医学高等数学_总复习

1 2 1 2
高等数学1
三、换元积分法
已知 则
f ( x)dx F ( x) C
______凑微分法
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x) F [ ( x)] C
f ( x)dx f [ (t )]d (t ) f [ (t )] (t )dt F [ (t )] C
x

则
x2
1
e dt e
t2


t2 t x2
( x ) 2 xe
2
x4
微积分基本定理 设 f ( x) 在[a,b]上连续， F ( x) 是 f ( x) 的任一原函数，

b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) b a
牛顿---莱布尼茨公式
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n
sin x 1 1, lim(1 ) x e 要注意这两个公式自变量的 x x x
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变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式：
1 lim x sin 1, lim(1 x) x e x x 0 x
1
（3）利用无穷小的性质计算： 无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、 积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。 （4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。
医学高等数学 期末复习
考试说明
本课程的考核形式为平时考核和期末考 试相结合的方式。考核成绩满分为100分， 60分为及格。其中平时考核成绩占考核成 绩的30%，期末考试成绩70%。期末考试 采用闭卷笔试形式。
考核内容和考核要求
考核内容：
一、函数极限与连续；二、一元函数；三微 分学、一元函数积分学三个部分。 包括函数极限与连续、导数与微分、导数的 应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知 识．
高等数学期末考试
考试题型： 单选题10个（约30%）、 填空题4个（约20%），解 答题6个（约50%）。 考试时间：120分钟 命题原则： 不超过课堂练习和课后作业的难度，试题主要分布在 第二、三章，占80%以上。 考试形式： 闭卷
高等数学期末复习
内容复习
第一章：函数极限与连续
一、函数
⒈理解函数的概念；掌握函数
反三角函数： arcsin x , arccosx , arctanx ⒋了解复合函数、初等函数的概念， 会把一个复合函数分解成较简单的函数． 如函数 y e
arctan 2 x
可以分解 y e
u
u arctan v
vw
1 2
w 2x
分解后的函数前三个都是基本初等函数， 而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积．
f ( x) 的极小值点。
极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点。 ⒌了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法；会求曲线的拐点。 若在区间 若在区间
(a , b) 上有
f ( x) 0，则 f ( x) 在区间 (a , b) 上是凹函数；
(a , b) 上有 f ( x) 0 ，则
0
⒎熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，以 几何问题为主。 求 f ( x) 在区间 [a , b] 上的最大值的方法是：找出 f ( x) 的所有驻点， 将所有这些点的函数值与两个端点的函数值 找出 f ( x) 的所有不可导点， 一起比较大小，最大者为最大值，相应的点为最大值点。 求最小值的方法类似。
换元积分法和分部积分法
1．换元积分法
x ( t ) [ , ] 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且 [a, b]
x (t )
在 [ , ]
在区间 (a , b)上单调减少。
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⒋了解极值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值 存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系。
f ( x) 在点 x x0 满足 f ( x0 ) 0 ，那么
若 f ( x) 在点 x x0 的左右由正变负（或 f ( x0 ) 0 ），则点 x x0 是 f ( x) 的极大值点； 若 f ( x) 在点 x x0 的左右由负变正 （或 f ( x0 ) 0 ），则点 x x0 是
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第三章：一元函数积分学 一、不定积分
一、原函数与不定积分 已知函数 f ( x ) 在某区间上有定义， 如果存在函数 F ( x ) ， 使得在该区间上的任一点处， 都有关系式
F ( x) f ( x)或dF( x) f ( x)dx 成立，
则称函数 F ( x) 是函数 f ( x) 在该区间上的一个原函数。 设函数 F ( x) 是函数 f ( x) 的一个原函数， 则 (C为任意常数)， 记为： 称为
定积分的性质
性质
a b
性质
b a

b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
f ( x)dx f ( x)dx
b a
线性性
b a
[a, b] [a, c] [c, b]
[af ( x) bg( x)]dx a
b c a a c
f ( x)dx b g ( x)dx
可加性

f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
x 2 f ( x) 0 x 2 x0 x0 x0
例2
讨论函数
在 x 0 处的连续性。
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1.导数
第二章：一元函数微分学 一、导数与微分
理解导数的概念； 了解导数的几何意义； 会求曲线的切线和法线； 会用定义计算简单函数的导数； 知道可导与连续的关系。
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（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
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2、函数连续
理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f ( x) 在 x0 的一个邻域内有定义；
② f ( x) 在 x0 处存在极限；③极限值等于 f ( x) 在 x0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数 f ( x) 在 x0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的， 会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念， 由函数在一点连续的定义， 会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数， 两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
y f ( x) 上点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率
曲线
y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为
y f ( x0 )(x x0 ) f ( x0 )
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函数
y f ( x)
在
x0
点可导，则在
x0
点连续。反之函数 y f ( x) 在
⒋熟练掌握复合函数的求导法则。
( v 0)
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⒌掌握隐函数求导法，取对数求导法，反函数求导法。 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如
y
x 1
3
x2
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
ln y
两端求导得
1 1 ln( x 1) ln( x 2) 2 3
x0
点连续，在 x0 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。 ⒊熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(u v) du dv
d(u v) vdu udv
u vdu udv d( ) v v2
0 0
”、“
”型不定式的极限，以及简单的“

”、“0 ”型不定式的极限。
⒊掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间。 若在区间 若在区间
(a , b) 上有 f ( x) 0 ，则
f ( x) 在区间 (a , b) 上单调增加；
f ( x)
(a , b) 上有 f ( x) 0 ，则
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形．
基本初等函数指以下几种类型：
常数函数:
幂函数： 指数函数： 对数函数： 三角函数：
yc
y x
y ax
( 为实数)
(a 0 , a 1)
y loga x (a 0 , a 1)
sin x , cos x , tan x , cot x
f ( x)在点 x x0 处可导是指极限
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成
x x0
lim
f ( x) f ( x 0 ) x x0
f ( x) 在点 x x0 处的导数 f ( x0 ) 的几何意义是曲线
y 1 1 y 2( x 1) 3( x 2)
y x 8 2 x 2 6( x x 2) x 1
整理后便可得
3
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
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第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
⒈了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式 ⒉掌握洛必塔法则，会用它求 “
f (x)
的全体原函数
F ( x) C
f ( x ) 的不定积分。
f ( x)dx F ( x) C