()22424y x x x =-+=--+,∴抛物线顶点坐标为：（2,4）,∴喷水的最大高度为4米。

故选A 。

【考点】二次函数的应用。

3、一个二次函数的图象的顶点坐标为（3,-1）与y 轴的交点（0,-4）这个二次函数的解析式是（ ） A ．42312+-=x x y B ．42312-+-=x x y C ．1)3(312-+-=x y D ．1262-+-=x x y【答案】B ． 【解析】∵二次函数的图象的顶点坐标是（3,－1）,∴设这个二次函数的解析式为2(3)1y a x =--,把（0,﹣4）代入得13a=-,∴这个二次函数的解析式为2211(3)12433y x x x=---=-+-．故选B．【考点】待定系数法求二次函数解析式．4．已知函数221y ax ax=--（a是常数,0a≠）,下列结论正确的是（）A．当a＝1时,函数图象经过点（－1,0） B．当a＝－2时,函数图象与x轴没有交点C．若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a>0,则当1x≥时,y随x的增大而增大【答案】D,【解析】A、当a＝1时,函数解析式为y＝x2－2x－1,当x＝－1时,y＝1＋2－1＝2,∴当a＝1时,函数图象经过点（－1,2）,∴A选项不符合题意；B、当a＝2时,函数解析式为y＝－2x2＋4x－1,令y＝－2x2＋4x－1＝0,则△＝42－4×（－2）×（－1）＝8＞0,∴当a＝－2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,∴B选项不符合题意；C、∵y＝ax2－2ax－1＝a（x－1）2－1－a,∴二次函数图象的顶点坐标为（1,－1－a）,当－1－a＜0时,有a＞－1,∴C选项不符合题意；D、∵y＝ax2－2ax－1＝a（x－1）2－1－a,∴二次函数图象的对称轴为x＝1．若a＞0,则当x≥1时,y 随x的增大而增大,∴D选项符合题意．故选D．【考点】二次函数的性质。

5、为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y轴对称,AE∥x轴,AB＝4cm,最低点C在轴上,高CH＝1cm,BD＝2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可知,对应的两条抛物线关于y轴对称,AE∥x轴,AB＝4cm,最低点C在轴上,高CH＝1cm,BD＝2cm,所以点C的纵坐标为0,横坐标的绝对值为3,即点C（-3,0）,因为点F与点C关于y轴对称,所以点F（3,0）,因为F是抛物线的顶点,设该抛物线为,即为,将点B （-1,1）代入得,,即,故选D.【考点】二次函数解析式 点评：该题是常考题,主要考查学生对二次函数解析式中顶点法的应用。

6.由二次函数1)3(22+-=x y ,可知A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3-=xC ．其最小值为1D ．当3<x 时,y 随x 的增大而增大【答案】C【分析】根据二次函数的性质,直接根据a 的值得出开口方向,再利用顶点坐标的对称轴和增减性,分别分析即可：由二次函数()2231y x =-+,可知：A.∵a ＞0,其图象的开口向上,故此选项错误；B ．∵其图象的对称轴为直线x =3,故此选项错误；C ．其最小值为1,故此选项正确；D ．当x ＜3时,y 随x 的增大而减小,故此选项错误。

故选C 。

【考点】二次函数的性质。

7. 4.在同一坐标系中,一次函数y=ax+1与二次函数y=x 2+a 的图像可能是（ ） A. B. C. D.【答案】A【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=x 2+a 的图象相比较看是否一致．【解析】A 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知,a ＜0,由直线可知,a ＜0,正确；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知,a ＞0,二次项系数为负数,与二次函数y=x 2+a 矛盾,错误；C 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知,a ＜0,由直线可知,a ＞0,错误；D 、由直线可知,直线经过（0,1）,错误,故选A ．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数性质.8、已知二次函数y＝－12x2－7x＋152,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0＜x1＜x2＜x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是( )A.y1＞y2＞y3B. y1＜y2＜y3C.y2＞y3＞y1D. y2＜y3＜y1 【答案】A【解析】因为a=－12<0,此二次函数的开口方向向下,又y＝－12x2－7x＋152＝－12( x+7) 2＋32,抛物线的对称轴为x=-7,当x＞0＞-7时,y随x的增大而减少,故y1＞y2＞y3．【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律,解决此类问题的方法一般是：先确定抛物线的对称轴及开口方向,再根据点与对称轴的远近,判断函数值的大小．9、已知二次函数有最大值0,则a,b的大小关系为（）A．＜ B． C．＞ D．大小不能确定【答案】A【分析】根据二次函数有最大值可判断a＜0,再根据最大值为0可判断b=0,据此即可进行比较a、b 的大小．【解析】∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最大值,∴抛物线开口方向向下,即a<0,又最大值为0,∴b=0,∴a<b,故选A【考点】二次函数图像的最值和开口．10．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,OA=3,AB=2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B,与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧）,且OE=1,则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a ﹣b=0；④4a﹣2b+c=3；⑤连接AE、BD,则S梯形ABDE=9．其中正确结论的个数为（）A. 1个B.2个C.3 个D.4 个【答案】C【解析】由函数图象可得：抛物线开口向下,∴a＜0,选项①错误；又OA=3,AB=2,∴抛物线与y 轴交于A （0,3）,即c=3,选项②错误；又A 和B 关于对称轴对称,且AB=2,∴对称轴为直线x=-2b a=-1,即2a-b=0,选项③正确； ∴B（-2,3）,将x=-2,y=3代入抛物线解析式得：4a-2b+c=3,选项④正确；由OE=1,利用对称性得到CD=OE=1,又OC=AB=2,∴DE=CD+OC+OE=1+2+1=4,又OA=3,则S 梯形ABDE =12OA （AB+DE ）=9,选项⑤正确, 综上,正确的个数为3个．故选C ．【考点】二次函数图象与系数的关系.11．某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O 恰为水面中心,安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上,建立平面直角坐标系（如图）,水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是,则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4【答案】D【分析】在已知抛物线解析式的情况下,利用其性质,求顶点（最大高度）,与x 轴,y 轴的交点,解答题目的问题．【解析】当x=0时,y=3,故柱子OA 的高度为3m ；（1）正确；∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4,∴顶点是（1,4）,故喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度,喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x 2+2x+3=0,得x 1=-1,x 2=3,故水池的半径至少要3米,才能使喷出的水流不至于落在水池外,（4）正确．故选：C ．【考点】二次函数综合问题.12.如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象,下列结论正确的个数是（ ）①对称轴为直线x ＝﹣1；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx+c ＝0的解是x 1＝﹣3,x 2＝1；④不等式ax 2+bx+c ＞3的解为﹣2＜x ＜0．A . 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【分析】利用抛物线与x 轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x 轴有2个交点可对②进行判断；根据x ＝﹣3时,y ＝0；x ＝1时,y ＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0,3）关于直线x ＝﹣1的对称点为（﹣2,0）,然后利用函数图象可对④进行判断．【解析】∵抛物线经过点（﹣3,0）,（1,0）,∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1,所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点,∴△＝b 2﹣4ac ＞0,所以②正确；∵x ＝﹣3时,y ＝0；x ＝1时,y ＝0,∴方程ax 2+bx +c ＝0的解是x 1＝﹣3,x 2＝1,所以③正确；∵点（0,3）关于直线x ＝﹣1的对称点为（﹣2,0）,∴当﹣2＜x ＜0时,y ＞3,即不等式ax 2+bx +c ＞3的解为﹣2＜x ＜0,所以④正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分,共18分）13.下列说法中正确的序号是①在函数y =﹣x 2中,当x =0时y 有最大值0；②在函数y =2x 2中,当x ＞0时y 随x 的增大而增大 ③抛物线y =2x 2,y =﹣x 2,y =﹣212x 中,抛物线y =2x 2开口最小,抛物线y =﹣x 2的开口最大 ④不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点【答案】①②④ 【解析】由函数的解析式y ＝－x 2,可知a =-1＜0,得到函数的开口向下,有最大值y =0,故①正确； 由函数的解析式y ＝2x 2,可知其对称轴为y 轴,对称轴的左边（x ＜0）,y 随x 增大而减小,对称轴的右边（x ＞0）,y 随x 增大而增大,故②正确；根据二次函数的性质,可知系数a 决定开口方向和开口大小,且a 的值越大开口越小,可知抛物线y ＝2x 2的开口最小,抛物线y ＝－x 2的开口第二小,而y 212x =-开口最大,故③不正确； 不论a 是正数还是负数,抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点,④正确.故选C .【点睛】：此题主要考查了二次函数的图像与性质,解题关键是明确y =ax 2的图像的特点,直接按断即可.14．如图,在一幅长50cm,宽30cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm 2,金色纸边的宽为xcm,则y 与x 的关系式是．【答案】241601500y x x =++．【解析】试题分析：由题意可得：y=（50+2x ）（30+2x ）=4x 2+160x+1500．故答案为：241601500y x x =++．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．15.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示,则关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根的和为_____．【答案】2【解析】根据函数的图像可知其对称轴为x=-2b a =1,解得b=-2a, 然后可知两根之和为x 1+x 2=-b a=2. 【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系,解题关键是由函数的图像求得对称轴x=-2b a ,然后根据一元二次方程的根与系数的关系x 1+x 2=-b a求解即可. 16.已知二次函数2()21y x a a =-++-（a 为常数）,当a 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上,那么这条直线的表达式是_________．【答案】21y x =--【分析】已知抛物线的顶点式,写出顶点坐标,用x 、y 代表顶点的横坐标、纵坐标,消去a 得出x 、y 的关系式．【解析】二次函数2()21y x a a =-++-中,顶点坐标为：(,21)a a --,设顶点坐标为（x ,y ）, ∴x a =-①,21y a =-②,由①⨯2+②,得22211x y a a +=-+-=-,∴21y x =--；故答案为：21y x =--.【点睛】本题考查了二次函数的性质,根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键,注意运用消元的思想解题．17.如图,抛物线y=ax 2+1与y 轴交于点A,过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y=4x 2于点B 、C,则线段BC 的长为___．【答案】1 【分析】先由y 轴上点的横坐标为0求出A 点坐标为（0,1）,再将y=1代入y=4x 2,求出x 的值,得出B 、C 两点的坐标,进而求出BC 的长度．【解析】∵抛物线y=ax 2+1与y 轴交于点A,∴A 点坐标为（0,1）．当y=1时,4x 2=1,解得x=±12, ∴B 点坐标为（﹣12,1）,C 点坐标为（12,1）, ∴BC=12﹣（﹣12）=1,故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质,两函数交点坐标的求法以及平行于x 轴上的两点之间的距离的知识,解答本题的关键是求出点A 的坐标,此题难度不大．18.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示, 图象过点(－1,0),对称轴为直线x ＝2,则下列结论中正确的序号是 。