广东省2018-2019年高考 数学文

普通高中毕业班第二次质量检查试卷文 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}2|20B x x x =+-<，则A B =IA ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}2,1,0,1-- 2．复数2i1i-=+ A ．1i -- B ．1+i - C ．1+i D ．1i -3．右图是具有相关关系的两个变量的一组数 据的散点图和回归直线，若去掉一个点使 得余下的5个点所对应的数据的相关系数最 大，则应当去掉的点是A ．DB ．EC ．FD ．A4．下列曲线中，既关于原点对称，又与直线1y x =+相切的曲线是 A ．3y x = B ．254y x =+C ．ln 2y x =+D ．14y x =-5．若x ，y 满足约束条件10,20,2,x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩则4z x y =-的最小值是A ．43 B ．73C ．7D ．9 6．已知等差数列{}n a 满足3514a a +=，2633a a =，则17a a =A ．33B ．16C ．13D ．12 7．如右图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为A ．25B ．24C ．23D ．22 8．将周期为π的函数ππ())cos()(0)66f x x x ωωω=+++> 的图象向右平移π3个单位后，所得的函数解析式为A ．π2sin(2)3y x =-B ．2cos(2)3y x π=-C ．2sin 2y x =D ．2π2cos(2)3y x =-9．过抛物线24y x =的焦点F 作一倾斜角为3π的直线交抛物线于A ，B 两点（A 点在x 轴上方），则AF BF=A ．2B ．52C ．3D ．4 10．已知ln(2),1,()1,1,x x f x x x x +≥-⎧⎪=⎨-<-⎪⎩若函数2(2)(2)y f x f x k =--+只有一个零点，则实数k 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．将一个内角为3π且边长为的菱形沿着较短的对角线折成一个二面角为2π的空间四边形，则此空间四边形的外接球的半径为AB ．2C ．3 D12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足132a =，1233()n n a S n *++=∈N ，若2n n S MS +≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数M 的最小值为 A． B ．176 C ．4112D ．4文 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知两个单位向量a ，b，且|2|-=a b a ，b 的夹角为_______． 14．已知点P 是以1F ，2F 为焦点的双曲线22:1C x y -=上的一点，且12=3PF PF ，则12PF F ∆的周长为______．15．我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不 定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母 雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的 数量分别为x ，y ，z ，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即 为方程组53100,3100z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩的解．其解题过程可用框图 表示如右图所示，则框图中正整数m 的值为 ______． 16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()0f x '>且(()e )1x f f x -=，若()f x ax a ≥+恒成立，则实数a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明证明过程和演算步骤． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin cos )b a C C =+．（１）求角A 的大小；（２）若a b ==AC 边上高BD 的长． 18．（12分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分．已知陈先生的家离上班公司12公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为t （分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为[)20,60分．（１）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率； （２）若公司每月发放800元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由.（同一时 段，用该区间的中点值作代表）19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，22AB AD BC ===，PB PD =，PA =.（１）求证：PA BD ⊥；（２）若PA AB ⊥，BD =，E 为PA 的中点．（i ）过点C 作一直线l 与BE 平行，在图中画出直线l 并说明理由；（ii ）求平面BEC 将三棱锥P ACD -分成的两部分体积的比． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，四个顶点所围成的四边形的面积为（１）求椭圆C 的方程；（２）已知点12A （，），斜率为2的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，求ABD ∆ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．21．（12分）已知函数32()34()f x x ax a =-+∈R ．D（１）讨论()f x 的单调性；（２）若函数()f x 有三个零点，证明：当0x >时，2()6()e a f x a a ≥-．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2(4cos )4r ρρθ-=-，曲线2C 的参数方程为4cos ,sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（１）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（２）当r 变化时设1,C 2C 的交点M 的轨迹为3C ，若过原点O ，倾斜角为3π的直线l 与曲线3C 交于点,A B ，求OA OB -的值．23．（10分）选修4—5：不等式选讲已知实数x , y 满足1x y +=.（１）解关于x 的不等式225x x y -++≤； （２）若,0x y >，证明：2211(1)(1)9xy--≥数学（文科）试题参考答案及评分标准评分说明：1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分,满分60分．1.C2. A3. B4. D5.B6.C7. B8. A9. C 10. B 11. D 12.C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分,满分20分．13.2π314. 15.4 16.01a ≤≤ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解：（1）由正弦定理有：sin sin (sin cos )B A C C =+sin sin()sin cos cos sin =+=+B A C A C A C ···································· 2分 cos sin sin sin A C A C ∴= ································································ 3分 0sin 0c C π<<∴≠ ··································································· 4分 cos sin A A ∴=············································································· 5分 tan 1A ∴= 0A π<<4A π∴=····················································································· 6分（2）13,4a b A π===由余弦定理有：2222cos a b c bc A =+- ·································································· 8分 2450c c ∴--= ··········································································· 9分 5c ∴=或1c =-（舍去） ······························································· 10分sin BD c A ∴=5== ························································· 12分 18.本小题主要考查了概率、频率、平均数等概率、统计基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然的思想、化归与转化思想等．满分12分. 解：（1）设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的事件为A则所求的概率为1219()1()15025P A P A =-=-=······································ 2分 所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为1925. ···· 4分（2）每次开车所用的平均时间为122882253545553550505050⨯+⨯+⨯+⨯= ············· 6分每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1120.1235=16.2⨯+⨯······················· 8分 每个月的费用为16.2222=712.8⨯⨯，712.8<800 ······································· 10分 因此公车补贴够上下班租用新能源分时租赁汽车. ····································· 12分 19.本小题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．证明：(1)取BD 中点O ,连接AO ,PO ····················································· 1分AB AD =,O 为BD 中点AO BD ∴⊥又PB PD =,O 为BD 中点 PO BD ∴⊥又AO PO O =BD ∴⊥面PAO ······································· 3分 又PA ⊂面PAOPA BD ∴⊥ ············································· 4分(2)(i)取PD 中点F ,连接CF ,EF ,则//CF BE ，CF 即为所作直线l ················· 5分 理由如下:在PAD ∆中E 、F 分别为PA 、PD 中点//EF ∴AD ,且112EF AD ==又//AD BC ,112BC AD ==//EF BC ∴且=EF BC∴四边形BCFE 为平行四边形. ···························································· 6分//CF BE ∴ ························································································ 7分 (ii)PA AB ⊥,PA BD ⊥,AB BD B =PA ∴⊥面ABD ················································································· 8分 又在ABD ∆中,2AB AD ==,BD =,222AB AD BD +=AB AD ∴⊥又PA AB ⊥,PA AD A =AB ∴⊥面PAD ················································································· 9分方法一：112232P ACD V -=⨯⨯⨯11(12)232C AEFD V -=⨯⨯+=······················································ 10分P ECF V -∴= ···································································· 11分13P ECF C AEFD V V --∴= ··········································································· 12分 方法二：在PAD ∆中，EF 为中位线14PEF PAD S S ∆∆∴=……………………………………………………………………………..10分 113143PEF C PEF C PAD PAD S ABV V S AB ∆--∆⨯⨯∴==⨯⨯…………………………………………………………..11分 1=3P ECF C AEFD V V --∴....................................................................................................................12分 方法三：12EF AD =113143PEC F PEC D PAC PAC S EFV V S AD ∆--∆⨯⨯∴==⨯⨯………………………………………………………..11分 1=3P ECF C AEFD V V --∴………………………………………………………………………….12分 20．本题主要考查椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（1）22221+=x y ab ,1422∴=⨯==S ab ab ,∴=ab ① ················· 1分 又2e=②,联立①②得1a b ==． ································· 3分 ∴椭圆方程为2212x y +=． ······················································ 4分（2）由（1）得椭圆方程为2212x y +=,依题意,设直线l 的方程为2y x t =+,1122(,),(,)B x y C x y ,点12A （，）到直线l :2y x t =+的距离为d , 联立22212y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，可得2298(22)0x tx t ++-=, 显然12212890,229t x x t x x ⎧+=-⎪⎪∆>⎨-⎪=⎪⎩ ······························································· 6分BD ∴===···7分d ∴== ··········································································· 8分1122ABD S BD d ∆∴=⨯=·············································· 9分290->t 22(9)2-+∴t t d t ············ 10分 ∴当且仅当292t=时,即t =,max ()ABD S ∆∴, (11)分此时直线l 的方程为420xy ++=或420x y +-． ······················· 12分 21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：(1)2()36=3(2f x x ax x x a '=--） ……………………………………………………1分令()0f x '=,则=0x 或=2x a ,当0a =时,'()0f x ≥,()f x 在R 上是增函数；…………………………………….. 2分 当0a >时,令'()0f x >,得0x <,2x a >,所以()f x 在(,0)-∞,(2,)a +∞上是增函数；令'()0f x <,得02x a <<,所以()f x 在(0,2)a 上是减函数…………………...……3分 当0a <时,令'()0f x >,得2x a <,0x >,所以()f x 在(,2)a -∞,(0,)+∞上是增函数；令'()0f x <,得20a x <<,所以()f x 在(2,0)a 上是减函数…………………..…… 4分 综上所述：当0a =时,()f x 在R 上是增函数；当0a >时,()f x 在(,0)-∞,(2,)a +∞上是增函数,在(0,2)a 上是减函数. 当0a <时,()f x 在(,2)a -∞,(0,)+∞上是增函数,在(2,0)a 上是减函数.…………………………………….………5分（2）由(Ⅰ)可知：当0a =时,()f x 在R 上是增函数，∴函数()f x 不可能有三个零点； 当0a <时,()f x 在(,2)a -∞,(0,)+∞上是增函数,在(2,0)a 上是减函数. ∴()f x 的极小值为(0)=40f >，∴函数()f x 不可能有三个零点 当0a >时,3min ()(2)44f x f a a ==-,要满足()f x 有三个零点,则需3440a -<,即1a >………………………..………6分 当0x >时,要证明：2()6()a f x a a e >-等价于要证明2min ()6()af x a a e >-即要证： 32446()a a a a e ->-………………………………………………………7分由于1a >,故等价于证明：2312a a a ae ++<,证明如下：法1：构造函数2()3222((1,))a g a ae a a a =---∈+∞………….…………………8分()(33)24a g a a e a '=+--……………………………………………………9分令()(33)24a h a a e a =+--()(63)40a h a a e '=+->,∴函数()h a 在(1,)+∞单调递增min ()(1)660h a h e ∴==->,∴函数()g a 在(1,)+∞单调递增………….…10分 min ()(1)360g a g e ∴==->,………………………………………………11分2312a a a ae ∴++≤∴2()6()a f x a a e >-．……………………………………………………12分法2：构造函数()1((1,))a g a e a a =--∈+∞…………………………………………8分∵()10a g a e '=->,∴函数()g a 在(1,)+∞单调递增………………………9分∴1a e a >+…………………………………………………………………10分 ∴2233(1)(1)(1)22a ae a a a a a a -++>+-++……………………………11分 231(1)(1)(2)022a ae a a a a -++>-+> ∴2()6()a f x a a e >-．……………………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解法一：（1）由1C ：2(4cos )4r ρρθ-=-，得224cos 4r ρρθ-+=，即222440x y x r +-+-=， ………………………………………………………2分 曲线2C 化为一般方程为：222(4)3x y r -+=，即2228163x y x r +-+=，………4分 化为极坐标方程为：228cos 1630r ρρθ-+-=．……………………….………5分 （2）由22244x y x r +-+=及2228163x y x r +-+=，消去2r ，得曲线3C 的直角坐标方程为2222x y x +-=． …………………………………7分 设直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），……………………………….…8分与2222x y x +-=联立得2213244t t t +-=，即220t t --=，………………………………………….…………………….9分 故121t t +=，1220t t =-<，∴121OA OB t t -=+=．………………………….………………………..…10分解法二：（1）同解法一；（2）由224cos 4r ρρθ-+=及228cos 1630r ρρθ-+-=，消去2r ，得曲线3C 的极坐标方程为22cos 20()ρρθρ--=∈R ． ………..….……………7分 将θπ=3代入曲线3C 的极坐标方程，可得220ρρ--=，…………………………8分 故121ρρ+=，1220ρρ=-<，……………………………..………………………9分 故121OA OB ρρ-=+=．…………………………………..……………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（1）1,x y +=|2||1|5x x ∴-++≤，…………………………………………………………..1分当2x ≥时，原不等式化为215x -≤，解得3x ≤，∴23x ≤≤；……………………………………………………………………2分当12x -≤<时，原不等式化为215x x -++≤，∴12x -≤<；…………………………………………………………..………3分当1x <-时，原不等式化为215x -+≤，解得2x ≥-，∴21x -≤<-；…………………………………………………………………4分综上，不等式的解集为{}23x x -≤≤．.…………………………...…………5分（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅………………………………7分 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222()()y y x x x x y y=++ 225x y y x=++………………………………………………………………8分59≥=. 当且仅当12x y ==时，取“=”. ……………………………….………………10分 解法二：（1）同解法一；（2）1,x y +=且0,0x y >>，2222221111(1)(1)x y x y x y --∴--=⋅………………………………………………6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅ 22(1)(1)x y y x x y ++=⋅………………………………………………..……………7分 1x y xy xy +++=…………………………………………………….……………8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时，取“=”. ……………………………….……………………10分。