一个相似模型及其应用

合集下载

相似模拟及测试技术-应用举例

相似模拟及测试技术——4应用举例
表4-1
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 岩性砂质泥岩细砂岩泥岩（砂质泥岩）粗砂岩煤泥岩中砂岩粗砂岩煤夹矸煤夹矸煤夹矸煤夹矸煤夹矸煤砂质泥岩
酸刺沟矿6号煤层及其顶底板岩石的物理力学参数
（a）
(a)
(b) 图4-6 工作面推进753mm(22.59m)顶煤全厚初次垮落 (a)-放煤前；(b)-放煤后
(b) 图4-7 工作面推进807mm(24.1m)顶煤垮落和放出 (a)-放煤前；(b)-放煤后
相似模拟及测试技术——4应用举例
割煤14次，推进915mm(27.45m)时，直接顶全厚初次垮落，前后垮落角分别为58.24°和73.23°，垮落跨度305mm(9.15m)。顶煤垮落线向前移至煤壁上方，垮落角62.32°，图4-8。放煤后，采空区垮落顶煤堆积角69.59°，造成部分煤丢失。此时，支架仅承受极少量碎煤的重力。
相似模拟及测试技术——4应用举例
4.1原型条件原型条件根据酸刺沟矿提供的钻孔资料和ZK2钻孔取心及井下取样测定的各岩层与煤的物理力学参数，采用的原型地层结构及各煤岩层的物理力学参数见表4-1所示。采用的煤层厚度为23m，其中底层3m为高灰煤，不开采，有效煤层厚度为20m。工作面底层割煤高度4.5m，放顶煤厚度15.5m。煤层的开采深度取6号煤层的平均深度245m。 4.2 试验装置根据实验室条件和原型条件，选用实验室现有的长×高×厚=3000mm×3000mm×200mm的大型平面应变皮囊充气柔性加载试验装置。 4.3 模型设计 4.3.1 相似比的确定根据原型和试验装置条件，确定相似比为： α 几何相似比： l = 1 / 30 = 0.033 容重相似比：α γ = 1.7 / 2.5 = 0.68 （岩石） α 应力与弹模相似比： σ , E = 0.033 × 0.68 = 0.0224 图4-3 采全厚（20m）模型全貌照片 3 −5 载荷相似比： α F = α l × α γ = 2.44 × 10 应变与泊松比相似比：α ε = 1 时间相似比：α t = α l = 0.1817

三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)

三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。

直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

用几何画板探究一线三等角相似模型

用几何画板探究一线三等角相似模型资料编号:202210161100 在学习相似三角形时,我们会遇到一种特殊的相似模型——一线三等角相似模型.这种模型常见于等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形等图形中.在处理复杂的几何图形时,如果能从图形中识别出这种模型,将对问题的解决起到至关重要的作用.现在,我们借助于几何画板软件,来探究一线三等角相似模型及其应用.模型制作1. 打开几何画板软件,使用“线工具”任意画一条直线,在该直线上任取两点A、B,再任意画一条线段AD,依次选中点D、A、B（顺时针方向）,依次单击“变换”、“标记角度”.如图1所示.2.双击选中点B,单击选中点A,依次单击“变换”、“旋转”,将点A绕点B按标记角度DABBA.如图2、图3所示.旋转到点'A的位置,作直线'3. 在直线AB上任取一点P,连结DP,双击选中点P,单击点D,依次单击“变换”、“旋转”,将点D绕点P按标记角度DABPD,交直旋转到点'D的位置,作直线'线'BA于点C.如图4所示.4.选中点'D、点'A,依次单击“显示”、“隐藏点”.5.依次选中点P、A、D,依次单击“构造”、“三角形的内部”,用同样的方法构造△PBC的内部.如图5所示.6. 单击“标识工具”,单击点A,并向角内拖动鼠标,松开鼠标,标识DAB∠,用同样的方法标识DPC∠.如图6所示.∠、ABC7. 依次选中点P、B、C,依次单击“构造”、“线段”,此时,构造了△PBC.选中直线AB,依次单击“显示”、“线型”、“实线”;选中直线PC、BC，依次单击“显示”、“线型”、“细线”.如图7所示.8. 检查从第1步至第7步作图,完成作图.模型探索当点P在线段AB上时,拖动点D,使DAB∠分别为锐角、直角、钝角,得到图8、图9、图10三种不同类型的图形.其中,点P在线段AB上,PBC=∠,则△DAP∽△PBC.∠DPCDAP∠=模型证明证明:∵BPC=∠∠+DPCDPB∠∠∠=+ADPDAPDPB∠∠=DAPDPC∠∴ADP∠=BPC∠∵ADP∠BPC∠DAP∠=∠,PBC=∴△DAP∽△PBC.当点P在线段BA的延长线上时,如图11所示,由作图可知:=∠DABDPC∠=∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.ABE当点P在线段AB的延长线上时,如图12所示,由作图可知:=∠DPEDAB=∠∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.ABF像这样,两个相等的角的一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧,如果与这两个角相等的第三个角的顶点在该直线上,角的两边分别与这两个角的非共线边（或该边所在直线）相交所形成的两个三角形相似.我们把包含这种基本图形的一类题目称为一线三等角相似模型.特别地,当点P 是线段AB 的中点时,△DAP ∽△PBC ∽△DPC .如图13所示.图 13证明:易证△DAP ∽△PBC∴BC APCP PD= ∴BCCPAP PD = ∵点P 是线段AB 的中点 ∴BP AP = ∴CBCPBP PD =∵PBC DPC ∠=∠ ∴△DPC ∽△PBC ∴△DAP ∽△PBC ∽△DPC . 模型应用例1.（1）问题:如图（1）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,=∠=∠A DPC︒=∠90B .求证:BP AP BC AD ⋅=⋅.（2）探究:如图（2）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,当B A DPC ∠=∠=∠θ=时,上述结论是否仍然成立?说明理由.（3）应用:请利用（1）（2）获得的经验解决问题:如图（3）,在△ABD 中,6=AB ,5==BD AD ,点P 以每秒1个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足A DPC ∠=∠.设点P 的运动时间为t （秒）,当以点D 为圆心,以DC 为半径的圆与AB 边相切时,求t 的值.图（1)图（2）CAB DP图（3）CDABP（1）证明: ∵︒=∠=∠90A DPC21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （2）成立.理由如下:∵θ=∠=∠A DPC21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （3）设切点为E ,连结DE . ∴AB DE ⊥∵BD AD =,AB DE ⊥ ∴321==AB AE 在Rt △ADE 中,由勾股定理得:4352222=-=-=AE AD DE∴145,4=-=-==DC BD BC DCE CDABP易证:△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. 由题意可知:t BP t AP -==6, ∴()156⨯=-t t解之得:5,121==t t经检验,1=t 和5=t 均符合题意.点评对于第（3）问,我们可以利用几何画板进行动态分析.1. 打开几何画板,单击“点工具”,任意画一点A ,选中点A ,依次单击“变换”、“平移”,在弹出的对话框中选择“直角坐标”,修改水平方向的“固定距离”为6 cm,垂直方向的距离为0 cm,单击“平移”.如图14所示,将平移后的点的标签命名为B .2. 用同样的方法把点A 平移5 cm 得到点'A ,画线段'AA ,分别选中点A 、B ,线段'AA ,依次单击“构造”、“以圆心和半径绘圆（R ）”,画出两个圆,在上方的交点命名为D .如图15所示.图 15DA'BA3. 选中线段'AA 、点'A 、两个圆,依次单击“显示”、“隐藏对象”,构造△ABD .4. 依次选中点D 、A 、B ,依次单击“变换”、“标记角度”,标记角度DAB ∠.在线段AB 上任画一点P ,连结DP ,双击点P ,选中点D ,依次单击“变换”、“旋转”,将点D 绕点P 按标记角度DAB ∠旋转到点'D 的位置,作射线'PD ,交BD 边于点C ,隐藏射线'PD 和点'D ,构造线段PC .如图16、图17所示.5. 依次选中点D 、点C ,依次单击“构造”、“以圆心和圆周上的点绘圆（C ）”,画出一个圆.如图18所示.图 17图 18拖动点P ,观察⊙D 与AB 边的位置关系,可以发现点P 位于AB 边上两个不同的位置,都能使⊙D 与AB 边相切,如图19、图20所示,所以需要分为两种情况进行讨论.图 19图 20例2.（1）如图（1）,在△ABC 中,8,5===BC AC AB ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合）,且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上,且6=BP ,求线段CQ 的长;②若y CQ x BP ==,,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;QABCP（2）如图（2）所示,正方形ABCD 的边长为5,点P 、Q 分别在直线CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合）,且保持︒=∠90APQ ,.当1=CQ 时,直接写出线段BP 的长.图（1）QABCP图（2）DABC解:（1）①∵6,8==BP BC ∴268=-=-=BP BC CP∵21∠+∠=∠+∠=∠APQ ABC APCABC APQ ∠=∠∴21∠=∠ ∵AC AB = ∴C B ∠=∠∵21∠=∠,C B ∠=∠ ∴△ABP ∽△PCQ ∴CQCQ BP PC AB 625,== ∴512=CQ ; ②分为两种种情况:当点P 在BC 边上时,x BP BC PC -=-=8 由①可知:△ABP ∽△PCQ ∴yxx CQ BP PC AB =-=85, 整理得:x x y 58512+-=（80<<x ）;当点P 在CB 的延长线上时,如图所示,8+=+=x BP BC PC 易证:△ABP ∽△PCQ∴yx CQ PC =+=8, 整理得:x x y 58512+=（0>x ）;（2）分为三种情况:①当点P 在BC 边上时,点Q 必在CD 边上.设x BP =,则x PC -=5 易证:△ABP ∽△PCQ ∴155,x x CQ BP PC AB =-=,整理得:0552=+-x x 解之得:255,25521+=-=x x ∴255-=BP 或255+=BP .如图1、图2所示; 图 1POQDABC图 2POQ DABC②当点P 在CB 的延长线上时,点Q 必在DC 的延长线上.如图3所示. 易证:△ABP ∽△PCQ∴15,x CQ PC =+= 整理得:0552=-+x x ,解之得:2535,253521--=+-=x x （舍去） ∴2535+-=BP ; 图 3图 4③当点P 在BC 的延长线上时,点Q 必在DC 的延长线上.如图4所示. 易证:△ABP ∽△PCQ ∴155,xx CQ BP PC AB =-= 整理得:0552=--x x ,解之得:2535,253521-=+=x x （舍去） ∴2535+=BP . 综上所述,线段BP 的长为2535+-或255-或255+或2535+. 点评对于第（2）问,我们可以利用几何画板进行动态分析.1. 打开几何画板,单击“点工具”,任意画一点A ,选中点A ,依次单击“变换”、“平移”,在弹出的对话框中选择“直角坐标”,修改水平方向的“固定距离”为0 cm, 垂直方向的距离为5-cm,单击“平移”.如图21所示,将平移后的点的标签命名为B .2.选中点A、点B,依次单击“变换”、“平移”,修改水平方向“固定距离”为5 cm,垂直方向“固定距离”为0 cm,单击“平移”,将点A的对应点命名为D,点B的对应点命名为C.如图22所示.3.构造线段AD、直线DC、直线BC,在直线BC上任取一点P,构造线段AP,双击点P,选中点A,依次单击“变换”、“旋转”,修改“固定角度”为0.度,单击“旋90转”,得到点'A,作直线'PA,交直线CD于点Q,如图23、图24所示.4.选中点'A和直线'PA,依次单击“显示”、“隐藏对象”,构造线段PQ.5.依次选中点A、B、P,依次单击“构造”、“三角形的内部”,用同样的方法构造△PCQ的内部.如图25所示.6.选中点C、点Q,依次单击“度量”、“距离”,度量出线段CQ的长度,完成作图.在直线BC上拖动点P,观察CQ长度的变化,可以发现,当1CQ cm时,点P有四个不同的位置,对应四种不同的结果,分别如图26（1）、（2）、（3）、（4）所示.其中,当点P在BC边上时,有两个不同的位置满足条件.（1）（2）（3）图 26模型练习1. 如图所示,在矩形ABCD 中,由8个面积均为1的小正方形组成的L 形模板如图放置,则矩形ABCD 的周长为_________.GFEDCBA提示设x DF =,则有x BC x CF BE x CD CE AB 3,,2======. 2. 【情景观察】如图（1）,将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和△D C A ''.将△D C A ''的顶点'A 与点A 重合,并绕点A 按逆时针方向旋转,使点D ,()'A A ,B 在同一条直线上,如图（2）所示.观察图（2）可知:与BC 相等的线段是_________,=∠'CAC _________; 【问题探究】如图27所示,在△ABC 中,BC AG ⊥于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q ,试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 【拓展延伸】如图28所示,在△ABC 中,BC AG ⊥于点G ,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ,射线GA 交EF 于点H .若kAF AC kAE AB ==,,试探究HE 与HF 之间的数量关系,并说明理由.（2）（1）BCC'A (A')C'A'DCBCABDAD图 27图 28提示【问题探究】FQ EP =,如右图,只需证明△ABG ≌△EAP （EP AG =）,△ACG ≌△F AQ （FQ AG =）,就可完成证明.【拓展延伸】作AG FQ AG EP ⊥⊥,,如下页图所示.易证:△ABG ∽△EAP ,△ACG ∽△F AQ∴k FQAGFA AC k EP AG EA AB ====, ∴kFQ AG kEP AG ==, ∴FQ EP =∴易证:△EHP ≌△FHQ ∴HF HE =.。

中考数学圆中相似三角形解题模型

【主题】中考数学圆中相似三角形解题模型【内容】一、相似三角形的性质1. 如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

2. 如果两个三角形的两个对应边的比值相等，那么它们是相似的。

3. 相似三角形的性质是解决圆中相似三角形题目的基础。

二、圆中相似三角形的应用1. 在圆中，相似三角形的出现是常见的。

2. 当两个圆内的三角形具有相似性质时，可以利用相似三角形的定理解题。

3. 圆内相似三角形的解题模型需要掌握好相似三角形的性质，灵活应用定理来进行求解。

三、圆中相似三角形题目解题步骤1. 确定相似三角形的条件a）要根据题目中给出的条件，确定两个三角形是否具有相似性质。

b）通过对应角相等或对应边比值相等来判断两个三角形是否相似。

c）使用相似判定条件来确定是否可以应用相似三角形的定理。

2. 利用相似三角形的定理进行求解a）根据两个相似三角形的特点，可以建立等式或比例式来解题。

b）利用相似三角形的性质和定理，可以求解出题目中所要求的未知量。

3. 注意圆的性质a）在圆中相似三角形的题目中，要充分利用圆的性质来辅助解题。

b）利用弧长、弧角关系以及圆心角的性质来辅助解题，可以更好地理解相似三角形的关系。

四、实际题目解析1. 通过实际题目的解析，可以更好地理解圆中相似三角形的解题模型。

以下是一个例题：例题：已知∠A为弧BC的圆心角，且∠A＞∠B，构造∠BAD，使得△ABC≌△BAD。

比较AD和BC的大小。

解题步骤：（1）首先确定两个三角形的相似性：根据题目条件，∠A为弧BC的圆心角，因此∠A=1/2∠BC，根据对应角相等，△ABC≌△BAD。

（2）确定相似三角形的性质：由相似三角形的性质可知，AD/BC=AB/AC，即AD/BC=AB/AC。

（3）利用相似三角形的性质进行求解：利用AD/BC=AB/AC，可以得到AD与BC之间的关系。

2. 通过以上例题的解析，可以发现在解题过程中，需要严格按照相似三角形的性质和定理来进行推理和计算，从而得出最终的结论。

相似多边形几种基本模型

相似多边形几种基本模型简介相似多边形是指具有相似形状但大小可以不同的多边形。

在几何学中，相似多边形的研究是十分重要的，因为相似多边形在实际应用中有广泛的应用，例如地图制作、建筑设计等。

本文将介绍几种相似多边形的基本模型及其性质。

1. 全等多边形全等多边形是一种特殊的相似多边形，指的是具有完全相同形状和大小的多边形。

全等多边形有着相同的内角和边长，且对应的边和角完全相等。

在实际应用中，全等多边形常用于图形的复制和移动。

2. 等角多边形等角多边形是指具有相似形状但角度完全相等的多边形。

等角多边形的边长可以不同，但是对应的角度是相等的。

在相似多边形中，等角多边形是一类重要的模型，它们经常用于地图制作和建筑设计中。

3. 等比例多边形等比例多边形是指边长成比例但角度不一定相等的多边形。

等比例多边形的每两个相邻边的比值相等，同时对应的内角和外角成比例。

等比例多边形的性质使其在数学和物理领域中有广泛应用，例如计算机图形学和模型缩放。

4. 递推相似多边形递推相似多边形是指由一个基本多边形通过递推公式生成的一系列相似多边形。

递推相似多边形的边和角都是按照一定比例不断增长或缩小的。

递推相似多边形通常用于数学的递推原理和图形的渐进构造。

5. 黄金分割多边形黄金分割多边形是指由黄金比例所确定的一类相似多边形。

黄金分割比例是指将一条线段分成两部分，其中较短部分与整体的比等于较长部分与较短部分的比例。

黄金分割多边形的边长和角度都可以通过黄金比例进行计算。

总结相似多边形是几何学中重要的研究对象，它们具有相似的形状但大小可以不同。

全等多边形和等角多边形是相似多边形的特殊情况，它们在实际应用中有广泛的应用。

等比例多边形、递推相似多边形和黄金分割多边形是相似多边形的其他常见模型，它们在数学和物理学中也有重要的应用。

对于研究相似多边形及其模型，理解它们的性质和特点是很关键的。

以上是关于“相似多边形几种基本模型”的文档，共计800字。

一个相似模型的应用

交Ｃ的延长线于Ｇ， △ ＥＢ求ＧＢ和／ＡＦ的ｘＥ
一
个相似模型的应用
４４２００７牟方田
重庆市万州新田中学
１一个相似模型
ＥＤ＝Ｂ。Ｆ并且ＥＦ的一边与ＡＤＢ交于Ｅ点。另一边与ＡＣ（或延长线）于Ｆ点．交
竞赛联赛题，答案：Ｄ）选（．
于零．如图１即：，Ｆ＝Ｆ＋２Ｆ，或：＝０Ｍｏ
或Ｆ。Ａ＝Ｆ２・・ＯｏＢ．来求解． ” ② 应用 “ 高的三角形面积之比等于底等边之比” 可将 “ ，面积问题转化为线段比问题 ” 来求解．
维普资讯
中学数学杂志（中）２０初０６年第ｌ期
４：２．
面积比．
（）５又因为 “ 高的三角形面积之比等等
于底边之比” 所以Ｓ△ ＡＳ日Ｈ：删＝，ＢＧ： △ ＧＳ△
Ａ：Ｈ：ＧＧＨＣ＝３：２故选答案（．４：，Ｂ）应用杠杆平衡原理为什么能解决上述几何面积比值问题呢？其关键在于： ① 我们可将几何图形中的各个交点视为力点，而可得到若干同向平行力，利用从再两个同向平行力的合成法则：合力的大小等 “ 于两分力的和，力的方向跟分力的方向相合同，力的作用点在分力作用点的连线上，合各分力点对于以合力作用点为支点的合力矩等

相似三角形的应用

相似三角形的应用相似三角形是数学中重要的概念之一，它不仅有助于我们理解和解决各种几何问题，还在实际生活中有着广泛的应用。

本文将探讨相似三角形的应用领域及其在实际问题中的作用。

一、地图测量地图测量是相似三角形的主要应用之一。

在地理学和土地测量学中，我们常常需要通过测量实际地理空间的长度、宽度和高度来绘制地图。

然而，由于实际地理空间往往非常庞大，直接进行测量是非常困难的。

这时，利用相似三角形的性质可以大大简化测量工作。

以测量高楼大厦为例，我们可以在地面上选择一个适当的位置，测量自己与建筑物顶部的距离，并测量自己与建筑物底部的距离。

通过计算这两个距离的比例，我们可以得到建筑物的实际高度。

这是因为相似三角形的对应边长之比是恒定的。

二、影视特效制作影视特效制作是另一个相似三角形的应用领域。

在电影和电视剧中，许多场景是通过特殊摄影技术合成的，其中相似三角形的原理被广泛使用。

例如，当我们在电影中看到一个巨大的怪物或者人物，实际上他们是通过在摄影棚中拍摄小模型或演员，然后利用相似三角形原理对其进行缩放而成的。

通过调整比例和透视，摄影师可以使观众看到与实际情况一样的景象，使画面更加真实和吸引人。

三、建筑设计相似三角形在建筑设计中的应用非常广泛。

建筑师通常需要在保持建筑物原有比例的前提下进行设计和规划，而相似三角形提供了实现这一目标的有效方法。

例如，在设计一栋大楼时，建筑师可能需要根据已有建筑物的高度来计算新楼层的高度。

通过利用相似三角形的原理，建筑师可以快速得到新楼层的高度，而无需进行实际测量。

此外，在建筑设计中，相似三角形还可以应用于计算建筑物的比例缩放，提供透视效果以及计算斜坡的倾斜角度等方面。

四、远距离测量相似三角形还可以用于远距离测量，如测量高山的高度或者河流的宽度。

以测量高山的高度为例，由于高山常常十分险峻且无法直接到达其顶峰，因此直接测量高度是困难的。

然而，我们可以选择一点较低的位置，在水平方向上测量与高山顶峰的距离，然后利用相似三角形的原理计算出高山的高度。

几何图形的相似

几何图形的相似几何图形的相似性是几何学中的一个重要概念。

当两个图形的形状相似，但大小不同的时候，我们可以说它们是相似的。

在这篇文章中，我们将探讨几何图形的相似性及其在实际生活中的应用。

一、相似三角形相似三角形是几何学中最常见的一种相似图形。

当两个三角形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。

相似三角形的比例关系可以用以下公式表示：AB/DE = AC/DF = BC/EF = k其中，k为两个相似三角形的比例因子。

相似三角形的应用非常广泛。

例如在地图制图中，由于地球是一个近似于球体的物体，所以地图上的距离和角度会出现变形。

为了保持地理位置的准确性，我们需要用到相似三角形的原理来进行地图的缩放和校正。

二、相似多边形除了三角形，其他多边形也可以是相似的。

当两个多边形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。

相似多边形的比例关系同样可以用上述相似三角形的公式表示。

相似多边形的相似性可以应用在很多实际问题中。

例如在建筑设计中，我们需要按照比例缩放建筑的模型以便于展示和评估。

相似多边形的原理可以帮助我们准确地进行缩放，并保持建筑的整体比例和形状。

三、相似图形的比例在相似图形中，对应边的比例是一个非常重要的概念。

对于相似三角形或多边形，我们可以通过对应边的比例来求解未知边的长度。

例如，在一个相似三角形中，如果我们知道两个对应边的比例和其中一个对应边的长度，我们就可以通过比例关系来计算其他对应边的长度。

这个原理在测量和定位中有很多应用，例如测量不可达区域的长度、计算山脉的高度等等。

四、相似图形的面积比除了边长的比例，相似图形的面积比也是一个重要的概念。

当两个图形相似的时候，它们的面积比等于边长比的平方。

例如，在一个相似三角形中，如果两个三角形的边长比为k，那么它们的面积比就为k²。

这个原理可以应用在计算面积缩放、制作模型等方面。

总结几何图形的相似性是几何学中的重要概念，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

＝
●
— —
图４
在边
ＡＢ上，ＡＤ — ＢＣ
图２
ＡＢＣ．ＡＣ＝２，＝ＡＤ一１则ＤＢ＝，
解（）图４连接Ｏ．１如，Ｆ因为Ｆ切ｏＯ于点Ｆ，Ｈ妖以ＯＦ，Ｆ／Ｃ，ＦＬＨ而Ｈ／Ｂ
于是
２１（＋２＋３．）
Ｂ：Ｆ —ＥＦＤＦ＋Ｄ一７Ｅ．
Ｆ一Ｆ・Ａ，ＢＥＦ
・
又因为
３Ｃ一２Ｄ，ＢＡ
在 △ＡＢＦ中，５一１，
］・９
而点Ｅ、Ｆ是ＡＤ的三等分点，Ｄ — Ｃ，ＢＤ
所以０ｌＣ，ＦＢ
解
又
因为ＡＤ一ＡＢＣＣ，
根据上面的相似模型可得Ａ一ＡＤ・ＣＡＣ，
ＡＣ一２，ＡＤ一１，
由垂径定理，得Ｂ — Ｆ１一２，Ｆ／Ｃ，，
即
Ａ
Ａ平分ＢＦＡＣ．
是ＡＢ边上的一点，则１一２Ｂ
和ＡＣ＝ＡＤ・ＡＢ互为因果．证明（）１一２则１若，
３・２Ｄ一２・３Ｅ，ＢＤＢＤ — ＤＥ — ＥＦ＝ＡＦ．＝＝
所以／ＢＸＤＥ是等腰直角三角形，１— ４。５．令Ｂ — ａ，Ｄ则
图５
图３
解因为ＡＢ — ＡＣ，＿ＢＡＤｌＣ，＿
所以所以肋一Ｃ．Ｄ
所以
于是所以
则图３是一个轴对称图形，对称轴是ＡＤ．
／ＢＥＣ＋ＢＦＣ＋ＢＡＣ
一
（）如图５５＝１Ｂ — Ｆ３，＝＝，ＦＤ．于是
●
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一
都是所对的圆周角，以所
２一５．
又因为
１一／２，１一／５．
３一４．
ＦＨ
一
由Ｂ平分ＡＢ得ＤＣ
１＋４一／３＋５，
ＦＤＢ一ＦＤ．ＢＢ —ＦＦＤ．
ＢＥ＝＝＝，ＥＦ — ａ，ＥＡ一２ａ，
由
知
１一２及ＣＡＤ一／ＢＡＣ，
△ ＡＣＤ ∽ △ ＡＢＣ，
所以从而于是
一
Ｅ一Ｅ・Ａ，４一ＢＦＥ３．２＋３一２＋４一１— ４。５．ＢＣ＋ＢＣ＋ＢＥＦＡＣ
２１年第９０１期
数学中的思想和方法
《理天地》中版数初
一
个捆攸漠型＆其应用
董才强（湖北省阳新县白沙中学４５４）３２１
Ａ所以于是
图１
１相似模型．如图１在 △ ＡＣ中，Ｄ，Ｂ点
，
例３如图４ｏ０是 △Ａ，ＢＣ的外接圆，
ＦＨ切ｏ（于点Ｆ，且Ｆ ∥ Ｂ连结Ａ交）并ＨＣ，Ｆ
ＢＣ于Ｅ，ＡＢＣ的平分线ＢＤ交ＡＦ于Ｄ，结Ｂ连Ｆ．（）证明：平分ＢＡ１ＡＦＣ；
（）图５因为２和５２如，
所以
ＡＢ一４，
２鬣△Ｃ／一，Ａ、于ｂＦ的ＡＤ垂点＼Ａ如Ａ＝ＢｃＣ是Ｂ：．Ｃ ∥ 例图Ｄ孽直三，点Ｂ等Ａ，，３３Ａ中Ｃ分２ＤＢＥＤ，
所以
则ＢＥＣ＋ＢＦＣ＋ＢＡＣ一
．ｓｃ以△ 一
迅速获得解题思路．
练习
１．如图７，
一１１訾． ×５一２ ×
ＡＡＣ中，Ｄ平分ＢＣ，ＢＡＡ
以Ｃ为圆心， ∞
从以上各例可以看出：用基本模型解题，能
半圆交
的延长线于点Ｅ，Ｂ
主／Ｄ图，ｔｅ／一ＣＢＡＥＦＥＦ
一
以
点
、ＥＣ
Ｂ
Ｍ（１０一，）为圆心的圆与轴、轴分别交于点Ａ、Ｃ、ｚＢ、
、
ｏ一。
＼
４：３．
２１＋２＋３（）
２× （５＋４。４。５）一１０．８。
则
Ａ一ＡＤＣ
，
即Ａ一ＡＤ・Ｂ．ＣＡ
（）２
ＡＣ。＝ＡＤ・Ｂ，ＡＤ一＝＝Ａ即ＡＣ
．
一
在 △ＡＣ和 △ＡＤＢＣ中，因为
ＡＣ一 ’ ＣＤ一／ＢＡＣ，Ａ一 ’ 一而
（）求证：１ＡＦ — ＤＦ
《理天地》中版数初
数学中的思想和方法
２１０１年第９期
而
Ｂ一７ＥＦ一４，Ｆ，
所以
ＦＡ一
：ｚ＝７＝
于是ＢＣ — Ｂ＋Ｃ一１ＤＤ０＋
，
：１，：５
一
４９
ＡＧ一
一
００
，
则
ＡＤ — Ａ — Ｄ一４ＦＦ９— ７一
（）证明：２ＢＦ — ＦＤ；
所以于是故
２应用．
／ＡＣ ∽ △ ＡＢＣ，ＸＤ／１一２．１＝２＝一ＡＤ：Ａ＝：ｅ＞ＡＣＢ．
（）若ＥＦ一４，＝３求３ＤＥ＝，＝
ＡＤ的长．
Ｆ
Ｈ
例２如图２ △ Ｃ中，，点Ｄ