高三数学下6.4不等式的解法举例教案
高考数学专题复习不等式的解法及其应用教案
高考数学专题复习 不等式的解法及其应用一、考点要求1．熟练掌握一元二次不等式、含有绝对值的不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法． 解一元二次不等式(02>++c bx ax 或)0<，一要注意字母a 的符号；二要讨论∆的符号；三要讨论对应方程的两根1x ，2x 的大小．解分式不等式，一般是将一边转化为零，采用数轴 标 根 法可简捷地求得其解集．解含有绝对值的不等式，基本思路是去掉绝对值，应针对其不同的形式，采用适当的方法：分类讨论去绝对值；两边平方去绝对值；借助不等式的性质a x a a x <<-⇔<||，a x >||a x -<⇔或a x >去绝对值．通过解不等式体现等价转化、分类讨论、数形结合的思想方法． 2．理解不等式||||||b a -≤||b a ±≤||||b a +．3．会用不等式的知识分析和解决带有生产和生活意义的应用问题，或在相关学科中的其他数学问题． 二、基础过关1．已知非负实数x ，y 满足832-+y x ≤0且723-+y x ≤0，则y x +的最大值是（ ）．A ．73 B ．83C ．2D ．3 解：画出图像，由线性规划知识可得，选D ．2．设a x <-|2|时，不等式1|4|2<-x 成立，则正数a 的取值范围是（ ）．A ．25->aB ．a <0≤25-C ．a ≥25-D ．以上都不对 解：设}|2||{a x x A <-=，}1|4||{2<-=x x B ，则)2,2(a a A +-=，)5,3()3,5 --=B ，由题 可知B A ⊆， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥-,32,52a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧--≤+≤,32,52a a ∴a ≤32--，而a ≤32--与0>a 矛盾，舍去．由⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-,52,32a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤,25,32a a ∴a ≤25-，∴<0a ≤25-． 3．不等式)12(|1|-+x x ≥0的解集为（ ）．A ．x x |{≥}21B ．x x |{≤1-或x ≥}21 C ．1|{-=x x 或x ≥}21 D ．1|{-x ≤x ≤}21解：)12(|1|-+x x ≥0，则12-x ≥0或01=+，∴x ≥21或1-=x ，故选 C ． 4．若 关于x 的不等式|||2|a x x -+-≥a 在R 上 恒 成立，则a 的最大值是（ ）．A ．0B ．1C ．21D ．2 解：|||2|a x x -+-≥|2|-a ，只需|2|-a ≥a 恒成立，显然02<-a 时，a -2≥a ，a ≤1，故1max =a ．5．设P =(log 2x )2+(t-2)log 2x -t+1，若t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值，则x 的变化范围是 ．分析：要求x 的变化范围，显然要依题设条件寻找含x 的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右边的式子中含两个字母x 、t ，t 是在给定区间内变化的，而求的是x 的取值范围，能想到什么？解：设P=f (t)=(log 2x -1)t+log 22x -2log 2x +1．因为 P =f (t)在top 直角坐标系内是一直线，所以t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值的充要条件是⎩⎨⎧>>-.0)2(,0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-.01log ,03log 4log 22222x x x 解得log2x ＞3或log2x ＜1-，即x 的取值范围是),8()21,0(+∞ ．说明：改变看问题的角度，构造关于t 的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．6．关于x 的不等式322---x x xa ＞0的解集是 ． 分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用数轴标根法解不等式的基本步骤．本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为()()()013<+--x x a x ，和比较a 与1-及3的大小，定出分类方法．解：原不等式化为：()()()013<+--x x a x ．（1）当1-≤a 时，由图1知不等式的解集为}{31<<-<x a x x 或； （2）当{}31231<<-<≤<-x a x x a 或知不等式的解集为时，由图； （3）当{}a x x x a <<-<>3133或知不等式的解集为时，由图． 三、典型例题例1 解关于x 的不等式： a x x -≤()0922>a a ． 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想．本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集．解：当a x ≥时，不等式可转化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥,29,2a a x x a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥,0299,22a ax x a x ∴a x a 6173+≤≤． 当a x <时，不等式可转化为⎪⎩⎪⎨⎧≤-<,2)(9,2a x a ax a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<,0299,22a ax x a x ∴a x aa x <≤≤323或． ∴不等式的解集为：]6173,32[]3,(a a a+-∞ ．例2 己知三个不等式：①x x -<-542； ②12322≥+-+x x x ； ③0122<-+mx x ． (1) 若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围； (2) 若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围．分析：本 例 主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在()0,∞-和[),3+∞内．不等式和与之对应的方程及函数图像有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C ．解①得A =（1-，3）；解②得B =[]4,2()1,0 ，∴B A [)3,2()1,0 =． （1）因同时满足①、②的x 值也满足③，B A ⊆C ， 设12)(2-+=mx x x f ，由)(x f 的图像可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时， 即可满足C B A ⊆ ∴⎩⎨⎧≤<,0)3(,0)0(f f 即⎩⎨⎧≤+<-,0173,01m ∴317-≤m ．(2) 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，∴B A C ⊆，而]4,1(-=B A ，∴]4,1(-⊆C ，∴方程0122=-+mx x 小根大于或等于1-，大根小于或等于4，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-≥+=≥-=-,441,0314)4(,01)1(mm f m f 1431≤≤-m 解之得．说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2+mx 1-=0的两根分别在-∞(，)0和[3，+∞)内，因此有f (0)＜0且f (3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图像是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．例 3 已知奇函数)(x f 在),0()0,(+∞-∞ 上有定义，在),0(+∞上是增函数，0)1(=f ，又知函数m m g 2cos sin )(2-+=θθθ，]2,0[πθ∈，集合|{m M =恒有}0)(<θg ，|{m N =恒有}0))((<θg f ，求N M ．分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题．解：∵奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数．∵0)1(=f ，∴0)1()1(=-=-f f ，∴满足⎩⎨⎧-=<<)1(0))((,0)(f g f g θθ的条件是⎩⎨⎧-<<,1)(,0)(θθg g即），（（]201)(πθθ∈-<g ，即12cos sin 2-<-+m m θθ， 也即022cos 2<+-+-m mcor θθ令θcos =t ，则]1,0[∈t ，则0222<+-+-m mt t ． 法1 （变量分离法）222-->t t m 对 ]1,0[∈t 恒成立，设22)(2--=t t t f ，只需m 大于)(t f 的最大值即可．∵422)2(22)2(4)2(22)(22+-+-=-+-+-=--=t t t t t t t t f 4]22)2[(+-+--=tt ，]1,0[∈t ， ∴02>-t ，∴)(t f ≤224422)2(2-=+-⋅--tt ， ∴224)(max -=t f ，∴224->t ，∴}224|{->=m m N M ． 法2 （二次函数在闭区间上的最值）设22)(2+-+-=m mt t t h ，0≤t ≤1，要使0)(<t h 对]1,0[∈t 恒成立，只需使)(t h 在]1,0[∈t 内的最大值小于0即可．10当<2m0即0<m 时，22)0()(max +-==m h t h ，由不等式组⎩⎨⎧<+-<022,0m m 解得∅∈m ．20当0≤2m≤1时488)(2max +-=m m x h ，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤0488,202m m m 得m <-224≤2．30当12>m即2>m 时，1)(max +-=m t h ， 解不等式组⎩⎨⎧<+->01,2m m 得2<m ．综上：}224|{->=m m N M ．例4 已知对于自然数a ，存在一个以a 为二次项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根．求证：a ≥5．分析：二次函数的几种特殊形式：一般式：f (x )=c bx ax ++2(a ≠0)．通常如果知道二次函数图像是的三点A ))(,(11x f x 、B ))(,(22x f x 、C ))(,(33x f x ，则选用一般式，系数a ，b ，c 可由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=,)(,)(,)(323322221211c bx ax x f c bx ax x f c bx ax x f 确定．顶点式：)0)(()()(020≠+-=a x f x x a x f ．这里))(,(00x f x 是二次函数的顶点，a b x 20-=，ab ac x f 44)(20-=．两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f ．这里1x 、2x 是方程0)(=x f 的两个根，满足a b x x -=+21，acx x =21． 证明：设二次三项式为：))(()(21x x x x a x f --=，a ∈N 且0≠a ．依题意知：0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，且x 1≠x 2．于是有f (0)＞0，f (1)＞0． 又21212)()(x ax x x x a ax x f ++-=为整系数二次三项式，所以f (0)=ax 1x 2、f (1)=a ·(1x -1)(1x -2)为正整数．故f (0)≥1，f (1)≥1． ∴ )1()0(f f ⋅≥1． ① 另一方面，)1(11x x -≤41]2)1([211=-+x x ，)1(22x x -≤41]2)1([222=-+x x ，且由x 1≠x 2知等号不同时成立，所以161)1()1(2211<--x x x x ． 222112161)1()1(a x x x x a <--． 由①、②得，2a ＞16．又a ∈N ，所以a ≥5．说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键． 四、热身演练 1．函数31)(x x f =，则不等式)()(1x f x f>-的解集是（ D ）． A ．0(，)1 B ．-∞(，0()1 -，)1 C ．1(-，)0 D ．1(-，1()0 ，)∞+ 解：（反函数、图像法）)()(1x f x f>-，∴313x x >，画出3x y =和31x y =，由图像可知∈x 1(-，1()0 ，)∞+，故选 D ．2．（2003年 春 北京）若不等式6|2|<+ax 的解集为1(-，)2，则实数a 等于（ ）．A ．8B ．2C ．4- 8-[分析] 本题考查含有绝对值不等式的解法，含参数不等式的解法、分类讨论的思想等基础知识和方法． 解：法1 由6|2|<+ax ，得48<<-ax ．当0>a 时，则a x a 48<<-，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-24,18a a无解，∴0>a 不成立． 当0<a 时，则a x a 84-<<，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=28,14aa得4-=a ．法2 根据不等式的解集与相应相方程有根的关系知方程0|2|=+ax |的根为1-，2，∴,6|22|,6|2|=+=+-a a 解得4-=a ，故选C ．3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|33,0xx x x x 的解集是（ ）．A ．}20|{<<x xB ．}250|[<<x x C ．}60|{<<x x D ．}30|{<<x x 解：选C ．4．若不等式012>++bx ax 的解集为}121|{<<-x x ，则（ ）．A ．1,2-==b aB ．1,2==b aC ．1,2-=-=b aD ．1,2=-=b a 解：选D ．5．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=是减函数． 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．a ≤1B ．2<aC ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数a x x ++22的判别式a 44-=∆≥0，从而a ≤1；命题q 为真时，125>-a ，∴2<a ．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题． 若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1<a <2，故选C ．6．已知)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上是减函数，0)(=a f )0(>a ，那么不等式0)(<x xf 的解集是（ ）．A ．}0|[a x x <<B ．0|{<<-x a x 或}a x >C ．}|{a x a x <<-D ．a x x -<|{或}0a x << 解：选B ．7．若)2(log )(221++=kx x x f 的值域为R ，则实数k 的取值范围是 ．解：（令22++=kx x ，则t 能取到所有的实数是关键）．要使)(x f 的值域为R ，则必须有真数22++kx x 能取到一切的正数，即∆≥0，即82-k ≥0，∴k ≥22，或k ≤22．8．当m a (∈，)n 时，不等式31222<+---xx x ax 对任意实数x恒成立，则=+n m ． 解：（意分母012>+-x x 恒成立．）∵分母012>+-x x 恒成立，∴原不等式等价于)1(3222x x x ax +-<--， 即01)3(42>+-+x a x 对∈x R 时 恒成立，∴016)3(2<--=∆a ， 解得71<<-a ，∴1-=m ，7=n ，∴6=+n m ．9．当∈x R 时，不等式12sin 23cos 2+++<+m x x m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 解：（变量分离，对于无理不等式，考纲是不作要求的，但04年各地高考卷中还是出现了一些简单的无理不等式，这里结合变量分离，让学生接触一次简单的无理不等式，结合这个问题向学生简单介绍一些简单无理不等式的解法．）原不等式可转化为2sin 2sin 122++<+-x x m m ，对∈x R 时 恒成立， 只须12+-m m 小于x x x f sin 2sin )(22+=+的最小值即可，∵1)1(sin )(2++=x x f ≥1，∴12+-m m 1<，即121+<-m m ． 当21-≤1<m 时，不等式 恒成立，当m ≥1时，两边平方解得1≤4<m ， ∴21-≤4<m ，即为m 的取值范围． 10．若二次函数y =f (x )的图像经过原点，且1≤)1(-f ≤2，3≤f (1)≤4，则)2(-f 的取值范围是 ．分析：要求)2(-f 的取值范围，只需找到含人f (-2)的不等式(组)．由于y =f (x )是二次函数，所以应先将f (x )的表达形式写出来．即可求得)2(-f 的表达式，然后依题设条件列出含有)2(-f 的不等式(组)，即可求解．解：因为y =f (x )的图像经过原点，所以可设y =f (x )=bx ax +2．于是 ⎩⎨⎧≤≤≤-≤,4)1(3,2)1(1f f 即⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.43,21b a b a （1）法1 (利用基本不等式的性质)不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤-≤,624,4222a b a ∴6≤b a 24-≤10，即6≤)2(-f ≤10． 其中等号分别在⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 时成立，且⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 满足（1）∴)2(-f 的取值范围是[6，10]． 法2 (数形结合)建立直角坐标系aOb ，作 出不等式组（1）所表示的区域，如图中的阴影部分．因为b a f 24)2(-=-，所以0)2(24=---f b a 表示斜率为2的直线系．如图，当直线0)2(24=---f b a 过点A (2，1)，B (3，1)时，分别取得)2(-f 的最小值6，最大值10．即)2(-f 的取值范围是：6≤)2(-f ≤10． 法3 (利用方程的思想)∵⎩⎨⎧-=-+=,)1(,)1(b a f b a f ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=)].1()1([21)],1()1([21f f b f f a又∵)1()1(324)2(f f b a f +-=-=-，而1≤)1(-f ≤2，3≤)1(f ≤4， ① ∴3≤)1(3-f ≤6． ② ①+②得4≤)1()1(3f f +-≤10，即6≤)2(-f ≤10．说明：（1）在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤≤,321,624b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,2321,32b a而b a f 24)2(-=-，8≤a 4≤12，3-≤b 2-≤1-，所以 5≤)2(-f ≤11．同向不等式可以相加，但是一般情况只可使用一次，若多次使用往往会把范围扩大，如果一定需要多次使用，那么一定要注意范围是否被扩大，注意等号是否同时成立即可．（2）对这类问题的求解关键一步是，找到)2(-f 的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．11．求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集分别是：（1）]2,1[-；（2）}2{；（3）),1[+∞-．分析：方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．解：（1）由题意可知，a ＞0且1-，2是方程ax 2+bx +a 2-1≤0的根，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+->,121,21,02a a a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.21,21b a（2）由题意知，2是方程ax 2+bx +a 2-1=0的根，所以4a +2b +a 2-1=0． ①又{2}是不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集，所以⎩⎨⎧=--=∆>.0)1(4,022a a b a ② 解①，②得52+=a ，548--=b ．（3）由题意知，a =0，b ＜0，且1-是方程bx +a 2-1=0的根，即-b +a 2-1=0，所以a =0，b =1-． 说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换． 12．设函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与两直线y =x ，y =x -，均不相交．试证明对一切∈x R 都有||41||2a c bx ax >++． 分析：因为x ∈R ，故|f (x )|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)．证明：由题意知，a ≠0．设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，则aacb x f 44)(20--=．又二次方程ax 2+bx +c =±x 无实根，故Δ1=(b +1)2-4ac ＜0， Δ2=(b -1)2-4ac ＜0．∴(b +1)2+(b -1)2-8ac ＜0，即2b 2+2-8ac ＜0，即142-<-ac b ，∴1|4|2>-ac b ，∴||41||4|4||44||)(|220a a ac b a ac b x f >-=--=．由0142<-<-ac b 可知当∈x R 时，|)(|x f ≥|)(|0x f ，∴||41|)(|a x f >， 即||41||2a c bx ax >++成立． 说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．13．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高5.4米，隧道全长5.2千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？ （半个椭圆的面积公式为S =,4lh π柱体体积为：底面积乘以高，414.12=，646.27=，本题结果均精确到1.0米．）分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力． 解：（1）建立如图所示直角坐标系，则11(P ，)5.4．设椭圆方程为：12222=+by a x ，将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程得7744=a ，此时3.3377882≈==a l ，故隧道 拱 宽 约为3.33米． （2）由椭圆方程12222=+b y a x 得15.4112222=+b a ．∵22225.411b a +≥ab5.4112⨯⨯，∴ab ≥99， ∴24ablh S ππ==≥299π，当S 最小时有215.4112222==b a ，∴211=a ，229=b ，此时1.312≈=a l ，4.6≈=b h ， 故当拱高约为4.6米，拱 宽约为1.31米时，土方工程量最小．。
用不等式的性质解不等式教案
用不等式的性质解不等式教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的性质，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式的性质解不等式的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 不等式的性质：（1）不等式的两边加减同一个数或式子，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边乘除同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变。
2. 运用不等式的性质解不等式。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的性质，运用不等式的性质解不等式。
2. 教学难点：不等式的性质在解不等式过程中的运用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解不等式的性质，分析解不等式的步骤。
2. 案例分析法：分析具体的不等式案例，引导学生运用不等式的性质解决问题。
3. 练习法：设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：引导学生回顾已学的不等式知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解不等式的性质：通过示例，讲解不等式的性质，让学生理解和掌握。
3. 运用不等式的性质解不等式：分析具体的不等式案例，引导学生运用不等式的性质解决问题。
4. 课堂练习：设计练习题，让学生运用不等式的性质解不等式，巩固所学知识。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在解不等式过程中的不足，提出改进措施。
6. 课后作业：布置课后作业，让学生进一步巩固不等式的性质和解不等式的方法。
六、教学评价：1. 评价目标：检查学生对不等式性质的理解和运用能力。
2. 评价方法：课堂练习：观察学生在练习中的表现，判断其对不等式性质的掌握程度。
课后作业：评估学生的作业完成情况，检验其运用不等式性质解不等式的能力。
小组讨论：通过小组合作解决问题，观察学生的参与度和合作精神。
3. 评价内容：学生是否能准确描述不等式的性质。
学生是否能运用不等式的性质正确解不等式。
学生是否能解释不等式性质在实际问题中的应用。
七、教学反馈：1. 收集学生作业和练习，分析其解题过程中的正确性与错误原因。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质：a. 不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变。
b. 不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
c. 不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质及运用。
2. 教学难点：不等式性质的灵活运用，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 利用例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
3. 小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学准备：1. 课件、黑板、粉笔2. 例题及练习题3. 学生分组合作的材料教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，让学生回顾已学的相关知识。
2. 提问：不等式有什么特点？如何表示不等式？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解不等式的基本性质，引导学生发现规律。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
四、小组讨论（10分钟）1. 教师给出讨论题目，让学生分组合作解决问题。
2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结不等式的基本性质及运用。
2. 教师补充讲解，强调重点知识点。
六、课后作业（课后自主完成）1. 巩固不等式的基本性质，提高解题能力。
2. 结合生活实际，解决相关问题。
六、教学拓展（10分钟）1. 引导学生思考：不等式性质在实际生活中的应用。
2. 举例说明：如购物时比较价格、比赛成绩排名等。
七、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些巩固不等式性质的习题。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
八、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题，让学生分组讨论、回答。
不等式的解法举例教案
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够熟练地解一元一次不等式。
2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 不等式的基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式应用题的解答三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质，一元一次不等式的解法。
2. 教学难点：不等式应用题的解答。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解不等式的基本性质和一元一次不等式的解法。
2. 运用案例分析法讲解不等式应用题的解答。
3. 运用讨论法引导学生探讨不等式解法的规律。
五、教学过程1. 导入：通过复习相关知识点，引入不等式的概念和基本性质。
2. 讲解：讲解一元一次不等式的解法，并列举典型例题进行分析。
3. 练习：让学生独立解一些一元一次不等式，并及时给予指导和反馈。
4. 应用：运用不等式的解法解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 总结：总结不等式的解法步骤和注意事项，强调解题方法的重要性。
6. 作业布置：布置一些不等式的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，观察学生对不等式解法的掌握程度。
2. 作业批改：对学生的作业进行批改，了解学生对不等式解法的熟练程度。
3. 学生提问：鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
七、教学拓展1. 对比等式和解不等式的异同，让学生理解不等式的解法实质。
2. 引导学生探讨不等式的解法规律，提高学生的逻辑思维能力。
3. 引入更复杂的不等式类型，如绝对值不等式、分式不等式等，让学生尝试解决。
八、教学反思1. 反思教学过程，检查教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 反思教学内容，确保教学内容完整、系统，便于学生掌握。
3. 反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学质量。
九、教学评价1. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，总结收获和不足。
不等式的性质教学教案
不等式的性质教学教案一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 引导学生运用不等式的性质进行证明和推理，培养学生的数学素养。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质3. 不等式的运算规则4. 不等式与方程的关系5. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念、表示方法、基本性质和运算规则。
2. 教学难点：不等式的性质证明和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的性质。
2. 运用案例分析法，让学生解决实际问题，巩固不等式的应用。
3. 采用分组讨论法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4. 利用多媒体辅助教学，提高课堂效果。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引入不等式的概念，让学生感受不等式的实际意义。
2. 讲解不等式的表示方法，如“>”、“<”、“≥”、“≤”等，并进行举例说明。
3. 引导学生探索不等式的基本性质，如对称性、传递性等，并进行证明。
4. 讲解不等式的运算规则，如加减乘除等，并通过例题展示运算过程。
5. 分析不等式与方程的关系，引导学生掌握解不等式的方法。
6. 运用案例分析法，让学生解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
8. 布置作业：设计相关练习题，巩固所学知识。
六、教学策略与评估1. 教学策略：运用比较方法，让学生通过观察和分析，发现不等式的性质。
利用图形和符号表示不等式，帮助学生形象地理解不等式的意义。
提供丰富的练习题，让学生在实践中掌握不等式的性质和应用。
鼓励学生参与课堂讨论，培养学生的表达能力和思维能力。
2. 评估策略：课堂提问：通过提问了解学生对不等式性质的理解程度。
作业批改：检查学生作业，评估学生对不等式性质的掌握情况。
小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和沟通能力。
课堂表现：评估学生在课堂上的参与度和表现。
不等式的解法举例教案
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本解法，包括加减法、乘除法、移项、合并同类项等。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的基本解法2. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的解法及应用。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用案例分析法，以实际问题引导学生学习不等式的解法。
2. 运用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
3. 采用问答法，激发学生思考，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：以一个实际问题引入，如“某商品打八折出售，原价大于折扣价吗？”引导学生思考不等式的解法。
2. 基本不等式解法讲解：讲解加减法、乘除法、移项、合并同类项等基本解法。
3. 案例分析：分析实际问题，运用不等式解法解决问题。
如：“甲、乙两人赛跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑70米，问乙多少分钟可以追上甲？”4. 小组讨论：让学生分组讨论，总结不等式解法在实际问题中的应用。
5. 问答环节：教师提问，学生回答，巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调不等式解法在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评估：对课后作业和课堂练习进行批改，了解学生对不等式解法的掌握情况。
3. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、问题解决能力等。
七、教学拓展1. 引入不等式的应用领域，如经济、物理、化学等，让学生了解不等式在实际生活中的重要作用。
2. 介绍不等式的发展历史，让学生了解不等式的起源和演变。
3. 引导学生探索不等式与其他数学知识的联系，如函数、方程等。
八、教学资源1. 教案、PPT等教学资料。
2. 练习题、案例分析等教学案例。
3. 数学软件或工具，如GeoGebra等，辅助教学。
有关不等式的解法教案设计
有关不等式的解法教案设计教案标题：不等式的解法教案设计教案目标：1. 学生能够理解不等式的概念和性质。
2. 学生能够运用不等式的解法方法解决实际问题。
3. 学生能够在解决不等式问题时运用适当的推理和推导方法。
教案步骤：引入（10分钟）：1. 引导学生回顾等式的概念和解法方法，并提问是否了解不等式的概念。
2. 通过举例让学生感知不等式的特点，例如：2 < 3，4 > 1。
3. 引导学生思考不等式与等式的区别，并总结不等式的定义。
讲解不等式的性质（15分钟）：1. 讲解不等式的基本性质，包括加减性、乘除性和倒置性。
2. 通过具体的例子让学生理解和运用不等式的性质，例如：若a > b，则a + c >b + c。
3. 引导学生思考不等式性质的运用条件和限制。
解决不等式的方法（20分钟）：1. 介绍常见的不等式解法方法，包括图像法、试值法和代数法。
2. 通过示例演示不同解法方法的应用，让学生理解各自的优缺点。
3. 引导学生思考何时选择何种解法方法，并培养灵活运用的能力。
练习与应用（25分钟）：1. 分发练习题，包括基础题和应用题，要求学生用不同的解法方法解答。
2. 引导学生在解答过程中思考解法的合理性和有效性。
3. 针对应用题，鼓励学生将数学概念与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
总结与反思（10分钟）：1. 总结不等式的解法方法和性质，强调解题思路和策略的重要性。
2. 引导学生回顾本节课所学内容，思考不足之处并提出问题。
3. 鼓励学生积极参与讨论，互相学习和提供建议。
教学辅助工具：1. PowerPoint演示文稿。
2. 不等式练习题。
3. 黑板/白板和粉笔/马克笔。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和问题解决能力。
2. 教师收集学生的练习作业，评估他们对不等式解法的理解和应用能力。
3. 学生之间互相交流和讨论，提供反馈和建议。
备注：教案的具体内容和时间分配可以根据教学实际情况进行调整。
2021年高考数学一轮复习 6.4 不等式的解法(一)教案
2021年高考数学一轮复习 6.4 不等式的解法（一）教案●知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b（a≠0）的形式.当a＞0时，解集为{x|x＞}；当a＜0时，解集为{x|x＜}.2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax2+bx+c＞0（或＜0）（其中a＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理?●点击双基1.（xx年全国Ⅳ，5）不等式＜0的解集为A.{x|x＜－2或0＜x＜3}B.{x|－2＜x＜0或x＞3}C.{x|x＜－2或x＞0}D.{x|x＜0或x＞3}解析：在数轴上标出各根.答案：A2.（xx年北京）若不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），则实数a等于A.8B.2C.－4D.－8解析：由|ax+2|＜6得－6＜ax+2＜6，即－8＜ax＜4.∵不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），易检验a=－4.答案：C3.（xx年重庆市诊断性考试题）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么| f（x+1）|＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）解析：由题意知f（0）=－1，f（3）=1.又| f（x+1）|＜1－1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3）.又f（x）为R上的增函数，∴0＜x+1＜3.∴－1＜x＜2.答案：B4.（理）（xx年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x2－|x－1|－1≤0的解集为____________.解析：当x－1≥0时，原不等式化为x2－x≤0，解得0≤x≤1.∴x=1；当x－1＜0时，原不等式化为x2+x－2≤0，解得－2≤x≤1.∴－2≤x＜1. 综上，x≥－2.答案：{x|－2≤x≤1}（文）不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b=_______. 解析：∵ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-<.231abaaba，，解得或∴a+b=－或－3.答案：－或－35.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2－bx+c＞0的解集为_______.解析：令f（x）=ax2+bx+c，其图象如下图所示，再画出f（－x）的图象即可.答案：{x|－3＜x＜－2}●典例剖析【例1】解不等式＜－1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为＋1＜0，即＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔322332232222xxxxxxxx或，－1＜x＜1或2＜x＜3.∴原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜1或2＜x＜3｝.【例2】求实数m的范围，使y=lg［mx2+2（m+1）x+9m+4］对任意x∈R恒有意义.剖析：mx2+2（m+1）x+9m+4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R.故应解：由题意知mx2+2（m+1）x+9m+4＞0的解集为R，则⎩⎨⎧<+-+=>.0494142）（）（，mmmΔm解得m＞.评述：二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的条件：若未说明是二次不等式还应讨论a=0的情况.思考讨论本题若要使值域为全体实数，m的范围是什么?提示：对m分类讨论，m=0适合.当m≠0时，解m即可.【例3】若不等式2x－1＞m（x2－1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.剖析：对于m∈［－2，2］，不等式2x－1＞m（x2－1）恒成立，把m视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0.令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.则22221210221210.f x x f x x ⎧-=----<⎪⎨=---<⎪⎩（）（）（）（）（）（）解得＜x ＜. 深化拓展1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围. 2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗?●闯关训练 夯实基础1.（xx 年重庆，4）不等式x +＞2的解集是A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞） 解法一：x +＞2x －2+＞0＞0x （x －1）（x +1）＞0－1＜x ＜0或x ＞1. 解法二：验证，x =－2、不满足不等式，排除B 、C 、D. 答案：A2.设f （x ）和g （x ）都是定义域为R 的奇函数，不等式f （x ）＞0的解集为（m ，n ），不等式g （x ）＞0的解集为（，），其中0＜m ＜，则不等式f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（m ，）B.（m ，）∪（－，－m ）C.（，）∪（－n ，－m ）D.（，）∪（－，－） 解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（，）.∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－，－）， 即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－，－）. 由f （x ）·g （x ）＞0得或.又0＜m ＜， ∴m ＜x ＜或－＜x ＜－m . 答案：B3.若关于x 的不等式－x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为_______.解析：由题意，知0、2是方程－x 2+（2－m ）x =0的两个根，∴－=0+2.∴m =1. 答案：1 4.（xx 年浙江，13）已知f （x ）=则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 解析：当x +2≥0，即x ≥－2时.x +（x +2）f （x +2）≤5 2x +2≤5x ≤.∴－2≤x ≤.当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5 x +（x +2）·（－1）≤5－2≤5，∴x ＜－2. 综上x ≤. 答案：（－∞，］5.（xx 年宣武二模题）定义符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.010001）（），（），（x x x 当x ∈R 时，解不等式（x +2）＞（2x －1）sgn x.解：当x ＞0时，原不等式为x +2＞2x －1.∴0＜x ＜3.当x=0时，成立.当x＜0时，x+2＞. x－+2＞0.＞0.＞0.∴－＜x＜0.综上，原不等式的解集为{x|－＜x＜3}.6.（xx年北京西城区一模题）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）.解：原不等式变形为ax2+（a－2）x－2≥0.①a=0时，x≤－1；②a≠0时，不等式即为（ax－2）（x+1）≥0，当a＞0时，x≥或x≤－1；由于－（－1）=，于是当－2＜a＜0时，≤x≤－1；当a=－2时，x=－1；当a＜－2时，－1≤x≤.综上，当a=0时，x≤－1；当a＞0时，x≥或x≤－1；当－2＜a＜0时，≤x≤－1；当a=－2时，x=－1；当a＜－2时，－1≤x≤.培养能力7.（xx年春季安徽）解关于x的不等式log a3x＜3log a x（a＞0，且a≠1）.解：令y=log a x，则原不等式化为y3－3y＜0，解得y＜－或0＜y＜，即log a x＜－或0＜log a x＜.当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＞a}∪{x|a＜x＜1}；当a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x＜a}∪{x|1＜x＜a}.8.有点难度哟！（xx年天津质量检测题）已知适合不等式|x2－4x+a|+|x－3|≤5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式.解：∵x≤3，∴|x－3|=3－x.若x2－4x+a＜0，则原不等式化为x2－3x+a+2≥0.此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，∴x2－4x+a＜0不成立.于是，x2－4x+a≥0，则原不等式化为x2－5x+a－2≤0.∵x≤3，令x2－5x+a－2=（x－3）（x－m）=x2－（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，∴a=8.此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.探究创新9.关于x的不等式的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围.解：由x2－x－2＞0可得x＜－1或x＞2.∵的整数解为x=－2，又∵方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为－k和－.①若－k＜－，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－＜－k，则应有－2＜－k≤3.∴－3≤k＜2.综上，所求k的取值范围为－3≤k＜2.●思悟小结1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.●教师下载中心教学点睛1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想.3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.拓展题例【例1】 （xx 年南京市第二次质量检测题）解关于x 的不等式＞x （a ∈R ）. 解法一：由＞x ，得－x ＞0，即＞0. 此不等式与x （ax －1）＞0同解. 若a ＜0，则＜x ＜0； 若a =0，则x ＜0；若a ＞0，则x ＜0或x ＞.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（，+∞）. 解法二：由＞x ，得－x ＞0，即＞0. 此不等式与x （ax －1）＞0同解. 显然，x ≠0.（1）当x ＞0时，得ax －1＞0. 若a ＜0，则x ＜，与x ＞0矛盾， ∴此时不等式无解；若a =0，则－1＞0，此时不等式无解； 若a ＞0，则x ＞.（2）当x ＜0时，得ax －1＜0. 若a ＜0，则x ＞，得＜x ＜0； 若a =0，则－1＜0，得x ＜0； 若a ＞0，则x ＜，得x ＜0.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（，+∞）.【例2】 f （x ）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f （a 2－sin x ）≤f （a +1+cos 2x ）对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围.解：由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≥-≤++≤-x a x a x a x a 2222cos 1sin 3cos 13sin ，， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥---≤+≤222221sin 49cos 2sin 3）（，，x a a x a x a 对x ∈R 恒成立. 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--≤≤max22221sin 4912）（，，x a a a a ∴－≤a ≤.。
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课 题：不等式的解法举（1）教学目的：1．掌握分式不等式向整式不等式的转化； 2．进一步熟悉并掌握数轴标根法； 3．掌握分式不等式基本解法 教学重点：分式不等式解法教学难点：分式不等式向整式不等式的转化 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 初中,我们学习了一元一次不等式(组);高一,我们又学习了一元二次不等式及形如|x |>a 或|x |<a (a >0)的不等式,已经掌握了这几类不等式(组)的基本解法,从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法 教学过程： 一、复习引入：解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1ax +b >0(1)若a >0时,则其解集为{x |x >-a b } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-ab}(3)若a =0时,b >0,其解集为R ≤0,其解集为2c bx ax ++2>0(a ≠0)高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab,x ∈R }；②a <0时,其解集为 (3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为∅类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集3．不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集1|x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为:2|x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:二、讲解新课： 不等式的有关概念1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 三、讲解范例：例1 解不等式|552+-x x |<1分析:不等式|x |<a (a >0)的解集是{x |-a <x <a },这时,我们用552+-x x 替换|x |<a (a >0)的解集中的x ,原不等式转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x 解这个不等式组,其解集就是原不等式的解集 解:原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②①解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3} 原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4} 故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}点评：解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系在本例中,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集例2 解不等式322322--+-x x x x ＜0分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-.032,023 0330232222x x x x x x x x 或 因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为 （x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0 令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0 可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考332322--+-x x x x ≤0的等价变形例3 解不等式2315222+---x x x x ＞1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解解：原不等式等价变形为：2315222+---x x x x －1＞0通分整理得：233222+---x x x x ＞0等价变形为： （x 2－2x ＋3）(x 2－3x ＋2)＞0即 （x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞3} 说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解 四、课堂练习：1解下列不等式:(1)|3x -4|≤19；(2)|21-x +4|>3；(3)30+7x -2x 2<0 (4)3x 2-5x +4>0；(5)6x 2+x -2≤0答案:(1)由|3x -4|≤19⇒4-19≤3x ≤4+19⇒-5≤x ≤323,原不等式解集为{x |-5≤x ≤323} (2) 原不等式即|x +7|>6⇒x <-13或x >-1,原不等式的解集为{x |x <-13或x >-1}(3)原不等式即2x 2-7x -30>0方程2x 2-7x -30=0的两根为x 1=-25,x 2=6式的解集为{x |x <-25或x >6} (4)∵Δ=25-48<0,故不等式解集为R(5)方程6x 2+x -2=0的二根为x 1=-32,x 22原不等式的解集为{x |-32≤x ≤21}2解下列不等式:(1)|x 2-48|>16； (2)|x 2-3x +1|<5答案:(1)由|x 2-48|>16⇒x 2<32或x 2>64⇒{x |-42<x <42}∪{x |x <-8,或x >8}原不等式的解集为:{x |x <-8或-42<x <42或x >8}(2)原不等式⇔-5<x 2-3x +1<5⎩⎨⎧->+-<+-⇔51351322x x x x41R4106304322<<-⇒⎩⎨⎧∈<<-⇒⎩⎨⎧>+-<--⇔x x x x x x x故原不等式的解集为{x |-1<x <4} 3解下列不等式:（1）1272322+-+-x x x x ≥0；（2）x (x －3)(x ＋1)(x －2)≤0答案：（1）1272322+-+-x x x x ≥00)4)(3()2)(1(≥----⇒x x x x),4()3,2[]1,(+∞-∞∈⇒ x（2）x (x －3)(x ＋1)(x －2)≤0]3,2[]0,1[ -∈⇒x五、小结 ：一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定);三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集形如|c bx ax ++2|<m 及|c bx ax ++2|>m (m >0)的不等式的解法,关键是去掉绝对值符号使其转化为一元二次不等式(组),借助数轴的直观作用,达到解题目的要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解 六、课后作业：1．解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>-讨论：当b a >时，ba b a ab x -+>)(当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，ba b a ab x -+<)(2．解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x 解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->13．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或，求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集．解：由题设0<a 且25-=-a b ， 1=ac从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-ac x a b x即 01252<+-x x ∴221<<x4．关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围．解：当a >0时不合 a =0也不合 ∴必有：⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 31)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a5．若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围解：显然k =0时满足 而k <0时不满足102)8(43602≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k ∴k 的取值范围是[0,1] 6．解不等式1|55|2<+-x x 解集为：}4321|{<<<<x x x 或7． 解不等式0322322<--+-x x x x 略解一（分析法）3211312103202322<<<<-⇒⎩⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<-->+-x x x x x x x x x 或或或φ⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎩⎨⎧>--<+-312103202322x x x x x x x 或 ∴3211<<<<-x x 或解二：（列表法）原不等式可化为0)1)(3()2)(1(<+---x x x x 列表（略）注意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”8．解不等式 62323+>+x x x 解：原不等式化为 0)2)(2)(3(>-++x x x∴原不等式的解为232-<<->x x 或9．解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x-1 01234-2解：∵022>++x x 恒成立，∴原不等式等价于0542<--x x 即-1<x <5 10．解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x解：原不等式等价于0)2)(1)(1(<-+-x x x 且 1,2≠-≠x x ∴原不等式的解为}21221|{-<-<<-<<x x x x 或或 若原题目改为0)2)(1()1()2(32≤-+-+x x x x 呢？ 11．解不等式80)4)(1)(2)(5(-≤--++x x x x 解：原不等式等价于080)2)(20(22≤+-+-+x x x x即 0120)(22)(222≤++-+x x x x ⇒0)10)(12(22≤-+-+x x x x⇒0)2411)(2411)(3)(4(≤---+---+x x x x ∴3241124114≤≤+-+-≤≤-x x 或 12．解不等式1116-<-x x 解：原不等式等价于01)3)(5(>-+-x x x ，∴原不等式的解为：513><<-x x 或13． k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x kkx x 解：原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x 由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1<k <3 七、板书设计（略） 八、备用习题：1解下列不等式:(1)x 2-2|x |-3>0；(2)2-3x <|2x -1|解:(1)由x 2-2|x |-3>0⇔|x |2-2|x |-3>0⇔(|x |-3)(|x |+1)>0⇔|x |>3⇔x >3或x <-3 故原不等式的解集为{x |x <-3,或x >3}(2)2-3x <|2x -1|⇔2x -1>2-3x 或2x -1<-(2-3x )⇔x >53或x >1⇔x 5故原不等式的解集为{x |x >53}2解不等式|x 2-9|≤x +3解:|x 2-9|≤x +3-(x +3)≤x 2-9≤x +3⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔⎩⎨⎧≤--≥-+⇔43230120622x x x x x x x 或 ⇔2≤x ≤4或x =-3故原不等式的解集是{x |2≤x ≤4,或x =-3}3解不等式|2x +1|+|x -2|>4分析:解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果解:|2x +1|+|x -2|>4⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔4)2()12(21x x x ⎩⎨⎧>-++>⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤≤-421224)2(12221x x x x x x 或或 ⇔x <-1或1<x ≤2或x >2⇔x <-1,或x >1故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}4解关于x 的不等式:(1)ax -2>3x +b (a ,b ∈R )；(2)ax 2-(a +1)x +1<0,其中a >0 解:(1)原不等式为:(a -3)x >2+b当a -3>0,即a >3时,不等式解集为{x |x >32-+a b} 当a -3=0,即a =3时,若2+b <0,即b <-2时,不等式的解集为R ;若2+b ≥0,即b ≥-2时,不等式无解当a -3<0,即a <3时,不等式解集为{x |x <32-+a b} (2)∵a >0 ∴原不等式⇔(x -1)(x -a1)<0 当a >1时,不等式的解集为{x |a1<x <1} 当0<a <1时,不等式的解集为{x |1<x <a1}当a =1时,不等式的解集为5定义在R 上的减函数f (x ),如果不等式组⎩⎨⎧-+>-+>-+)1()13()2()1(22x kx f kx f k f x kx f 对任何x ∈［0,1］都成立,求k 的取值范围解:原问题⎩⎨⎧-+<-+<-+⇔2211321xkx kx k x kx 在［0,1］内恒成立⎩⎨⎧<-+>++-⇔0220122kx x k kx x 在x ∈［0,1］内恒成立 [][]⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=⇔上恒负在上恒正在1,022)(1,01)(2221kx x x f k kx x x f [][]⎩⎨⎧⇔上的最大值为负在上的最小值为正在1,0)(1,0)(21x f x f .211211为所求<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->⇔k k k。