【定稿】26.3定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法和分部积分法文章标题：深入探讨定积分的换元法和分部积分法在高等数学中，定积分的换元法和分部积分法是两种重要的积分求解方法，它们在求解复杂积分问题时起着至关重要的作用。
通过这篇文章，我们将从简到繁，由浅入深地探讨定积分的换元法和分部积分法，以便读者能更加全面、深刻地理解这两种方法。
1. 定积分的换元法在定积分的换元法中，我们通过引入一个新的变量来简化被积函数，从而更容易求解定积分。
在求解具体的定积分时，我们常常会遇到被积函数与变量之间的复杂关系，利用换元法可以将原积分转化为一个简单的形式，然后通过简单的积分求解方法来得到最终的结果。
举例来说，当被积函数为sin(x^2)时，我们可以通过令u=x^2来进行换元，将原积分化为sin(u)的形式，从而更容易求解出积分的结果。
2. 定积分的分部积分法与换元法类似，分部积分法也是在求解定积分时经常使用的方法之一。
通过分部积分法，我们可以将原积分中的乘积形式进行分解，然后转化为一个更容易求解的形式。
在分部积分法中，我们通常选择一个函数作为u，选择另一个函数的微分作为dv，然后通过积分公式将原积分转化为u*v的形式，最终求解出积分的结果。
举例来说，当被积函数为x*cos(x)时，我们可以通过选择u=x和dv=cos(x)dx来进行分部积分，将原积分化为x*sin(x)-∫(sin(x))dx的形式，从而更容易求解出积分的结果。
通过以上简单的介绍，我们可以看到定积分的换元法和分部积分法在简化复杂积分问题时起着至关重要的作用。
通过这两种方法，我们可以将原积分转化为更容易求解的形式，从而更加灵活地解决数学中的积分难题。
总结回顾：在本文中，我们从简到繁，由浅入深地探讨了定积分的换元法和分部积分法。
通过具体的例子，我们展示了这两种方法在求解复杂积分问题时的重要作用。
我们希望读者通过本文的介绍，能更加全面、深刻地理解定积分的换元法和分部积分法，并在实际的数学问题中灵活运用这两种方法。
定积分的换元法和分部积分法课件
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法
sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0
sin
3
x sin
3
x dx
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3
( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,
a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a
2
2
2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2
2
0
2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
2
证
定积分的换元积分法和分部积分法
第四节 定积分的换元积分法和分部积分法从上节微积分学的基本公式知道, 求定积分⎰badx x f )(的问题可以转化为求被积函数)(x f 在区间],[b a 上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用, 本节将具体讨论之, 请读者注意其与不定积分的差异.内容分布图示★ 定积分换元积分法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 定积分的分部积分法★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题5-4 ★ 返回讲解注意：一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, 函数)(t x ϕ=满足条件: （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ;（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是, 在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法 ⎰baudv ⎰-=ba b a vdu uv ][ 或⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][.例题选讲：定积分换元积分法例1（讲义例1）计算⎰25sin cos πxdx x .例2（讲义例2）计算).0(022>-⎰a dx x a a例3（讲义例3）计算⎰-π53sin sin dx x x .例4（讲义例4）计算定积分⎰++4122dx x x .例5（讲义例5）当)(x f 在],[a a -上连续, 则(1) 当)(x f 为偶函数, 有⎰⎰=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(;(2) 当)(x f 为奇函数, 有0)(=⎰-aadx x f .例6（讲义例6）计算定积分⎰-+112)sin |(|dx x x x .例7 计算.11cos 21122⎰--++dx xx x x例8（讲义例7）若)(x f 在[0, 1]上连续, 证明 (1) ;)(cos )(sin 2/02/0⎰⎰=ππdx x f dx x f(2),)(sin 2)(sin 0⎰⎰=πππdx x f dx x xf 由此计算.cos 1sin 02⎰+πdx xxx定积分的分部积分法例9（讲义例8）计算定积分.arcsin 2/10⎰xdx例10（讲义例9）计算定积分⎰+4/02cos 1πxxdx.例11 求.sin 2/02⎰πxdx x例12（讲义例10）计算定积分⎰--12/112dx e x .例13（讲义例11）计算定积分⎰-22|ln |e e dx xx .例14 已知,612ln 2⎰=-xte dt π求x .例15 已知)(x f 满足方程,)(13)(122⎰--=dx x fx x x f 求)(x f .例16（讲义例12）导出⎰=2/0sin πxdx I n n (n 为非负整数)的递推公式.例17 计算定积分.2cos 05⎰πdx x 例18 求函数⎰+=x dt t t x I 1)ln 21()(在],1[e 上的最大值与最小值.课堂练习1.求定积分⎰-+-2/2/22)cos 21(|sin |ππθθθr r d .2.设)(x f ''在[0, 1]上连续, 且,5)2(,3)2(,1)0(='==f f f 求.)2(1⎰''dx x f x。
定积分的换元法和分部积分法
2
0
1
1 cos2
x
d (cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
15
二、分部积分公式
设函数u( x) 、v( x)在区间 a,b 上具有
连续导数，则有
b
a udv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
第三节 定积分的换元法和分部积分法
不定积分
换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
1
一、换元公式
定理 假设 f ( x)在[a,b]上连续，函数x (t )
满足条件：
（1） ( ) a ， ( ) b；
（2） (t)在[ , ]（或 , ）上具有连续导数， 且其值域R a, b；
14
0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t))
a
或配元
(t) (t)
定积分的换元法与分部积分法
原式
2
ln1xe1
011
(3) 2 cos5xsinxdx. 0
解
2
co5sxsinxdx 2co5sxdcoxs
cos
6
x
2
1
.
0
0
6
6
0
4
2
sinx dx
0
2
2
解 0 sinxd x 0sinx d x sinx d x
cosx0cosx2 1 1 1 1 4
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证 (x x)x xf(t)dt
a
xx
x
( x x ) ( x ) f(t)d t f(t)dt
a
a
x
x x
x
xx
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt x f(t)dt,
由积分中值定理得 f() x [x ,x x ],
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
例2 求下列定积分
1 1 x 2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
2 2 dx
e11 x
解
1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5
定积分换元法与分部积分法
定积分换元法与分部积分法在微积分中，求解定积分是一个常见的问题。
为了解决这一问题，数学家们发展出了一系列的积分技巧和方法。
其中，定积分换元法和分部积分法是两种常用的方法。
1. 定积分换元法定积分换元法，也经常被称为反链式法或者u-置换法，是一种通过变量替换的方法来求解定积分的方法。
其基本思想是：将被积函数中的一个变量替换为一个新的变量，使得原来的被积函数在新的变量下形式简化。
换元法的一般步骤如下：1.选择一个合适的变量替换，通常使用一个新的变量来替换被积函数中的一个变量。
2.计算新的变量对应的微元变量，并求得其微分。
3.将原来的被积函数表示为新的变量的函数，并对其进行简化。
4.计算新的定积分，并将结果转换回原来的变量。
通过这种换元法，我们可以简化复杂的被积函数，从而更容易求解定积分。
下面通过一个实例来进一步说明定积分换元法的具体步骤。
示例：求解定积分 $I = \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x^2} dx$步骤1：选择合适的变量替换。
我们选取新变量u=x2，则du=2xdx步骤2：计算新变量对应的微元变量。
由du=2xdx，可以得到 $dx =\\frac{du}{2x}$步骤3：将原被积函数表示为新的变量的函数，并进行简化。
将x表示为u的函数，则 $x = \\sqrt{u}$。
将被积函数 $\\frac{1}{x^2}$ 替换为 $\\frac{1}{u}\\cdot \\frac{1}{2\\sqrt{u}} = \\frac{1}{2u\\sqrt{u}}$步骤4：计算新的定积分，并转换回原变量。
将积分的上下限也用新的变量表示，则新的定积分为 $I = \\int_{1}^{4} \\frac{1}{2u\\sqrt{u}} \\cdot\\frac{du}{2x}$。
对新的定积分进行计算，得到 $I = \\frac{1}{4}\\left( \\frac{1}{\\sqrt{4}} - \\frac{1}{\\sqrt{1}} \\right) = \\frac{1}{8} -\\frac{1}{4} = -\\frac{1}{8}$通过定积分换元法，我们成功求解了该定积分的值。
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
2
2
对称性 02
2
sin 2 x cos 2 x d x 1
2 sin 2 2 x d x
0
20
1 2
2
0
1 cos 4 x d x 2
1 4
[
x
sin4 4
x
]
2 0
8
3
e4
例7 计算
1
dx
e x ln x(1 ln x)
3
解：原式 e4
1
d ln x
e ln x(1 ln x)
x
0
t
2
,
x t 0, 2
2
0
f (sin x)dx
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t 可以证明
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
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书本p53
x (t)满足以下三个条件：
(1) ( ) a ， ( ) b，
(2) (t )在 [ , ]上单调且有连续导数
(3) 当t在 [ , ]上变化时，
对应的值x (t )在a， b上变化
则
b a
(t )dt f ( x) d x f (t )
b aຫໍສະໝຸດ u ( x)v( x) d x u ( x)v( x) a u( x)v( x) d x .
b a
b
该公式称为定积分的分 部积分公式.
例3 解
计算
0
x cos x d x .
学生练习： p57练习
设u x, dv cos xdx d sin x
则有du dx, v sin x
代入分部积分公式，得
sin 0
sin 0 0
0
x cos xdx x sin x 0 sin xdx
0
cos 1 cos 0 1
cos x 0
2
布置作业：课本 p57 1（1）、（2）、（4） 2 （ 1）
回顾 判断函数奇偶性的条件 ： 1.偶函数 条件1.定义域（或所给范围） 关于原点成对称 条件2. f ( x) f ( x)
a
f ( x)dx 又有什么结论？
答 ：
(1) f ( x) 为偶函数，则 (2) f ( x) 为奇函数，则
a a
f ( x) d x 2 f ( x) d x .
0
a
a a
f ( x) d x 0 .
a a
f ( x) d x f ( x)dx f ( x)dx
解（2）：现在我们用下面的方法求解.
令t x , 则x t , dx 2tdt
2
当x 1时，t 1;
4
当x 4时，t 2.
2 2 2t 1 1 )dt 所以 dx dt 2 (1 1 1 t 1 1 t 1 x 1 2 1 2 2 2 dt d (t 1) 2(t ln t 1 ) 1 1 t 1 1
a 0
0
a
令x t , 并且代入等式右边的第 一个定积分：
上式 f (t )d (t ) f ( x)dx f (t )dt f ( x)dx
a 0 0 a
0
a
a
0
f (t )dt f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
练习： 求下列各积分：
(1) 1 x dx
0
4
3
(2)
1
x dx 5 x
14 答案：（1） 3
（ 2） 8
3
思考交流
设函数f(x)在区间[-a,a]上连续
（1）当f(x)为偶函数时， 有什么关系？
a
a
f ( x)dx与 f ( x)dx
0
a
（2）当f(x)为奇函数时，对
a
（课本例题）
1 1
求
解
sin x dx 2 x 1
显然有： x 1,1 时，f ( x) f ( x)
故知被积函数是奇函数
1 1
sin x 令f ( x ) 2 x 1
sin x dx 0 2 x 1
分部积分法
分部积分公式
设函数u( x)， v( x) 在 [a, b] 上可导， 且 u( x)， v( x)为[a, b]上连续函数，则
4 2 2 ln 2 2 ln 3 2 ln 9
发现了什么？
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼
兹公式便可得到定积分的结果 .
定积分的换元公式
设 函数 f ( x)在 [a, b]上连续 ，
例1
试计算定积分
4
1
1 dx x 1
解（1）：
分析：在课本P19已经解决了求被积函数的全体 原函数问题，即：
4
1 dx 2( x ln x 1 ) c x 1
1 4 dx 2( x ln x 1 ) 1 1 x 1 4 2 2 ln 2 2 ln 3 2 ln 9
26.3定积分的换元积分法 与分部积分法
由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们
希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式
有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定 积分的换元法和定积分的分部积分法.
0 0 0 0
a
a
a
a
故有：
(1) 若 f ( x) 为偶函数，则 f ( x) f ( x)，故有
a a
f ( x) d x 2 f ( x) d x .
0
a
(2) 若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x) －f ( x)，故有
a a
f ( x) d x 0 .
例2
2.奇函数 条件1.同偶函数条件 1. 条件2. f ( x) f ( x)