圆锥曲线知识点总结(绝对物超所值)
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是由平面上直线与一个定点及一定曲线相交而形成的曲线，分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
在高三数学中，学习圆锥曲线是必不可少的。
以下为圆锥曲线的相关知识点总结。
一、坐标系下的圆锥曲线方程式1.圆的方程所谓圆，是指平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
设圆心为$O({{x_0},{y_0}})$，半径为 $r$，则圆的方程为$${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$$3.双曲线的方程二、圆锥曲线的性质（1）对圆上任意一点，作圆的切线，它垂直于切点与圆心的连线。
（2）两个数轴上投影相等的两点与圆心之间的距离相等（称为圆的两点定理）。
（3）圆心为原点的圆，其半径为 $r$，横轴方程为 $x^2 + y^2 = r^2$，纵轴方程为$x^2 + y^2 = r^2$。
2.椭圆（1）椭圆的两个焦点与中心 $O$ 在一条直线上。
（2）椭圆的上下两支称为上半部和下半部，椭圆与 $x$ 轴的交点称为顶点。
（4）椭圆的到两个焦点分别距离和为定值，等于两倍的圆长轴长。
（2）双曲线的两支曲线称为左半支和右半支，曲线的两个交点称为顶点，与左右两支连接的两条直线称为渐近线。
4.抛物线（1）抛物线是关于顶点对称的曲线。
（2）抛物线与横轴交于顶点 $O$。
（3）抛物线与纵轴垂直。
三、曲线的参数方程如果把圆的中心移到原点，半径为 $r$，则圆的参数方程为$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$$如果双曲线的中心移到原点，且 $a>b$，则双曲线的参数方程为$$\begin{cases}x=c\cosh \theta \\y=b\sinh \theta\end{cases}$$其中，$c=\sqrt{{a^2} + {b^2}}$，$\cosh \theta = \frac{{{e^\theta } + {e^{ - \theta }}}{2}}$，$\sinh \theta = \frac{{{e^\theta } - {e^{ - \theta }}}{2}}$。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。
椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。
2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。
抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。
3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。
双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。
1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。
2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。
焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。
3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。
4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。
对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。
5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。
当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。
三、常见类型的圆锥曲线。
(完整版)圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线选知识点总结一、椭圆1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：2222二、双曲线1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：22x y 22y x 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有)位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结
《圆锥曲线》知识要点及重要结论、椭圆1定义 平面内到两定点 F 「F 2的距离的和等于常数2a(2^|F^2)的点P 的轨迹叫做椭圆•若2a = F ,F 2，点P 的轨迹是线段F I F 2・若0 ：：： 2a ：：： F ,F 2，点P 不存在•2 2务 与=1(a b 0)，两焦点为 R (_c,0), F 2(c,0). a b2 2X2 =1(ab ■ 0)，两焦点为 F i (0,_c), F 2(0,C ).其中 a 2"2 cla b3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴 .椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个，长轴长为2a ，短轴长为2b ，椭圆的焦点在长轴上•2 2若椭圆的标准方程为 务•与=1(a b ■ 0)，则- a 空x 空a, -b 曲乞b ； a b2 2若椭圆的标准方程为 =1(a b 0)，则-b 辽x 乞b,-a y 乞a .a 2b 2二、双曲线1定义 平面内到两定点 F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a(0 ：：： 2a ：：：R F ?)的点的轨迹叫做双曲线.若2^|F 1F 2，点P 的轨迹是两条射线.若2^|F 1F 2，点P 不存在.2 22 标准方程务 一―1(a ■ 0,b0)，两焦点为 F 1(-c,0), F 2(C ,0).a b2 2令…占二“ 0,b 0)，两焦点为 F 1 (0^c ), F 2(0, c ).其中 c 2 二 a 2 b 2. a b 3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心 双曲线的顶点有两个 A 1, A 2，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，双曲线的焦点在实轴上2 2J 壬-1(a 0,b 0)，则 x 乞-a 或x — a, y R ；a b2-牛=1(a 0,b 0)，则 y — -a 或 y — a, x R .b 22标准方程 若双曲线的标准方程为 若双曲线的标准方程为2a4渐近线双曲线的渐进线是它的重要几何特征， 每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线， 但对于同组渐进线却对应无数条双曲线 •2 2 2 2与双曲线 笃-与 "(a 0,b ■ 0)共渐进线的双曲线可表示为 笃一笃=，(・=0).a ba b直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数 同时成立•5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线•2 2 2 2等轴双曲线的标准方程为 务一爲=1(a . 0)或爲-笃 "(a ■ 0).a aa a等轴双曲线的渐近线方程为 y =「x .6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线2 2 2 2如：笃-与=1(a0,b - 0)的共轭双曲线为 每-务=1(a0,b - 0)，它们的焦点到a bb a原点的距离相等，因而在以原点为圆心，.a 2 b 2为半径的圆上.且它们的渐近线都是b b y x 和 y x .aa三、抛物线1定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线l(F 不在I 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线. 2标准方程(1) y 2 =2px(p 0)，焦点为(号,0)，准线方程为x = -号，抛物线张口向右.⑵y 2 =-2px(p 0)，焦点为(-p,0)，准线方程为x =号，抛物线张口向左.⑶x 2 =2py (p 0)，焦点为 (0导 ，准线方程为y = 一号，抛物线张口向上.⑷X 2 - -2 py (p 0)，焦点为 (0』) ，准线方程为y = _p ，抛物线张口向下. 其中p 表示焦点到准线的距离. 3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为y 2 = 2 px( p - 0)或y 2 = -2 px( p - 0)，2 2双曲线x y2 -.2ab2 2yx 2.2 a b=1(a 0, b 0)有两条渐近线y=1( a 0, b 0)有两条渐近线y a a x 和yx .即b b 2 2x y=02■ 2ab22yx2.2ab=0” 和“二.0双曲线则对称轴是x 轴，若方程为x 2 =2py(p . 0)或x 2 =_2py(p 0)，则对称轴是y 轴.若抛物线方程为y 2 =2 px( p 0)，则x 亠0, y 尸R . 若抛物线方程为y 2 - -2 px( p .0)，则x _ 0, y• R .2若抛物线方程为x =2py(p . 0)，则y_0,x ・R . 若抛物线方程为x 2 - -2 py( p .0)，贝V y 込0, x 三R .圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】2 21已知椭圆 笃•与 "(a b 0)的两焦点为F !^c,0),F 2(c,0)，P(x °,y °)为椭圆上一a b点，则I PF.H c)*2冷冷心讪1一予)ms 丿 丿cx 0 cx 0因为 一a _ x 0 _ a ， -c 仝乞 c,0 ：：： a -c 0 a c ，aa所以 |PF^-cx ° +a .同理，PF 2 =2a — PF,| =a —也.a a. b sin a 2a L F!PF 2的面积为b tan .1 +cos^2解：根据椭圆的定义可得|PF_, +|PF 2| =2a ①由余弦定理可得 4c 2 = F J F 2 2 =|PFj 2 +|PF 2 2 — 2PF 」PF 2 COS 。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是平面上的一类重要的几何曲线，由易知，它们具有各种各样的性质和特点，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
下面将对圆锥曲线的基本概念、方程及其性质进行简要总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和圆锥交于一条封闭曲线形成的曲线。
根据圆锥和平面的位置关系，可以分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
（一）椭圆当切割平面与圆锥的两部分相交时，形成椭圆。
椭圆有两个焦点，与这两个焦点的距离之和是常数。
椭圆的方程常用标准方程表示为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
（二）抛物线当切割平面与圆锥的一部分相交时，形成抛物线。
抛物线是一条对称曲线，其开口方向由切割平面的位置决定。
抛物线的方程常用标准方程表示为：y = ax²，其中a为常数。
（三）双曲线当切割平面与圆锥的两部分不相交时，形成双曲线。
双曲线有两个焦点，与这两个焦点的距离之差是常数。
双曲线的方程常用标准方程表示为：(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别表示双曲线的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的方程（一）椭圆的一般方程椭圆的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
（二）抛物线的一般方程抛物线的一般方程为：Ay² + Bx + C = 0，其中A、B和C为常数。
（三）双曲线的一般方程双曲线的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，且B² - 4AC > 0。
三、圆锥曲线的性质（一）椭圆的性质1. 椭圆是一个闭合曲线，对称于x轴和y轴。
2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 椭圆有两个焦点，对称于椭圆的长轴上。
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圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122
22=+b
x a y （0a b >>）（焦点在y 轴
上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2
2
2
b a
c =-；
②在22221x y a b +=和22221y x a b
+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2
x 和2y 的分
母的大小。
例如椭圆
22
1x y m n
+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程22
221x y a b
+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令
0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，
2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2
2
2
2222||||||OF B F OB =-，即222
c a b =-；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c
e a
=
叫椭圆的离心率。
∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时
椭圆越接近于圆。
当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222
x y a +=。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。
注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；
21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射
线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。
①范围：从标准方程122
22=-b
y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
即
22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
②对称性：双曲线122
22=-b
y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
是双曲线122
22=-b
y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所
以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122
22=-b
y a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从
图上看，双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2
2
≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。
⑥注意191622=-y x 与22
1916
y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2
p ,0），它的准线方程是2p x -= ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22
-=，py x 22
=，py x 22
-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
22(0)y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py
p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准线方程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性
x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e =
1e =
1e = 1e =
点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。
o F
x
y l
o
x
y
F l
x
y
o
F l。