高等数学在医学中的应用
中医药大学高等数学教材
中医药大学高等数学教材第一章引论1.1 数学的起源与发展数学作为一门独立的学科，起源于人类对自然界中规律性现象的观察和总结。
随着人类文明的进步，数学逐渐发展为一门系统的科学，应用于各个领域。
1.2 数学在中医药研究中的应用中医药作为中华传统医学的重要组成部分，经过几千年的发展积累了丰富的理论和实践经验。
数学在中医药研究中具有重要的应用价值，可以帮助解决一些复杂的中医药问题，如药效评估、方剂优化等。
第二章极限与连续性2.1 数列的极限数列的极限是研究数列趋于无穷时的性质和规律的重要概念。
本节将介绍数列极限的定义、性质以及常见的求极限方法。
2.2 函数的极限函数的极限是研究函数趋于某一点时的性质和规律的重要概念。
本节将介绍函数极限的定义、性质以及常见的求极限方法。
2.3 连续函数连续函数是函数论中的重要概念，描述了函数图像上没有突变、断裂或跳跃的性质。
本节将介绍连续函数的定义、性质以及常见的连续函数判定方法。
第三章导数与微分3.1 导数的概念与性质导数是函数在某一点处的变化率，是微分学中的重要概念。
本节将介绍导数的定义、性质以及常见的求导法则。
3.2 微分的概念与应用微分是导数的重要应用，描述了函数曲线上某一点的切线斜率。
本节将介绍微分的定义、性质以及微分在中医药研究中的应用。
3.3 高阶导数与高阶微分高阶导数和高阶微分是导数和微分的推广，描述了函数变化的更高阶性质。
本节将介绍高阶导数和高阶微分的定义、性质以及常见的求导法则。
第四章积分与积分应用4.1 不定积分不定积分是微积分中的重要概念，描述了函数的原函数。
本节将介绍不定积分的定义、性质以及常见的求积分法则。
4.2 定积分定积分是微积分中的重要概念，描述了函数在一定区间上的累积效应。
本节将介绍定积分的定义、性质以及常见的求积分法则。
4.3 积分应用积分在中医药研究中有广泛的应用，如求药物的累积作用、浓度的变化等。
本节将介绍积分在中医药研究中的应用，并解决一些实际问题。
【医学高等数学】7.5 微分方程在医药学中的应用
于是, 方程 (1) 便修正为: dN k(h N)N (5)
dt
即
1 ( 1 1 )dN kdt
h hN N
h N Cehkt
(6)
N
若考虑初始时刻 t=t0 时， N=N0 ，有:
h N h N0 e , hk (tt0 )
N
N0
即
N
7.5 微分方程在医药学中的应用
7.5.1 数学模型简介 7.5.2 建立数学模型的步骤 7.5.3 应用实例
7.5.1 数学模型简介
数学模型 (mathematical mo人de们l) 把反映客观事物规律性所包含的各因
素之间关系的数学形式(等式、图像、框图等) 称为数学模型。数学模型能够描述客观事物的 特征及其内在联系.
设 N(t): t 时刻人口总数；n: 出生率, m: 死亡率。
建立方程: dN nN mN (n m)N
(1)
dt
先考虑较简单的情况：
1. Malthus 模型:
英国著名人口统计学家 Malthus (1766-1834)
发现人口的变化率 k=n-m (k>0) 是常数。
代入方程(1)有: dN kN, (k 0)
建立数学模型的过程，实际就是收集数
据并将数据进行处理的过程。有了数学模型 ，便可以用数学计算或数学推理的方法，对 客观过程从定性分析发展为定量研究，从而 深入地了解事物变化的特征、趋势和内在规 律。
7.5.2 建立数学模型的步骤
实际问题
分析问题 简化假设
收集数据
确定主要因素
及其相互关系 建立模型
模型应用
k=b+q:
生命系数
《医学高等数学》中培养学生应用能力的探讨
养 ， 高学生 在解决 实际 问题 中应 用数 学方法 的意 提 识和能力 ， 克服数学的枯燥性。 ２精选教学内容、 联系医学实际问题 数学的重要性正如马克思所说的 “ 一门学科 ， 只有在成功的运用数学时， 才算达到了真正完美的 地步。现代医学科学从定性描述到 日 ” 趋定量化、 精 确 化 的发展 过 程 ，再次 充 分证 实 了这 一 科学 的 预 见。譬如 ，９ ７ １９ 年获得医学若贝尔奖的 Ｃ （ Ｔ电子计 算机 ｘ射线断层扫描的简称） ，核心理论就是数学 中的二维 Ｒ ｄｎ变换 ； ｏａ 又如， 概率统计在流行病学 和临床实践上， 有着广泛的应用 ； 再如， 矩阵可以用 来研究人 口增长问题 ； 模糊数学可用来建立冠心病 模型 、 缺血性 中风模型 、 眼科疾病诊断模型 定积 ； 分可进行血输出量的确定和脑脊液流量的测定； 不 定积分又可进行肺的扩散能力检测等等 ， 这些事例 均可加到我们正常教学中的相应章节。 同时继续加强《 医学高等数学》 教材建设。 现有 教材大多内容比较抽象化 、 理论化 ， 联系医学应用 的例子较 少 ，这就直 接导 致 了数学 无用论 的错觉 。 俗 话 说 ： 以致 用 ， 学 只知 道 “ 有用 ” 而不 知 道 “ 何 如 用”导致最终放弃。要使学生明白： ， 要成为一名出 色的医务工作者， 只会简单的看病是不够的， 还要 会 用数 学方 法 解决 医 学 中的实 际 问题 和 进行 更 高 更 深层次 的 医学研究 。 ３提高学生的学习兴趣 根据这门学科的特点， 结合背景知识适当介绍 数 学发展 史 。如数学 家 的逸闻趣 事 、 学名 词 的来 数 由等， 这样一来即可以活跃课堂气氛， 又可以拓宽 学生的视野。 还可以充分合理的利用数学应用软件 形 象 、 观 的分析相 关问是 如 Ｓ Ｓ软件在 统计 学 直 。 Ａ 中可 以直 观 的看到数 据 的分布 ， 数图像 可 以反 映 函 出函数本 身 的很多 陛质 ， 在 医学 中可 以用来 反 映 但 药物浓度在不同时间段的变化趋势等。 建立适当的 数学模型进行医学定量分析离不开大量数据的统 计， 需要合适的数学软件做支撑 ， 因而在条件成熟
医用高等数学完整答案
医用高等数学完整答案第一部分：导数及其应用导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在医用高等数学中，导数的应用非常广泛，例如在药物动力学、生物力学等领域。
1. 导数的定义：导数可以理解为函数在某一点的变化率。
对于一个函数 f(x)，它在点 x=a 处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) f(a)] / h其中，h 表示自变量 x 的微小变化量。
2. 导数的几何意义：导数还可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
切线是函数图像在该点附近最接近的直线，斜率则表示切线与x 轴的夹角。
3. 导数的计算：导数的计算方法有很多种，包括求导法则、微分法则、链式法则等。
下面列举一些常用的求导法则：常数函数的导数为 0。
幂函数的导数为幂指数乘以幂函数的导数。
指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数。
对数函数的导数为底数的对数除以对数函数。
三角函数的导数可以根据三角函数的和差公式进行计算。
4. 导数的应用：导数在医用高等数学中的应用非常广泛，例如：药物动力学：通过求导可以计算药物在体内的浓度变化率，从而预测药物的疗效和副作用。
生物力学：通过求导可以计算生物体的运动速度和加速度，从而分析生物体的运动状态。
生理学：通过求导可以计算生理参数的变化率，从而分析生理过程的变化规律。
导数是医用高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，并在药物动力学、生物力学等领域有着广泛的应用。
第二部分：微积分的应用微积分是高等数学的另一个重要分支，它包括微分和积分两部分。
在医用高等数学中，微积分的应用同样非常重要，它可以帮助我们理解和分析医学问题。
1. 微分的应用：微分是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化情况。
在医学中，微分可以用来研究药物在体内的浓度变化、生物体的生长速度等。
例如，我们可以通过微分方程来描述药物在体内的代谢过程，从而预测药物的疗效和副作用。
2. 积分的应用：积分是微积分的另一个重要部分，它描述了函数在某个区间上的累积效果。
医用高等数学教材pdf
医用高等数学教材pdf医学是一门综合性学科，除了医学知识外，还需要具备一定的数学技能。
医用高等数学教材是医学专业学生学习数学的重要教辅资源。
本文将对医用高等数学教材PDF进行介绍，旨在帮助医学专业学生更好地学习和应用数学知识。
一、医用高等数学教材的重要性医学专业学生在学习过程中面临着诸多数学问题，如医药浓度计算、生物医学信号处理等。
医用高等数学教材提供了专门针对医学专业的数学知识和技能讲解，帮助学生更好地理解和应用相关数学概念。
二、医用高等数学教材PDF的优势1. 方便获取：PDF格式的教材可以通过网络自由下载，不受时间和地点限制，学生可以随时随地获取所需的教材资源。
2. 省去纸质教材费用：传统的纸质教材需要购买或借阅，费用较高。
使用医用高等数学教材PDF可以减少额外的经济开支。
3. 多媒体支持：教材PDF可以包含图像、视频、音频等多媒体元素，有助于学生更加生动、直观地理解数学概念。
4. 搜索与标注功能：PDF阅读器提供搜索和标注功能，学生可以方便地搜索和高亮关键内容，便于回顾和复习。
三、医用高等数学教材PDF的内容特点1. 基础数学知识：医用高等数学教材PDF首先会介绍基础数学知识，如函数、微分、积分等。
这些知识是学习更高级医学领域所必需的基础。
2. 数学模型应用：教材将通过实际例子将数学知识与医学领域相结合，讲解数学模型在医学中的应用，如传染病传播模型、医学图像处理等。
3. 练习题与答案：教材通常会提供大量的练习题，供学生巩固和应用所学知识。
同时，答案也会给出，学生可以自行对比和纠正错误。
四、医用高等数学教材PDF的学习方法1. 预习与复习：在课程学习之前，学生可以提前预习医用高等数学教材PDF，了解将要学习的内容，加深对数学知识的理解。
复习时，可以通过PDF的搜索功能快速找到需要回顾的知识点。
2. 实践应用：医学专业学生在学习数学知识时，要注重将数学应用于实践中，通过解决实际问题来加深对数学在医学中的理解。
中药学专业高等数学教材
中药学专业高等数学教材中药学专业是医学领域中的一门重要学科，其中高等数学作为基础课程，在培养学生科学思维和提高解决实际问题能力方面起着至关重要的作用。
本教材旨在为中药学专业的学生提供一份全面、系统的高等数学教材，以帮助他们建立牢固的数学基础，并能够将数学知识应用于中药学领域的实际问题中。
1. 数列与级数1.1 数列的定义与性质1.2 数列的极限与收敛性1.3 级数的定义与性质1.4 级数的敛散性与求和2. 函数与极限2.1 函数的概念与分类2.2 一元函数的极限与连续性2.3 多元函数的极限与连续性2.4 导数与微分3. 求导与微分3.1 基本初等函数的导数3.2 导数的四则运算与复合函数求导3.3 高阶导数与隐函数求导3.4 微分与微分近似4. 微分中值定理与泰勒展开4.1 极值与最值4.2 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.3 泰勒公式与泰勒展开4.4 应用实例分析5. 不定积分与定积分5.1 不定积分的定义与基本性质5.2 基本初等函数的不定积分5.3 定积分的定义与性质5.4 定积分的计算方法与应用6. 微分方程6.1 常微分方程的基本概念与分类6.2 一阶常微分方程的解法与应用6.3 高阶常微分方程的解法与应用6.4 线性常微分方程与特解的叠加原理7. 多元函数微积分7.1 多元函数的偏导数与全微分7.2 隐函数与隐函数的导数7.3 多元函数的极值与最值7.4 重积分与曲线曲面积分8. 概率论与数理统计8.1 随机变量与概率分布8.2 二维随机变量与联合分布8.3 数理统计基本概念与参数估计8.4 假设检验与方差分析9. 线性代数9.1 向量与矩阵的基本概念与运算9.2 线性方程组与矩阵的秩9.3 特征值与特征向量9.4 线性变换与线性空间本教材采用了清晰的章节划分和逻辑顺序，每个章节都包含了必要的基础概念、定义和性质，并通过大量的实例和习题来帮助学生巩固和掌握知识。
教材在内容上着重突出了中药学专业的实际应用，以便学生更好地理解和接触到数学在中医药领域的重要性。
高等数学知识在医学中的应用举例
高等数学在制药工程中的应用专业：制药工程姓名：雷金凤指导老师：牛健人摘要：高等数学是化工学院的重要基础课程，数学方法为制药专业的深入研究发展提供了强有力的工具。
本文讲述运用高等数学基础知识解决生物、化学方面中的一些实际问题，主要包括化工原理中柏努利方程式、混合气体粘度的计算、细胞生长计算、三维重建等的应用关键字：高等数学;制药;化学0引言制药工程是一个化学、药学（中药学）和工程学交叉的工科类专业，以培养从事药品制造，新工艺、新设备、新品种的开发、放大和设计人才为目标，而高等数学在制药工程专业方向起着关键作用。
相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为复杂的一部分。
高等数学是比初等数学“高等”的数学。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科，主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。
本文通过实例对高数的理论加以运用及论证，为自己学好高数在数学方面的发展奠定基础。
1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。
流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。
定态流动时液体的机械能衡量式为∑⎰-=+∆+∆f e p p h W vdp u z g 2122（1） 该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。
对不可压缩液体，（1）式中⎰2p pvdp项应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v 或者密度ρ为常数，故ρρρpp p dp vdp p pp p ∆=-==⎰⎰21221，代入（1）式有：∑-=∆+∆+∆f e h W pu z g ρ22或 ∑+++=+++f e h p u gz W p u gz ρρ2222121122 （2） （2）式称为柏努利方程式。
大学高数第五章第5节-微分方程在医学中的应用
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t(hour)
c/c0
23
2、恒速静脉注射
恒速静脉注射：相当于药物以恒定速率k0进入 中心室，此时中心室的初始药量为零。
中心室内药量减小的速率与体内当时的药量 成正比。
D
dx dt
k0
kx,
V,x
x(0) 0.
则通解为 y c1er1x c2er2x.
2. r1 r2 (特征方程有两个相等的实根r1, r2 ), 则通解为 y (c1 c2x)er1x.
3. r1,2 i (特征方程有一对共轭复根), 则通解为 y ex (c1 cos x c2 sin x).
12
三、二阶常系数线性非齐次微分方程 一般形式为
其中l maxm, n l次多项式
k由特征根的情况决定
15
~y xkex[Ql (x)cosx Rl (x)sin x]
k由特征根的情况决定
i不是特征根 k 0
i是单根
k 1
16
第5节 微分方程在医学上的应用
目的与要求
❖了解用微分方程解决一些简单的医学问题
17
一、药物动力学模型
f
(x0 x) f (x0)
f
(
x0
)
x
37
导数的定义
1
lim
x0
f
(x0)
f
(x0 x) f (x0)
f
(
x0
)
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数学在医学中的应用众所周知，数学是一门以高度的抽象性、严谨性为特点的学科，但同时数学在其他各门学科也有广泛的应用性，而且随着大型计算机的飞速发展，数学也越来越多的渗透到各个领域中。
数学建模可以说是用数学方法解决实际问题的一个重要手段。
简单的说，用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，然后用数学工具加以解决，这个过程就称为数学建模。
人们通过对所要解决的问题建立数学模型，使许多实际问题得到了完满的解决。
如大型水坝的应力计算、中长期天气预报等。
建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD(Computer Aided Design)技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
那么数学在医学领域有哪些应用呢？现代的医学为什么要借助数学呢？本研究主要叙述这两个问题。
1现代医学应用数学的必要性
现代医学的大趋势是从定性研究走向定量研究，即要能够有效地探索医学科学领域中物质的量与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出生物医学工程学、数量遗传学、药代动力学、计量诊断学、计量治疗学、定量生理学等边缘学科，同时预防医学、基础医学和临床医学等传统学科也都在试图建立数学模式和运用数学理论方法来探索出其数量规律。
而这些都要用到数学知识。
数学模型有助生物学家将某些变量隔离出来、预测未来实验的结果，或推论无法
测量的种种关系，因为在实验中很难将研究的事物抽离出来单独观察。
尽管这些数学模型无法极其精确地模仿生命系统的运作机制，却有助于预测将来实验的结果。
可以利用数学分析实验数据资料。
当实验数据非常多时，传统的方法就不再适用了，只能转而使用数值计算的相关理论，以发现数据中存在的关联和规则。
特别地随着当前国际生命科学领域内最重要的基因组计划的发展，产生了前所未有的巨量生物医学数据。
为分析利用这些巨量数据而发展起来的生物信息学广泛应用了各种数学工具，从而使得数学方法在现代生物医学研究中的作用日益重要。
2医学上的一些例子
医学统计学（Medical Statistics）临床上可用来解释疾病发生与流行的程度和规律；评价新药或新技术的治疗效果；揭示生命指标的正常范围，相互的内在联系或发展规律；运用统计的原理和方法，结合医学的工作实际,研究医学的实验设计和数据处理。
医学统计学是基于概率论和数理统计的基本原理和方法，研究医学领域中数据的收集、整理和分析的一门学科。
如在疾病的防治工作中，经常要探讨各种现象数量间的联系，寻找与某病关系最密切的因素；要进行多种检查结果的综合评定、探讨疾病的分型分类：计量诊断，选择治疗方案；要对某些疾病进行预测预报、流行病学监督，对药品制造、临床化验工作等作质量控制，以及医学人口学研究等。
医学统计学，特别是其中的多变量分析，为解决这些问题提供了必要的方法和手段。
以传染病模型为例，了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各
类模型来预测、控制疾病的发生发展。
这种模型的建立是在合理假设的前提下，选择了一些相关因素（例如自然因素、人为因素）作为参数，并通过它们之间的关系来描述传染病学的现象。
通过这些现象，可以反映出传染病的流行过程及一些规律特征。
运用这些规律，人们可以估计不同条件下的相关因素参数、预测疾病的发生发展趋势、设计疾病控制方案及检验假设病因等。
比如，通过预测高峰期的时间及发病人数，可以让人们提前进入预警状态从而增进个人的防御意识及社会的整体防疫力，预算对突发事件的物资投入以实现对经济的宏观调控和减少浪费，并使突发疫情对人们生产生活所带来的不便最小化。
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性
今天放学的路上，我看到很多人排了长长的队等着献血。
失血过多不是会影响我们的身体健康吗？为什么还有这么多人排着队献血呢？回到家里，我查阅了很多资料，原来适量的献血不但不会影响我们的健康，还对我们的身体有益呢！
一个健康人的总血量约占体重的7%～8％，即50千克体重的人，体内血液总量约为4000毫升，一般来说，一个成年人的总血量约为4000～5000毫升。
平时80％的血液在心脏和血管里循环流动着，维持正常生理功能；另外20％的血液储存在肝、脾等脏器内，
一旦失血或剧烈运动时，这些血液就会进入血液循环系统。
一个人一次献出的200～400毫升血只占总血量的5％～10％，献血后储存的血液会马上补充上来，不会减少循环血容量。
献血后失去的水分和无机物在1～2小时内就会得到补充；血浆蛋白质由肝脏合成，一两天内就能得到补充；血小板、白细胞和红细胞也能很快恢复到原来水平。
人体的血液在不断进行着新陈代谢，每时每刻都有许多血细胞衰老、死亡，同时又有大量新生细胞生成，以维持人体新陈代谢的平衡。
献血后，由于造血功能加强，失去的血细胞很快得到补充，所以，一个健康的人按规定献血，对身体不会有任何影响，更不会“伤元气”，反而有利于健康。
“对我来说什么都可以变成数学。
”数学家笛卡儿曾这样说过。
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
”我国家喻户晓的数学家华罗庚也曾下过这样的结论。
的确，正如两位前辈所说，数学与我们的生活息息相关，数学的脚步无处不在。