小升初 二元一次方程组的应用
二元一次方程组二元一次方程组的应用ppt
解法的注意事项
注意验证
解出方程组的解后要进行验证，确保正确性。
注意应用
在实际应用中要根据实际情况选择合适的解法。
注意单位
在求解过程中要注意单位的转换。
05
实际应用中遇到的问题与挑战
确定方程组的未知数
在实际问题中，有时难以确定需要求解的未知数。
搜集相关数据
可能无法获得足够的数据来建立方程组，或者数据的质量和精度不够。
2023
二元一次方程组的应用
引言方程组的应用案例分析解法总结与技巧实际应用中遇到的问题与挑战如何进一步拓展与应用
contents
目录Biblioteka 01引言含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。如：ax+by+c=0。
二元一次方程
由两个或多个二元一次方程组成的方程系统。如：{ax+by+c=0，dx+ey+f=0}。
总结词
投资组合问题
生产计划问题
生产计划问题是一种常见的二元一次方程组应用，通过建立方程组和求解，可以确定企业的最优生产计划。
总结词
生产计划问题通常涉及到企业的生产能力和市场需求两个主要因素。在建立方程组时，通常以这两个因素作为变量，通过引入生产数量、生产成本等参数来描述企业的生产计划。求解时，利用二元一次方程组的求解方法，如代入法、加减消元法等，求得最优生产计划方案。
加减消元法
用矩阵表示方程组，通过计算矩阵得到解。主要用于大型复杂方程组的求解。
矩阵求解法
02
方程组的应用
列方程
实际问题转化为数学问题
用数学模型描述问题
实际问题转化为方程
用二元一次方程组解决实际问题
解方程组
二元一次方程组的解法与应用
二元一次方程组的解法与应用一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。
一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1, b1, c1, a2, b2, c2均为常数，且a1, a2≠0，b1, b2≠0。
二、二元一次方程组的解法1.加减消元法（1）对方程组进行排序，使同一未知数的系数对应相等或互为相反数。
（2）将方程组中的方程相加或相减，消去一个未知数。
（3）解得一个未知数后，将其代入原方程组中的任一方程，求解另一个未知数。
2.代入消元法（1）从方程组中选取一个未知数，将其解出。
（2）将解出的未知数代入原方程组中的另一个方程，消去该未知数。
（3）解得另一个未知数后，将其代入原方程组中的任一方程，求解第一个未知数。
（1）设一个新的未知数替代原方程组中的一个未知数。
（2）根据新未知数与原未知数之间的关系，将原方程组转化为新的方程组。
（3）解新方程组，得到新未知数的解。
（4）将新未知数的解代回原未知数，求解原方程组。
三、二元一次方程组的应用1.几何问题（1）求解两条直线的交点坐标。
（2）求解三角形各边长。
（3）求解平行线之间的距离。
2.实际问题（1）已知直线的斜率和一点坐标，求解直线方程。
（2）已知两函数的解析式，求解函数图象的交点坐标。
（3）求解物体在匀速直线运动过程中的位置和速度。
3.线性规划（1）求解线性约束条件下的最优解。
（2）求解线性目标函数的最值。
四、注意事项1.在解二元一次方程组时，要注意方程组的系数是否为0，避免出现误解。
2.在实际应用中，要确保方程组的代表性，避免出现多解或无解的情况。
3.掌握二元一次方程组的解法与应用，有助于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
习题及方法：1.习题：已知二元一次方程组：2x + 3y = 7求解该方程组的解。
方法：利用加减消元法。
（1）将方程组进行排序，使同一未知数的系数对应相等或互为相反数。
(完整版)二元一次方程组应用题的常见类型
（二元一次方程组实际应用〔1〕（列方程解应用题的根本关系量（〔1〕行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆（水速度=静水速度—水流速度（2〕工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（4〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间（二元一次方程组解决实际问题的根本步骤（1、审题，搞清量和待求量，分析数量关系.〔审题，寻找等量关系〕（2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．〔设未知数，列方程组〕（3、列出方程组并求解，得到答案．〔解方程组〕（4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．〔检验,答〕（列方程组解应用题的常见题型（1〕和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量（2〕产品配套问题：加工总量成比例（3〕速度问题：速度×时间=路程（4〕航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类（1．顺流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度+水〔风〕速（2．逆流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度--水〔风〕速（5〕工程问题：工作量=工作效率×工作时间（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问（题（6〕增长率问题：原量×〔1＋增长率〕=增长后的量，原量×〔1＋减少率〕（=减少后的量（7〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（8〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率（9〕利润问题：利润=售价—进价，利润率=〔售价—进价〕÷进价×100%（10〕盈亏问题：关键从盈〔过剩〕、亏〔缺乏〕两个角度把握事物的总量（11〕数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12〕几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13〕年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【典题精析】例1〔南京市〕某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得x y 50,6x4y230.x15,解得，35.y故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2〔四川省眉山市〕某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利〔元〕100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨〔两种加工不能同时进行〕．〔1〕如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成以下表格：销售方式全部直接全部粗加工尽量精加工，剩余局部销售后销售直接销售获利〔元〕〔2〕如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，那么应如何分配加工时间？解：〔1〕全部直接销售获利为：100×140=14000〔元〕；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000〔元〕；尽量精加工，剩余局部直接销售获利为：450×〔6×18〕＋100×〔140－6×18〕=51800〔元〕.〔2〕设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.由题意，得x y15,6x16y140.x10,解得，y 5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.1、小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的3、〔分配问题〕某幼儿园分萍果，假设每人3个，那么剩2个，假设每人4个，邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票那么有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，题中的两个相等关系：萍果有y个=总枚数1、10分邮票的枚数可列方程为：+20分邮票的枚数题中的两个相等关系：1、萍果总数可列方程为：2、萍果总数=每人分=3个+2、10分邮票的总价+=全可列方程为：部邮票的总价可列方程为：10X+=4、〔金融分配问题〕需要用多少每千克售元的糖果才能与每千克售元的糖果混合成每千克售糖果为x千克，每千克售元的杂拌糖200千克？解：设每千克售元的糖果为y千克元的2、小兰在玩具工厂劳动，做题中的两个相等关系：4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个元的糖果销售总价+=1、每千克售小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时可列方程为：间？2、每千克售元的糖果重量+=题中的两个相等关系：可列方程为：1、做4个小狗的时间+=3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：二元一次方程组实际应用〔1〕〔李老师〕姓名：一、和差倍分例1、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，那么乙盒球就是甲盒球数的6倍，假设从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？例2、我区某学校原方案向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原方案的120%，高中学生捐赠了原方案的115%，问初中学生和高中学生各比原方案多捐赠了图书多少册？例3、(2021年浙江省宁波市)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表〞生活用水阶梯式计费价格表的一局部信息：小王家2021年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元,求a,b的值自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a超过17吨不超过30吨的局部b超过30吨的局部例4、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，方案撤除一局部旧校舍，建造新校舍，撤除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.方案在年内撤除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了方案的80%，而撤除旧校舍那么超过了方案的10%，结果恰好完成了原方案的拆、建总面积.1〕求：原方案拆、建面积各是多少平方米？2〕假设绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？同步练习：1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，假设设男生人数为x人，女生人数为y人，那么可列方程组为2、甲乙两数的和为10，其差为2，假设设甲数为x，乙数为y，那么可列方程组为3、某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为4、学校购置35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，那么列方程组，方程组的解是5、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为6、〔2021广东肇庆〕顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，那么到两地旅游的人数各分别为7、〔2021湖北咸宁〕某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，那么入住单人间和双人间各5个共需元．8、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，那么这个队胜了场，平了场，负了场。
二元一次方程组的应用
1.3 二元一次方程组的应用（3）教学目标1、 会列二元一次方程组解简单应用题。
2、 提高分析问题解决问题能力。
3、进一步渗透数学建模思想，培养坚韧不拔的意志。
教学重点根据实际问题列二元一次方程组。
教学难点1、 彻底把握题意。
2、 找等量关系。
教学过程一、引入生活中处处有数学，就连住的地方也不例外，引出、新课1、学生完成p18练习1,2，完成互相检查。
找出错误及原因，学生解决不了的可举手老师。
学生读 题回答： 1 ）讨论：从图中表格包含哪两个等量关系？设未知数，列方程组。
思考：怎样解出方程组？较复杂的方程能否化简？ 学生解出方程，检验，写出答案。
三、练习1、（ 2012?株洲）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到 A 区和B 区的得 分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）•现统计小华、小芳和 小明掷中与得分情况如下：小华：77分 小芳75分（1）求掷中A 区、B 区一次各得多少分？P18练习题。
（2 ）依此方法计算小明的得分为多少分?2、（2012?东营）如图，长青化工厂与 A 、B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从 A 地购买一批每吨1000 元的 原料运回工厂，制成每吨 8000元的产品运到B 地•已知公路运价为 1.5元/ （吨？千米），铁路运 价为1.2元/ （吨？千米），且这两次运输共 支出公路运输费15000元，铁路运输费 97200元.求：（1） 该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往 B 地的产品 多少吨？（2） 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？3、P18.练习题。
学习有困难的学生可讨论完成。
四、小结讨论：列二元一次方程组解应用题基本步骤是什么？哪一步（几步 ）最关键? 五、作业P18.习题1.3A 组第3.4题。
选作B 组题。
教学反思： 铁120km \公踣LOkm。
二元一次方程组的应用ppt课件
6.3 二元一次方程组的应用
解析：四个小组每天能制造螺栓： 8+9+7+6=30（个）， 四个小组每天能制造螺母： 10+12+11+7=40（个）．
设四个小组制造螺栓 x 天，制造螺母 y 天．依据“把一个螺母和一个螺
栓配套组装成一个新型零件，以及一共制造了 7 天”列方程组，得
解得
所以 30x=120，即 7 天中这四个小组最 多可组装120 个零件．
解析：本题中的等量关系是：①七年级人数+八年级人数=2 350 人；②七 年级人数的 2 倍=八年级人数的 3 倍-550 人．
答案：解：设七、八年级学生分别有 x 人，y 人.由题意，得 解这个方程组，得
答：七、八年级学生分别有 1 300 人和 1 050 人． 易错：列方程组为 错因：七年级人数的 2 倍比八年级人数的 3 倍少 550 人，这个等量关 系找错. 满分备考：解决和差倍分问题时，要弄清楚谁是谁的几倍，或谁比谁多多 少，切记不要弄反等量关系.
汤.仔细阅读小明父母之间的对话，妈妈：“今天买这两样食材共花了 45 元， 上月买同质量的这两样食材只要 36 元.”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨的单价上涨 20%.”小明听后很快计算出今天排骨的单价为 ____ 元.
解析：设上个月萝卜的单价为 x 元，排骨的单价为 y 元.由题意，得
答案：120
易错：100
错因：弄错题目中存在的等量关系或直接设 7 天 中这四个小组最多可组
装 x 个零件，从而找不到等 量关系，列不出方程组，导致出错.
-6-
6.3 二元一次方程组的应用
满分备考：应用二元一次方程组解决实际问题时，有时可以直接设所求的 量列出方程组，有时直接设所求的量找不到等量关系，则需设与所求量相关联 的量，列出方程组，解决问题.
二元一次方程组的解法及其应用
二元一次方程组的解法及其应用二元一次方程组是一类基础的数学问题，在现代科技和工业的发展中应用广泛。
在我们日常生活中，二元一次方程组的解法和应用也是非常常见的。
本文将针对二元一次方程组的解法和应用进行详细讲解。
一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组，其形式如下：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中x，y为未知数，a1、a2、b1、b2、c1、c2为已知系数，且a1，a2，b1，b2不全为0。
二、二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法有数学方法和代数方法两种。
数学方法：数学方法是利用代数学、运算学、几何学等知识进行计算、分析和推理的方法，通常利用消元法或代入法。
代数方法：代数方法采用常数向量、矩阵论、行列式以及线性代数等代数方法来解决问题。
以下是二元一次方程组的两种解法：1. 消元法消元法是常见的二元一次方程组的解法，通常通过消去一个未知数从而得到另一个未知数的解，可以将二元一次方程组简化为一元一次方程，从而得到未知数的解。
一般来说，选择待消去的未知数是通过系数相等得到的。
以以下方程组为例，进行消元法的求解：3x + 2y = 72x - 4y = -10首先将第一个方程乘以2，得到：6x + 4y = 14然后将第二个方程乘以3，得到：6x - 12y = -30接下来将第二个方程的式子加到第一个方程上，得到：6x + 4y = 14+ 6x - 12y = -30得到：12x - 8y = -16将式子化简，得到：3x - 2y = -4将其与第一个方程式子相乘，得到：6x + 4y = 14- 3x - 2y = -4得到：3x = 10x = 10/3将x代入第一个方程，得到：3(10/3) + 2y = 7y = (7 - 10) / 2得到y = -3/2故解为(x, y) = (10/3, -3/2)。
2. 代入法代入法又称替换法，通常直接代入一个方程式子中，从而解出另一个未知数。
二元一次方程组的应用完整ppt课件
行走时间
2小时
5小时
所走的路程
2v
5v
此时小琴离他自己家距离
S+2 vS+5 v
.
13
解：设她走路的速度为v千米/时，她家与外祖母家相距s千米.
由题意可得，
s 2v 13 s 5v 25
解得，
v 4
s
5
答：她走路的速度为4千米/时，她家 与外祖母家相距5千米
.
14
例2 甲、乙两人从相距36米的两地相向而行。如果甲比乙先 走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲 先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两 人每小时各走多少千米？ 36千米
房间号多少?”
.
31
3． 某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%， 农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市 现在的城镇人口与农村人口?
4．有两块合金，第一块含铜90%，第二块含铜80%，现在 要把两块合金熔合在一起，得到含铜82.5%的合金240 问两块合金各应取多少克?
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000 元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买；
（2）若商场同时购进其中三种不同型号的手机共40部，并将60000 元恰好用完，并且要求乙种型号的手机购买数量不少于6部且 不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量。
分析：（1）有三种方案①甲、乙②甲、丙③乙、丙 数量关系分析：
浓度：
15%， 45%
15%x45%y x y
可见，混合前后溶液，溶质、溶剂质量不变，浓度改变
.
20
例2 由浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成
小升初数学二元一次方程组的运用
精典专题十 二元一次方程组的应用一、兴趣导入： 二、回顾练习1.解方程组（1）{233511x y x y +=-= （2）⎩⎨⎧=-=-201720152016201620182017y x y x （3）32252231912x y z x y z x y z -+=-⎧⎪+-=⎨++=⎪⎩三．精讲精练例1.方程组23112x y kx k y +=+-=⎧⎨⎩()中x 与y 的值相等，则k 的值为 。
【练习】（1）已知方程组⎩⎨⎧+=+=+25332k y x ky x 的解的和是12，求k 的值；（2）当=a ________时，方程组⎩⎨⎧=-=+76023ay x y x 无解。
（3）若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-053422y b x y x x ba 是关于x 的二元一次方程组，求a 2-2b 的值。
例2.分类讲解（1）图形问题如图,8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形,每块小长方形的地砖的长和宽分别是多少?（2）工程问题一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？（2）单独请哪组，商店所付费用较少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（3）配套问题现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制成盒身，多少张铁皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？（4）行程问题关于二元一次方程的几道数学题①育才中学新建塑胶跑道一圈长400m,甲、乙两名运动员从同一起点出发,相背而跑,40s后首次相遇；若从同一起点同时同向面跑,200s后甲首次追上乙,求甲、乙运动员的速度?②甲乙两人同时从A地去B地,甲骑自行车,乙步行.甲每小时走的路程比乙每小时走的路程的3倍还多1Km,甲到达B地停留45min（乙尚未到达B地）,然后从B地返回A地,在途中遇见乙,这时据他们出发时间恰好3h,若A、B两地相距25.5km,求两人速度各是多少?③已知某一铁桥长1000m,今有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全过桥共有1min,整个车在桥上的时间为40s,求火车的速度和长度?（5）分段计费为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作.某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”.（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元.求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费.【练习一组】（1）某船顺流下行km 36用h 3，逆流上行km 24用h 3，求水流的速度和船在静水中的速度；（2）用白铁皮做盒子，每张铁皮可生产12个盒身，或18个盒盖，现有49张铁皮，怎样安排生产盒身和盒盖的铁皮张数，才使生产的盒身与盒盖配套（一张铁皮只能生产一种产品，一个盒身配两个盒盖）？（3）某中学组织初一学生军训，基地分配给该校宿舍若干间。
二元一次方程组应用题类型大全
根据题意, 得 x+y =22
2×1200x=2000y
解得 x=10
Y =12
所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排10人生产螺 钉,12人生产螺母
例2.某工地需雪派48人去挖土和运土,如果 每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该 怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?
每天挖的土等于每天运的土
分析题意：1、有鲜奶9吨,
2.若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,
3.若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,
4.若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.
5.每天可加工3吨酸奶或1吨奶片, 两种方式不能同时进行.
6.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕.
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成。
例：某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接 销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售, 每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获 利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸 奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能 同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加 工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:
160千米 甲
汽车行驶1小时20分的路程
汽车行驶半小时的路程
乙 拖拉机行驶1小时 20分的路程
拖拉机行驶1个半小时 行驶的路程
1、同时同地相向而行第一次相遇（相当 于相遇问题）：
甲的路程 + 乙的路程 ＝ 跑道一圈长
2、同时同地同向而行第一次相遇（相当于 追击问题）：
快者的路程 － 慢者的路程 ＝ 跑道一圈长
解之得
X=77 Y=8
答:这批零件有77个,按计划需8 小时完成
二元一次方程组及实际问题应用
二元一次方程组及实际问题应用
二元一次方程组是由两个二元一次方程构成的方程组。
一个二元一次方程的一般形式为:
ax + by = c
其中，a、b、c为实数，且a与b不全为0。
一元一次方程组是指由两个这样的方程组成的方程组。
二元一次方程组及其求解在实际问题中有广泛的应用，例如:
1. 解决经济问题：经济学中常常使用二元一次方程组来描述供需关系、价格变化等。
通过求解方程组可以得到供求平衡点、市场均衡价格等。
2. 解决几何问题：几何学中常常需要求解含有两个未知数的方程组来求解几何问题，如求交点、平行线等。
3. 解决物理问题：在物理学中，二元一次方程组的应用非常广泛。
例如，求解加速度、速度、位移等问题都可以转化为求解方程组。
4. 解决工程问题：工程学中常常使用二元一次方程组来描述电路、力学等问题。
通过求解方程组可以计算电流、电压、力的大小等。
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二元一次方程组的应用
牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求这片草地可以供若干头牛吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的剩余量随牛吃草的天数来变化。
1、一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？
3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。
照此计算，可供多少头牛吃10天？
4、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。
如果用12人舀水，3小时舀完。
如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。
现在要想2小时舀完，需要多少人？
5、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。
如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完。
现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？
6、有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。
草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。
问第三块草地可供19头牛吃多少天？
火车过桥问题：过桥问题是行程问题的一种情况。
我们所说的列车通过一座桥，是指从车头上桥到车尾离桥的这个过程。
这时，列车行驶的总路程是桥长加上车长。
7、现有两列火车同时同方向齐头行进，12秒后快车超过慢车。
快车每秒行18米，慢车每秒行10米。
如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求两车的长度。
8、一列客车长280米，一列货车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离用了20秒。
如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾到车尾离开货车头经过120秒。
求客车、货车速度各是多少？
9、一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒。
求这列火车的速度与车身长各是多少米。
10、一列火车通过长320米的隧道，用了52秒；当它通过长为864米的大桥时，速度比通过隧道时提高了四分之一，结果用了1分36秒。
求火车的长度和通过隧道时的速度。
数字位数问题：如果一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则它可以表示成b a +10。
如果把个位十位上的数相颠倒，则这个两位数为a b +10。
我们可以运用二元一次方程组的知识，解决这一类问题。
11、一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为多少？
12、一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？
13、一个两位数，把它的个位与十位数字颠倒后，所得数字加9，等于原来数字的二倍；颠倒后的数字除以原数，商1余27。
求原来的两位数是多少？
14、一个两位数，把它的个位与十位数字颠倒后，与原数的差为18；颠倒后的数字的二倍加上10，等于原数的三倍。
求原来的两位数是多少？
复习：
1、在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液就可以配制成25%的硫酸溶液？
2、甲、乙两人从相距20千米的两地同时相向而行，2小时相遇。
如果同向而行，甲比乙先走2小时，那么在乙出发14小时后刚好追上甲，求甲乙两人的速度各是多少？。