均值、方差、自相关函数的估计

2
{x(t)

E[x(t)]}2
f
( )d

0
2
0 [sin(0t
)
0]2
1
2
d

1 2
(3)自相关函数
R(t1,t2 ) E[x(t1)x(t2 )]
2
0 [x(t1)x(t2 )] f
( )d

2
0 sin(0t1
) sin(0t1
)
1
n0
此估计均值为：
^
E[ x2 ]
E
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0

1 N
N 1
E[x(n) mx ]2
n0

1 N
N 1
x2
n0
x2
（2.3.6）
因为估计的均值等于真值，故为无偏估计
估计的方差为：
^
^
^
var(
2 x
)

E{[
2 x

E[x(n)x(m)] E[x(n)]E[x(m)] mx2
2 E[m x ]
1 N
mx2

N 1 N 1
[
m2x ]
n0 m0,mn

1 N
mx2

N N
1
m2
x
上式代入式（2.3.3），有
^
var(mx )

1 N
mx2

N N
1
m2
x
m2x

1 N
E(
2 x
)]2}
将式（2..6）代入上式，得
^
^
var(
2 x
)

E{[
2 x


2 x
]2}
^
可以证明，当
N

时，var(
2 x
)

0
所以式（2.3.5）对方差的估计是无偏的一致估计
事实上，因为式（2.3.5）的均值也只能来自估计，所以方差
的估计往往不是式（2.3.5）而是
^
x2
2.3 均值、方差、自相关函数 的估计
用随机系列x(n)的N个取样点{x(0),x(1),…,x(N-1)} 来估计x(n)的均值、方差和自相关函数
例：求随机过程 X (t) sin(0t )
数学期望，方差及自相关函数。其中，w0
为常数，是在区间[0, 2 ]上均匀分布的随机
变量。
2
d
1
4
2
0 [cos0 (t1
t2 ) cos(0t1
0t2
2 )]d

1
4
2 0
cos0 (t1
t2 )d

1 2
cos0 (t1
t2)
Байду номын сангаас
2.3.1 均值的估计
将N个样点数据的算术平均值作为均值的
估计 mˆ ，即
mˆ x

1 N
*是共轭，若x(n)、 y(n)为实序列*可省略

Rxy (m) x*(n) y(n m) n
确定性能量信号的相关函数的性质：
1）若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即
R Rx (m)
*(m),
x
Rx (m) Rx (m)
R 若x(n)为复信号，则Rx(m)为共轭偶对称 Rx (m)
确定性信号的相关函数
1.确定性能量信号的相关函数 什么是确定性信号？——自变量的确定函数
数字关系式或图表惟一地确定
能量信号是指能量有限的信号。对连续和离散时间信号分别满足：

2

2
E x(t) dt E x(n)

n
如果信号能量无限大，比如确定性的用期信号、阶跃信号以及随机信号，就

1 N
N 1
^
[ x(n) mx ]2
n0
可以证明，此为渐近无偏 的一致估计
作业 2.3.3自相关函数的估计
要求：用不超过一页作业纸说明
2.4 相关函数与功率谱
2.4.1 相关函数
因为平稳随机信号的相关函数是确定性的，所 以对平稳随机信号的分析和处理常常在相关域进行。 当用线性移不变离散时间系统对随机信号进行处理 时，虽然信号是随机的，但用来描述线性系统的单 位脉冲响应总是确定性的。所以，接下来首先介绍
(mx2
m2x )

1 N
x2
^
当 N 时，var(mx ) 0
综上，可以得出如下结论： 当各样值互不相关时，对均值的估计是无偏的一致估计
事实上各样值之间是 存在相 关性的
2.3.2 方差的估针
^
计算方差估计值的一种方法是： x2

1 N
N 1
[x(n) mx ]2
*(m)
x
确定性能量信号的相关函数的性质
2）在m=0时，Rx(m)取得最大值，即 Rx (0) Rx (m)
且 Rx (0) 就是信号的能量，即

E Rx (0) x(n) 2 n
3）对于能量信号，当间隔 m 时，序列项之间就失去
将式（2.3.2）代入上式，得

2
2
var(mx ) E[m x ] mx2
对 E[m x ] 有
（2.3.3）
2
E[m x ]
E{[
1
N 1
x(n)][(
1
N 1
x(m)]}
N n0
N m0

1 N2
N 1 N 1
E[x(n)x(m)]
n0 m0,mn
不能从能量而应从功率的角度去研究它们，这类信号叫功率信号。
P lim 1
T
2
x(t) dt
T 2T T
P lim 1
N
2
x(n)
N 2N 1 nN
确定性能量信号的自相关函数和互相关函数分别定义为：

Rx (m) x*(n)x(n m) n
N 1
x(n)
n0
（2.3.1）
利用前面介绍的评价指标，可以对该点估计进行质量评价
估计的均值： （2.3.2）
E[mˆ x ]
E[ 1 N
N 1
x(n)]
n0
1 N
N 1
E[ x(n)]
n0

1 N
N 1
mx
n0

mx
此为无偏估计

2

估计的方差：var(mx ) E[m x ] [E(mx )]2

1 N2
N 1
N 1
{E[x2 (n)]
E[x(n)x(m)]}
n0
m0,mn

1 N2
N 1
{E[x2 (n)]
n0
1 N2
N 1 N 1
{
n0 m0,mn
E[ x(n)x(m)]}
（2.3.4）
为便于分析，假定x(n)与x(m)是互不相关的，则

解:(1)数学期望
的概率密度函数为
f(
)=

1
2
,
0 2
0,
else
E[x(t)] E[sin(0t )]
(2)方差
2
x(t) f ( )d
0
2 0
sin(0t
)
1
2
d

0
2 (t) E{x(t) E[x(t)]}2