微积分总复习

G G N N A A W W I I J J O O A A I I M M G G E E R R E E N N G G O O N N G G Z Z U U O O S S H H I I第二章经济变化趋势的数学描述一、极限的计算 1、代入法【适用形式】x 0在初等函数f (x )的定义区间内。

【方法】计算极限)(lim 0x f x x →时，可以把x 0代入f (x )以得到极限的结果：)()(lim 00x f x f x x =→。

【例】计算极限：①11lim 223-+→x x x ；②130)2(lim -→-x x x 。

2、初等方法 ⑴消零法【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式且都是无穷小量。

【方法】将分子、分母分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。

【例】计算极限：①465lim 222-+-→x x x x ；②423lim 4-+-→x x x x 。

⑵消极大公因子法【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式或含有根式、指数、正(余)弦，且分子、分母都为无穷大量。

【方法】分子、分母都是多项式或含有根式时把分子、分母同除以变量最高次数，然后利用01lim=∞→xx 、极限的四则运算计算极限；分子、分母含有指数时除以底数较大(指数为无穷大量)或较小(指数为无穷小量)的指数形式然后利用)10(0lim <<=+∞→a a x x (或)1(0lim <=+∞→q q n n )、极限的四则运算计算极限。

【例】计算极限：①)14()13()12()1(lim 423324++++∞→x x x x x ；②112lim -+∞→n n n ；③1154255232lim ++∞→++⋅⋅++x x x x x x x 。

⑶有理化法【适用形式】函数为分式，分子或分母含有根号且根式阻碍了极限的计算(特别是有根式相减)。

【方法】将根式有理化。

G G N N A A W W I I J J O O A A I I M M G G E E R R E E N N G G O O N N G G Z Z U U O O S S H H I I【例】计算极限：)2)(1(lim 2+-+∞→n n n n 。

⑷通分法【适用形式】函数为两个分式相减或分式与其他形式相减，且都不能直接代入(即两个无穷大量相减)。

【方法】通分。

【例】计算极限：)11411(lim 3----∞→x x x n 。

⑸其他公式或技巧【适用形式】一般极限的计算过程中。

【方法】等差、等比数列的求和，三角公式，中学的其他技巧。

【例】计算极限：)212121(lim 2n n +++∞→L 。

3、夹逼定理【适用形式】较为复杂而通过放缩可以简化的形式。

【方法】利用不等式放缩使已知函数夹在两函数之间，且两函数的极限相等。

【例】计算极限：!2lim n nn ∞→。

4、两个重要极限【适用形式】幂值函数(1∞型)；正弦、正切的内部为无穷小量。

【方法】凑成两个重要极限之一。

【例】计算极限：n nn n n n 1sin )1(lim 1+∞→+。

5、无穷小量的性质【适用形式】无穷小量乘以有界变量(尤其是正弦、余弦的内部不是无穷小量时)。

【方法】无穷小量乘以有界变量的极限为零。

【例】计算极限：n n n nn n 2cos 1sin lim2--+∞→。

6、等价无穷小量代换G G N N A A W W I I J J O O A A I I M M G G E E R R E E N N G G O O N N G G Z Z U U O O S S H H I I【适用形式】乘除因子中有常见的无穷小量形式。

【方法】把无穷小量用换成与其等价的幂的形式。

【例】计算极限：①1)1(1)1(lim 1110-+-+∞→x x n ；②x x n 3tan 1cos lim 33-∞→。

7、左、右极限【适用形式】分段函数；出现指数、根式、反正(余)切的极限。

【方法】分别极限左、右极限或时的极限，只有二者相等时极限才存在。

【例】计算极限：①)1arccot 1(arctan lim 30x x x +→；②2)1(1lim 22-+++∞→x x x x x 。

二、极限的运用 1、无穷小量的比较【方法】利用无穷小量比较的定义，通过计算极限进行比较。

【例】若 2、连续性的判断【方法】分别计算)(lim 0x f x x -→、)(lim 0x f x x +→和)(0x f ，判断三者是否都相等。

3、间断点的分类【方法】利用各类间断点的定义，通过计算极限进行判断。

4、闭区间上连续函数的性质【方法】根据方程构造函数，验证此函数满足零值定理的条件，根据零值定理证明根的存在性。

第五章 “积零为整”的数学方法一、不定积分1、概念、性质、基本积分表【概念】不定积分∫f (x )dx ：函数f (x )的所有原函数。

【性质】①不定积分是求导的逆运算：[∫f (x )dx ]'=f (x );∫F '(x )dx =F (x )+C ；G G N N A A W W I I J J O O A A I I M M G G E E R R E E N N G G O O N N G G Z Z U U O O S S H H I I②线性性质：∫[af (x )+bg (x )]dx =a ∫f (x )dx +b ∫g (x )dx 。

【基本积分表】略。

【例】计算不定积分：①dx xx ⎰+32)1(；②⎰x x dx22cos sin 。

【练习】计算不定积分：①dx x x x ⎰-+-105211；②dx x ⎰2tan 。

2、换元积分法【第一换元法】)())(()())((x d x f dx x x f ϕϕϕϕ⎰⎰='。

【例】计算不定积分：①⎰-249x dx ；②⎰-xx dxln 21；③⎰--x x dx 1)2(；④dx x 32cos sin ⎰；⑤xdx x 22cos sin ⎰。

【练习】计算不定积分：①dx x x x⎰-1；②⎰-x dx cos 1；③dx x x ⎰cos tan ；④⎰dx x x 32cos sin ；⑤⎰xx dxcos sin 。

【第二换元法】dt t t f dx x f t x )())(()()(ϕϕϕ'=⎰⎰=。

【例】计算不定积分：①⎰-+342)1()1(x x dx；②⎰-221xdx x ；③dx x x⎰+234；④dx xx ⎰-92；⑤⎰+)1(24x x dx。

【练习】计算不定积分：①⎰+)(33x x x dxx ；②⎰-+21xx dx ；③⎰+22)4(x dx . 3、分部积分法【公式】dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(⎰⎰'-='或du v uv udv ⎰⎰-=。

【例】计算不定积分：①⎰+dx x )1arctan(；②⎰xdx x ln ；③⎰xdx ln cos ；④⎰-dx e xx x21；⑤⎰--2)1(x dxxe x 。

【练习】计算不定积分：①⎰dx x 2)(arcsin ；②dx x x x ⎰-+11ln ；③⎰-1x x e dxxe 。

G G N N A A W W I I J J O O A A I I M M G G E E R R E E N N G G O O N N G G Z Z U U O O S S H H I I4、有理函数的积分【步骤】①假分式化为多项式与真分式之和；②真分式化为几个部分分式之和；③对多项式和每个部分分式进行积分。

计算不定积分：①⎰-+-dx x x x x )1(41162；②⎰-+2)1)(1(x x dx ；③dx x x x ⎰+-+22)1)(1(22。

【练习】计算不定积分：①dx x x ⎰--11323；②⎰-+-dx x x x x 22)1(4116；③dx x x x x ⎰+++)1(122223。

二、定积分1、概念、性质 【概念】ini ix ba x f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim)(ξ表示由y =f (x )、x =a 、x =b 和y =0围成图形的面积。

【例】dx x ⎰-224。

【性质】①线性性质：⎰⎰⎰+=+bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα； ②区间可加性：⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(；③比较定理：],[b a x ∈∀，⇒≤)()(x g x f ⎰⎰≤bab adx x g dx x f )()(；④积分中值定理：f (x )在[a ,b ]连续),(b a ∈∃⇒ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ。

2、变上限积分与Newton-Leibniz 公式 【变上限积分求导的推广】)())(()())((])([)()(x x f x x f dt t f x x ϕϕψψψϕ'-'='⎰；【Newton-Leibniz 公式】⇒=')()(x f x F )()()()(b F a F x F dx x f b a b a-==⎰。

【例】求导：①dt ttx x ⎰32sin ；②dt t t x x ⎰-122ln )(。

【练习】求⎰xxt dt e 2的导数。

【例】计算极限：220sin limx tdt xxx ⎰→。

【练习】计算极限：⎰⎰+→02220)]1[ln(sin lim2xx x dttt dtt 。

【例】计算积分：①dx x ⎰-202sin 1π；②dx ex ⎰--321。

G G N N A A W W I I J J O O A A I I M M G G E E R R E E N N G G O O N N G G Z Z U U O O S S H H I I【练习】计算积分：dx x ⎰--1112。

3、换元积分法【换元积分公式】dt t t f dx x f ba )())(()(ϕϕβα'=⎰⎰。

注意：换元必须同时换限。

【例】计算积分：①⎰+411x dx ；②dx x x ⎰-123221；③dx x x ⎰-2121。

【练习】计算积分：①dx x x ⎰++4122；②⎰-20234dx x x ；③⎰-+10232)1(dx x 。

函数奇偶性的应用：⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-为偶函数为奇函数)()(2)(0)(0x f dx x f x f dx x f aaa。