2021年高一下学期期末考试(数学)
2021-2022学年天津市河西区、四十一中高一下学期期末考试数学试题(解析版)
天津市河西区、四十一中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗实部为2-，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(2,1)-，位于第二象限． 〖答 案〗B2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A ．落在相应各组的数据的频数 B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量〖解 析〗频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率， 它等于这组的频数除以样本容量的值， 小长方形的个数表示该样本所分成的组数． 〖答 案〗B3．已知(5,2)a =-，(4,3)b =--，(,)c x y =，若230a b c -+=，则(c = ) A ．8(1,)3B ．138(,)33C ．134(,)33D ．134(,)33-- 〖解 析〗由题意可得：23(133,43)0a b c x y -+=++=， 所以1330x +=，并且430y +=，所以133x =-，43y =-． 〖答 案〗D4．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交成60︒D ．异面〖解 析〗将正方体还原得到A ，B ，C ，D 的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC ，得到三角形ABC 是等边三角形，所以60ABC ∠=︒；〖答 案〗C5．已知||4a =，e 为单位向量，当向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，则向量a 在向量e 上的投影向量为( ) A ．2eB ．2e -C ．3eD ．3e -〖解 析〗||4a =，e 为单位向量，向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，∴||||cos15041(a e a e ⋅=︒=⨯⨯=-∴向量a 在向量e 上的投影||a ee ⋅为-a 在向量e 上的投影向量为3e -． 〖答 案〗D6．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品〖解 析〗从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A 中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A 成立；在B 中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生， ∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生， ∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C 不成立；在D 中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生， ∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D 不成立．〖答 案〗A7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( ) A ．两个角均为锐角 B ．一个角为0︒，一个角为90︒ C ．两个角均为0︒D ．两个角均为90︒〖解 析〗两条异面直线与同一平面所成的角，两个角均为锐角，所以A 正确， 如果异面直线互相垂直时，一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直， 满足一个角为0︒，一个角为90︒，所以B 正确；如果两条异面直线都与平面平行，此时两条异面直线与同一平面所成的角两个角均为0︒，所以C 正确；如果两个角均为90︒，则两条直线与平面垂直，两条直线是平行线，所以D 不正确． 〖答 案〗D8．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则( ) A ．P （A ）P =（B ） B ．2P （A ）P =（B ）C ．P （A ）2P =（B ）D ．3P （A ）P =（B ）〖解 析〗袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．基本事件总数246n C ==， 设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则A 中包含的基本事件个数221222m C C =+=，B 中包含的基本事件个数112224m C C ==， P ∴（A ）2163==，P （B ）4263==，2P ∴（A ）P =（B ）． 〖答 案〗B9．如图，圆柱OO '中，AA '是侧面的母线，AB 是底面的直径，C 是底面圆上一点， 则( )A ．BC ⊥平面A AC 'B ．BC ⊥平面A AB 'C ．AC ⊥平面A BC 'D ．AC ⊥平面A AB '〖解 析〗C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥，AA '⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AA BC '∴⊥，AA AC A '=，AA '⊂平面AA C '，AC ⊂平面AA C '，BC ∴⊥平面A AC '．〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为 ；z = ． 〖解 析〗(1)2i z +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， 故z 的虚部是1-，1z i =+． 〖答 案〗1-，1i +11．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 〖解 析〗分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=，∴样本容量1500010050n =⨯=． 〖答 案〗10012．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．〖解 析〗由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1四棱锥的高：1112AC =．则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．〖答 案〗1313．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 〖解 析〗从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况，故所求的概率为：20.210=． 〖答 案〗0.214．已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题是 （写出所有正确命题的序号） 〖解 析〗已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题：①若//a b ，//b c ，根据平行线的传递性可得：//a c ，正确； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或为异面直线，因此不正确； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥，正确；④若a 与b 异面，则有无数条直线与a ，b 都垂直，因此不正确． 其中真命题是 ①③． 〖答 案〗①③15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 〖解 析〗如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+，又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ⋅=+⋅-221212()3333AB AC AB AC λλ=-⋅-+221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=，解得311λ=． 〖答 案〗311三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点1(3AF AD =，13BG BC =．设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示EF ，EG ； （2）如果3||||2b a =，EF ，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：（1）11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-，1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+， （2）EF EG ⊥，证明：由（1）得，1132EF b a =-，1132EG b a =+，∴2222111111191()()0323294944EF EG b a b a b a a a ⋅=-⋅+=-=⨯-=，∴EF EG ⊥，EF EG ∴⊥．17．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos()6b A a B π=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 解：（Ⅰ） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin cos()6b A a B π=-．可得sin cos()6B B π=-，1sin sin 2B B B ∴=+，则tan B ． 又(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ） 在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，2222cos 49223cos73b ac ac B π∴=+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =．18．（10分）为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：)cm 如下： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 （1）计算女生身高的样本平均数；（2）若该学校男生平均身高为170.6cm ，试估计该校高一年级学生的平均身高； （3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数． 解：（1）根据题意，女生身高的样本平均数1(163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.027x =++++++++++ 154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0)160.6cm ++++++++++++++++≈，（2）根据题意，高一年级共712名学生，其中女生386名，则男生有712386326-=， 则高一年级学生的平均身高为386160.6326170.6165.2712cm ⨯+⨯=，（3）根据题意，女生身高从小到大排列为：148、149、154、154、155、155.5、157、157、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172， 又由2775%20.25⨯=，则女生身高的第75百分位数为第21个数据，即164， 故该学校高一年级女生身高的第75百分位数为164cm ．19．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求0X =，1X =的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）由题意可知1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=． （2）两辆车共遇到1个红灯的概率为11111111142424448P =⨯+⨯=， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． 20．（10分）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =，AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ==在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD （Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，CM =又平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，4CD =，在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==．∴直线CD 与平面ABD ．。
哈尔滨市第六中学2021-2022年度高一下学期期末考试数学试卷含答案
试卷第1页，共6页哈尔滨市第六中学2021级高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设()21i 2z -=，则z =（）A．2BC ．1D ．22．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（）A ．154.5cm B ．158cm C ．160.5cm D ．159cm 3．如图，四面体ABCD中，BD =，2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD ）A ．3πB ．2πC ．6πD ．4π4．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：75百分位数是7，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1AO //EFB ．1A O EF ⊥C ．1AO //平面1EFB D ．1A O ⊥平面1EFB 6．甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A ，B ，C 三个景区中的一个景区旅游，甲、乙到A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表，则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲0.40.2乙0.30.6A ．0.66B ．0.58C ．0.54D ．0.52试卷第2页，共6页7．四棱锥P ABCD -的外接球O 的半径为2，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AB =，则平面PAD 截球O 所得的截面面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，1PA AB BC ===，90ABC ∠= ，120PAB ∠= ，AB //DC ，2DC PC ==，则点P 到平面ABCD 的距离为（）ABC ．2D ．13二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分．）9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（）A ．乡村人口数均高于城镇人口数B ．城镇人口比重的极差是50.63%C ．城镇人口数达到最高峰是第7次D ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第6次10．已知复数1z ，2z 满足1225i z z +=-，1223i z z -=，则（）A．1z B ．22i z =+C ．123iz z ⋅=+D ．22023iz在复平面内对应的点位于第一象限试卷第3页，共6页11．已知向量)a = ，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题不正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a，则a 与b 夹角为23πC ．与a共线的单位向量只有一个为33⎛ ⎝⎭D ．存在θ，使得a b a b+=-12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，π3BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使A 到A '，且点A '不落在底面BCD 内，若点M 为线段A C '的中点，则在ABD ∆翻折过程中，以下命题中正确的是（）A ．四面体A BCD '-的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得BM CD⊥C ．异面直线BM 与A D '所成的角为定值D ．当二面角A BD C '--的余弦值为13时，2A C '=三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加问卷调查．已知选中的两名学生都是男生的概率是352，选中的两名学生都是女生的概率是2952，则选中的两名学生是一男一女的概率是；14．有一组样本数据1x ，2x ，…，6x 如右表：由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，6y ，其中2(1,2,,6)3i i y x c i =+= ，c 为常数，则数据1y ，2y ，…，6y 的方差为；15．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠= ，45BDC ∠=，CD =，在C 点测得塔顶A 的仰角为60 ，则塔的总高度为m ；16．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为．1x 2x 3x 4x 5x 6x 567576试卷第4页，共6页四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）某高中学校为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需要了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数=100认可程度平均分）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值和中位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．18．（本小题12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积．试卷第5页，共6页19．（本小题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里消费二次和三次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出6人，再从这6人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费二次的概率．20．（本小题12分）在如图所示的几何体中，ABE ∆、BCE ∆、DCE ∆都是等腰直角三角形，AB AE DE DC ===，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ．(1)求证：AD ∥平面BCE ；(2)求直线AB 与平面EAD 所成角的正弦值．试卷第6页，共6页21．（本小题12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin a C C b c -=-．(1)求角A (2)若2c =，角B 的平分线BD 交AC 于点D，且BD =ABC ∆的面积．22．（本小题12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边,BC CD 的中点，1AC BD O = ，AC MN G = ．沿MN 将CMN ∆翻折到PMN ∆的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMNQ的位置；若不存在，请说明理由．1-4.CADB 5-8.BABB 9.BC10.ACD 11.BCD 12.ABD13.51314.82715.64316.3417.(1)由图可知：10.0150.020.030.025,0.0110x x ++++=∴=，中位数：()0.50.10.150.252458010800.333-+++⨯=+=.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）.(3)由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.50.8510085⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<⨯=，∴“美食"工作需要进一步整改.18.(1)证明：ABD △中，因为2AB =，1AD =，3BD =所以222AB AD BD =+.所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BD DD D = ，BD ，1DD ⊂平面11BDD B .所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B .(2)解：因为AD BC ∥，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，113B D =13B B =，1160D B B ∠=︒，所以11BB D △的面积11133333224BB D S ==△.三棱锥11D BCB -的体积1111111133313344D BCB C BB D BB D V V S BC --==⋅=⨯⨯=△19.(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100=.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为20015050-=（元），第2次消费时，公司获得的利润为2000.9515040⨯-=（元），所以公司获得的平均利润为5040452+=（元）.(3)因为20:10=2:1，所以用分层随机抽样方法抽出的6人中，消费2次的有4人，分别设为1234,,,A A A A ，消费3次的有2人，分别设为12,B B ，从中抽出2人，总的抽取方法有121314A A A A A A ，，，1112,A B A B ，23242122A A A A A B A B ，，，,343132414212A A A B A B A B A B B B ，，，，，，共15种，其中恰有1人消费两次的抽取方法有1112,A B A B ，2122A B A B ，，3132A B A B ，，4142A B A B ，，，共8种，所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为815P =20.(1)证明：分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ，设1AB AE DE DC ====，则2EB EC ==，,,AB AE BO OE AO BE ==∴⊥ ，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE 平面,BCE BE AO =⊂平面ABE ，AO ∴⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ，//AO DH ∴，又因为22AO DH ==，所以四边形AOHD 是平行四边形，//AD OH ∴，又AD ⊄Q 平面,BCE OH ⊂平面BCE ，//AD ∴平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF BE ⊥，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则2222220,0,,,,,,,0,0222222A B D E ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2222BA ⎛=-⎝⎭ ，则2222,0,,AE DE ⎛⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则2200022022a c b c ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪-=⎪⎩，令1a =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n=-，设直线BA 与平面EAD 夹角为θ，则6sin |cos ,|3B BA n BA n A nθ⋅=<>== ，所以直线BA 与平面EAD 夹角的正弦值为6321.(1)在 中，由正弦定理及cos 3sin a C a C b c =-得：()sin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C =+-，整理得cos sin 3sin sin A C A C C =，而0πC <<，则cos 31A A =，即π1sin()62A +=，又0πA <<，有ππ7π666A <+<，解得π5π66A +=，所以2π3A =.(2)如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅=，即2230AD AD +-=，解得1AD =，因BD 平分ABC ∠，11sin sin 2211sin sin(π)22ABD CBD AB BD ABD AD BD ADBS AB AD BC S CDBC BD CBD CD BD ADB ⋅∠⋅∠====⋅∠⋅-∠ ，即2BC AB CD AD ==，在BDC 中，2222cos 227CD BD BC BDC CD BD CD +-∠=⋅又22227cos cos 27AD BD AB BDC BDA BD AD +-∠=-∠=-=-⋅22727CD =，即23470CD CD --=，而0CD >，解得：73CD =，有103AC AD CD =+=，所以ABC 的面积1110353sin 222323AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯.22.(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB ∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB 3假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(3P ，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =u r，设AQ AP λ=（01λ≤≤），∵(33,0,3AP =- ，()333AQ λλ=-，故)()3313λλ-，∴()0,2,0NM =，)()331,1,3QM λλ=- ，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅= ，20n QM ⋅=，即)222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设两平面夹角为θ，则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅==+- 12λ=，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．。
2021-2022学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省青岛市莱西市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数13z i =-+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A ．13i + B ．13i - C ．13i -- D ．3i -〖解 析〗13z i =-+，∴13z i =--．〖答 案〗C2．一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为( )A ．男队员应抽取12人B ．男队员应抽取16人C ．女队员应抽取6人D ．女队员应抽取14人〖解 析〗由分层抽样的定义可知，男队员应抽取5628165642⨯=+人，女队员应抽取281612-=人．〖答 案〗B3．若||2a =，(1,1)b =-，a 与b 共线，则向量a 的坐标可能为( )A ．(1,1)a =-B ．(1,1)a =C ．2(,2a = D ．2(,2a =-〖解 析〗设(,)a x y =，||2a =，(1,1)b =-，且a 与b 共线，则2220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)a =-或(1,1)a =-（舍去）． 〖答 案〗A4．下列命题正确的为( ) A ．两条直线确定一个平面 B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点D ．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线〖解 析〗在A 中，由平面基本性质的推论2，3得到：两条相交直线能确定一个平面，两条平行直线能确定一个平面，故A 错误；在B 中，一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面，故B 错误；在C 中，若直线在平面外，包括直线和平面平行和直线和平面相交，若直线和平面相交，则这条直线与这个平面有一个公共点，故C 错误；在D 中，若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线，故D 正确． 〖答 案〗D5．下列说法正确的为( )A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大C ．事件A 与事件B 中同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小D ．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -〖解 析〗对A ，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A 错误； 对B ，当事件A 与事件B 为对立事件时，事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率和A 与B 中恰有一个发生的概率相等，故B 错误；对C ，当A B =时，事件A 与事件B 中同时发生的概率等于A 与B 中恰有一个发生的概率，故C 错误；对D ，设A ，B 是一个随机试验中的两个事件， 则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -正确，故D 正确．〖答 案〗D6．要得到()sin(4)3g x x π=+的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 〖解 析〗22()cos 2sin 2cos4sin(4)sin 4()sin 4[()]282412f x x x x x x x ππππ=-==+=+=++，又()sin(4)sin 4()312g x x x ππ=+=+，故要得到函数()sin(4)3g x x π=+的图象，只需将函数()sin 4[()]2412f x x ππ=++的图象向右平移24π个单位长度即可． 〖答 案〗B7．为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制，单位：分）的统计数据如表：设这30名学生得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则下列选项正确的为( ) A ．m n x ==B ．m n x =<C ．m n x <<D ．n m x <<〖解 析〗这30名学生得分的中位数为565.52m +==，众数为5n =， 平均数1(324351066738292102) 5.9630x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故n m x <<． 〖答 案〗D8．已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是( ) A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π〖解 析〗如图，1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD ∆的外接圆半径131sin602r =⨯=︒；由勾股定理得棱锥的高13AO ==；设球O 的半径为R ，则22(3)R R =-，解得2R =，所以11OO =；在△1BO E 中，由余弦定理得2113211O E =+-⨯=，所以11O E =；所以在1OEO ∆中，OE ；当截面垂直于OE =2π． 〖答 案〗A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，下面说法正确的为( ) A ．两次均正面朝上的概率为12 B ．两次均反面朝上的概率为14C ．两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为14D ．两次中，至少一次正面朝上的概率为34〖解答〗对A ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故A 错误；对B ，两次均反面朝上的概率为111224⨯=，故B 正确；对C ，两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为1111122222⨯+⨯=，故C 错误；对D ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故两次中，至少一次正面朝上的概率为13144-=，故D 正确． 〖答 案〗BD10．已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线m ，n ，l ，下列命题中为真命题的是( )A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥B ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若m αβ=，n α⊂，l β⊂，//n l ，则////m n lD ．若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥〖解 析〗选项A ，由线面垂直的性质定理知，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，即A 正确； 选项B ，若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，即B 错误； 选项C ，因为l β⊂，//n l ，n β⊂/，所以//n β，又m αβ=，n α⊂，所以//n m ，由平行线的传递性知，////m n l ，即C 正确；选项D ，由面面垂直的性质定理知，若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥，即D 正确． 〖答 案〗ACD11．给出以下24个数据：148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0 158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0 对于以上给出的数据，下列选项正确的为( ) A ．极差为24.0B ．第75百分位数为164.0C ．第25百分位数为155.2D ．80%分位数为164.1〖解 析〗对于A ，由题意可得，极差为17214824-=，故A 正确， 对BCD ，25%246⨯=，75%2418⨯=，80%2419.2⨯=，∴样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7为的平均数，第18，19的平均数，第20项数据，即分别为155155.2155.12+=，163164163.52+=，164.1，故BC 错误，D 正确． 〖答 案〗AD12．在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =D 为BC 边上的一点，且D 到A ，B 距离相等，则下列结论正确的为( )A．sin ABC ∠=B．BD =C ．ABC ∆外接圆的面积为45πD ．18ABC S ∆=〖解 析〗在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =由余弦定理可得2222cos 90BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，BC ∴=由正弦定理可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，sin ACin BAC ABC BC ∠∴∠===，由角B为锐角知cos B A 错误； 过点D 作AB 的垂线DE ， 如图，由AD BD =得cos cos DAE B ∠=，132AE AB ==， Rt ADE ∆，3cos cos AE AD DAE B ====∠BD AD ∴==B 正确；由正弦定理可知，ABC ∆外接圆的直径2sin BC R A ==，R = ABC ∴∆外接圆的面积为245S R ππ==，故C 正确；由三角形面积公式可得11sin 6922ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=，故D 错误． 〖答 案〗BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足46z i zi +=+，其中i 为虚数单位，则复数z = ． 〖解 析〗设z a bi =+，a ，b R ∈，46z i zi +=+，46()6a bi i a bi i b ai ∴++=++=-+，即64a bb a =-⎧⎨+=⎩，解得5a =，1b =， 故5z i =+． 〖答 案〗5i +14．已知1sin cos 5αα+=，0απ，则cos 2α= ．〖解 析〗由1sin cos 5αα+=，两边平方得：112sin cos 25αα+=，可得242sin cos 25αα=-，0απ，∴2παπ<，则sin 0α>，cos 0α<，7sin cos 5αα∴-． 解得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴cos2α．〖答 15．已知(12,1)a k =-，(3,)b k =-，若a 与b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为 ． 〖解 析〗由已知条件可得，0a b ⋅<且,a b 不共线， 则3(12)0(12)3a b k k k k ⎧⋅=--<⎪⎨-≠-⎪⎩，解得37k <且1k ≠-，故实数k 的取值范围为(-∞，31)(1,)7--．〖答 案〗(-∞，31)(1,)7--16．（3分）某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为910，89，34，13，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 〖解 析〗该参赛者能进入第二轮答题的概率为98311109435⨯⨯⨯=； 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率：198311831913198119832257()510943109431094310943109431800⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 〖答 案〗15，2571800四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知复数22(710)(56)z m m m m i =-++-+，i 为虚数单位，m R ∈． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）若在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，求m 的取值范围； （Ⅲ）若在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，求m 的值． 解：(I)z 为纯虚数，∴225607100m m m m ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得5m =． (II)在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，则225607100m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得35m <<，故m 的取值范围为(3,5)．(III)在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，则222(710)(56)140m m m m -+--+-=，解得0m =或9． 18．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）已知||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=，求向量a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）已知3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，α是第三象限角，求3tan(2)4πα+的值． 解：（Ⅰ）由已知，||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=， 所以22648a b a b --⋅=-，将||6a =，||4b =，代入上式得12a b ⋅=-， 故1cos 2||||a b a b θ⋅==-，[0θ∈，]π，故23πθ=；（Ⅱ）由3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=， 得3sin[()]sin()5βαβα--=-=，故3sin 5α=-，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-，所以3tan 4α=，所以22tan 24tan 217tan ααα==-， 所以2413177tan(2)244311(1)7πα-+==-⨯-． 19．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B = “第二次摸出球的标号小于3”，试判断事件A 与事件B 是否相互独立？请写出判断过程；（Ⅱ）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点，求证：平1//NBD 平面MAC ．(I)解：因为样本空间{(,)|m n m Ω=，{1n ∈，2，3，4}，且}m n ≠， {(1,2)A =，(1.3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}， {(1,2)B =，(2.1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，由题意可知，P （A ）P =（B ）61122==，21()126P AB ==， 此时()P AB P ≠（A ）P （B ），因此事件A 与事件B 不相互独立； (II)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OM ，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可知ABCD 是平行四边形， 所以O 是BD 的中点，因为M 为1DD 的中点，所以1//MO D B ， 又MO ⊂平面MAC ，1BD ⊂/平面MAC ，所以1//BD 平面MAC ， 又因为M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点， 所以四边形1MCND 为平行四边形，所以1//ND CM ，又CM ⊂平面MAC ，1ND ⊂/平面MAC ，所以1//ND 平面MAC ， 又111BD ND D =，1BD ，1ND ⊂平面1BND所以平面1//NBD 平面MAC ．20．（12分）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标值的检测数据进行整理，发现这些数据均在区间[1，15]内，现将这些数据分成7组：第1组，第2组，第3组，⋯，第7组对应的区间分别为[1，3)，[3，5)，[5，7)，⋯，[13，15]，绘成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数和85%分位数（结果保留两位小数）；（Ⅲ）现从第2组A 指标值对应的家禽中抽取4只，分别记为1R ，2R ，3R ，4R ，从第5组A 指标值对应的家禽中抽取3只，分别记为1E ，2E ，3E ，然后将这7只家禽混在一起作为一个新的样本Ω，从Ω中任取2只家禽进行δ指标值的检测，求从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率．解：（Ⅰ）由题意可得：2(0.020.060.180.050.030.02)1a ⨯++++++=，则0.14a =； （Ⅱ）由题意，每组的频率依次为：0.04，0.12，0.28，0.36，0.10，0.06，0.04， 0.040.120.280.440.50++=<，0.040.120.280.360.700.50+++=>，∴中位数位于[7，9)内，设为m ，则0.440.18(7)0.50m +⨯-=，7.33m ∴≈，0.040.120.280.360.800.85+++=<，0.040.120280.360.100.900.85++++=>， 85%∴分位数为[9，11)的中点10.00；（Ⅲ）从Ω中任取2只，共2721C =个基本事件，记“从Ω中取到的两只家禽的a 指标值的差的绝对值小于2”为事件B ，则事件B 共9个基本事件，∴从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率P （B ）93217==． 21．（12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起如图②所示．在图②中，连接1AB ，11A B ，若1AB =（Ⅰ）求证：平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小． （1）证明：取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，1ACC ∴∆，△11B CC 为正三角形，则1AO CC ⊥，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，2AC ∴=，1OA OB ==1AB =22211OA OB AB +=，则三角形1AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥， 又1OB ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，11OB CC O =，AO ∴⊥平面11BB C C ，又AO ⊂平面11AA C C ，∴平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；(II)解：以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1C ，0，0)，1(0B0)，1(1C -，0，0)，(0A ，0， 则1(2CC =-，0，0)，则11(2AA CC ==-，0，0)，1(0AB =，(1AC =，0，， 设平面11AB A 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则113020n AB y n AA x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则1y =，0x =，∴平面11AB A 的一个法向量为(0n =，1，1)，(0OA ∴=，0为平面11BB C C的一个法向量，则cos OA <，3||||3OA n n OA n ⋅>===⋅⨯OA <，45n >=︒，∴平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小45︒．22．（12分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3OA km =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点M ，N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN ∆的面积最小，并求出最小面积．解：（Ⅰ）在ABO ∆中，因为3,90OA OB AOB ==∠=︒，所以60OAB ∠=︒，在OAM ∆中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-⋅=，所以OM所以222cos 2OA OM AM AOM AO AM +-∠==⋅， 在OAN ∆中，sin sin()sin(90)cos ONA A AON AOM AOM ∠=∠+∠=∠+︒=∠= 在OMN ∆中，由sin30sin MN OMONA =︒∠，得1724MN ==； （Ⅱ）解法1：设AOM θ∠=，060θ︒<<︒， 在OAM ∆中，由sin sin OM OAOAB OMA=∠∠，得OM =， 在OAN ∆中，由sin sin ON OAOAB ONA=∠∠，得ON =，所以111sin 222OMN S OM ON MON ∆=⋅∠=2716sin(60)cos θθ==+︒=60θ=<<︒．当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMNS∆所以应设计15AOM∠=︒，可使OMN∆2.解法2：设AM x=，03x<<．在OAM∆中，由余弦定理得22222cos39OM AO AM AO AM A x x=+-⋅⋅=-+，所以OM222cos2OA OM AMAOMOA OM+-∠==⋅，在OAN∆中，sin sin()ONA A AON∠=∠+∠sin(90)cosAOM AOM=∠+︒=∠=由sin sinON OAOAB ONA=∠∠，得36ONx==-，所以1sin2OMNS OM ON MON∆=⋅⋅∠1122==03x<<，令6x t-=，则6x t=-，36t<<，则：27339)9)4OMNS tt∆=-+⋅=当且仅当27tt=，即t=，6x=-OMNS∆所以M的位置为距离A点6-处，可使OMN∆的面积最小，最小面积是2．。
2021-2022学年四川省遂宁市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
四川省遂宁市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．cos10cos20sin10sin20︒︒-︒︒等于( )A ．BC ．12D ．12-〖解 析〗因为cos10cos20sin10sin 20cos(1020)cos30︒︒-︒︒=︒+︒=︒= 〖答 案〗B2．已知等差数列{}n a 中，23a =-，35a =-，则9(a = ) A ．10-B ．17-C ．19-D ．21-〖解 析〗等差数列{}n a 中，23a =-，35a =-，322d a a ∴=-=-，9273(2)717a a d ∴=+=-+-⨯=-．〖答 案〗B3．若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．0a bc d-> B ．0a b c d-< C ．a b d c> D ．a b d c< 〖解 析〗0c d <<，0c d ∴->->，0a b >>，ac bd ∴->-，∴ac bd cd cd -->，∴a bd c<． 〖答 案〗D4．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为1(1,)3-，则ab 的值为( )A ．6-B ．5-C ．6D ．5〖解 析〗不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，0a ∴<，∴原不等式等价于210ax bx ---<，由根与系数的关系，得113ba-+=-，113a -⨯=，3a ∴=-，2b =-，6ab ∴=．〖答 案〗C5．下列函数中最小值为4的是( )A ．224y x x =++B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．222x x y -=+D ．4y lnx lnx=+〖解 析〗对于A ，2224(1)33y x x x =++=++， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误； 对于B ，因为0|sin |1x <，所以4|sin |2|sin |4|sin |y x x x =+=，当且仅当4|sin ||sin |x x =，即|sin |2x =时取等号， 因为|sin |1x ，所以等号取不到， 所以4|sin |4|sin |y x x =+>，故选项B 错误； 对于C ，因为20x >，所以24422222422x x x x xxy -=+=+⋅， 当且仅当22x =，即1x =时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确； 对于D ，因为当1x e=时，1414541y ln e ln e=+=--=-<， 所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 〖答 案〗C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π〖解 析〗由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为4， 则圆柱的体积2144V ππ=⨯⨯=． 〖答 案〗A7．在数列{}n a 中，114a =-，111(2,*)n n a n n N a -=-∈，则2022a 的值为( )A ．14-B ．5C ．45D ．54〖解 析〗在数列{}n a 中，114a =-，111(2,*)n n a n n N a -=-∈，2111145a a ∴=-=+=，321415a a =-=，431114a a =-=-， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期函数，20226743345a a a ⨯∴===． 〖答 案〗C8．三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足3BD DC =，则AD 等于( ) A ．1344AB AC + B ．3144AB AC + C ．1344AB AC - D ．3144AB AC - 〖解 析〗3313()4444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．〖答 案〗A9．已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()(a a = ) AB．C． D．〖解 析〗由等比数列{}n a 的性质可得：226354a a a a a ==，∴22643523a a a a a π+==，353a a π∴=．则35tan()tan 3a a π==．〖答 案〗A10．在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为( )A ．11.5尺B ．12.5尺C ．13.5尺D ．14.5尺〖解 析〗设相邻两个节气晷长减少或增加的量为(0)d d >，则立冬到大雪增加2d ， 大雪到雨水先增加一个d 再减少4d ，设大雪的晷长为x ，则49.510.52x d d d x +-=⎧⎨+=⎩，解得112.5d x =⎧⎨=⎩．〖答 案〗B11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin c ba B C+=，则ABC ∆是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 〖解 析〗根据题意，ABC ∆中，2sin sin c ba B C+=， 由正弦定理可得：sin sin 2sin sin sin C BA B C+=， 又由左式sin sin sin 22sin sin sin C B B B C C =+⨯=，当且仅当sin sin B C =时等号成立， 而右式2sin 2A ，则有sin sin B C =且sin 1A =，即b c =且2A π=，故ABC ∆是等腰直角三角形． 〖答 案〗C12．设等差数列{a n }满足：，公差d ∈（﹣1，0）．若当且仅当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则首项a 1的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．〖解 析〗由，得，整理，得，所以sin （3d ）＝﹣1，因为公差d ∈（﹣1，0），所以3d ∈（﹣3，0）， 则．所以， 设，其图像的对称轴方程为，由题意，当且仅当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值， 所以，解得，则首项a 1的取值范围是．〖答 案〗A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||1,||2a b ==，a 与b 的夹角60θ=︒，则向量b 在向量a 方向上的投影为 ． 〖解 析〗依题意，向量b 在向量a 方向上的投影为1||cos 212b θ=⨯=． 〖答 案〗114．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q ，则456a a a ⋅⋅= ．〖解 析〗等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q =32645613544832a a a a a a q q q q ∴⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯=⨯=．〖答 案〗3215．已知圆锥的侧面积（单位：2)cm 为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm 是 ．〖解 析〗圆锥侧面展开图是半圆，面积为22cm π，设圆锥的母线长为acm ，则2122a ππ⨯=，2a cm ∴=，∴侧面展开扇形的弧长为2cm π，设圆锥的底面半径OC rcm =，则22r ππ=，解得1r cm =． 〖答 案〗1cm16．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4||b m n =-，2A B =，则a 的取值范围为 ．〖解 析〗设方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四根分别为1a 、2a 、3a 、4a ， 则数列1a 、2a 、3a 、4a 是首项为14的等差数列，设其公差为d ， 由等差数列的性质，可得1423a a a a +=+，无妨设1a 、4a 为方程220x x m -+=的两根，则2a 、3a 为方程220x x n -+=的两根， 由韦达定理，可得144124a a a +=+=，474a ∴=，41132a a d -==，则234a =，354a =，此时14716m a a ==，231516n a a ==，则1||2m n -=，2b ∴=，三角形ABC 为锐角三角形，∴02022032B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64B ππ<<，cos (2B ∴∈，由正弦定理，得sin sin a b A B =，∴2sin cos sin a b B B B=，4cos a B ∴=∈．〖答 案〗，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知(1,2)a =，(2,3)b =-，c a b λ=+． （1）当1λ=-时，求a c ⋅的值； （2）若()a b c +⊥，求实数λ的值． 解：（1）当1λ=-时，(1,2)a =，(2,3)b =-，∴(1,5)c a b a b λ=+=-=-，∴1109a c ⋅=-+=．（2）(3,1)a b +=-，(12,23)c a b λλλ=+=+-，()a b c +⊥，()3(12)(23)190a b c λλλ∴+⋅=+--=+=，19λ∴=-．18．（12分）已知等比数列{}n a ，12a =，532a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为正项数列（各项均为正），求数列{(21)}n n a +⋅的前n 项和n T ． 解：（1）由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，12a =，532a =，4132a q ∴=，即4232q =，416q ∴=，解得2q =±，当2q =时，1222n n n a -=⋅=，*n N ∈， 当2q =-时，12(2)n n a -=⋅-，*n N ∈．（2）由题意及（1），可知2n n a =，*n N ∈，则(21)(21)2n n n a n +⋅=+⋅， 故123325272(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，两式相减，得123132222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-+⋅2112262(21)212n n n ++-=+⨯-+⋅-1(21)22n n +=--⋅-，1(21)22n n T n +∴=-⋅+．19．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =且222cos 2cos b bc A a ac B -=-，（1）证明：ABC ∆为等腰三角形；（2）设ABC ∆的面积为S ，若 _______，求S 的值．在①7cos 2cos B C =；②2228a b c +=两个选项中，选择一个填入空白处并求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）证明：因为222cos 2cos b bc A a ac B -=-， 所以22222cos 2cos b c bc A a c ac B +-=+-，由余弦定理可知，22a b =，即a b =，即ABC ∆为等腰三角形； （2）解：选①，由（1）可知，A B =，所以2C B π=-， 所以27cos 2cos 2cos(2)2cos224cos B C B B B π==-=-=-， 整理得24cos 7cos 20B B +-=，解得1cos 4B =，所以77cos cos 28C B ==，所以sin C ==又由2c =，sin B =， 由正弦定理可得4a b ==，所以11sin 4422S ab C ==⨯⨯选②，因为2228a b c +=，且a b =，2c =，所以4a b ==，所以222161647cos 22448a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以sin C ==所以11sin 4422S ab C ==⨯⨯20．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长1AB =．过点1A 的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；（2）平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．解：（1）连接1A D ，AB ，BD ，则△1A BD 为所求三角形， 如图所示：连接11A C ，1A D ，1C D ，则△11A C D 为所求三角形，如图所示：连接11A C ，1A B ，1BC ，则△11A BC 为所求三角形，如图所示：（2）平面α将正方体截成三棱锥1A ABD -和多面体1111BCD A B C D -两部分 1111111326A ABD V -=⨯⨯⨯⨯=，111115166BCD A B C D V -=-=多面体．因此体积较大的几何体是多面体1111BCD A B C D -，其体积为56．由BD =11sin 602A BDS=︒又111122BCD S ∆=⨯⨯=，111S BB C C =正方形，故多面体1111BCD A B C D -1931322⨯+⨯=+． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知OAM S ∆=，点B 的横坐标是（1）求cos()αβ-的值； （2）求2αβ-的值．解：（1）由题意知，||||1OA OM ==，点(cos ,sin )A αα，则有1||sin 2OAM S OM α∆=⋅=sin α， 又α为锐角，则cos α=， 因钝角β的终边与单位圆O 的交点B的横坐标是10-，则cos ββ=，所以cos()cos cos sin sin (αβαβαβ-=+=+= （2）由（1）知sin ααββ====则sin()sin cos cos sin (αβαβαβ-=-==，从而sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()((αβααβααβααβ-=+-=-+-=因为α为锐角，sin α>， 则有(,)42ππα∈，即2(,)2παπ∈，又(,)2πβπ∈，因此2(,)22ππαβ-∈-，所以24παβ-=-．22．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*,2)n a n N n =∈．（1）求证：数列是等差数列，并求{}na 的通项公式；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[2.1]2=，求22212111[]n a a a +++的值；11 （3）设*1()(21)(2)n n b n N n a =∈-+，123n n T b b b b =++++，问是否存在正整数m ，使得对任意正整数n 均有2022n m T >恒成立？若存在求出m 的最大值；若不存在，请说明理由． （1）证明：因为n a =2n时，1n n S S --=，即+=而0n a >1(2)n -，所以数列1==为首项，公差为1的等差数列，1(1)1n n +-⨯=，即2n S n =，当2n时，121n a n n n ==+-=-，又11a =满足上式， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）解：由（1）知222111(21)441n a n n n ==--+， 当2n 时，2211111()4441n a n n n n <=---， 则22212111111111111151()1(1)1412231444n a a a n n n +++<+-+-++-=+-<+=-， 当1n =时，211514a =<， 即对任意的*n N ∈，都有22221121111514n a a a a =+++<， 所以22212111[]1n a a a +++=． （3）解：由（1）知，1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+， 则有11111111[(1)()()](1)2335212122121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++， 因1110(21)(23)n n n T T b n n ++-==>++，则数列{}n T 单调递增，111()3n min T T b ===， 因对任意正整数n 均有2022n m T >成立， 于是得120223m <，解得20226743m <=， 而*m N ∈，则673max m =，所以存在正整数m ，使得对任意正整数n 均有2022n m T >总成立，m 的最大值为673．。
2021-2022学年重庆市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ，又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立，当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( ) A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ；（2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点． AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥， 因为BCPB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=， 由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ； （2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-，所以2222222222m m m m mPC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m mPD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-，1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===，所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m mCB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+-224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ， 又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立， 当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( )A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确．〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ； （2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点．AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =， 所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥，因为BC PB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=，由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ；（2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-， 所以2222222222m m m m m PC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m m PD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-， 1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===， 所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m m CB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+- 224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h 因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．。
2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。
北京市房山区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
北京市房山区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．“点在直线a 上，但不在平面α内”，用数学符号表示正确的是( ) A ．A a ∈且A α∉ B ．A a ∈且A α⊂/C ．A a ⊂且A α∉D ．A a ⊂/且A α∈〖解 析〗“点在直线a 上，但不在平面α内”的符号语言为A a ∈且A α∉． 〖答 案〗A2．复数34i -的虚部是( ) A ．4B ．3C ．3-D ．4-〖解 析〗复数34i -的虚部是4-． 〖答 案〗D3．计算式子cos80cos20sin80sin20︒︒+︒︒的结果是( )A ．B ．12-C ．12D〖解 析〗cos80cos20sin80sin20︒︒+︒︒1cos(8020)cos602=︒-︒=︒=．〖答 案〗C4．若复数(2)(4)z m m i =++-是虚数，则实数m 取值的集合是( ) A ．{|4}m m >B ．{|4}m m <C ．{|4}m m ≠D ．{|}m m R ∈〖解 析〗复数(2)(4)z m m i =++-是虚数， 40m ∴-≠，解得4m ≠，故实数m 取值的集合是{|4}m m ≠． 〖答 案〗C5．在ABC ∆中，已知6BC =，4AC =，3sin 4A =，则角(B = ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 〖解 析〗由已知得sin sin BC ACA B=， 即643sin 4B =，解得1sin 2B =，又因为AC BC <，故6B π=． 〖答 案〗A6．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,3)-，则z 的共轭复数(z = ) A ．13i -+B ．13i --C ．3i -D ．3i +〖解 析〗复数z 对应的点的坐标是(1,3)-，13z i ∴=-+，∴13z i =--． 〖答 案〗B 7．若1tan 7β=，1tan()2αβ+=，则tan (α= )A ．115B ．112C ．16D ．13〖解 析〗若1tan 7β=，1tan()2αβ+=，则11tan()tan 127tan tan[()]111tan()tan 3127αββααββαββ-+-=+-===+++⨯． 〖答 案〗D8．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的2倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为1v ，2v ，则1232v v =； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为1S ，2S ，则1212S S =； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为3S ，4S，则34S S =④设圆柱与圆锥表面积分别为5S ，6S，则56S S =其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．②③C ．①③④D ．①②③④〖解 析〗设圆锥和圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，圆锥的高为4r ，圆锥的母线．对于①，3232121422,433r V r r r V r r ππππ=⋅==⋅=，则1233242V V =⨯=，①对；对于②，222121(2)4,2442S r r S r r r ===⨯⨯=，则12S S =，②错；对于③，2234224,S r r r S r r πππ=⨯===，则34S S =对于④，22222256246,1)S r r r S r r r πππππ=+==+=，则56S S ，④对． 〖答 案〗C9．“sin cos x x =”是“cos20x =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当sin cos x x =时，22cos2cos sin 0x x x =-=，即充分性成立， 当22cos2cos sin 0x x x =-=时，则cos sin x x =或cos sin x x =-， 则sin cos x x =不一定成立，即必要性不成立，即“sin cos x x =”是“cos20x =”的充分不必要条件． 〖答 案〗A10．如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为( )A ．2B ．2+C ．D ．6〖解 析〗设等腰三角形的底角为θ，则(0,)2πθ∈，则等腰三角形的底边为2cos θ，高为sin θ，则21(2)42222222224S cos sin cos sin cos πθθθθθθ⎛⎫=+⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭阴，又2(44ππθ+∈，5)4π，当242ππθ+=，即8πθ=时，S 阴取最大值2+．〖答 案〗B二、填空题：本大题共6题，每小题5分，共30分. 11．已知复数43z i =-，则复数z 的模是 ． 〖解 析〗43z i =-，∴||5z =．〖答 案〗512．若复数112z i =-，234z i =+，则12z z = ． 〖解 析〗112z i =-，234z i =+，∴12(12)(34)12(34)(34)55z i i i z i i --==--+-． 〖答 案〗1255i --13．用一个平面截一个球，所得截面面积为216cm π，球心到截面的距离为3cm ，则该球的表面积为 2cm ，体积为 3cm ．〖解 析〗因为截面面积为216cm π，所以截面圆的半径为4cm ， 因为球心到截面的距离为3cm5cm =， 所以球的表面积为2245100cm ππ⨯=，球的体积为334500533cm ππ⨯=．〖答 案〗500100;3ππ 14．已知ABC ∆的三条边长分别为5，7，8，则此三角形的最大角与最小角之和为 ． 〖解 析〗由题意设5a =，7b =，8c =， 易知，中间角为B ，222cos 2a c b B ac +-=25644912582+-==⨯⨯，(0,)B π∈，3B π=，故23A C π+=． 〖答 案〗23π15．如图，甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60︒方向行驶，则经过 小时后，甲、乙两船相距最近．〖解 析〗设经过x 小时后，甲船和乙船分别到达C ，D 两点， 则8AC x =，2010AD AB BD x =-=-， 2222cos60CD AC AD AC AD ∴=+-⋅⋅︒221(8)(2010)28(2010)2x x x x =+--⋅⋅-⋅22704800244560400244()6161x x x =-+=-+， 当2CD 取得最小值时，CD 取得最小值．∴当7061x =时，CD 取得最小值． 此时，甲．乙两船相距最近． 答：经过7061小时后，甲．乙两船相距最近．〖答 案〗706116．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ．（只需写出一个可能的值）〖解 析〗由四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体， 如图，可取三条侧棱长均为2，底面边长2BC BD ==，1CD =．其表面积为11222122⨯⨯⨯⨯故其表面积的一个可能值为〖答 案〗 三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分. 17．（14分）已知15sin 17α=，(2πα∈，)π，求值： （Ⅰ）sin()3πα-；（Ⅱ）cos2α；（Ⅲ）tan()4πα+．解：（Ⅰ）15sin 17α=，(,)2παπ∈，∴8cos 17α==-．∴1518sin()sin coscos sin()33317217πππααα-=-=⨯--=． （Ⅱ）2215161cos212sin 12()17289αα=-=-⨯=-．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，15sin 17α=，8cos 17α=-， sin 15tan cos 8ααα∴==-．∴151tan tan784tan()154231tan tan 148παπαπα-+++===--⋅+． 18．（14分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的值域．解：（Ⅰ）()2sin cos 2f x x x x =+12(sin 2)2sin(2)23x x x π==+，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）当22,32x k k Z πππ+=+∈时，函数()f x 有最大值2，当22,32x k k Z πππ+=-∈时，函数()f x 有最小值2-，所以函数()f x 的值域为[2-，2]．19．（14分）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时，求：（Ⅰ）堑堵111ABC A B C -的侧棱长； （Ⅱ）鳖臑1C ABC -的体积；（Ⅲ）阳马111C ABB A -的表面积．解：（Ⅰ）因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=． 所以ABC ∆为直角三角形． 设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x =矩形，则111143243C AA BB V x -=⨯⨯=，所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6；（Ⅱ）因为13462ABC S ∆=⨯⨯=，所以1111661233C ABC ABC V S CC -∆=⨯=⨯⨯=，所以鳖臑1C ABC -的体积为12； （Ⅲ）因为1111111346,641222A B C BB C S S =⨯⨯==⨯⨯=，111116515,3222AA C ABC SS =⨯⨯==⨯⨯113618A ABB S =⨯=矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积为612151851++++=+20．（14分）在ABC ∆中，a =222a c b +=． （Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，求ABC ∆的面积． 条件①：3b =； 条件②：4cos 5A =；条件③：ABC ∆的周长为4+解：（Ⅰ）由余弦定理知，222cos 2a c b B ac +-===因为(0,)B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）选择条件①：把a =3b =代入222a c b +=中，化简得2630c c -+=，解得3c =， 所以存在两个ABC ∆，不符合题意； 选择条件②：因为4cos 5A =，(0,)A π∈，所以3sin 5A =，由正弦定理知，sin sin a bA B=，所以1235b ==因为341sin sin()sin cos cos sin 552C A B A B A B =+=+=+⨯=， 所以ABC ∆的面积11sin 22S ab C ==⨯=． 选择条件③：因为ABC ∆的周长为4+a =4bc +=，又222a c b +=，所以222126(4)c c b c +-==-，解得2b c ==， 所以ABC ∆的面积111sin 2222S ac B ==⨯⨯21．（14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．（Ⅰ）试画出过1D ，A ，E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α； （Ⅱ）证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．（Ⅰ）解：在BC 取点一点F ，使得13CF CB =，延长1A F ，DC ，1D E ，交于点G ，连结EF ，则平面AFED 就是过1D ，A ，E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α． （Ⅱ）证明：如图，因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD ，所以面1D AE ⋂面ABCD ≠∅，即平面1D AE 与平面ABCD 相交．延长DC ，1D E ，设它们交于G ，因为G ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ， 所以G ∈面1D AE ．G ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ，G ∈面ABCD ． 所以G ∈面1D AE ⋂面ABCD ，从而AG 为面1D AE 与面ABCD 的交线．。
广东省惠州市高一数学下学期期末考试试卷(1)
惠州市2021-2021学年第二学期期末考试高一数学试题说明：1.全卷总分值150分，时刻120 分钟；2.答卷前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号，填写在答题卷上；3.考试终止后，考生将答题卷交回。
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．在等比数列}{n a 中，假设93-=a ，17-=a ，那么5a 的值为（ ） A ．3- Ｂ．3 C ．6 D ．6- 2．已知ABC ∆中，4,30a b A ==∠=，那么B sin 等于（ ） A ．21 B ．21- C ． 23D ．23-3．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，那么a =（ ） Ａ．5 Ｂ．4 C ．3 D ．2 4．点()1,1-到直线10x y -+＝的距离是（ ） Ａ．21 Ｂ．32CD5.ABC ∆边长a b c 、、别离为5,7,8，那么∠B 等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设972S =,那么159a a a ++=（ ） Ａ．36 Ｂ．24 C ．16 D ．8 7.已知,,a b c R ∈,以下命题中正确的选项是（ ）A ．22bc ac b a >⇒>B ．b a bc ac >⇒>22C ．ba b a 1133<⇒> D ．||22b a b a >⇒>俯视图8.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边 长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，那么其体积是（ ）A ．433B. 423C ．36D. 839.设αβ、是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的选项是（ ） A ．假设l α⊥,αβ⊥，那么l β⊂ B ．假设//l α,//αβ，那么l β⊂ C ．假设l α⊥,//αβ，那么l β⊥ D ．假设//l α,αβ⊥，那么l β⊥ 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，那么以下结论中错误．．的是 （ ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分，请将答案填在答题卡相应位置. 11.已知0>x ，那么xx x f 2)(+=的最小值为 ． 12.长方体的一个极点上三条棱长别离是3、4、5，那么其体对角线长为 ． 13.通过点()2,3P －－, 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ． 14.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列12n a a a ⋯，，，的“理想数”，已知数列12100a a a ⋯，，，的“理想数”为101，那么数列121002a a a ⋯，，，，的“理想数”为____________． 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 15.（此题总分值12分）已知点()(1,)131A B --，，，直线l 过点50,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与AB 平行，求直线l 的方程。
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2019年高一下学期期末考试（数学）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选
择一个符合题目要求的选项.）
1．下列命题中正确的是
（）
A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同
2．已知角的终边过点，，则的值是（）
A．1或－1 B．或C．1或D．－1或
3．下列命题正确的是（）A．若·=·，则= B．若，则·=0
C．若//，//，则// D．若与是单位向量，则·=1
4．计算下列几个式子，①,
②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③ , ④，结果为的是（）
A．①②B．③C．①②③ D．②③④
5．函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是（）A．[kπ＋，kπ＋π] B．[kπ－π，kπ＋]
C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）
6．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程有一根为1，则△ABC一定是
（）
A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．将函数的图像左移，再将图像上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为
（）
A．B．
C． D．
8. 化简+，得到（）
A．－2sin5 B．－2cos5 C．2sin5 D．2cos5
9．函数f(x)=sin2x·cos2x是（）A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数
C ．周期为的偶函数
D ．周期为的奇函数. 10．若| ， 且（）⊥ ，则与的夹角是 （ ） A ． B ． C ． D ． 11．正方形ABCD 的边长为1，记＝，＝，＝，则下列结论错误．．的是（ ）
A ．(－)·＝0
B ．(＋－)·＝0
C ．(|－| －||)＝
D ．|＋＋|＝
12．xx 年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，
它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正 方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1， 小正方形的面积是的值等于（ ） A ．1 B ． C ． D ． －
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
请把正确答案填在题中的横线上） 13．已知曲线y =Asin(ωx ＋ϕ)＋k （A>0,ω>0,|ϕ|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(, 4)，最
低点的坐标为(, －2)，此曲线的函数表达式是 ． 14．设sin α－sin β=，cos α+cos β=, 则cos(α+β)= ．
15．已知向量OP X 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么的最小值是___________．
16．关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数； ③函数的一个对称中
心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数; 写出所有正确的命题的题号： 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知，，，，求的值. 18．（本小题满分12分）
已知函数。
（I ）求的周期和振幅；
（II ）用五点作图法作出在一个周期内的图象; （III ）写出函数的递减区间.
19．（本小题满分12分）
已知关于x 的方程的两根为和，∈（0，π）. 求： （I ）m 的值； （II ）的值；
（III ）方程的两根及此时的值.
20．（本小题满分12分）
已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,). （I ）若||=||，求角α的值； （II ）若·=-1，求的值. 21．（本小题满分12分）
某港口海水的深度（米）是时间（时）（）的函数，记为：
经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象
（I ）试根据以上数据，求出函数的振幅、最小正周期和表达式；
（II ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为米或米以上时认为是安全的（船舶
停靠时，船底只需不碰海底即可）。
某船吃水深度（船底离水面的距离）为米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 22．（本小题满分14分）
已知向量()()
)90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=
b a
（I ）求证：；
（II ）若存在不等于的实数和，使满足。
试求此时的最小值。
参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）
1.C
2.B
3.B
4.C
5.B
6.B
7.B
8.A
9.D 10.B 11.D 12.D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14． 15．－8 16．③ 三、解答题： 17．（本小题满分12分）
解：∵ ∴ ---------------1分 又 ∴ ---------------3分 ∵ ∴ -------------4分 又 ∴ ----------6分
∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] ----------------8分 =
)]4
3sin()4cos()43cos()4[sin(β+π
α+π+β+πα+π-= ------10分
-----------12分
18．（本小题满分12分）
解：（I ）＝ ＝ -----------2分 函数的周期为T ＝，振幅为2。
----------------4分 （II
0 2 0 -2 0
-----------------7分
图象如上。
----------------9分
（III）由解得：---------10分
所以函数的递减区间为-------12分
19．（本小题满分12分）
（I）由韦达定理得：----------1分
∴∴---------2分
由韦达定理得= ∴--------3分
（II）∵∴---4分
∵=
= ---------6分
∴原式= -----------------------7分
（III）>0
∵与同号，又∵>0
∴与同正号-------------------------8分
∵∈（0，π）∴∈（0，）------------------9分
∵，且
∴=，=；或=，= --------11分
∴=或=. ---------------------------12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）∵=(cosα-3,sinα)，=(cosα,sinα-3), --2分
∴||=,
||=. --------------4分
由||=||得sinα=cosα.
又∵α∈(,)，∴α=. ----------------------6分
（II）由·=-1,
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα= ---8分
由上式两边平方得1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=. ----------------------------10分
又=2sinαcosα.
∴. -------------------------12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）依题意有：最小正周期为：T=12 --------1分
振幅：A=3，b=10，---------2分
----------------------4分
（II）该船安全进出港，需满足：
即： ---------6分 ∴
-----------------------8分 又 或 ------------10分
依题意：该船至多能在港内停留：（小时） ----12分 22．（本小题满分14分）
解：由诱导公式得： ()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a
-------2分
-------------------------3分
（I ）0cos )sin 2(sin cos 2=⋅-+⋅=⋅θθθθb a
则 ---------5分
（II ）
-------------------------6分
即：
0)3()])(3([22
22=-+⋅--++-b t t b a k t t a k
∴ -----------------------9分
∴4
7
)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=t t t t t t k t f ------12分
即当时，的最小值为. ---------------14分。