江苏省苏州市2017届高三3月数学二轮研讨会教案_利用函数研究不等式问题(常熟市全国通用)

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高考数学二轮复习第2部分专题7第2讲不等式选讲教案文选修4_5

第2讲选修4－5 不等式选讲[做小题——激活思维]1．已知正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为________． [答案] 132．不等式|3x －1|≤2的解集为________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 3．若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，则参数a 的取值范围是________．[答案] (1，＋∞) 4．已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ＋n c －a≥0恒成立，则n 的取值范围是________． [答案] (－∞，4]5．函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． [答案] 63[扣要点——查缺补漏]1．|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．如T 2. (2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．不等式的证明 (1)绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.如T 3. (2)算术—几何平均不等式如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．如T 1，T 4.(3)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点．含绝对值不等式的解法(5年8考)[高考解读] 绝对值不等式的解法是每年高考的热点内容，主要为含两个绝对值的不等式的求解，难度适中.[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．切入点：将g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|的解析式化为分段函数的形式．关键点：正确求出f (x )≥g (x )的解集，然后利用集合间的包含关系求解．[解] (1)法一：当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. 法二：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，2，－1≤x ＜1，－2x ，x ＜－1，当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，在同一平面直角坐标系中，画出g (x )与f (x )的图象如图，易求得A (－1,2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋172，－1＋17，所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172.(2)法一：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．法二：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2，即－x 2＋ax ＋4≥2.当x ＝0时，－x 2＋ax ＋4≥2成立．当x ∈(0,1]时，－x 2＋ax ＋4≥2化为a ≥x －2x.而y ＝x －2x在(0,1]上单调递增，所以最大值为－1，所以a ≥－1.当x ∈[－1,0)时，－x 2＋ax ＋4≥2化为a ≤x －2x.而y ＝x －2x在[－1,0)上单调递增，所以最小值为1，所以a ≤1.综上，a 的取值范围为[－1,1]． [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.|x －a |＋|x －b |≥c 或≤cc ，|x －a |－|x －b |≥c 或≤c c 型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.利用绝对值的几何意义解题由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c c 或|x －a |－|x －b |≥c c的不等式，用绝对值的几何意义求解更直观.1．(绝对值不等式的解法、恒成立问题)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)若不等式f (x )≤|a ＋1|恒成立，求a 的取值范围； (2)求不等式|f (x )－|x ＋2||>3的解集．[解] (1)f (x )＝|x －1|－|x ＋2|≤|(x －1)－(x ＋2)|＝3，由f (x )≤|a ＋1|恒成立得|a ＋1|≥3，即a ＋1≥3或a ＋1≤－3，得a ≥2或a ≤－4. ∴a 的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．(2)不等式|f (x )－|x ＋2||＝||x －1|－2|x ＋2||>3等价于|x －1|－2|x ＋2|>3或|x －1|－2|x ＋2|<－3，令g (x )＝|x －1|－2|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≥1，－3x －3，－2≤x <1，x ＋5，x <－2，由x ＋5＝－3得x ＝－8，由－3x －3＝－3得x ＝0，作出g (x )的图象如图所示，由图可得原不等式的解集为{x |x <－8或x >0}．2．(绝对值不等式的解法、有解问题)已知函数f (x )＝|a －3x |，若不等式f (x )＜2的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0.(1)解不等式f (x )≤|x －2|＋4；(2)若不等式f (x )＋3|2＋x |≤t －4有解，求实数t 的取值范围． [解] (1)f (x )＜2即|a －3x |＜2，解得a －23＜x ＜a ＋23，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －23＝－43，a ＋23＝0，得a ＝－2.∴f (x )≤|x －2|＋4可化为|3x ＋2|－|x －2|≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23，－x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧－23≤x ≤2，x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＋－x －，解得－4≤x ≤1，∴不等式f (x )≤|x －2|＋4的解集为{x |－4≤x ≤1}．(2)不等式f (x )＋3|2＋x |≤t －4等价于|3x ＋2|＋|3x ＋6|≤t －4. ∵|3x ＋2|＋|3x ＋6|≥|(3x ＋2)－(3x ＋6)|＝4， ∴由题意，知t －4≥4，解得t ≥8，故实数t 的取值范围是[8，＋∞)．不等式的证明(5年5考)[高考解读] 不等式的证明也是高考考查的重点，主要考查作差法和基本不等式法的应用，难度适中，考查学生的逻辑推理核心素养.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 切入点：abc ＝1.关键点：①“1”的代换；②将(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3改编为3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )． [证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋caabc＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |. 切入点：M 为不等式f (x )<2的解集．关键点：平方后作差比较．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [教师备选题]1．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．[解] (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.2．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． [证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明不等式的方法和技巧如果已知条件与待证明的结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出，或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法和证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式组求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.1．(利用基本不等式证明)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4.[解] (1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥43或x ≤－23. (2)∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4， ∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ， b 2a＋a ≥2b ， ∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ， ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ＝4. 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．2．(作差法和分析法证明不等式)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |. 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab＋1|2>|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0.因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1.所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立．含绝对值不等式的恒成立问题(5年4考)[高考解读]与绝对值不等式有关的恒成立问题也是每年高考的热点，其实质还是考查绝对值不等式的解法，难度适中.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．切入点：去绝对值号．关键点：正确确立f(x)的值域．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当x≥1时，f(x)≥0，所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．[教师备选题](2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.解决含绝对值不等式的恒成立问题，用等价转化思想利用三角不等式求出最值进行转化；利用分类讨论思想，转化成求函数值域；数形结合转化.1．(2019·贵阳模拟)已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x <－1，3x ，－1≤x ≤12，－x ＋2，x >12. 当x <－1时，由x －2>0得x >2，即解集为∅；当－1≤x ≤12时，由3x >0得x >0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x ≤12；当x >12时，由－x ＋2>0得x <2，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. 综上所述，f (x )>0的解集为{x |0<x <2}．(2)不等式f (x )≤a ＋x 恒成立等价于f (x )－x ≤a 恒成立，则a ≥[f (x )－x ]max ，令g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，则g (x )max ＝1，所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 2．[一题多解](2019·福州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋3a ，a ∈R . (1)若对于任意x ∈R ，总有f (x )＝f (4－x )成立，求a 的值； (2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，求a 的取值范围． [解] (1)法一：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又f (x )＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a 2＋3a 的图象关于直线x ＝－a 2对称，所以－a 2＝2，所以a ＝－4. 法二：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以|2x ＋a |＋3a ＝|2(4－x )＋a |＋3a ，所以|2x ＋a |＝|8－2x ＋a |，即2x ＋a ＝－(8－2x ＋a )或2x ＋a ＝8－2x ＋a (舍去)，所以a ＝－4.(2)法一：存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，等价于存在x ∈R ，使得|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ≤0成立，等价于(|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a )min ≤0.令g (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ，则g (x )min ＝|(2x ＋a )－(2x －1)|＋2a ＝|a ＋1|＋2a . 所以|a ＋1|＋2a ≤0.当a ≥－1时，a ＋1＋2a ≤0，a ≤－13，所以－1≤a ≤－13；当a <－1时，－a －1＋2a ≤0，a ≤1，所以a <－1.综上，a ≤－13. 法二：由f (x )≤－|2x －1|＋a 得，|2x ＋a |＋|2x －1|≤－2a ，而|2x ＋a |＋|2x －1|≥|a ＋1|，由题意知，只需满足|a ＋1|≤－2a ，即2a ≤a ＋1≤－2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋1，a ＋1≤－2a ，所以a ≤－13.。

高三数学二轮复习专题1函数性质及应用教案苏教版

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高三数学二轮复习专题 1 函数性质及应用教案苏教版例 2、偶函数 f(x) 在 [0 ， +∞）上是增函数，求不等式 f(2x+5) ＜ f(x 2+2) 的解集。
例 3、如图，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为
2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等
腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上，记 CD=2x，梯形面积为 S。
8、已知函数 f(x)= x2 1 -ax 在区间（ 0，+∞）上是单调函数，求 a 的取值范围。
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2
2
2
（填“＞” ，“＜”，或“ =”）。
3、函数 f(x) 的图象沿 x 轴翻折后与 y= log 1 x 的图象重合，则 f(x) 的解析式为
2
11
1x
x2 , x 0,
4、有下列函数：① y=
3x
1
;
2
② y= log 2 1
; ③ y=
x
x 2,
，其中为奇函
x 0.
数的有
个。
5、定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x) ，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=
1、若集合 A={x|x a} ，B={x|1 x 2} ，且 A∪（ CRB） =R，则实数 a 的取值范围是
1
2、曲线 y= e 2 在点（ 4, e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
3、若
1 f(
x )
1
x2
2
，则
f(1)=
1x 1x

苏州市高三数学二轮复习示范课教案--4.高考中三角形的求解问题研究(丁益民).doc

专题：高考中三角形的求解问题研究江苏省苏州实验中学丁益民一．复习要点1.运用正余弦定理进行边角互化解三角形，特别是有关求角、求值、求范围等问题；2.综合三角恒等变换、向量运算等知识解决涉及三角形求解的综合问题. 二．基础训练1.在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A 、B 、C ，且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅-+，则角B = . 答案：3π. 解析：由正弦定理得222b ac c a =-+，整理为ac b c a =-+222，由余弦定理得),0(,21cos π∈=B B ，故3π=B .2.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，若1cos 3A =，3b c =，则C sin = . 答案:31.解析：由余弦定理bca cb A 2cos 222-+=及c b 3=，得228c a =，22229b c c a ==+，故31cos sin ==A C .3.已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=，tan2A 的值= .答案:34-.解析：由AB AC S ⋅= 得A bc A bc sin 21cos =，知,2t a n =A 由二倍角公式A A A 2tan 1tan 22tan -=，得342tan -=A .4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C , b cos B , c cos A 成等差数列，若b ＝3，则a ＋c 的最大值为 . 答案:32.解析：由题意知B b A c C a cos 2cos cos =+可得3π=B ，思路1：运用正弦定理)6sin(32sin 2sin 2π+=+=+A C A c a ，得c a +的最大值；思路2：由余弦定理得3cos2222πac c a b -+=，即33)(2=-+ac c a ，再由基本不等式2)2(c a ac +≤可求c a +最大值. 5.在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则 =+222c b a .答案：3解析：切化弦，1)sin cos sin cos (cos sin =+BB A AC C ，再由正弦定理、余弦定理得122222=-+c b a c ，可得=+222c b a 3.6.在三角形ABC 中，AB =4，AC =2，内角A 的平分线长AD =334，则BC = .答案：32.解析：由角分线性质DCBD AC AB =，设x BD x DC 2,==，分别在ACD ABD ∆∆、中运用余弦定理，构造方程解得x 即可. 三．例题讲评例1 在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =. (1)求证:tan 3tan B A =;(2)若5cos 5C =，求A 的值. 解析：(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B ,即cos =3cos AC A BC B . 由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B .又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，. ∴sin sin =3cos cos B A B A即tan 3tan B A =. (2)∵ 5cos 05C <C <π=，,∴2525sin 1=55C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∴tan 2C =. ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=-- . 由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. ∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π.例2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且228cos21b C a=-．（1）求11tan tan A C+的值；（2）若8tan 15B =，求tan A 及tanC 的值.解析：（1）∵228cos21b C a =-，∴2224sin b C a= ．∵ C 为三角形内角，∴sin 0,C >∴2sin bC a=．∵sin sin a b A B =，∴ sin sin b B a A= ． ∴2sin sin sin B A C = ∵A B C π++=，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．∴2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=．∵sin sin 0A C ≠ ，∴111t a n t a n 2A C += ．（2）∵111tan tan 2A C +=，∴2tan tan tan 2C A C =- ． ∵A B C π++=,∴22tan tan tan tan tan()1tan tan 2tan tan 2A C cB AC A C C C +=-+=-=--+．∴ 228tan 152tan tan 2c C C =-+ 整理得2tan tan 160C C -+= 解得，tan 4C =，tan 4A = ．例3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，AM 是BC 边上的中线.（1）求证：2222221a cb AM -+=；（2）若3π=A ，3a =，求AM 的取值范围.解析:(1)在ABM ∆中运用余弦定理AMB BM AM BM AM AB ∠⋅⋅-+=cos 2222，即AMB aAM a AM c∠⋅-+=cos 22)2(222①在ACM ∆中运用余弦定理AMC CM AM CM AM AC ∠⋅⋅-+=cos 2222，即AMC aAM a AM b ∠⋅-+=cos 22)2(222 ②①+②得222222a AM c b +=+，整理得 2222221a c b AM -+=，证毕.（2）由（1）222324b c AM +=-．由余弦定理222222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-=，∵2222032b c b c bc +<+-=≤，∴2236b c <+≤，∴23944AM <≤，即3322AM <≤．（注：本题还可采用向量法、解几法、三角换元法等方法解决）四．课堂总结五．随堂练习1.ABC ∆的内角C B 、、A 的对边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等比数列，且a c 2=，则=B cos . 答案：43 2.ABC ∆的内角C B 、、A 的对边分别为c b a 、、,且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB= .答案：43.ABC ∆三边长为c b a ,,，对应角为C B A ∠∠∠,,，已知()222b a c CB CA --=⋅，则C ∠= .答案：060.4.已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4，四边形ABCD 的面积为 .答案：38.5.如图，点P 在ABC ∆内，23AB CP BC ===,, πP B ∠+∠=，记B α∠=．（1）试用α表示AP 的长；（2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并写出此时α的值．解：（1）△ABC 与△APC 中，由余弦定理得，22223223cos AC α=+-⨯⨯， ①()222222cos AC AP AP α=+-⨯⨯π-，②由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π，，，解得34c o AP α=-；（2）()()1123sin 2sin 0 22ABC APC S S S AP ααα∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯π-∈π,，由（1）得4sin cos S αα=⋅2sin2 α=，()0 α∈π，（13分）所以当4απ=时，max 2S =．设计说明：有关三角形中的求解问题是高考中的热点内容之一，几乎每年高考都会出现以解三角形为背景的试题，主要考查学生运用正、余弦定理以及其他知识（三角函数性质、三角恒等变换、向量运算、函数等知识）解决有关三角形求解问题的能力.本节课是二轮复习课的“小专题”，定位是高考中的基本题、中档题（即高考试卷的第15题难度），设计了“基础训练”、“例题选讲”、“课堂总结”、“随堂练习”等环节，设想如下：1.“基础训练”中以复习“基本知识与基本方法”为出发点，帮助学生梳理正余弦定理等基本知识，并逐渐浮现本节课重点;2.在例题设置时，力求做到例题与小题相呼应，例题是对小题的补充与拓展，如例1是第3小题的拓展延伸，例3（2）与第4小题的背景一致，例2是第5小题的延续，例3与第6小题恰好是同类问题;3.通过小题以及例题的讲解，还想提醒学生在后期复习中要重视课本，回归课本中重要定理、例题、习题的过关训练，并且在教师的引导下进行延拓与深究；4.随堂训练选择了与前面小题、例题中类似的问题，目的是对本节课所讲知识点进行强化、针对性训练.α A B CP （第5题图）。

江苏省苏州市第五中学高三数学函数的综合应用复习教

江苏省苏州市第五中学高三数学函数的综合应用复习教案教学目标：1.理解函数的概念,性质及研究方法;2.学会用函数的观点和方法来观察和分析数学问题;3.学习函数与方程思想,数形结合思想,等价转化思想,分类讨论思想等. 教学重点与难点：用数形结合的思想解决函数问题.一．基础练习 1.函数221()log (1)x f x x --=-的定义域为 .2.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f ，若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 . 3.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 .4. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=二．典型例题例1.已知函数,12)(2-+-=a x ax x f ()为实常数a ,(1) 若a =1，作函数)(x f 的图像;(2) 设)(x f 在区间[]2,1上的最小值为)(a g ,求)(a g 的表达式;(3) 设h (x )＝f (x )x ，若函数)(x h 在区间[]2,1上是增函数，求实数a 的取值范围。

例2.已知函数f (x )＝ln x x. (1) 求函数)(x f 的单调区间;(2) 设0>a ,求函数)(x f 在区间[]a a 2,上的最小值；(3) 某同学发现：总存在实数)(,b a b a <使ab b a =，试问：他的判断是否正确？若不正确，说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围.（不需要解题过程）.三．巩固练习：1. 设函数f (x )=x (x x ae e -+)(x ∈R )是偶函数，则实数a =________.2. 用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设f （x ）=min { x+2,10-x } (x ≥0),则f （x ）的最大值为 .3. （2010全国卷1）直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .4. 将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是________.。

江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（）A ．100B ．210C ．380D ．4002．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 3．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A ．4B ．34C ．211D ．14 5．函数的图象可能是下列哪一个？（）A ．B ．C ．D ．6．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同7．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,10,10 C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 8．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（）A ．4πB ．38πC ．2πD ．58π 9．已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（） A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x << 10．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x x x a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（）A ．85[,)52 B ．75[,)42 C ．57[,)34 D ．7(,2]411．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（） A ．49 B ．94 C ．23 D ．3212．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

苏教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第四章第四节三次函数的图象与性质

[解析]′ = − − + − − ，由题意得
− − ⋅ + − − ≥ 恒成立，∴ = −

− ൫
− − ൯ = − + − + + = ( − + ) ≤ ，
主题二函数
第四章一元函数的导数及其应用
第四节三次函数的图象与性质
1
1 强基础知识回归
2
2 研考点题型突破
课 1.借助一元三次函数了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.
标 2.能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
解 3.借助导数，会求闭区间上一元三次函数的最大值与最小值，体会导数与单调性、极
1 , 2
增区间为____________
____；减区间为______
−∞, 1 2 , +∞
____________
_______
1 ，2
三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个.
无增区间；减区
−∞, +∞
间为__________
无
____
4.奇偶性
==0
（1）不可能为偶函数；（2）当且仅当__________时是奇函数.
涉及求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数范围等问题.
题型二三次函数的零点与切线问题
典例2（1）函数 = 3 + + 2存在3个零点，则实数的取值范围是()
B
A. −∞, −2 B. −∞, −3 C. −4, −1 D. −3,0
[解析]由 = + + ，得′ = + ，若存在3个零点，则要

(江苏专用)2020高考数学二轮复习专题五函数、不等式与导数教学案

专题五函数、不等式与导数[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点 1.函数的基本性质(5年5考)2.函数的零点问题(5年4考)3.导数与函数的单调性(5年2考)4.基本不等式(5年4考) 本部分内容在高考解答题中为必考内容，考查类型有四类：第一类考查函数的单调性及应用函数零点求参数(2015年T19)，第二类考查函数与不等式零点问题(2016年T19)，第三类考查函数与导数、函数的极值、零点问题(2017年T20，2019年T19)，第四类考查函数的定义、零点以及导数应用与函数的性质(2018年T19)；题目总体难度较大，多体现分类讨论思想和考查推理论证的能力.偶考点 1.一元二次不等式恒成立问题2.线性规划问题第一讲 | 小题考法——函数考点(一) 函数的基本性质主要考查函数的三要素以及函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，常结合分段函数命题.[题组练透]1．(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．解析：由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案：222．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，123．(2019·南通等七市一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )．当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为________．解析：f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1，得f (－1)＝f (1)，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则f (1)＝2－a ＝0，故a ＝2.答案：24．(2019·南通等七市一模)已知函数f (x )＝(2x ＋a )(|x －a |＋|x ＋2a |)(a <0)．若f (1)＋f (2)＋f (3)＋ … ＋f (672)＝0，则满足f (x )＝2 019的x 的值为________．解析：因为a <0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋a ）2，x ≥－2a ，－3a （2x ＋a ），a <x <－2a ，－（2x ＋a ）2，x ≤a .易知函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0对称，且在R 上单调递增．若f (1)＋f (2)＋f (3)＋ … ＋f (672)＝0，则－a 2＝1＋6722，a ＝－673，则当x ≥－2a 时，f (x )≥9a 2＝9×6732>2 019，当x ≤－a2时，f (x )≤0，所以3×673(2x －673)＝2 019，所以x＝337.答案：337[方法技巧]函数性质的应用技巧奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解对称性利用其轴对称或中心对称可将研究的问题，转化到另一对称区间上研究考点(二) 基本初等函数主要考查基本初等函数的图象和性质以及由基本初等函数复合而成的函数的性质问题.[题组练透]1．(2018·南通检测)已知幂函数f (x )＝x α，其中α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，2，3.则使f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的所有取值的集合为________．解析：幂函数f (x )为奇函数，则α＝－1，1，3，f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则α的所有值为1，3.答案：{1，3}2．已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x的图象共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑i ＝1k (x i ＋y i )＝________．解析：如图，函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0，1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0，1)成中心对称，且只有两个交点，所以∑i ＝12 x i =0,∑i ＝12 y i =2,则∑i ＝1k(x i ＋y i )＝2.答案：23．(2018·镇江期末)不等式log a x －ln 2x ＜4(a ＞0且a ≠1)对任意x ∈(1，100)恒成立，则实数a 的取值范围为________________．解析：不等式log a x －ln 2x ＜4可化为ln x ln a －ln 2x ＜4，即1ln a ＜4ln x＋ln x 对任意x ∈(1，100)恒成立．因为x ∈(1，100)，所以ln x ∈(0，2ln 10)，所以4ln x ＋ln x ≥4，故1ln a＜4，解得ln a ＜0或ln a ＞14，即0＜a ＜1或a ＞e 14.答案：(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫e 14，＋∞4．(2019·南京盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|，x ≤0，x 3－12x ＋3，x >0.设g (x )＝kx ＋1，且函数y＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为________．解析：由题意知，要使y ＝f (x )－g (x )的图象经过四个象限，只需y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)都相交且交点个数大于1.当x >0时，f (x )＝x 3－12x ＋3，f ′(x )＝3x 2－12.易知f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f (2)<0.又g (x )＝kx ＋1的图象恒过(0，1)，所以易得过(0，1)且与f (x )＝x 3－12x ＋3(x >0)的图象相切的切线的斜率为－9，所以k >－9.当x ≤0时，作出f (x )＝|x ＋3|的图象(图略)，数形结合易知k <13.综上可知，实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－9，13 [方法技巧]基本初等函数图象与性质的应用技巧(1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同.考点(三) 函数的零点问题主要考查函数零点个数问题以及根据函数零点个数求参数的取值范围.[典例感悟][典例] (1)(2018·苏锡常镇一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x <1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．(2)(2018·镇江期末)已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．[解析] (1)当x ≥1时，y ＝ln x x 2－18，则ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2，令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1，则函数g (x )是连续函数且先增后减，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2有2个零点．当x ＜1时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x <0，1－12x，x ∈[0，1），函数的图象与y ＝18的图象如图，则两个函数有2个交点，综上，函数y ＝|f (x )|－18有4个零点．(2)作函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象，如图所示，两图象除了(0，2)还应有3个公共点．当k ≥0时，直线应与曲线y ＝f (x )(x >1)相切，设切点为(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e3；当k <0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1相切于点(0，2)时，k ＝－1，函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象只有3个公共点，不符合题意，当－1<k <0时，函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋2的图象只有3个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f (x )(0<x <1)相切时，两图象只有3个公共点，设切点为(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k <－e 时，两图象只有两个公共点，不合题意，而当－e<k <－1时，两图象有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．[答案] (1)4 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)[方法技巧]利用函数零点的情况求参数值或范围的方法[演练冲关]1．(2019·苏州期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：法一：方程f (x )－kx ＝3，即f (x )＝kx ＋3有三个相异的实根，即曲线y ＝f (x )和直线y ＝kx ＋3有三个不同的交点，作出大致图象如图所示．又直线y ＝kx ＋3和y ＝－2x (x <0)必有一个交点，所以k >－2，则直线y ＝kx ＋3与曲线y ＝－x 2＋2x (x ≥0)有两个交点，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y ＝－x 2＋2x （x ≥0），整理得x 2＋(k －2)x ＋3＝0(x ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧－（k －2）>0，Δ＝（k －2）2－12>0，得k <2－23，故实数k 的取值范围是(－2，2－23)．法二：当x <0且k ≠－2时，方程f (x )－kx ＝3可转化为－2x －kx ＝3，解为x ＝－32＋k ，当x ≥0时，方程f (x )－kx ＝3可转化为－x 2＋2x －kx ＝3，即x 2＋(k －2)x ＋3＝0(x ≥0)，若Δ＝(k －2)2－12>0，则x ＝2－k ±（k －2）2－122，因为方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＋k<0，2－k －（k －2）2－122≥0，（k －2）2－12>0，解得－2<k <2－23，所以实数k 的取值范围是(－2，2－23)．答案：(－2，2－23)2．(2019·江苏高考)设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0，2]时，f (x )＝1－（x －1）2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋2），0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________．解析：当x ∈(0，2]时，y ＝f (x )＝1－（x －1）2⇔(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，结合f (x )是周期为4的奇函数，可作出f (x )在(0，9]上的图象如图所示．∵ 当x ∈(1，2]时，g (x )＝－12，又g (x )的周期为2，∴ 当x ∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g (x )＝－12.由图可知，当x ∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点，∴ 当x ∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点．又当x ∈(0，1]时，y ＝g (x )＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点A (－2，0)，由图可知，当x ∈(2，3]∪(6，7]时，f (x )与g (x )的图象无交点，∴ 当x ∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f (x )与g (x )的图象有6个交点．由f (x )与g (x )的周期性可知，当x ∈(0，1]时，f (x )与g (x )的图象有2个交点．当y ＝k (x ＋2)与圆弧(x －1)2＋y 2＝1(0＜x ≤1)相切时，d ＝|3k |k 2＋1＝1⇒k 2＝18(k >0)⇒k ＝24.当y ＝k (x ＋2)过点A (－2，0)与B (1，1)时，k ＝13.∴ 13≤k ＜24. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，243．(2019·扬州期末)已知函数f (x )＝a ＋3＋4x－|x ＋a |有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．解析：令f (x )＝a ＋3＋4x －|x ＋a |＝0，得|x ＋a |－4x －a ＝3，设g (x )＝|x ＋a |－4x－a ，则函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4x－2a ，x <－a ，x －4x ，x ≥－a ，不妨设f (x )＝0的三个根分别为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，当x ≥－a 时，由f (x )＝0，得g (x )＝3，即x －4x＝3，得x 2－3x －4＝0，得(x ＋1)(x －4)＝0，解得x ＝－1或x ＝4.①－a ≤－1，即a ≥1，此时x 2＝－1，x 3＝4，由等差数列的性质可得x 1＝－6，由f (－6)＝0，即g (－6)＝3，得6＋46－2a ＝3，解得a ＝116，满足题意．②－1<－a ≤4，即－4≤a <1，则f (x )＝0在(－∞，－a )上有两个不同的解x 1，x 2，x 3＝4，所以x 1，x 2是－x －4x－2a ＝3在(－∞，－a )上的两个解，即x 1，x 2是x 2＋(2a ＋3)x ＋4＝0在(－∞，－a )上的两个解，则Δ＝4a 2＋12a －7>0，x 1，2＝－（2a ＋3）±Δ2，所以x 1＋x 2＝－(2a ＋3)，x 1x 2＝4，由x 1，x 2，x 3成等差数列，且x 1<x 2<x 3，得2x 2＝x 1＋4，得a ＝－1＋332(舍去)或a ＝－1－332，符合题意．③－a >4，即a <－4时，f (x )＝0最多有两个解，不满足题意．综上所述，实数a 的值为116或－1－332.答案：116或－1－332[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要牢记 1．函数的定义域(1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．(2)对于复合函数的定义域要注意：①如果函数f (x )的定义域为A ，则f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围． ②如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域． ③f (g (x ))与f (h (x ))联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同． 2．函数的值域求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等． 3．函数的图象函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．5．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．6．函数的周期性周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |，最小正数T 叫做f (x )的最小正周期．(二) 二级结论要用好1．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数．(2)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(3)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f (x )＝0.2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f （x ），则f (x )是周期函数，T ＝2a . (2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，或f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，或f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．[课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}2．(2019·江苏高考)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．解析：要使函数有意义，需7＋6x －x 2≥0，即x 2－6x －7≤0，即(x ＋1)(x －7)≤0，解得－1≤x ≤7. 故所求函数的定义域为[－1，7]．答案：[－1，7]3．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0，即f (x )＝ln 1|x |＋1的值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]4．(2019·南京盐城一模)已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋1，则f (－ln 2)的值为________．解析：法一：因为f (x )为奇函数，f －(ln 2)＝－f (ln 2)＝－(e ln 2＋1)＝－3.法二：当x <0时，－x >0，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x ＋1)，因为－ln 2<0，所以f (－ln 2)＝－(e ln 2＋1)＝－3.答案：－35．已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f （x ）f （x ）.若g (2)＝3，则g (－2)＝________．解析：由题意可得g (2)＝2＋f （2）f （2）＝3，解得f (2)＝1.又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f （－2）f （－2）＝2－1－1＝－1.答案：－16．(2019·苏北三市一模)已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝(x －2)·(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x 的不等式f (2－x )>0的解集为________．解析：因为f (x )＝(x －2)(ax ＋b )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，所以b ＝2a ，f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2)，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以a <0，由二次函数的图象可知f (x )>0的解集为(－2，2)．f (2－x )＝f (x －2)，而f (x －2)的图象可看成是由f (x )的图象向右平移2个单位长度得到，所以f (2－x )>0的解集为(0，4)．答案：(0，4)7．(2018·福建模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －a ，x ≥1，ln （1－x ），x <1有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x <1时，令ln(1－x )＝0，解得x ＝0，故f (x )在(－∞，1)上有1个零点， ∴f (x )在[1，＋∞)上有1个零点．当x ≥1时，令x －a ＝0，得a ＝x ≥1. ∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)8．(2018·苏州模拟)设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则a ，b ，c 按从小到大的顺序排列为_________．解析：因为log 132<log 131＝0，log 1213＝log 23>log 22＝1，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即a <0，b >1，0<c <1，所以a <c <b .答案：a <c <b9．(2019·苏锡常镇四市一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1，x >0，若f (a －1)＝12，则实数a ＝________．解析：当a －1≤0，即a ≤1时，f (a －1)＝log 2(4－a )＝12，a ＝4－2>1，舍去；当a －1>0，即a >1时，2a －1－1＝12，a ＝1＋log 232＝log 23>1，所以实数a ＝log 23.答案：log 2310．(2018·南京三模)已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12，因为当x ∈[2，4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝⎛⎭⎪⎫4－12－32＝log 42＝12. 答案：1211．(2019·苏州期末)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围为________．解析：对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，即f (x )min (x ∈[2，＋∞))≤f (x )min (x ∈(－∞，0))．a ＝0，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ，当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝－2x∈(0，＋∞)，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝2x∈(0，1]，符合题意．a <0，当x <0时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －ax 2≥0，此时最小值为0.当x ≥2时，f (x )＝2x－ax 2>0，不满足题意．a >0，当x ≥2时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，易得32a ≥2，即0<a ≤14时，f (x )的最小值为0，a >14时，f (x )的最小值为f (2)＝4a －1，当x <0时，f (x )＝－2x ＋ax 2，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＝2ax 3＋2x2，易得x ＝3－1a时f (x )取极小值，且取最小值，可得f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫ 3－1a ＝33a ，由题意可得0<a ≤14时满足题意，a >14时，33a ≥4a －1，结合图象(图略)，得14<a ≤1.综上可得，实数a 的取值范围为[0，1]．答案：[0，1]12．(2018·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x，x <1，x ＋4x，x ≥1(e 是自然对数的底数)．若函数y ＝f (x )的最小值是4，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：当x ≥1时，f (x )min ＝f (2)＝4，所以当x <1时，a －e x≥4恒成立．转化为a ≥e x ＋4对x <1恒成立．因为e x ＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a ≥e ＋4.法二：当x <1时，f (x )＝a －e x>a －e ；当x ≥1时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，取“＝”，又函数f (x )的值域是[4，＋∞)，所以a －e ≥4，即a ≥e ＋4.答案： [e ＋4，＋∞)13．(2019·南京盐城二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．解析：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋5x ，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－5x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ，x ≥0，－x 2－5x ，x <0.法一：当x －1≥0时，x ≥1，由f (x －1)>f (x )得，(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得x <3，所以1≤x <3.当x －1<0时，x <1，①0≤x <1时，由f (x －1)>f (x )得，－(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得－1<x <2，所以0≤x <1；②x <0时，由f (x －1)>f (x )得，－(x －1)2－5(x －1)>－x 2－5x ，解得x >－2，所以－2<x <0.综上可得，不等式f (x －1)>f (x )的解集为{x |－2<x <3}．法二：数形结合可知，不等式f (x －1)>f (x )的解集可以理解为将f (x )的图象向右平移一个单位长度后所得函数f (x －1)的图象在函数f (x )的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由f (x )的解析式易得函数f (x －1)的图象与函数f (x )的图象的交点坐标分别为(－2，6)和(3，－6)，所以不等式的解集为{x |－2<x <3}．答案：(－2，3)14．(2018·南通三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x <a .若函数g (x )＝2f (x )－ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ，x ≥a ，2x 3－（6＋a ）x ，x <a ，显然当a ＝2时，g (x )有无穷多个零点，不符合题意；当x ≥a 时，令g (x )＝0，得x ＝0，当x <a 时，令g (x )＝0，得x ＝0或x 2＝6＋a 2，①若a >0，且a ≠2，则g (x )在[a ，＋∞)上无零点，在(－∞，a )上存在零点x ＝0和x ＝－6＋a2， ∴6＋a2≥a ，解得0<a <2， ②若a ＝0，则g (x )在[0，＋∞)上存在零点x ＝0，在(－∞，0)上存在零点x ＝－3，符合题意． ③若a <0，则g (x )在[a ，＋∞)上存在零点x ＝0， ∴g (x )在(－∞，a )上只有1个零点， ∵0∉(－∞，a )，∴g (x )在(－∞，a )上的零点为－6＋a2， ∴－6＋a 2<a ，解得－32<a <0，综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2 B 组——力争难度小题1．(2019·南京四校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足∀x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )＋1.若g (x )＝f (x )＋cos πx 2，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1219＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫875219＝________．解析：由题意得，f (－x )＝－f (x )＝－[f (x ＋2)－1]⇒f (－x )＋f (x ＋2)＝1，故g (x )＋g (2－x )＝f (x )＋cos πx 2＋f (2－x )＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－πx 2＝1，又f (6＋x )＝f (4＋x )＋1＝f (2＋x )＋2＝f (x )＋3＝－f (－x )＋3，所以f (－x )＋f (6＋x )＝3，所以g (x )＋g (6－x )＝f (x )＋cos πx2＋f (6－x )＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π－πx 2＝3.令S 1＝g ⎝⎛⎭⎪⎫1219＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫437219，则S 1＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫437219＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫436219＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1219，两式相加得，2S 1＝437×1，所以S 1＝4372.令S 2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫439219＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫440219＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫875219，则S 2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫875219＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫874219＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫439219，两式相加得，2S 2＝437×3，所以S 2＝1 3112.又f (2)＝f (0)＋1＝1，g (2)＝f (2)＋cos π＝f (2)－1＝0，故原式＝S 1＋g (2)＋S 2＝4372＋0＋1 3112＝874.答案：8742．(2019·南通等七市二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在[2，4)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，2≤x <3，x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点个数为________．解析：由f (x ＋4)＝f (x )得奇函数f (x )的最小正周期为4，作出函数f (x )与y ＝log 5|x |的部分图象如图所示，根据图象易知，函数y ＝f (x )与y ＝log 5|x |的图象有5个交点，故函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点个数是5.答案：53．(2018·无锡期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1x 2，x ≤－12，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2，x >－12，g (x )＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________．解析：由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12＋2，因为a ≤－12，所以－2≤1a <0，从而－7≤f (a )<1；当a >－12时，f (a )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2，因为a >－12，所以1＋a 2>14，从而f (a )<2. 综上，函数f (a )的值域是(－∞，2)．令h (b )<2，即b 2＋2b ＋2<2，解得－2<b <0.所以实数b 的取值范围是(－2，0)．答案：(－2，0)4．(2018·苏北四市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x >0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，x ≤0，y ＝ax －1的图象经过第二、三象限；x >0，y ＝x 3－ax ＋|x －2|>0在(0，＋∞)恒成立，所以图象仅在第一象限，所以a ＜0时显然满足题意；当a ≥0时，x ≤0，y ＝ax －1的图象仅经过第三象限，由题意知，x >0，y ＝x 3－ax ＋|x －2|的图象需经过第一、四象限．y ＝x 3＋|x －2|与y ＝ax 在y 轴右侧的图象有公共点(且不相切)，如图，y ＝x 3＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x ＋2，0<x <2，x 3＋x －2，x >2.结合图象设切点坐标为(x 0，x 30－x 0＋2)，y ′＝3x 2－1，则有3x 20－1＝x 30－x 0＋2x 0，解得x 0＝1，所以临界直线l 0的斜率为2，所以a ＞2时，符合．综上，a ＜0或a ＞2. 答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)5．(2018·苏州测试)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－326．(2018·南京、盐城、连云港二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ，x ≥0(t ∈R )．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．解析：当x <0时，f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝3x (2－x )，故函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，此时f (0)＝t .当t ≥0时，作出函数f (x )的图象如图①所示．令f (x )＝0，得x ＝0，从而当g (x )＝f (f (x )－1)＝0时，f (x )＝1，由图象①可知，此时至多有两个零点，不符合题意；当t <0时，作出函数f (x )的图象如图②所示．令f (x )＝0，得x ＝0，或x ＝m (m <0)，且－m 3＋3m 2＋t ＝0，从而当g (x )＝f (f (x )－1)＝0时，f (x )－1＝0或f (x )－1＝m ，即f (x )＝1或f (x )＝1＋m ，借助图象②知，欲使得函数g (x )恰有4个不同的零点，则m ＋1≥0，从而－1≤m <0.又因为t (m )＝m 3－3m 2，而t ′(m )＝3m 2－6m >0，故t (m )在区间[－1，0)上单调递增，从而t ∈[－4，0)．答案： [－4，0)第二讲 | 小题考法——不等式考点(一) 不等式的恒成立问题及存在性问题主要考查恒成立问题或存在性问题以及等价转化思想的应用.[题组练透]1．设实数a ≥1，使得不等式x |x －a |＋32≥a 对任意的实数x ∈[1，2]恒成立，则满足条件的实数a 的范围是________．解析：(1)当1≤a ≤32时，显然符合题意；(2)当a ≥2时，原不等式可化为x (a －x )≥a －32，取x ＝1，成立；当x ∈(1，2]时，a ≥x 2－32x －1＝x ＋1－12（x －1）.而函数f (x )＝x ＋1－12（x －1）在(1，2]上单调递增，故a ≥f (2)＝52； (3)当32<a <2时，原不等式可化为①⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤a ，x （a －x ）≥a －32或②⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x ≤2，x （x －a ）≥a －32，不等式组①参照(2)的过程得a ≥a ＋1－12（a －1），解得1≤a ≤32，矛盾，舍去；由不等式组②得a ≤x 2＋32x ＋1＝x －1＋52（x ＋1），同上可得1≤a ≤32，矛盾，舍去．综上所述，1≤a ≤32或a ≥52.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 2．(2019·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：x ＋4y －xy ＝0，即x ＋4y ＝xy ，等式两边同时除以xy ，得4x ＋1y ＝1，由基本不等式可得x ＋y ＝(x ＋y ).⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4y x＋xy＋5≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当4y x＝x y，即x ＝2y ＝6时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，因此m ≤9.答案：(－∞，9]3．已知不等式(m －n )2＋(m －ln n ＋λ)2≥2对任意m ∈R ，n ∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：条件“不等式(m －n )2＋(m －ln n ＋λ)2≥2对任意m ∈R ，n ∈(0，＋∞)恒成立”可看作“点(m ，m ＋λ)，(n ，ln n )两点的距离的平方恒大于2”，即“直线y ＝x ＋λ与曲线f (x )＝ln x 上点之间的距离恒大于等于2”．如图，当与直线y ＝x ＋λ平行的直线与曲线f (x )＝ln x 相切时，两平行线间的距离最短，f ′(x )＝1x＝1，故切点A (1，0)，此切点到直线y ＝x ＋λ的距离为|1＋λ|2≥ 2，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此时直线与曲线相交)．故实数λ的取值范围为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)4．(2019·南京盐城一模)若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________．解析：由ab ＝a ＋2b ≥22ab ，得ab ≥8，则由abc ＝a ＋2b ＋c ，得c ＝a ＋2b ab －1＝abab －1＝1＋1ab －1≤1＋17＝87，当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立，所以c 的最大值为87. 答案：875．(2019·江苏连云港期中)已知a 为正实数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋3，x ≥0，2x ＋a ，x <0.若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为a >0，所以抛物线y ＝x 2＋ax ＋3的对称轴在y 轴左侧，所以函数y ＝x 2＋ax ＋3在[0，＋∞)上单调递增，且当x ＝0时有最小值为3.又函数y ＝2x＋a 在(－∞，0)上为增函数，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝f (x 2)，只需20＋a >3，解得a >2，则实数a 的取值范围为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)[方法技巧]不等式恒成立问题或存在性问题的求解策略(1)有关不等式恒成立问题，通常利用分离变量法将其转化，即将所求参数与变量x 之间的函数关系用不等式连接起来，再求函数的最值，从而确定参数范围．用分离变量法进行等价转化的好处是可以减少分类讨论．若不等式中含有绝对值，须通过分类讨论，转化为一般的一元二次不等式，再求解．(2)存在性问题也需要转化为最值问题，优先考虑分离变量的做题思路． (3)二元问题的恒成立也可以构造几何意义，利用几何法求解．考点(二) 基本不等式[题组练透]1．(2019·常州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y x＝1，则1x ＋xy的最小值为________．解析：法一：由正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，得y x ＝1－x ，x y ＝11－x >0，则0<x <1，1x ＋x y ＝1x＋11－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋11－x [x ＋(1－x )]＝2＋1－x x ＋x 1－x ≥2＋21－x x ·x 1－x ＝4，当且仅当x ＝12时取等号，故1x ＋xy的最小值为4.法二：由正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，得x 2＋y ＝x ，y ＝x (1－x )>0，则0<x <1，则1x ＋x y ＝y ＋x 2xy＝1y ＝1x （1－x ）≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝4，当且仅当x ＝12时取等号，故1x ＋xy的最小值为4.答案：42．(2019·南通等七市二模)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________．解析：由题意可得a <0，－b a ＝7，c a＝12，则a <0，b ＝－7a ，c ＝12a ，c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5－6a ＝－24a －56a≥2（－24a ）·5－6a＝45，当且仅当a ＝－512时取等号，故c 2＋5a ＋b 的最小值为4 5.答案：4 53．已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．解析：法一：因为4≥2x ＋2y ，所以 4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y [(x ＋3y )＋(x －y )]＝3＋2（x －y ）x ＋3y ＋x ＋3y x －y ≥3＋22，当且仅当x ＝22－1，y ＝3－22时取等号，故2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为3＋224. 法二：因为x >y >0，x ＋y ≤2，所以0<y <1，又因为2x ＋3y ＋1x －y ≥22＋2y ＋12－2y ＝3－y2（1＋y ）（1－y ）＝12·16－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－y ＋83－y ≥3＋224，当且仅当x ＝22－1，y ＝3－22时取等号．答案：3＋2244．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为________．解析：2x 2＋xy －y 2＝(2x －y )(x ＋y )，令2x －y ＝m ，x ＋y ＝n ，则mn ＝1，当x －2y 5x 2－2xy ＋2y2＝m －n m 2＋n 2＝m －n （m －n ）2＋2取得最大值时，必有m －n ＞0，则m －n（m －n ）2＋2＝1m －n ＋2m －n≤122＝24，当且仅当m －n ＝2时取等号，所以x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为24. 答案：24[方法技巧]利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)“a ＋b ，a 2＋b 2，ab ，1a ＋1b”之间的互化也是基本等式常见处理方法．考点(三) 线性规划问题主要考查在约束条件下目标函数最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或范围.[题组练透]1．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5，4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：92．(2018·苏州模拟)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线y ＝－2x ＋z 过点C 时，在y 轴上的截距最小，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，z min ＝2×12＋12＝32.答案：323．(2018·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a >0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为________．解析：设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18时a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z ＝－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38.答案：384．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8bc的取值范围为________．解析：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c，所以⎝ ⎛a c ＋2bc ≤8，2c a ＋3c b ≤2，令a c ＝x ，b c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，2x ＋3y≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ≤4－12x ，y ≥3x 2x －2，1<x <8.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝3a ＋8b c ＝3x ＋8y ，则y ＝－38x ＋z 8，由图知当直线y ＝－38x ＋z 8过点A 时，截距最大，即z 最大，当直线y ＝－38x ＋z 8与曲线y ＝3x2x －2相切时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－12x ，y ＝3x 2x －2得A (2，3)， ∴z max ＝3×2＋8×3＝30，设直线y ＝－38x ＋z 8与曲线y ＝3x2x －2的切点为(x 0，y 0)，则⎝⎛⎭⎪⎫3x 2x －2′⎪⎪⎪x ＝x 0＝－38，即－6（2x 0－2）2＝－38，解得x 0＝3.∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，∴z min ＝3×3＋8×94＝27，∴27≤3a ＋8b c ≤30.答案：[27，30][方法技巧]解决线性规划问题的3步骤[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．不等式的性质 (1)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(2)a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ； (3)a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ； (4)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (5)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(6)a ＞b ＞0，n ∈N ，n ＞1⇒a n＞b n，n a ＞nb . 2．简单分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )g (x )＞0，f （x ）g （x ）＜0⇔f (x )g (x )＜0.(2)f （x ）g （x ）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0，f （x ）g （x ）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.(3)对于形如f （x ）g （x ）＞a (≥a )的分式不等式要采取：“移项—通分—化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解．(二) 二级结论要用好1．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．基本不等式的重要结论 (1)a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)．(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(3)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)．3．线性规划中的两个重要结论(1)点M (x 0，y 0)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(B ＞0)上方(或下方)⇔Ax 0＋By 0＋C ＞0(或＜0)． (2)点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0同侧(或异侧)⇔(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0(或＜0)．[课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：12．(2019·苏北三市一模)已知a >0，b >0，且a ＋3b ＝1b －1a，则b 的最大值为________．解析：a ＋3b ＝1b －1a 可化为1b －3b ＝a ＋1a ≥2，即3b 2＋2b －1≤0，解得0<b ≤13，所以b 的最大值为13.答案：133．已知点A (a ，b )在直线x ＋2y －1＝0上，则2a＋4b的最小值为________．解析：由题意可知a ＋2b ＝1，则2a ＋4b ＝2a ＋22b ≥22a ＋2b＝22，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12且b ＝14时等号成立．答案：2 24．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时不等式恒成立，当a －2≠0，即a ≠2时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4（a －2）2＋16（a －2）<0，解得－2<a <2.综上所述，－2<a ≤2，即实数a 的取值范围是(－2，2]．答案：(－2，2]5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．解析：设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4 m 3，高为1 m ，得另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．答案：160元6．已知a >0, b >0，且2a ＋3b＝ab ，则ab 的最小值是________．解析：因为ab ＝2a ＋3b≥22a ·3b ，所以ab ≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时取等号．答案：2 67．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为x ∈(a ，＋∞)，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，当且仅当x －a ＝1时等号成立．由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：328．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－22＜m ＜22，－32＜m ＜0，所以－22<m <0，即实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 10．(2018·苏北四市期末)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________．解析：因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以x ＝3y ＋3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，解得y ＞3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当x ＝37，y ＝4时取等号．答案：811．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．解析：由cos(α＋β)＝sin αsin β，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αsin β，即cos αcos β＝sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin β＋1sin β，由α，β均为锐角得cos α≠0，tan β>0，所以tan α＝sin αcos α＝cos βsin β＋1sin β＝sin βcos βsin 2β＋1＝tan β2tan 2β＋1＝12tan β＋1tan β≤122＝24，当且仅当2tan β＝1tan β，即tan β＝22时，等号成立．答案：2412．(2019·湖北宜昌模拟)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －x ≥0，x ＋y －3≤0，2x －y ＋3≥0，若不等式ax ＋y ≤7恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －x ≥0，x ＋y －3≤0，2x －y ＋3≥0的平面区域如图所示，由于对任意的实数x ，y ，不等式ax ＋y ≤7恒成立，设z ＝ax ＋y ，根据图形，当a ≥0时，z ＝ax ＋y 的最优解为A (2，1)，可得2a ＋1≤7，解得0≤a ≤3；当a <0时，z ＝ax ＋y 的最优解为B (－2，－1)，则－2a －1≤7，解得－4≤a ＜0，则实数a 的取值范围是[－4，3]．。