必修2学案(第6课时 柱体、锥体、台体的体积)有答案
高中数学 1.3.2柱体、锥体、台体的体积导学案 新人教A版必修2
第一章 3.1.2柱体、锥体、台体的体积【学习目标】知识与技能：通过学习掌握柱、锥、台、球体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的体积。
培养学生空间想象能力和思维能力.【学习重点】棱柱、棱锥、棱台、球体积的计算公式。
【知识链接】棱柱、棱锥、棱台、球的表面积公式，长方体的体积公式？【基础知识】棱柱、棱锥、棱台、球的体积公式棱柱的底面积是S 高为h ，则棱柱的体积V=sh棱锥的底面积为S ，高是h ，则体积V=sh 31 棱台的上下底面积分别是21S ,S ,高是h ，则棱台的体积V=h )S S S S (312211++球体积V=3r 34π 【例题讲解】例题1.有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7．8g/3cm ）六角螺帽共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（ π 取3.14）？（教材）例题2.如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.（教材）例3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）A ．6:13B ．5:14C ．3:4D ．7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD ，球的大圆O 内切于梯形ABCD .23设球的半径为R ，圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，由平面几何知识知，圆台的高为2R ，母线长为r 1 + r 2.∵∠AOB = 90°，OE ⊥AB (E 为切点)，∴R 2 = OE 2 = AE ·BE = r 1·r 2.由已知S 球∶S 圆台侧= 4R 2∶(r 1+r 2)2 = 3∶4(r 1 + r 2)2 = V 球∶V 圆台 ==故选A. 例4.正方体-ABCD 1111D C B A 的棱长为a ，过顶点B,D,1A 截下一个三棱锥。
北师大版数学高一(北师大)必修2教案 1.7.2《柱体、锥体、台体的体积》
1.7.2《柱体、锥体、台体的体积》教学设计【教学目标】（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.导入新课复习导入：1. 复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.2. 表面积公式的推导。
3. 我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？新授课阶段：对问题3的回答：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S 为底面面积，h为高)锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V = 13Sh(S为底面面积，h为高)1.柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体= Sh (S是底面积，h为柱体高)V锥体=13Sh(S是底面积，h为锥体高)V台体=1()3S SS s h''++(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2231012610 3.14()1042V =⨯⨯⨯-⨯⨯≈2956 (mm 3) = 2.956(cm 3) 所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)答：这堆螺帽大约有252个.2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S ，求其内接正四棱柱的体积.【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r ，则高h = 2r ，∵S = S 侧 + 2S 底 = 2rh π +2226r r ππ=，∴6S r π=. ∴内接正四棱柱的底面边长a =2r sin45°=2r .∴V = S 底·h =23(2)24r r r ⋅== 4·326()69S S S πππ=⋅， 即圆柱的内接正四棱柱的体积为269S S ππ. 【点评】本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.例3：三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2 = 7:5 .【分析】不妨设V 1对应的几何体AEF – A 1B 1C 1是一个棱台，一个底面的面1()3V h S SS S ''=++棱台 S = S ′S = 0 V 柱体 = Sh V 锥体=13Sh积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的14；V 2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V 1来表示.【解析】设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V = V 1 + V 2 = Sh .∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点∴14AEF S S =. 1117()34412S V h S S S Sh =++⋅= 21512V Sh V Sh =-= ∴V 1:V 2 = 7:5.【点评】本题求不规则的几何体C 1B 1—EBCF 的体积时，是通过计算棱柱ABC —A 1B 1C 1和棱台AEF —A 1B 1C 1的体积的差来求得的.例4：一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)【解析】因为圆锥形铅锤的体积为216()206032ππ⋅⨯=(cm 3) 设水面下降的高底为x ，则小圆柱的体积为π(20÷2)2x = 100πx (cm 3)所以有60π=100πx ，解此方程得x = 0.6 (cm).答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.拓展提升1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积。
高中必修二导学案 空间几何体的表面积与体积(含答案)
§1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【学习目标】1.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体、台体的表面积和体积。
【学习过程】阅读教材第23～26页，完成下列问题：1.什么是多面体的表面积？2.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？3.圆柱、圆锥、圆台的表面积几何体图形表面积公式元素意义圆柱底面积：S底=侧面积：S侧=表面积：=r—l—圆锥底面积：S底=侧面积：S侧=表面积：=r—l—圆台上底面积： S 上底=下底面积： S 下底= 侧面积： S 侧= 表面积： =r 、r ′—l —4. 柱体、锥体、台体的体积： （1）V 柱体= （2）V 锥体= （3）V 台体=【学习评价】1.长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为（ ） A.7 B.8 C. 3 √6 D. 6 √32.一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ） A.8π B. 16π C. 32π D. 12π3.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A.√3B.2 √3C.3 √3D. 4√34.已知四棱锥ABCD S -的用斜二测画法画出的直观图如图4所示，底面''''D C B A 是一个平行四边形，其中︒=∠45'''D A B ，cm B A 2''=，cm D A 1''=，直观图的高为cm 3，则四棱锥ABCD S -的体积为（ ） A.32cm B.34cm C.3314cm D.36cm 5.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（ ）A.3B.22C.32D.346.圆台的上、下底面积分别为π、4π，侧面面积为6π，则圆台的体积是( )A 、：33πB 、73C 、733 D 、373657.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（ ）A.3B.22C.32D.348.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 。
7 【平煤高中学案必修二】柱体、锥体、台体的体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的体积学习目标（1）了解柱、锥、台的体积公式（不要求记忆公式），能运用公式求解有关体积计算问题； （2）了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系； （3）培养学生空见想象能力、理性思维能力以及观察能力． 一、课前准备预习理解教材2527P P -的内容： 二、新课导学 （一）新知：1． 几何体高度的含义：（1）柱体的高是指 ，对于直棱柱来说，就是 ，对于圆柱来说，就是 ． （2）锥体的高是指 ，对于正棱锥和圆锥来说，是 ． （3）台体的高是指 ，对于正棱台和圆台来说，是 ． 2．体积公式：（1）柱体体积公式： （S 是底面面积，h 是高）． （2）锥体体积公式： （S 是底面面积，h 是高）．（3）台体体积公式： （1S 、2S 分别是上、下底面面积，h 是高）． （二）典型例题例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm 3)六角螺帽(如图)共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12cm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14，可用计算器)？2.（1）长方体的长、宽、高分别是2、3、4，则其体积是 ．（2）长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则其体积是 .（3）长方体的相邻的三个面的对角线长分别为4、5、6，则其体积是 ．3．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），求这个几何体的体积．三、反馈练习1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V = （ ） A ． 1:3 B ．1:1 C ． 2:1 D ． 3:12．若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）A ．B ．C ． 6cmD ．3．三棱锥ABC V -的中截面是111C B A ∆，则三棱锥111C B A V -与三棱锥BC A A 1-的体积之比是 （ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:6D ．1:84．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（ ） A ．b a B ． a b C ． 3()b a D ．3()ab5．圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的体积是 ．6．正四棱锥P ABCD -的底面边长是2，侧棱长是3，则这个棱锥的体积是 ．7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ．俯视。
《柱体_锥体_台体的表面积与体积》学案
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、知识点（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积= 侧面积+ ______________；（2）圆柱：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆锥：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆台：'r、r分别为上、下底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________；（S’、S分别为上、下底面面积，h为高）二、例题讲解题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积是______________；体积是______________。
图（1）解题反思：题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示，求这个正三棱柱的表面积与体积图（2）解题反思：题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE∆，BCF∆均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．32B．33C．34D．23EA BDCF侧视图俯视图主视图8题4： 圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为 ． 三、 巩固训练（课后作业）1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为____________________2、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为2，E 为11B A 的中点，则三棱锥11D AB E -的体积是____________.图（4）3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正 视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为xcm 的内接圆柱。
高中数学必修二北师大版学案学生版60 柱、锥、台的体积(学生版)
课题：柱、锥、台的体积☆学生版☆
学习目标.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式
.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积
学习重点：理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式
学习难点：熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积
一、自主学习
问题：阅读课本页内容回答下面问题
( )
ππππ
二、合作探究
探究一、如图①是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点.正三棱柱的主视图如图②.
求正三棱柱的体积.
图
[再练一题]
一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.
探究二、埃及胡夫金字塔大约建于公元前年,其形状为正四棱锥.金字塔高,底面边长.问这座金字塔的侧面积和体积各是多少?
探究三、如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
图
[再练一题]
.已知正四棱台的上底边长为，下底边长为，高为，求此正四棱台的体积
四、课堂检测
课本页
五.课堂小结
课题：柱、锥、台的体积☆课时作业☆。
新教材高中数学第6章柱锥台的体积学案含解析北师大版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：6．2 柱、锥、台的体积学习任务核心素养1．掌握柱、锥、台的体积计算公式．(重点、难点)2．会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积．(重点、难点)1．通过对柱、锥、台的体积公式的理解，培养学生直观想象素养．2．通过利用柱、锥、台的体积公式求几何体的体积，培养学生数学运算素养．南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．阅读教材，回答下列问题：问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝ShS—柱体的底面积，h—柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝13ShS—锥体的底面积，h—锥体的高台体圆台、棱台V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)hS上、S下—台体的上、下底面积，h—台体的高提示：表面积变大了，体积不变．2．柱、锥、台体的体积公式之间有什么联系？提示：V 柱体＝Sh ――→S 上＝S 下――→S 上＝0V 锥体＝13Sh思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)锥体的体积等于底面积与高之积． ( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )提示：(1)错误．V 锥体＝13Sh ，S 为锥体底面积，h 为锥体的高．(2)正确．[答案] (1)× (2)√类型1 多面体的体积【例1】 (教材北师版P 240例4改编)如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．[解] ∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC .在Rt △VMC 中，MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm). 在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm).S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)， ∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3).∴棱锥的体积为3253cm 3.(1)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．(2)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解．[跟进训练]1．如图是一个水平放置的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．其中AD ＝3，AA 1＝3，求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．[解] 在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在等边三角形ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.类型2 旋转体的体积【例2】 体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54 cm 3B ．54π cm 3C ．58 cm 3D ．58π cm 3A [由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2 cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3.]旋转体体积的求法要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．[跟进训练]2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.] 类型3 体积的综合问题【例3】 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．1．三棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高分别相等吗？体积相等吗？[提示] 棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高可能不分别相等，但它们的体积相等． 2．由尝试与发现1可以得到什么启示？[提示] 求一个三棱锥的体积，当其底面积或高不易求出时，可通过转换其底面积和高来求其体积．3．观察可知三棱锥A 1－D 1EF 和F －A 1D 1E 的体积相等，但三棱锥F －A 1D 1E 的高易求，所以可求三棱锥F －A 1D 1E 的体积．[解] 由题可知V 三棱锥A 1－D 1EF ＝V 三棱锥F －A 1D 1E,∵S △A 1D 1E ＝12EA 1·A 1D 1＝14a 2，又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，∴V 三棱锥F －A 1D 1E ＝13×a ×14a 2＝112a 3，∴V 三棱锥A 1－D 1EF ＝112a 3.本例中条件改为点F 为CC 1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．[解] 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ， 所以四边形EBFD 1是菱形． 连接EF ，则△EFB ≌△FED 1.因为三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－FED 1的高相等，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥A 1－EFB ＝2V 三棱锥F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝14a 2，所以V 三棱锥F －EBA 1＝112a 3，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥F －EBA 1＝16a 3.求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[跟进训练]3．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC .四棱锥E -ABCD 的体积V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF . ∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20.1．已知高为3的直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.]2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋62 B ．6＋2 2 C ．24D ．18B [V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.]3．如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12C ．23D ．34C [∵V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，∴V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.]4.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为( )A ．148B ．147C ．18D ．17B [设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.] 5．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．12π [由已知圆锥的高h ＝52－32＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.]回顾本节内容，自我完成下面问题： 求解几何体的体积时应注意哪些问题？提示：(1)求几何体的体积的难点是求出几何体的高，要善于利用线、面的位置关系求解． (2)对于棱锥体积的求解，当高不易求出时，要注意用换顶点法求解．(3)对不规则几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．。
人教A版高中数学必修二学柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母l 为母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，线长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A'
B'
D'
O'
C B A
D C'
O 第6课时 柱体、锥体、台体的体积
学习目标
1．掌握柱体、锥体、台体的体积公式
2．能运用柱体、锥体、台体的体积公式进行计算和解决有关问题.
自主梳理
1．柱、锥、台的体积公式：
问题思考与例题精讲
问题1．怎样求几何体的体积？
【例1】如图，已知正三棱台上、下底边长分别为6和12，侧棱长为4，求它的体积.
A'
B'
C B A
C'
【解析】如图，设正三棱台上、下底的重心为O 和'
O ，D 和'D 是BC 和'
'
C B 的中点
正三棱台上、下底边长分别为6和12
36,33'
'
==∴D A AD
3
921
'
=⋅⋅=∴AD BC S ，
3362
1
''''=⋅⋅=D A C B S
又343
2,3232'''
'====D A O A AD AO
俯视图正视图
侧视图
∴在直角梯形''A AOO 中，2)(2''2
''=--=AO O A AA OO
故该三棱台的体积为342)(3
1'''
=⋅++=
OO S S S S V 【点拨】要求棱台的体积，必需求出其上、下底的面积和高，棱台的高是指上、下两个底面的距离.
问题2．如何根据几何体的三视图求它的体积？
【例2】如图，一个简单空间几何体的三视图的正视图和侧视图是边
长为2的正三角形，俯视图为正方形，求它的体积.
【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面边长为2，斜高为2的正四棱锥
∴正四棱锥的高3=h
又 它的底面积422
==S 故它的体积3
3
431=⋅=
Sh V . 【点拨】由几何体的三视图，求它的体积，关键在于把几何体还原，并确定其有关数据.
问题3．怎样利用体积公式解决有关问题？
【例3】现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是20cm ，宽是20cm ．设水箱里盛有深为15cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，试求水深．
【分析】由于水箱是长方体的，而且原有的水能把铁块盖过，故只要求出铁块的体积就可以了.
【解析】 立方体铁块的棱长为10cm
∴它的体积为33100010cm V == ∴加入铁块后，水深增加cm h 220
251000
=⨯=
故加入铁块后，水深为cm 17152=+ 答：加入铁块后，水深为17cm.
正视图侧视图
俯视图
1
2
11
1
2
课时过关
1．若一个圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A ．π2
B ．π3
C ．
π2
2 D ．
π3
3 2．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
A ．33
1
cm
B ．332
cm
C ．334
cm
D ．33
8
cm
3．若圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为21,V V ，则=21:V V （ ）
A ．1：3
B ．1：2
C ．2：1
D ．3：1
4．矩形相邻两边的长为b a ,，当它分别绕b a ,旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）
A ．a
b
B ．b
a
C ．3
⎪⎭
⎫ ⎝⎛a b
D ．3
⎪⎭
⎫ ⎝⎛b a
5．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为
6．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、4、8，则这个长方体的体积为 7．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱81=AA .若B B AA 11水平放置时，液面恰好过1111
,,,C B C A BC AC 的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为多少？
1
B 1
3
2
俯视图正视图2侧视图
3
3
3
8．如图，直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的
2
3
，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是π)25(+，求这个旋转体的体积.
参考答案
课时过关
1．【答案】D
【解析】依题意，所求圆锥的底面半径为1，高为3
故其体积为ππ3
3
3131312=⋅⋅⋅==
Sh V . 2．【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面长和高均为2cm 的三棱锥 22222
1
cm S =⨯⨯=
∴底
故它的体积为3
3
431cm h S V =⋅⋅=底.
3．【答案】D
C
D A
B
【解析】1:3:,3
1
,2121=∴==V V Sh V Sh V 4．【答案】A
【解析】矩形绕边b a ,旋转一周所得的几何体都是圆柱，设它们的体积分别为21V V ，
b a V a b V ⋅=⋅=2221,ππ a
b V V =∴
21. 5．【答案】
3
2
4 【解析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2，高为2的正四棱锥
故其体积为3
2422312=⋅⋅=
V . 6．【答案】8
【解析】设这个长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，依题意，得：
,842
⎪⎩
⎪
⎨⎧===ca bc ab 则64)(2
=abc
故8==abc V
7．【解析】当B B AA 11水平放置时，中截面水液面积占4
3
411=- 故水液体积与三棱柱体积的比为
4
3
当底面ABC 水平放置时，液面的高为64
3
8=⨯
. 8．【解析】设直角梯形上、下底的长分别为)0(3,2>a a a
则a AD a BC 2,=
=
该梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体如图所示的圆柱与圆锥的组合体
22222
1
a a a S ππ=⋅⋅=
圆锥侧 2422a a a S ππ=⋅=圆柱侧
2a S π=圆柱底
ππ）（）（圆柱底圆柱侧圆锥侧表2525S S S 2+=+=++=a S ，故1=a
∴所求旋转体的体积
3223
7
231a a a a a V V V πππ=⋅+⋅=+=柱锥。