高中数学 二次函数通关15题(含答案)

二次函数通关15 题（含答案）1.南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为2捄万元，市场调研表明：当销售价为2当万元时，平均每周能售出8 辆，而当销售价每降低0.捄万元时，平均每周能多售出4 辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润= 销售价- 进货价）（1）求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为Z 万元，试写出Z 与x 之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?2.已知二次函数y = x2 + tx +t -2 ．（1）求证：不论t 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．（2）设t ᦙ 0 ，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13 时，求出此二次函数的解析式．（3）若此二次函数图象与x 轴交于A交于两点，在函数图象上是否存在点p ，使得△PAB 的面积为 3 13 ，若存在求出p 点坐标，若不存在请说明理由．23.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1:y1=-2x2+4x+2与C2:y2=-x2+t x+a为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2 的表达式；（2）点A 是抛物线C2 上在第一象限的动点，过A 作A㔠上 x 轴，㔠为垂足，求A㔠 + O㔠的最大值；（3）设抛物线C2 的顶点为C，点于的坐标为-1交4 ，问在C2 的对称轴上是否存在点M，使线段M于绕点M 逆时针旋转当0o 得到线段M于'，且点于' 恰好落在抛物线C2 上?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，二次函数y = tx2 + tx +c 的图象经过点A - 1交0 ，于 4交0 ，C -2交- 3 ，直线于C 与y 轴交于点D，E 为二次函数图象上任一点．上，距离点p 为 2（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点E 在直线于C 的上方，过点E 分别作于C 和y 轴的垂线，交直线于C 于不同的两点F，G（F 在G 的左侧），求!:! EFG 的周长的最大值；（3）是否存在点E，使得!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形，如果存在，求点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．5.已知，t，a是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且l t lᦙl a l，抛物线y=x2+tx + c 的图象过点A t交0 ，于 0交a ，如图所示．（1）求这个抛物线的表达式；（2）点p 是直线于C 上的一个动点（点p 不与点于和点C 重合），过点p 作x 轴的垂线，交抛物线于点M，点㔠在直线于C!:! pM㔠的面积为S，求出S 与t 之间的函数关系式．个单位长度，设点p 的横坐标为t，6.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A 1交1 ，且与直线y = x - 2 交于于，C 两点，且A于上于C．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN 上 x 轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N 为顶点的三角形与!:! A于C 相似?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，于两点，点C的坐标是8交4 ，连接AC，于C．（1）求过O，A，C 三点的抛物线的表达式，并判断!:! A于C 的形状；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，已知抛物线y = 1 x + tx + c 经过!:! A于C 的三个顶点，其中点A 0交1 ，点于-当交10 ，3AC∥x 轴，点p 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点p 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点㔠，使得以C，p，㔠为顶点的三角形与!:! A于C 相似，若存在，求出点㔠的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图1，抛物线y=-3x-22+a与x轴交于点A t-2交0和于2t+3交0（点A 在点于的捄左侧），与y 轴交于点C，连接于C．（1）求t，a的值；（2）如图2，点M，p 分别为线段于C 和线段O于上的动点，连接pM，pC，是否存在这样的点p，使!:! pCM 为等腰三角形、!:! pM于为直角三角形同时成立?若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由．10.在平面直角坐标系中，平行四边形A于OC 如图放置，点A，C 的坐标分别是0交4 交- 1交0 ，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转当0o，得到平行四边形A'于'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的表达式；（2）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，!:! AMA' 的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M 的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴、y轴相交于A，于两点，点C的坐标是8交4 ，连接AC，于C．（1）求过O，A，C 三点的抛物线的表达式，并判断!:! A于C 的形状；（2）动点p 从点O 出发，沿O于以每秒2 个单位长度的速度向点于运动；同时，动点㔠从点于出发，沿于C 以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为t s，当t 为何值时，pA = 㔠A?12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = tx2 + tx 经过两点A -1交1 ，于 2交2 ，过点于作于C∥x 轴，交抛物线于点C，交y 轴于点D．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得!:! 于CM 的面积为7，求出点M 的坐标；2（3）连接OA，O于，OC，AC，在坐标平面内，求使得!:! AOC 与!:! O于N 相似（边OA 与边O于对应）的点N 的坐标．13.如图，在矩形A于CD 中，A于 = 6 cm，于C = 8 cm，对角线AC，于D 交于点O．点p 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cmfs；同时，点㔠从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cmfs；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接pO 并延长，交于C 于点E，过点㔠作㔠F∥AC，交于D 于点F．设运动时间t s 0 ᦙ t ᦙ 6 ，解合下列问题：（1）当t 为何值时，!:! AOp 是等腰三角形；（2）设五边形OEC㔠F 的面积为S cm2 试确定S 与t 的函数关系式．k t 1 图象上，并与x 轴相交于A，于两点，且始终与y 14.已知圆p 的圆心在反比例函数y = kx轴相切于定点C 0交1 ．（1）求经过A，于，C 三点的二次函数图象的解析式；（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k 为何值时，四边形AD于p 为菱形．15.如图，抛物线y = tx2 - 捄tx + 4 经过!:! A于C 的三个顶点，已知于C∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC = 于C．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，于，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点p 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在!:! pA于是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点p 坐标；不存在，请说明理由．x 1 - x 2 2 132答案1. （1） y = 2当 - 2捄 - x. y =- x + 4 0 ::; x ::; 4（2） Z = 8 + x 0．捄X 4 = 8x + 8 - x + 4 （3） . Z =- 8x 2 + 24x + 32 =- 8 x -3 2 2 + 捄0 . 当 x = 3 时， Z 2= 捄0 . 当定价为 2当 - 1.捄 = 27.捄 万元时，有最大利润，最大利润为 50 万元． 或：当 x =- t 2t =- 24 2X -8 = 1.捄Z = 4t c -t 2 = 4X -8 X 32-242 = 捄0 最大值 4t4X -8 . 当定价为 2当 - 1.捄 = 27.捄 万元时，有最大利润，最大利润为 捄0 万元．2. （1） 因为 /1 = t 2 - 4 t - 2 = t - 2 2 + 4 t 0所以不论 t 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点．（2） 设 x 1交x 2 是 y = x 2 + t x + t - 2 = 0 的两个根，则 x 1 + x 2 =- t 交x 1 · x 2 = t - 2交 因两交点的距 离是 13交 所以 lx 1 - x 2l = = ． 即：x 1 - x 2 2 = 13变形为： x 1 + x 2 2 - 4x 1 · x 2 = 13所以： - t 2 - 4 t - 2 = 13整理得： t - 捄 t + 1 = 0解方程得： t = 捄 或 - 1又因为： t ᦙ 0所以： t =- 1所以：此二次函数的解析式为 y = x 2 - x - 3（3） 设点 p 的坐标为 x 0交y 0 ，因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 13交 所以： A 于 = 所以： S !:!pA 于 = 1 A 于 · ly 0l = 所以： 13ly 0l = 13 2 2即： ly 0l = 3交 则 y 0 =士 3当 y 0 = 3 时， x 02 - x 0 - 3 = 3交 即 x 0 - 3 x 0 + 2 = 0解此方程得： x 0 =- 2 或 3当 y 0 =- 3 时， x 02 - x 0 - 3 =- 3交 即 x 0 x 0 - 1 = 0解此方程得： x 0 = 0 或 1综上所述，所以存在这样的 p 点， p 点坐标是 ( - 2交3)交(3交3)交(0交 - 3) 或 (1交 - 3)3. （1） : y 1 =- 2x 2 + 4x + 2 =- 2 x - 1 2 + 4，. 抛物线 C 1 的顶点坐标为 1交4 ． 1313最大 2: 抛物线C1 与C2 顶点相同，. -t-1X2=1，-1+t+a=4，解得t = 2，a = 3．.抛物线C2的表达式为y2=-x2+2x+3．（2）设点A 的坐标为t交-t2 + 2t + 3 ，则A㔠=-t2+2t+3，O㔠=t，. A㔠+O㔠=-t2+2t+3+t=-t2+3t+3=-t-32+ 21 .4. 当t = 3 时，A㔠 + O㔠有最大值，最大值为21．2 4（3）如图，连接于C，过点于' 作于'D 上 CM，垂直为D．: 于- 1交4 ，C 1交4 ，抛物线的对称轴为x = 1，. 于C 上 CM，于C = 2．: L于M于' = 当0o，. L于MC + L于'MD = 当0o．: 于'D 上 MC，. LM于'D + L于'MD = 当0o，. LM于'D = L于MC．在!:! 于CM 和!:! MD于' 中，L于MC = LM于'D交L于CM = LMD于'交于M = M于'交. !:! 于CM≌!:! MD于'．. 于C = MD，CM = D于'．设点M 的坐标为1交t ，则D于' = CM = 4 - t，MD = 于C = 2．. 点于' 的坐标为t - 3交t - 2 ．. - t - 3 2 + 2 t - 3 + 3 = t - 2．整理得t2 - 7t - 10 = 0，解得t = 2，或t = 捄．当t = 2 时，M 的坐标为1交2 ；当t = 捄时，M 的坐标为1交捄．综上所述，当点M 的坐标为1交2 或1交捄时，于' 恰好落在抛物线C2 上．4. （1）:二次函数y = tx2 + tx + c 的图象经过点A -1交0 ，于 4交0 ，C -2交-3 ，t - t + c = 0交. 16t + 4t + c = 0交4t-2t+c=-3.t=-1交2解得t = 3 交2c = 2.则这个二次函数的表达式为y=-1x2+3x+2．2 2（2）设于C 所在直线的表达式为y = kx + a，把于 4交0 ，C -2交-3 代入，得4k + a = 0 交-2k+a=-3.k = 1 交解得 2a=-2.则直线于C 的表达式为y = 1 x - 2．2当x=0时，y=1x-2=-2，即D0交-2．2在Rt !:! O于D 中，OD = 2，于O = 4，. 于D = OD2 + O于2 = 2 捄．设点E x交-1 x2 + 3 x + 2 ，点G x0交1 x0 -2 ，2 2 2: EG 上 y 轴，. - 1 x2 + 3 x + 2 = 1 x0 - 2，2 2 2.x0=-x2+3x+8，.E G=x0-x=-x2+2x+8．: EG 上 y 轴，. EG∥x 轴，. LEGF = LO于D．又: LEFG = LDO于 = 当0o，. !:! EFG∽!:! DO于，. EF = FG = EG，DO O于D于. EF = 捄EG，FG = 2 捄EG，捄捄.!:!E F G的周长=E F+F G+E G= 捄EG + 2 捄EG + EG捄捄= 3 捄+ 1 - x2 + 2x + 8捄= 3 捄+ 1 - x - 1 2 + 当 .捄即当x = 1 时，!:! EFG 的周长最大，最大值是27 捄+ 当．捄（3）假设存在点E，使!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．连接AD，则AD = 捄．由（2）知，A于 = 捄，于D = 2 捄．. AD2 + 于D2 = A于2，. !:! A于D 是以于D 为直角边的直角三角形．设直线A D的表达式为y=t x+p，代入点A，D坐标，得-t + p = 0交p=-2.解得t=-2交p=-2.则直线A D的表达式为y=-2x-2．y=-2x-2交联立y=-1x2+3x+2.2 2解得x1=-1交或x2=8交y1=0交y2=-18..当点E 的坐标为-1交0 或8交-18 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．当直线A D向上平移q个单位，使y=-2x-2+q恰好经过点于．则0=-2X4-2+q．解得q = 10．.经过点于且恰好与于D垂直的直线表达式为y=-2x+8．y=-2x+8交联立y=-1x2+3x+2.2 2解得x3 = 3交或x4 = 4交y3 = 2交y4 = 0..当点E 的坐标为3交2 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形；当点E 的坐标为4交0 时，与点于重合，不能构成三角形，故舍去．综上所述，点E 的坐标为- 1交0 或8交- 18 或3交2 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．5.（1）解方程x2+4x+3=0，得x1=-1，x2=-3．因为t，a是方程x2+4x+3=0的两根，且l t lᦙl a l，所以t=-1，a=-3．把点A -1交0 ，于 0交-3 代入y = x2 + tx + c，得1 -t + c = 0交c=-3交解得t=-2交c=-3.所以这个抛物线的表达式为y = x2 - 2x - 3．（2）由于 0交-3 ，C 3交0 ，得直线于C 的表达为y = x -3．所以设点p 的坐标为t交t -3 ．因为pM 上 x 轴，点M 在抛物线上，所以点M 的坐标为t交t2 -2t -3 ．如图，过点㔠作㔠F 上 pM 于点F，则!:! p㔠F 为等腰直角三角形．因为p㔠 = 2，所以㔠F = 1．如上图，当点p 在点M 上方时，即0 ᦙt ᦙ3．p M=t-3-t2-2t-3=-t2+3t，所以S=1p M·㔠F=1-t2+3t=-1t2+3t．2 2 2 2如图，当点p 在点M 下方时，即t ᦙ 0 或t t 3．pM = t2 - 2t - 3 - t - 3 = t2 - 3t，所以S = 1 pM ·㔠F = 1 t2 - 3t = 1 t2 - 3 t．2 2 2 2- 1 t2 + 3 t交0 ᦙ t ᦙ 3综上所述，S = 21 t2 -22 ．3 t交t ᦙ 0 或t t 3 26. （1）因为顶点A 的坐标为1交1 ，所以设抛物线的表达式为y = t x -1 2 + 1．因为抛物线过原点，所以0 = t 0 -1 2 + 1，解得t=-1．所以抛物线的表达式为y=-x-12+1，即y=-x2+2x．令y=-x2+2x=x-2，解得x=2或x=-1．当x = 2 时，y = 2 -2 = 0，即于 2交0 ．当 x =- 1 时，y =- 1 - 2 =- 3，即 C - 1交 - 3 ． （2） 假设存在满足条件的点 N ，设 N x 交0 ， 则 M x 交 - x 2 + 2x ， 所以 ON = lxl ，MN = l - x 2 + 2xl ． 由 A 1交1 ，于 2交0 ，C - 1交 - 3 ， 得 A 于 = 2，于C = 3 2． 所以 A 于 上 于C ，MN 上 x 轴于点 N ， 所以 LA 于C = LMNO = 当0o ， 所以当 !:! MNO ∽ !:! A 于C 时，有 MN = ON，即l -x 2+2x l = l x l ．A 于于C2 3 2整理，得 lxl · l - x + 2l = 1 lxl ．3当 x = 0 时，M ，O ，N 不能构成三角形，故 x -= 0． 所以 l - x + 2l = 1，解得 x = 捄或 x = 7．3 33此时点 N 的坐标为 捄 交0 或 7交0 ． 33当 !:! ONM ∽ !:! A 于C 时，有 MN= ON，即l -x 2+2x l = l x l ．于C A 于3 22 整理，得 lxl · l - x + 2l = 3lxl ． 因为 x -= 0，所以 l - x + 2l = 3，解得 x = 捄 或 x =- 1．此时点 N 的坐标为 - 1交0 或 捄交0 ．综上所述，存在满足条件的 N 点，其坐标为 捄交0 或 7交0 或 - 1交0 或 捄交0 ．337. （1） 在直线 y =- 2x + 10 上，令 y = 0，得 x = 捄；令 x = 0，得 y = 10．即 A 捄交0 ，于 0交10 ．: 点 A 捄交0 ，C 8交4 ，O 0交0 在抛物线 y = tx 2 + tx + c 上， c = 0交. 2捄t + 捄t + c = 0 交 64t + 8t + c = 4.t = 1 交6解得 t =- 捄 交6c = 0.. 抛物线的表达式为 y = 1 x 2 - 捄x ．66: AC 2 = 8 - 捄 2 + 42= 2捄，于C 2 = 82 + 10 - 4 2 = 100，A 于2 = 捄2 + 102 = 12捄， . AC 2 + 于C 2 = A 于2， . !:! A 于C 是直角三角形．（2） : 抛物线与 x 轴交于 O 0交0 ，A 捄交0 的两点， . 对称轴为 x =0+捄 = 捄．22捄 1 当 2 捄 1 当2设存在点 M ，使以 A ，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形，设 M 捄交y ．2. AM 2 = 捄 -捄2 + y 2 = 2捄+ y 2，A 于2 = 12捄，于M 2 =4 + 10 - y 2 =2 捄 + y 2 - 20y + 100，4①当 AM = A 于 时，则 AM 2= A 于2， 即2捄 + y 2 = 12捄．4解得 y 1 = 捄 1当，y 2 =-捄 1当．22此时点 M 的坐标为 捄 交捄 1当或 捄交 - ． 222②当 于M = A 于 时，则 于M 2 = A 于2， 即2捄 + y 2 - 20y + 100 = 12捄．4解得 y 1 = 10 + 捄 1当，y 2 = 10 -捄 1当．2此时点 M 的坐标为 捄交10 22或 捄 交 10 - ．2③当 AM = 于M 时，则 AM 2= 于M 2， 即2捄 + y 2 =2捄+ y 2 - 20y + 100．44解得 y = 捄．此时点 M 的坐标为 捄 交捄 ，恰好是点 A 于 的中点，不能构成三角形，故舍去．2综上所述，存在点 M 使以 A ，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形，此时点 M 的坐标为 捄 交捄 1当或捄 交 - 2或 捄 交10 222 捄交 10 -28. （1） 把点 A 0交1 ，于 - 当交10 的坐标代入 y = 1 x 2 + tx + c ，得 3c = 1交 1X - 当 2 - 当t + c = 10.3解得 t = 2交c = 1.. 抛物线的表达式为 y = 1x 2 + 2x + 1．3（2） 设 AC 与抛物线对称轴 交于点 F ， 由 y = 1x 2 + 2x + 1 =1 x + 32 - 2，得顶点 p 的坐标是 - 3交 - 2 ．3 3此时 pF = y F - y p = 3，CF = x F - x C = 3． 则在 Rt !:! CFp 中，pF = CF ， . LpCF = 4捄o ． 同理可求 LEAF = 4捄o ， . LpCF = LEAF ．. 在直线 AC 上存在满足条件的点 㔠，使得以 C ，p ，㔠 为顶点的三角形与 !:! A 于C 相似． : A 0交1 ，于 - 当交10 ，p - 3交 - 2 ， . C - 6交1 ，. A 于 = 当 2，AC = 6，Cp = 3 2． ①如图，捄 2捄 1 当 2 捄 1 当 2捄 1 当 2223 3 34 捄0 0当 !:! Cp 㔠1∽ !:! A 于C 时，设 㔠1 t 1交1 ，则 C 㔠1 = Cp ．即 t 1+6 = 3 2．当 2解得 t 1 =- 4．②如图，当 !:! C 㔠2p ∽ !:! A 于C 时，设 㔠2 t 2交1 ，则 C 㔠2 = Cp ．即 t 2+6 = 3 2．A 当 2 6解得 t 2 = 3．综上所述，存在点 㔠，使得以 C ，p ，㔠 为顶点的三角形与 !:! A 于C 相似，此时点 㔠 的坐标为 - 4交1 或 3交1 ．9. （1） 因为抛物线的对称轴是 x = 2， 所以 t - 2 + 2t + 3 = 4，解得 t = 1．所以 A - 1交0 ，于 捄交0 ． 把 A - 1交0 代入抛物线表达式， 得 - 3捄 当 + a = 0，解得 a =- 当．所以 t = 1，a =- 当．（2） 假设点 p 存在，设点 p x 0交0 0 ᦙ x 0 ᦙ 捄 ， ①当点 p 为 !:! pM 于 的直角顶点时，CM = Mp ． 因为 Mp ∥OC ， 所以 Mp= p 于，CM= Op，OC O 于 C 于 O 于 所以 Mp = 3 捄捄 - x 0 ，CM = 34 x 0．则 捄 - x 0 = 34x 0，解得 x 0 =3 34-当．捄捄捄所以 p3 34-当 交0 ．捄②当点 M 为 !:! pM 于 的直角顶点时，则 CM = Mp ． 因为 !:! pM 于∽ !:! CO 于，所以 pM = 于M = p 于，CO O 于 于C 所以 pM = 334 捄 - x ，于M = 捄34 捄 - x 0 ， 所以 CM =- 捄 - x = 当+捄x 0． 3434则 3 捄- x = 当+捄x0，34 34解得x = 3．4所以p 3 交0 ．4综上所述，满足条件的点p的坐标为334-当交0或捄3 交0 ．410.（1）:平行四边形A于OC 绕点O 顺时针旋转当0o，得到平行四边形A'于'OC，A 0交4 ，C -1交0 ，. A' 4交0 ，于 1交4 ．设抛物线的表达式为y = tx2 + tx + c t -= 0 ，又抛物线过点C，A，A'，t - t + c = 0交. c = 4 交16t + 4t + c = 0.t=-1交解得t = 3交c = 4..抛物线的表达式为y=-x2+3x+4．（2）如图，连接AA'，设点M 的位置如图所示，过点M 作x 轴的垂线交AA' 于点N，连接MA，MA'，: 点M 是第一象限内抛物线上的一动点，.设点M x交-x2 + 3x + 4 ，其中0 ᦙ x ᦙ 4．设直线AA'的表达式为y=k x+t，则0 + t = 4交4k + t = 0.解得k=-1交t = 4..直线AA'的表达式为y=-x+4．: MN 上 x 轴，. 点M，N 的横坐标相同，. 点N x交- x + 4 ，.M N=-x2+3x+4--x+4=-x2+4x，3. S !:!AMA' = S !:!AMN + S !:!A'MN- 0 - x 2 + 4x +- x - x 2 + 4x=- 2x 2 + 8x=- 2 x - 2 2 + 8交. 当 x = 2 时，!:! AMA' 的面积最大，最大面积是 8． 当 x = 2 时，y =- 22 + 3 X 2 + 4 = 6，即 M 2交6 ．11. （1） 在直线 y =- 2x + 10 上，令 y = 0，得 x = 捄；令 x = 0，得 y = 10，即 A 捄交0 ，于 0交10 ，因为点 A 捄交0 ，C 8交4 ，O 0交0 在抛物线 y = tx 2 + tx + c 上， c = 0交所以 2捄t + 捄t + c = 0交 64t + 8t + c = 4交 t = 1交6解得 t =- 捄 交6 c = 0.所以抛物线的表达式为 y = 1 x 2 - 捄x ．66因为 AC 2 = 8 - 捄 2 + 42= 2捄， 于 C 2 = 82 + 10 - 4 2 = 100， A 于2 = 捄2 + 102 = 12捄， 所以 AC 2 + 于C 2 = A 于2， 所以 !:! A 于C 是直角三角形．（2） 设运动时间为 t s 时，Op = 2t ，于㔠 = t ， 则 C 㔠 = 10 - t ．因为当点 p 运动到端点时，t =O 于 = 捄，2当 t = 捄 时，于㔠 = 捄 ᦙ 10， 所以 t 的取值范围是 0 ::; t ::; 捄． 在 Rt !:! AOp 和 Rt !:! AC 㔠 中， pA 2 = OA 2 + Op 2 = 2捄 + 4t 2，㔠A 2 = 㔠C 2 + AG 2 = 2捄 + 10 - t 2 = t 2 - 20t + 12捄． 因为 pA = 㔠A ， 所以 pA 2 = 㔠A 2． 即 t 2 - 20t + 12捄 = 2捄 + 4t 2． 解得 t 1 =- 10（舍去），t 1 = 10． 即运动时间为10 s 时，pA = 㔠A ．312. （1） 把 A - 1交1 交于 2交2 代入 y = tx 2 + tx 中得：1 = t - t 交2 = 4t + 2t.解得4所求函数表达式为t = 2 交3 . t =- 1 .3y = 2 x 2 - 1x. : 于C ∥x3 3轴，设 C 点坐标为 x 0交2 ，. 2 x 2 - 1x 0 = 2，3 03解得x =- 3或x= 2交由题意知 x 0 ᦙ 0，. x 0 =- 3，即 C - 3交2 ．222（2） 设 !:! 于CM 的边 于C 上的高为 h ， : 于C = 7，2 . S !:! 于 CM = 1X 7X h = 7，222. h = 2，点 M 即为抛物线上到 于C 的距离为 2 的点， . 点 M 的纵坐标为 0 或 4， 令 y = 2 x 2 - 1x = 4 ，解得33x = 1 + 当 7 交 x = 1 - 当 7 交 . M 1 + 当7 交4，M 1- 当7 交4 ，41 42 43 4综上所述，点 M 的坐标为 0交0 ， 1+ 当7 交4 ，1- 当7 交444（3） : A - 1交1 ，于 2交2 ，C - 1 交2 ，D 0交2 ，2. 易求得 O 于 = 2 2，OA = 2，OC = 捄，LAOD = L 于OD = 4捄o ，tanLCOD = 1，24①如图（1），当 !:! AOC ≌ !:! 于ON 时，AO= OC，LAOC = L 于ON ，于OON. ON = 2OC = 捄，过点N 作NE 上 x 轴于点E，: LCOD = 4捄o - LAOC = 4捄o - L于ON = LNOE，. 在Rt !:! NOE 中，tanLNOE = tanLCOD = 1，4. OE = 4，NE = 3，. 点N 的坐标为4交3 ，同理可得，点N 的坐标也可以3交4 ．②如图2，当!:! A O C∽!:!O t N时，AO =O C，L A O C=L O于N，O于于N.于N = 2OC = 捄，过点于作于G 上 x 轴于点G，过点N 作x 轴的平行线交于G 的延长线于点F，. Nt 上于F，: LCOD = 4捄o - LAOC = 4捄o - LO于N = LN于F，. 在Rt !:! 于FN 中，tanLN于F = tanLCOD = 1，4. NF = 3，于F = 4，.易求得点N 的坐标为-1交-2 ，同理可得，点N 的坐标也可以-2交-1 ．综上所述，点N 的坐标为3交4 ，4交3 ，-2交-1 ，-1交-2 ．13.（1）因为在矩形A于CD 中，A于 = 6 cm，于C = 8 c m，所以AC = 10 cm．①当Ap = pO 时，如图，过点p 作pM 上 AO，所以AM = 1 AO = 捄．2 2因为LpMA = LADC = 当 0o，LpAM = LCAD，所以!:! ApM∽!:! ACD，所以Ap = AM，AC AD所以Ap = t = 2捄．8②当Ap = AO 时，t =捄．因为0 ᦙ t ᦙ 6，所以t = 2捄或t = 捄均符合题意，8所以当t = 2捄或t = 捄时，!:! AOp 是等腰三角形．8（2）如图，过点E作E t上A C于点t，过点㔠作㔠M上A C于点M，过点D作D N上A C于点N，交㔠F 于点G．因为四边形A于CD 是矩形，所以AD∥于C，所以LpAO = LECO．因为点O 是对角线AC 的中点，所以AO = CO．又因为LAOp = LCOE，所以!:! AOp≌!:! COE，所以CE = Ap = t．因为!:!C E t∽!:! A于C，所以Et = CE，A于AC所以Et = 3t．捄因为S!:!ADC = 1 AD · DC = 1 DN · AC，2 2所以DN = AD·CD = 24．AC 捄因为㔠M∥DN，所以!:! C㔠M∽!:! CDN，所以㔠M=C㔠，即㔠M=6-t．DN CD24 6捄所以㔠M=24-4t，捄所以D G=24-24-4t=4t．捄捄捄因为F㔠∥AC，所以!:! DF㔠∽!:! DOC，所以 F 㔠 = DG ， OC DN所以 F 㔠 = 捄t， 6 所以S = S !:!OEC + S !:!OCD - S !:!DF 㔠 = 1 OC · Et + 1 OC · DN - 1 DG · F 㔠 2 2 2 =- 1 t 2 + 3 t + 12. 3 2 即 S 与 t 的函数关系式为 S =- 1 t 2 + 3 t + 12． 3 214. （1）连接 p C ，p A ，p 于，过 p 点作 p t 上 x 轴，垂足为 t ．: ⊙ p 与 y 轴相切于点 C 0交1 ，. pC 上 y 轴．: p 点在反比例函数 y = k的图象上， x . p 点坐标为 k 交1 ，. pA = pC = k ． 在 R t !:! A p t 中，A t = . O A = O t - A t = k - k 2 - 1，. A k - k 2 - 1 交 0 ．= k 2 - 1，因为 p t 上 A 于，由垂径定理可知，p t 垂直平分 A 于，即. 于 k + k 2 - 1交0 ．O 于 = O A + 2A t= k - k 2 - 1 + 2 = k + k 2 - 1， 故过 A ，于 两点的抛物线的对称轴为 pt 所在的直线解析式为 x = k ． 可设该抛物线解析式为 y = t x - k 2 + h ．又抛物线过 C 0交1 ，于 k + k 2 - 1交0 ，得：tk 2 + h = 1交2 t k +k 2 - 1 - k + h = 0.解得 t = 1，h = 1 - k 2．p A 2 - p t 2 k 2 -1Ap 2 - A N 2 1 1当当 21 1 . 抛物线解析式为 y = x - k2 + 1 - k 2．（2）由（1）知抛物线顶点 D 坐标为 k 交1 - k 2 ，则 D t = k 2 -1．若四边形 A D 于p 为菱形，则必有 p t = D t ．: pt = 1，. k 2 - 1 = 1．又 : k t 1，. k = 2．当 k 取 2 时，pD 与 A 于 互相垂直平分，此时四边形 AD 于p 为菱形．15. （1） 抛物线的对称轴 x =- -捄t= 捄． 2t 2（2） A - 3交0 ，于 捄交4 ，C 0交4 ． 把点 A 坐标代入 y = t x 2 - 捄t x + 4 中，解得 t =- 1．6. y =- 1 x 2 + 捄 x + 4． 6 6 （3） 存在符合条件的点 p 共有 3 个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与 C 于 交于 M ．过点 于 作 于㔠 上 x 轴于 㔠，易得 于㔠 = 4，A 㔠 = 8，AN = 捄.捄，于M = 捄 2 ① 以 A 于 为腰且顶角为 LA 的 !:! pA 于 有 1 个：!:! p 1A 于，如图所示．. Ap 2 = A 于2 = A 㔠2 + 于㔠2 = 82 + 42 = 80.在 Rt !:! ANp 1 中，p 1N = = = 1 当 当 . 2. p 捄 交 - ． 2 ② 以 A 于 为腰且顶角为 L 于 的 !:! pA 于 有 1 个：!:! p 2A 于，如图所示． 80 - 捄.捄280 - 2捄4 2. 于p 2 = A 于2 = A 㔠2 + 于㔠2 = 82 + 42 = 80. 在 Rt !:! 于Mp 2 中，Mp 2 = = = 2 当 捄 . 2 . p 2 捄 交8- 2当捄 ． 2 2③ 以 A 于 为底，顶角为 Lp 的 !:! pA 于 有 1 个，即 !:! p 3A 于，如图所示． 画 A 于 的垂直平分线交抛物线对称轴于 p 3，此时平分线必过等腰 !:! A 于C 的顶点C ． 过点 p 3 作 p 3K 垂直 y 轴，垂足为 K ，连接 p 3C ，显然 Rt !:! p 3CK ∽Rt !:! 于A 㔠． . p 3K = 于 㔠 = 1．CK A 㔠 2 : p 3K = 2.捄，. CK = 捄，于是 OK = 1，. p 3 2.捄交 - 1 ．于p 2 - 于M 2 2。