高三年级数学综合练习一
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题含答案
韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()UA B =（ ） A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.5．已知(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若b c ⊥，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ） A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则 A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积． 18．（本小题12分） 已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列； （2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n . 19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P . （1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值. 22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一） 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题（每小题5分）1.【解析】由题意，23201,2B x x x =-+==，所以2,1,2AB =-，所以(){} 1,0UA B =-，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥，所以3t =-，()0,4c =，所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--，故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF =，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =故选A. 法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==， 在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当0a <时，1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确； 对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确； 对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC. 10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确. 对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确； 对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y x k x x ⋅===，所以AP NF k k =， 从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒， 所以，PQ PF =，所以C 正确. 对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确 对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确. 对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<， 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-， ∵()0,απ∈，sin 5α=，cos 5α=-，∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y = 所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅，得1r =，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）. 17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以，2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分 （2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====， ()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====， 所以X 的分布列如下表：所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ， 则()2332122033327P C C b ===+=， 由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分 20.（本小题满分12分） （1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==，又4AB =，所以， 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ， 设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥， 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ，()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<. 可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=（1λ=舍去） .综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE12分21.（本小题满分12分） 解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分 又∵002BPy k x =-，且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， ∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。
高三数学必修一综合试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的第10项是（）。
A. 17B. 18C. 19D. 202. 下列函数中，有最小值的是（）。
A. y = x^2B. y = -x^2C. y = x^3D. y = -x^33. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则下列选项中正确的是（）。
A. a > 0, b = -2, c = -2B. a > 0, b = 2, c = -2C. a < 0, b = -2, c = -2D. a < 0, b = 2, c = -24. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为B，则点B的坐标是（）。
A. (3, 2)B. (2, 3)C. (1, 4)D. (4, 1)5. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，若a1 + a3 = 10，a2 = 6，则该数列的公差是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 46. 若函数f(x) = log2(x + 1)在区间[0, 2]上单调递增，则下列选项中正确的是（）。
A. f(1) < f(0)B. f(1) > f(0)C. f(1) = f(0)D. 无法确定7. 在△ABC中，已知a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC的面积是（）。
A. 6B. 8C. 10D. 128. 下列方程中，有唯一解的是（）。
A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x + 2 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 2 = 09. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 1]上有极值，则极值点可能是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 无极值点10. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)到直线x + 2y - 5 = 0的距离是（）。
北京市门头沟区2023届高三综合练习(一)数学试题
一、单选题1. 定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．2.若集合，则（ ）A．B．C．D．3. 现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）7 24 39 54 61 66 73 82 82 8287 91 95 8 98 102 102 108 114 120A ．该组数据的众数为102B ．该组数据的极差为112C ．该组数据的中位数为87D ．该组数据的80%分位数为1024. 已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）．A．B．C．D．5. 已知向量，，，若，则实数（ ）A ．－2B ．2C ．1D ．－16. 设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为，则（ )A．B．C．D ．与1大小不确定7. 为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）A．B．C．D．8. 双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则（ ）A．B ．－3C ．－5D．9.已知定义在上的偶函数，对任意不相等的，有，当时，有（ ）A．B．C．D．10. 已知i 为虚数单位，复数z 满足：z (1-i)=4-3i ，则z =（ ）A．B．C．D．11.设双曲线的右焦点为，圆与双曲线的两条渐近线相切于，两点，，其中为坐标原点，延长交双曲线的另一条渐近线于点，过点作圆的另一条切线，设切点为，则（ ）A．B．C．D．12. 如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 的距离为（ ）北京市门头沟区2023届高三综合练习(一)数学试题二、多选题A ．海里B ．海里C ．海里D ．海里13.化简的结果为（ ）A．B．C．D．14. 棱长为2的正方体中，E ，F 分别是棱BC，的中点，下列命题中错误的是（ ）A．B ．EF∥平面C ．EF⊥平面D ．四面体的体积等于15. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A．B．C．D．16.已知是单位向量，且，若向量，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．17. 已知，则（ ）A．B．C．D．18. 若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a +c >b +cB ．ac 2≥bc 2C．D ．(a +b )(a -b )>019. 设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）A．B ．当时，C 的离心率是2C ．到渐近线的距离随着n 的增大而减小D ．当时，C 的实轴长是虚轴长的两倍20.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（）A．准线方程为B．焦点坐标C．点的坐标为D．的长为321. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线三、填空题的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（ ）A ．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为C ．为定值D ．存在点，使得22. 复数，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A．B ．z的共轭复数为C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限23. 我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X ）、体艺特长（T ）、实践创新(S )、生涯找划(C )、国际视野(I )、公民素养（G ）、大学先修（D ）、PBL 项目课程（P ）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ）A ．某学生从中选3类，共有56种选法B ．课程“X ”、“T ”排在不相邻两天，共有种排法C ．课程中“S ”、“C ”、“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，共有720种排法D ．课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，共有种排法24. 给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.A ．若，则B ．若，则；C ．若，，则D ．若，，则25.数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为___________.26.设函数，若任意两个不相等正数，都有恒成立，则的取值范围是_______.27. 已知是球的直径上一点, ,平面 ,为垂足,截球所得截面的面积为 ,则球的表面积为_______.28.若函数的反函数的图象过点，则______．29. 已知数据的方差为，数据的方差为，则___________..30. 品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、IT 、营销、仓储物流、客户服务等内容．某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、IT 、营销、仓储物流、客户服务进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为3个等级，则甲服务商的5项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为______．四、解答题五、解答题31. 已知，则曲线在点处的切线方程为________.32. 已知，，与的夹角为60°，则________.33. 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值．34. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.35. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.36. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？37. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.38. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.39. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.(1)求居民收入在的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应月收入为的人中抽取多少人？40. 已知函数.（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；（2）令，求函数的定义域及不等式的解集.41. 已知函数；（1）若，求的值，并作出的图象；（2）当时，恒有，求的取值范围.42. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：摸底成绩50354055806065359050期末成绩53515668877146317968并计算得：（1）画出散点图；六、解答题（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．(附：)43.如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．(1)在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；(2)设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积．44. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者，得到其平均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下：500名志愿者平均每月的志愿服务时长频数分布表：服务时长频数1050100190904020（1）在答题卡上作出这500名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图；（2）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）.45.记为数列的前n 项和，已知，且．(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；(2)从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．若_________，求数列的前n 项和．①；②；③．46. 如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求证：．47. 如图，已知平面平面，B为线段中点，，四边形为正方形，平面平面，，，M为棱中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求多面体的体积.48. 如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点.(1)求证平面；(2)求面积的最小值.49. 在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.七、解答题50. 已知函数，其中为常数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数的极大值点是，且函数的一个零点大于1，求证：.51. 中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；(2)若甲抛掷次，乙抛掷n 次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．52. 某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）53. 在篮球比赛中，如果球员在分线内将球投进篮筐得分，若在投篮过程中，遭到对方球员犯规，则将获得罚球机会，若球投中则获得次罚球机会，若球未投中则获得次罚球机会，每次罚中球得分，未罚中不得分；如果运动员在分线外将球投进篮筐得分，且在投篮过程中，若遭到对方球员犯规，也将获得罚球机会，若球投中则获得次罚球机会，若球未投中则获得次罚球机会.已知球员甲在不被犯规的条件下分命中率为，分命中率为；在被犯规的条件下，各命中率减半.每次投篮被犯规的概率始终为，且罚球命中率为，每次罚球相互独立.(1)若在某场比赛的最后时刻，球员甲所在的球队落后分，还剩最后一次投篮机会，教练决定让甲投分球，求球队获胜的概率；(2)在一次进攻回合中，甲决定投分球，求这轮进攻甲得分的分布列及得分的数学期望.54. 随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）(1)根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否八、解答题(2)若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年龄在人数X 的分布列与数学期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82855. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为，小陈同学每道题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求的分布列和数学期望.56. 为丰富学生在校的课余生活，某校高三年级倡导学生积极参加踢毽子、投篮、射门等体育活动．各班拟推选“运动健将”组建班级代表队参与年级组织的体育比赛，年级依据各班团体和个人项目成绩的总积分排名给予表彰．(1)踢毽子是团体项目之一．班级人均一分钟踢毽子数不低于37个就认定为优秀．A 班利用体育课进行一分钟踢毽子练习，体育委员统计出同学们的成绩（全介于10到70之间）并作出频率分布直方图如图所示（原始成绩单丢失）．已知该频率分布直方图后四组“柱高”依次成等比数列，假若以这次练习的成绩做评价，该班是否能达到优秀标准？请你说明你的判断理由．(2)年级组织的竞技比赛中设有定点投篮和射门两个个人项目，竞赛规则如下：参赛选手从甲、乙两种方式中任选一种进行比赛，若投中或射中就称之为成功．甲方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目连续测试两次；乙方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目进行测试，若该项目成功则换另一个项目接着进行测试，否则重复测试该项目，此方式也只测试两次．积分规则：无论选甲、乙哪种方式，若某项目首次测试成功就记5分，失败则记0分；再次测试该项目时，成功只记4分，失败仍记0分．A 班推选a 同学代表班级从甲、乙两方式中选择一种参加个人项目比赛．已知a同学投篮和射门的命中率分别为，，且前后两项测试不会相互影响．以参加比赛的得分期望为标准，请问a 同学该选择哪种方式？等可能地等可能地57. 已知函数.（1）求函数的最小正周期;（2）求函数的最大值及相应自变量的值.58. 已知中，，且边上的中线交于点.(1)求的长;(2)求的值.59. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且+，过、、三点的圆的半径为，过定点的直线与椭圆交于、两点（在之间）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.60. 如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，，把沿向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面平面．(1)证明：；(2)在（1）的条件下求二面角的余弦值．61. 已知数列中，，令．(1)计算的值，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．62. 在中，，，______，从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.(1)求的值；(2)求和的面积.（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）。
高三数学综合练习题
高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。
2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。
3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。
4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。
5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。
综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。
2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。
3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。
4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。
综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。
2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。
3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。
4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。
综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。
2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。
2019东城区高三一模数学试卷及答案理科
东城区2019年综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ） （D ）（4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024年3月北京市丰台区高三数学高考一模综合练习卷附答案解析
2024年3月北京市丰台区高三数学高考一模综合练习卷试卷150分．考试时长120分钟2024．03第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a -=，且20a =，则d =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的离心率为2，则=a （）A ．2BC D ．124．在二项式252()x x-的展开式中，x 的系数为（）A ．﹣80B ．﹣40C ．40D ．805．已知向量a ，b满足)b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=()A ．14B ．12C ．2D ．46．按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以0A ，1A ，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①0A 规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为②将i A （i 0,1,,9= ）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()i 1A +规格纸张（如图）．某班级进行社会实践活动汇报，要用0A 规格纸张裁剪其他规格纸张．共需4A 规格纸张40张，2A 规格纸张10张，1A 规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供0A 规格纸张的张数为（）A ．6B ．7C ．8D ．97．在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为（）A ．1BC ．2D．8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论：②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为12S =+；④外接球的体积为V =．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④10．已知数列{}n a 满足()()*1*2N ,2121N ,2nn n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=-∈⎪⎩，，则（）A ．当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B ．当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C ．当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a -<D ．当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a ->第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算12i34i+=-.12．在ABC 中，若5b =，4B π=，cos A =，则=a .13．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为．14．已知函数()f x 具有下列性质：①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,∞+上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数．则()0f =；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =．15．目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为()()()1212103ln 999n nn a a a v a a a =+++ ，其中()1,2,,np jj i i np j ij im m a i n m m m ==+==+-∑∑ ．注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n = ）级火箭结构和燃料的总质量．给出下列三个结论：①121n a a a < ；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点．(1)求证：1//AC 平面1B CD ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D --的余弦值．条件①：1BC AC ⊥；条件②：1B D =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+(0ω>)．(1)若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ω的值．18．某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B ．试验结果如下表所示．疱疹面积（单位：2mm ）[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80第1组（只）34120第2组（只）13231(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 的概率；(2)从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望()E X ；(3)用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差()1D ξ，()2D ξ的大小关系．（结论不要求证明）19．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0a b >>)的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ．是否存在定点D ，使得12DM PQ =？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）21．已知集合{}*N 2n M x x n =∈≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 满足：①{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M = ；②()1,2,,k k a b k k n -== ．则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”．(1)已知数阵6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值；(2)若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个；(3)判断()5,6n M n =是否为“好集合”．若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈ 的所有“好数阵”；若不是，说明理由．1．A 【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.【详解】因为{}{}220|02A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}101B x x x x =->=，所以{}0A B x x ⋃=≥.故选：A.2．C 【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.【详解】()5311124221a a a d a d a -=+-+=-= ，11a ∴=-，()21011d a a ∴=-=--=.故选：C.3．B 【分析】根据双曲线方程求出b 、c ，再由离心率公式计算可得.【详解】双曲线222:1x C y a-=（0a >）中1b =，所以c =则离心率ce a==22a =，所以a =.故选：B 4．A【分析】根据二项展开式的通项，可得10315(2)r r rr T C x -+=-，令3r =，即可求得x 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式252(x x -的展开式的通项为251031552()((2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令3r =，可得3345(2)80T C x x =-=-，即展开式中x 的系数为80-，故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．D【分析】用λ表示出向量a的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案．【详解】1a b ⋅= ，0a ∴≠，又),b a b λ==，31a λλ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，0λ≠，311a b λλ∴⋅=+= ，4λ∴=．故选：D ．6．C【分析】设一张0A 规格纸张的面积为x ，从而得到一张1A 、2A 、4A 纸的面积，再求出所需要的纸的总面积，即可判断.【详解】依题意1张0A 规格纸张可以裁剪出2张1A ，或4张2A 或16张4A ，设一张0A 规格纸张的面积为x ，则一张1A 规格纸张的面积为12x ，一张2A 规格纸张的面积为14x ，一张4A 规格纸张的面积为116x ，依题意总共需要的纸张的面积为111140105716422x x x x x ⨯+⨯+⨯=+，所以至少需要提供8张0A 规格纸张，其中将3张0A 裁出5张1A 和2张2A ；将2张0A 裁出8张2A ；将剩下的3张0A 裁出31648⨯=张4A ，即共可以裁出5张1A 、10张2A 、48张4A .故选：C 7．D 【分析】利用垂径定理直接求解即可.【详解】由题意知：坐标原点O 到直线l 的距离1d =；圆C 的圆心为()0,0O ，半径2r =，l ∴被圆C 截得的弦长为=故选：D.8．A【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A 9．B 【分析】注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断①正确；可以找到一对位于正方形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到②错误；根据该几何体每种面（正三角形和正方形）各自的数量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出③正确；直接证明正方形的中心到该几何体每个顶点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球的体积，得到④错误.这就得到全部正确的结论是①③，从而选B.【详解】如图所示：该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的一半，故该等腰直角三角形的直角边长度为1若1122,A B A B 为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，2222,A B A D 为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱，则2222A B A D ⊥，11A B 平行于22A B ，1122,A B A D 异面，所以1122,A B A D 异面，1122A B A D ⊥，这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，②错误；该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，故每个正方形的面积都是2，每个正三角形的面积都是2，故表面积为628122S =⋅+⋅=+设正方体的中心为O ，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点，故O 到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的2这意味着以O 34π3V =，④错误.从而全部正确的结论是①③.故选：B.10．D 【分析】直接构造反例即可说明A 和B 错误；然后证明引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.最后由该引理推出C 错误，D 正确.【详解】当112a =-时，121124a a +==，23211284a a a ==<=，所以此时{}n a 不是递增数列，A 错误；当132a =时，121524a a +==，23528a a ==，34311352168a a a +==>=，所以此时{}n a 不是递减数列，B 错误；我们证明以下引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.若该引理成立，则它有两个直接的推论：①存在101a <<，使得对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥；②当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得1121000n a ->.然后由①是C 的否定，故可以说明C 错误；而②可以直接说明D 正确.最后，我们来证明引理：当101a <<时，对任意确定的正整数0N ：如果011111,21002100N a +⎛⎫∉-+ ⎝⎭，则01112100N a +-≥；如果011111,21002100N a +⎛⎫∈-+ ⎝⎭，则00122N N a a ++=或001212N N a a +++=.此时若00122N N a a ++=，则001211111111*********2420024200242002100N N a a+++⎛⎫=<=+=-+=--<-⎪⎝⎭；若001212N N a a +++=，则001211113111111111210022420024200244002100N N a a++-++⎛⎫=>=-+-=+->+ ⎪⎝⎭.无论哪种情况，都有021111,21002100N a +⎛⎫∉-+ ⎪⎝⎭，从而02112100N a +-≥.这说明01112100N a +-≥或02112100N a +-≥，所以可以选取{}001,2n N N ∈++，使得112100n a -≥.这就说明存在0n N >，使得112100n a -≥.这就证明了引理，从而可以推出C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】最关键的地方在于引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C 和D 选项.11．12i55-+【分析】利用复数的除法公式，即可计算结果.【详解】()()()()12i 34i 12i 510i 12i 34i 34i 34i 2555+++-+===-+--+.故答案为：12i55-+12．【分析】由cos 5A =求出sin A ，根据正弦定理求解即可.【详解】cos A =sin A ∴,由正弦定理可得：sin sin a bA B=,=解得：a =故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，属于容易题.13．3【分析】根据抛物线定义可得12x x +，结合中点坐标公式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()1,0F ；设()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线定义知：12118AF BF x x +=+++=，126x x ∴+=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为1232x x +=.故答案为：3.14．1-()||1f x x =-（答案不唯一）【分析】令120x x ==即可求出()0f ，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验证即可.【详解】因为当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++，令120x x ==可得()()()0001f f f =++，解得()01f =-，不妨令()||1f x x =-，x ∈R ，则1,0()11,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，满足②；又()||1||1()f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数，满足③；当[)12,0,x x ∈+∞时()12121211f x x x x x x +=+-=+-，()11111f x x x =-=-，()22211f x x x =-=-，所以()()()12121f x x f x f x +=++，满足①.故答案为：1-；()||1f x x =-（答案不唯一）【分析】只需证明每个i a 都大于1即可判断①错误；直接考虑1n =时v 的表达式即可判断②正确；2n =时，将条件12ln 2v =转化为关于12,a a6，推出③正确.【详解】首先，对1,2,,i n = ，有n j i j im m =≥∑，故0n p j i p j im m m m =≥+->∑，0np j p j im m m =+>>∑，这推出0i a >.由于()11,2,,j ij ip j p j nn i j ij ip j ip jn n m m m m a i n m m m m m ====+∑+∑=>==+∑-+∑ ，故每个i a 都大于1，从而121n a a a > ，①错误；由于当1n =时，有111110103ln 3ln 3ln109a a v a a =<=+，故②正确；由于当2n =时，()()12121003ln 99a a v a a =++，若12ln 2v =，则()()12121003ln 12ln 299a a a a =++.从而()()1212100ln4ln 2ln1699a a a a ==++，故()()12121001699a a a a =++.这意味着()()12121001699a a a a =++，即()()121225499a a a a =++，从而我们有()()121225499a a a a =++()()12124819a a a a =+++(()124819a a ≥++123244a a +=.等号成立当且仅当12a a =，故1212324254a a a a ≥+，即12023124a a -≥，即1210807a a --≥，分解因式可得)()6180+≥，再由180+>60≥6，③正确.故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式()()121225499a a a a =++，结合基本不等式即可顺利得解.16．(1)证明过程见解析(2)无论选条件①还是选条件②，二面角1B B C D --的余弦值都是3【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，由中位线定理得1//AC DE ，结合线面平行的判定定理即（2）首先证明无论选条件①还是选条件②，都有1,,CA CB CC 两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面1CBB 、平面1CDB 的法向量，注意到二面角1B B C D --是锐角，结合向量夹角的坐标公式即可求解.【详解】（1）连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，因为四边形11BCC B 为平行四边形，E 为它的对角线1BC 、1B C 交点，所以点E 是1BC 的中点，因为D 是AB 中点，所以DE 是1ABC 的中位线，所以1//AC DE ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1B CD ；（2）若选条件①：1BC AC ⊥，因为1CC ⊥底面ABC ，,CA CB ⊂底面ABC ，所以11,CC CA CC CB ⊥⊥，又因为1BC AC ⊥，且11111,,AC CC C AC CC ⋂=⊂面11ACC A ，所以BC ⊥面11ACC A ，而AC ⊂面11ACC A ，所以BC AC ⊥，即1,,CA CB CC 两两互相垂直，若选条件②：1B D 因为1B B ⊥面ABC ，BD ⊂面ABC ，所以1BB BD ⊥，因为1B D 112BB CC ==，所以BD ==因为点D 是AB 中点，所以2AB BD ==，因为2CA CB ==，所以222CA CB AB +=，即CA CB ⊥，由前面分析可知11,CC CA CC CB ⊥⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直，综上，无论选条件①还是选条件②，都有1,,CA CB CC 两两互相垂直，故以点C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,1,1,0B B C D ，所以()()()10,2,0,0,2,2,1,1,0CB CB CD ===，设平面1CBB 、平面1CDB 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，从而有11100CB n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，2120CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，也就是有11120220y y z =⎧⎨+=⎩，22220220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令121x x ==，解得11220,1,1y z y z ===-=，所以可取平面1CBB 、平面1CDB 的法向量分别为()()121,0,0,1,1,1n n ==-，显然二面角1B B C D --是锐角，所以二面角1B B C D --的余弦值为121212cos ,3n n n n n n ⋅==⋅.17．(1)12；(2)1．【分析】(1)直接代入2ω=及6x π=计算即可；(2)化简f (x )解析式，根据()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可知该区间长度小于或等于f (x )的半个周期，再结合012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0ω>可得ω的值．【详解】（1）∵2ω=，∴211311cos sin 6333222422f ππππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭．（2）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos21sin2sin 22226x x x ωπωω-⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭∵()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2263T πππ≥-=，即223T ππω=≥，∴03ω<≤．∵012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin 01266f πωππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 66k k ω-+=∈即()16k k ω=-∈Z ，所以当0k =时，1ω=.此时()f x =sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，732,62622x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故此时()f x 单调递减，符合题意.综上，1ω=.18．(1)1225(2)分布列见解析，()2E X =(3)()()12D D ξξ<【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意X 的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）分别求出()10P ξ=，()11P ξ=，()20P ξ=，()21P ξ=，从而求出1D ξ、2D ξ，即可比较.【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 为事件C ，其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为810，从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为610，所以()8612101025P C =⨯=.（2）依题意X 的可能取值为1、2、3，且()212436C C 11C 5P X ===，()122436C C 32C 5P X ===，()032436C C 13C 5P X ===，所以X 的分布列为：X123P153515所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.（3）依题意可得()17010P ξ==，()13110P ξ==，所以()173301101010E ξ=⨯+⨯=，所以()221373321001101010101000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()24010P ξ==，()26110P ξ==，所以()246601101010E ξ=⨯+⨯=，所以()2226466240210011010101010001000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12D D ξξ<.19．(1)221124x y +=；(2)存在，()0,2D -.【分析】(1)根据焦距可求c ，根据已知四边形周长及a 、b 、c 的关系可求出a 、b ，从而可求椭圆标准方程；(2)由题可知，若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ．从而只需从直线l 斜率不存着时入手求出该定点D ，斜率存在时验算0DP DQ ⋅=即可．【详解】（1）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆E 的方程为221124x y +=．（2）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ．当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①，当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为22(1)9x y +-=②．联立①②，得0,2,x y =⎧⎨=-⎩猜测点D 的坐标为()0,2-．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++-=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,.3131k x x x x k k +=-=-++∴()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()121222x x y y =+++()()121233x x kx kx =+++()()21212139k x x k x x =++++()222961393131k k k k k ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭0.=综上，存在定点()0,2D -，使得12DM PQ =．20．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1xm x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11xf x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+上单调递增，又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.故函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.由于曲线()y f x =在()()00,x f x 处的切线斜率为()0001e 11x f x x =+-+'，故该切线的方程为()()()000y f x x x f x =-+'，从而()()()()000g x f x x x f x -'=+.现在我们有()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.首先我们有()()()()()()()000000000h x f x f x x x f x f x f x '=---=-=，()()()0000h x f x f x =-''='，故()()000h x h x '==.已证函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，下面我们分情况讨论：当00x >时：由于()()()()()()()011200000011111e 111111121111222f x f f x f x f x f x f x f x -++'⎛⎫-+=+->-=-=+> ⎪ ⎪+⎝⎭-++-++++'''''''+，故()()()0001111022h f f x f x f x '''''⎛⎫⎛⎫-+=-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，同时由()f x '在[)0,∞+上递增，知()()()0000h f f x =-''<'，而()0111110222f x -+≤-+=-'<+，故()h x '在()011,02f x ⎛⎫-+ +⎝'⎪⎪⎭上必存在一个零点，记该零点为u ，则有()0h u '=，且()01102u f x -'+<<+，从而10u -<<.由于函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，010u x -<<<，当1x u -<<时，()()()()()()000h x f x f x f u f x h u '''''-='=->=；当0u x <≤时，()()()()()()000h x f x f x f u f x h u '''''-='=-<=；当00x x <<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =-<-''''='；当0x x >时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =->-''''='.这表明()h x 在()0,u x 上递减，在()1,u -和()0,x ∞+上各自递增.由于()h x 在()1,u -上递增，故()h x 在()1,u -上至多有一个零点，而()()()()0000h u h x f x f x >=-=.同时，当10x -<<时，有()()()()()000h x f x f x x x f x =---'()()()()()0000e ln 11xx f x x x f x f x ''=++-++-()()()()()00001ln 11x f x x f x f x <+++++-''()()()()()0000ln 111x f x x f x f x ≤++++-'+'故()()()()()()0000ln 111h x x f x x f x f x <+'++++-'，这表明当()()()()()000011min 1e ,f x x f x f x x u -+++-''⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭时，有()()()()()()0000ln 111h x x f x x f x f x <+'++++-'()()()()()()()()()0000110000ln e 11f x x f x f x f x x f x f x '++-'-+⎛⎫≤++++- ⎪⎝''⎭()()()()()()()()()000000001111f x x f x f x f x x f x f x =-+++-+''+'+-'+0=.故()h x 必有一个零点t ，且()()()()()000011min 1e ,f x x f x f x u t u ''-+++-⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭.已证()h x 在()1,u -上至多有一个零点，这就说明()h x 在()1,u -上恰有一个零点.然后，当0,x u x x ≥≠时，由于()h x 在()0,u x 上递减，在()0,x ∞+上递增，故()()00h x h x >=.而()00h x =，这说明()h x 在[),u ∞+上恰有一个零点.根据以上的讨论，知()h x 恰有2个零点；当010x -<<时：由于()()()()()()()()()()()()00ln 2ln 2000001ln 2e1e 121ln 21f x f x f f x f x f x f x f x '+'++=+->'-=+->≥'+'''+'，故()()()()()()()000ln 2ln 20h f x f f x f x +=+-''''>'，同时由()f x '在(]1,0-上递减，知()()()0000h f f x =-''<'，而()()0ln 2ln 20f x +≥>'，故()h x '在()()()00,ln 2f x +'上必存在一个零点，记该零点为v ，则有()0h v '=，且()()00ln 2v f x <+'<，从而0v >.由于函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，010x v -<<<，当01x x -<<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =->-''''='；当00x x <<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =-<-''''='；当0x v ≤<时，()()()()()()000h x f x f x f v f x h v '''''-='=-<=；当x v >时，()()()()()()000h x f x f x f v f x h v '''''-='=->=.这表明()h x 在()0,x v 上递减，在()01,x -和(),v ∞+上各自递增.由于()h x 在(),v ∞+上递增，故()h x 在(),v ∞+上至多有一个零点，而()()()()0000h v h x f x f x <=-=.同时，当0x >时，有：()()()()()000h x f x f x x x f x =---'()()()()()0000e ln 11xx f x x x f x f x ''=++-++-()()()()0000e 1x f x x x f x f x >-++-''()()()0000e 1x f x x x f x f x ≥-+--''故()()()()0000e 1xh x f x x x f x f x >-+-'-'，设()e t t t η=-，则当0t >时()e 10tt η='->，故()t η在()0,∞+上递增，所以当0t >时()()e 010tt t ηη-=>=>，即e t t >.所以当0x >时，有：()()()()0000e 1xh x f x x x f x f x >-+-'-'()()()0000e 212x xf x x f x f x ''=-+--()()()20000e 21e x x f x x f x f x ''≥-+--()()()220000e e 21x x f x x f x f x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝'⎭'这表明当()()()()()()0000max 2ln 1,2ln 211,x x f x f x f x v ≥-+++''时，有()()()()()000ln 12000e e 1xx f x f x x f x f x -+'-'≥=+，()()()0ln 21120e e 211xf x f x +'+≥=++'，从而()()()()220000e e 21x x h x f x x f x f x ⎛⎫>-+-- ⎪⎝''⎭()()()()()200000e 21121xf x f x x f x f x ≥++-+'--''()()2000e x x f x f x '=--()()()()0000001x f x f x x f x f x ''≥-+--10=>.故()h x 必有一个零点t '，且()()()()()()0000max 2ln 1,2ln 211,v t x f x f x f x v <<-+'+''+.已证()h x 在(),v ∞+上至多有一个零点，这就说明()h x 在(),v ∞+上恰有一个零点.然后，当0,x v x x ≤≠时，由于()h x 在()01,x -上递减，在()0,x v 上递增，故()()00h x h x >=.而()00h x =，这说明()h x 在(]1,v -上恰有一个零点.根据以上的讨论，知()h x 恰有2个零点.综上，无论哪种情况，()h x 都恰有2个零点，从而零点个数为2.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，()()000h x h x '==，由此即可顺利得解.21．(1)8x =，5y =，4z =，3w =(2)证明见解析(3)5M 是“好集合”，满足{}5125,,...,a a a ∈的“好数阵”有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦；6M 不是“好集合”，证明见解析【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；（2）可构造恰当的映射，以证明结论；（3）第三问可通过分类讨论求解问题.【详解】（1）由“好数阵”的定义，知71x -=，2y w -=，13z -=，{}{},,,3,4,5,8x y z w =，故8x =，4z =，2y w -=，{}{},3,5y z =，进一步得到5y =，3w =.从而8x =，5y =，4z =，3w =.（2）如果1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个“好数阵”，则{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M ⋃= ，()1,2,,k k a b k k n -== .从而{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +-+-+-⋃+-+-+-= ，()()()21211,2,,k k n b n a k k n +--+-== .故1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦也是一个“好数阵”.由于22222a b b +=+是偶数，故2221a b n ++≠，从而2221a n b ≠+-.这就说明两数阵1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.设全体“好数阵”构成的集合为S ，并定义映射:F S S →如下：对1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，规定()1212212121212121n n n b n b n b F T n a n a n a +-+-+-⎡⎤=⎢⎥+-+-+-⎣⎦ .因为由n M 中的元素构成的2n ⨯数阵只有不超过()22nn 种，故S 是有限集合.而()()()()()()()()1212212121212121212121212121n n n n a n n a n n a F F T n n b n n b n n b ⎡⎤+-+-+-+-+-+-=⎢⎥+-+-+-+-+-+-⎣⎦ 1212n n a a a T b b b ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ，这就表明()()F F T T =，从而F 是满射，由S 是有限集，知F 也是单射，从而F 是一一对应.对“好数阵”1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，已证两数阵1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦ 是不同的数阵，故()F T T ≠.同时，对两个“好数阵”1T ，2T ，如果()21T F T =，则()()()211F T F F T T ==；如果()12T F T =，则()()()122F T F F T T ==.所以()21T F T =当且仅当()12T F T =.最后，对T S ∈，由()F T T ≠，称2元集合(){},T F T 为一个“好对”.对0T S ∈，若0T 属于某个“好对”(){},T F T ，则0T T =或()0F T T =，即0T T =或()0T F T =.由于(){}()()(){}0000,,T F T F T F F T =，故无论是0T T =还是()0T F T =，都有(){}(){}00,,T F T T F T =.这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.（3）若1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 是“好数阵”，则有()()1212123...2......n n n a a a b b b ++++=+++++++()()()()()121212......n n b b b n b b b =++++++++++()()122...12...n b b b n =+++++++，所以()()()()()1212312...12...222n n n n n n b b b n n n ++++++=+++++==，这表明()312n n +一定是偶数.若5n =，设125125a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 是“好数阵”，则()()125312...402n n b b b ++++==，从而3124520b b b b b ++++=，故()()()1234512512512...5...12...5201535a a a a a b b b b b b ++++=++++++=+++++++=+=.由于()121,2,...,5k k a b k ≥+≥=，故{}1251,,...,b b b ∈，同理{}12510,,...,a a a ∈.若{}1252,,...,a a a ∈，设2k a =，则21k k a b k k ==+≥+，故1k =，从而12a =.进一步有11b =，而()23252,...,5k k a b k ≥+≥+==，故{}23453,4,,,b b b b ∈.假设{}23455,,,a a a a ∈，设5k a '=，则35k k b a k k ''''≤=-=-，故2k '=，则25a =，23b =.由于5555b a ≤-≤，{}{}1212,,,1,2,3,5a a b b =，故54b =，59a =.此时{}{}3434,,,6,7,8,10a a b b =，从而410a =，46b =，但此时33871a b -=-=，矛盾；所以{}23455,,,b b b b ∈，故{}23453,4,5,,,b b b b ∈，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有29681017345⎡⎤⎢⎥⎣⎦，26109814753⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1252,,...,b b b ∈，则{}1251,2,,...,b b b ∈，从而11b ≠.若{}1253,,...,a a a ∈，则13a =或23a =.若13a =，则12b =，{}3451,,b b b ∈，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有31079628451⎡⎤⎢⎥⎣⎦，38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若23a =，则21b =，{}3452,,b b b ∈，若{}1256,,...,a a a ∈，则16a =，或42b =且46a =，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有93761081425⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1256,,...,b b b ∈，则{}13452,6,,,b b b b ∈，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1253,,...,b b b ∈，则{}1251,2,3,,...,b b b ∈，假设{}1254,,...,b b b ∈，由于3124520b b b b b ++++=，{}12510,,...,a a a ∈，故23451201234919b b b b b =++++≤++++=，矛盾，所以{}1254,,...,a a a ∈.对{}1251,2,3,,...,b b b ∈尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有10487692531⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10746895123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上，全部的“好数阵”有29681017345⎡⎤⎢⎥⎣⎦，26109814753⎡⎤⎢⎥⎣⎦，31079628451⎡⎤⎢⎥⎣⎦，38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，93761081425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10487692531⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10746895123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中，满足{}1255,,...,a a a ∈的有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上，5M 是“好集合”，满足{}1255,,...,a a a ∈的“好数阵”有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若6n =，由于此时()31572n n +=不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而6M 不是“好集合”.【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.。
北京市朝阳区高三年级数学学科测试综合练习
北京市朝阳区高三年级数学学科测试综合练习（理工类）2013.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）为虚数单位，复数的虚部是A．B．C． D .（2）已知集合，，则A. B. C. D.（3）已知向量，.若，则实数的值为A．B．C．D．（4）在极坐标系中，直线与曲线相交于两点, 为极点，则的大小为A．B．C．D．（5）在下列命题中，①“”是“”的充要条件；②的展开式中的常数项为；③设随机变量～,若，则．其中所有正确命题的序号是A．②B．③C．②③D．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. B. C. D. 8（7）抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为A. B. 1 C. D. 2（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）在等比数列中，，则，为等差数列，且，则数列的前5项和等于.（10）在中，，，分别为角，，C所对的边.已知角为锐角，且,则.（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .（12）如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切线交的延长线于点 .若，，则线段的长是；圆的半径是.（13）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是.（14）在平面直角坐标系中，已知点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数（）的最小正周期为.（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.（16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布列与数学期望．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点， .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围.（20）（本小题满分13分）设是数的任意一个全排列，定义，其中.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A D A C C D A B二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）. …………………………………………4分因为最小正周期为，所以. ………………………………6分所以.由，，得.所以函数的单调递增区间为[ ]，. ………………8分（Ⅱ）因为，所以，…………………………………10分所以. ………………………………………12分所以函数在上的取值范围是[ ]. ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．…………………………3分（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．所以．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．……………7分（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为，所以随机变量的可能取值为．；；；；；．所以随机变量的分布列为所以．……………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，，所以．因为，所以．而平面，平面，所以平面．……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，且，所以平面 .所以，．又因为，所以两两垂直．……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系，因为，，所以．当时，为中点，所以,所以．设异面直线与所成的角为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．…………………………………9分（Ⅲ）设，则．由已知，所以，所以所以．设平面的一个法向量为，因为,所以即令，得．设平面的一个法向量为，因为,所以即令，则．若平面平面，则，所以，解得．所以当时，平面平面．…………………………………………14分（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为，且…………2分①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，令，得，函数的单调递增区间为.②当，即时，令，得或，函数的单调递增区间为，.令，得，函数的单调递减区间为.③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为 . …7分(Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.所以在上的最小值为，由于，要使在上有且只有一个零点，需满足或解得或 .②当时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当时，函数在上单调递增；且，所以在上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又因为，所以当时，总有.因为，所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，从而当时，在上有且只有一个零点.综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意得解得，.所以椭圆的方程为 . ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. …………………………………………6分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意.由得 . 新课标第一网设,则.直线，的方程分别为：，令，则.所以，. ……………………10分所以. ……………………………………………12分因为，所以，所以，即 .综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ） . ……3分（Ⅱ）数的倍与倍分别如下：其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.对于排列，此时，所以的最大值为. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为 . ……………………………13分。
2022-2023学年北京市东城区高三下学期综合练习(一)数学试卷(PDF版)
北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（一）数 学 2023.3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合22{|}0A x x -=<，且a A ∈，则a 可以为（A ）2- （B ）1-（C ）32（D （2）在复平面内，复数iz对应的点的坐标是(3,1)-，则z = （A ）13i + （B ）3i + （C ）3i -+ （D ）13i -- （3）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =- （C ）1y = （D ）1y =- （4）已知0x >，则44x x-+的最小值为 （A ）2- （B ）0（C ）1 （D ）（5）在△ABC 中，a =2b c =，1cos 4A =-，则ABC S =△（A ）（B ）4（C ） （D ）（6）设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，且m α⊂，αβ ，则“m n ⊥”是“n β⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）过坐标原点作曲线2e1x y -=+的切线，则切线方程为（A ）y x = （B ）2y x = （C ）21e y x = （D ）e y x =（8）已知正方形ABCD 的边长为 2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP D P ⋅的取值范围是（A ）(0,8] （B ）[0,8) （C ）(0,4] （D ）[0,4)（9）已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且1和4为其中的两项，则5a 的最小值为（A ）64- （B ）8- （C ）164 （D ）18（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（A ）13 （B ）14 （C ）15 （D ）16第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
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高三年级数学综合练习（一）
班级__________学号__________姓名__________
一、选择题（每小题5分，共60分。
将正确答案填在答题表内，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1、已知集合{})2,0(,sin |),(π∈==x x y y x A ，{}R a a y y x B ∈==,|),(，则集合B A ⋂的子集个数最多有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．4个
D ．8个 2、已知定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不等实数a 、b ，总有
0)
()(>--b
a b f a f 成立，
则必有
（ ）
A ．函数)(x f 是奇函数
B ．函数)(x f 是偶函数
C ．)(x f 在R 上是增函数
D ．)(x f 在R 上是减函数
3、若21)4tan(,43)tan(=-=
+πββα，那么)4
tan(π
α+的值等于
（ ）
A ．1110
B ．112
C ．5
2 D ．2
4、在数列{}n a 中，若)2,(211≥∈+=+-n N n a a a n n n ，则下列各不等式中一定成立的是
（ ） A ．2342a a a ≤
B ．2342a a a <
C ．2
342a a a ≥
D ．2
342a a a >
5、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面ABC 内一点P 满足：=++，则点P 与△ABC 的位置关系为
（ ）
A ．P 在△ABC 内部
B ．P 在△AB
C 外部
C ．P 在AB 边所在直线上
D ．P 是AC 边的一个三等分点
6、设222111,,,,,c b a c b a 均为非零实数，不等式0112
1>++c x b x a 和0222
2>++c x b x a 的解集分别是非空集合M 、N ，那么“
2
1
2121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
7、过抛物线x y =2
上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，则直线BC 的斜率为 （ ）
A ．2-
B ．4-
C ．4
1
-
D ．不能唯一确定
8、1F 、2F 分别为椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点，AB 为其过点2F 且斜率为1的弦，则 F 1·F 2的值为（ ）
A ．
5
23 B ．
3
26 C ．
5
46 D ．5
9、已知定义在R 上的函数)(x f 对于任意R x ∈，都有)
(1)
(1)2(x f x f x f -+=
+ ，
设))((*
N n n f a n ∈= ，则数列{}n a 中，值不同的项至多有
（ ）
A ．12项
B ．8项
C ．6项
D ．4项
10、曲线)4cos()4sin(2ππ
-+
=x x y 和直线2
1
=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1P 、2P 、3P ，……，则||42P P 等于
（ ）
A ．π
B ．π2
C ．π3
D ．π4
11、棱长为a 的正方体中，连接相邻面中心，以这些线段为棱的八面体中，互相平行的两个面的距离是 （ ）
A 、
a 66 B 、a 36 C 、a 63 D 、a 3
3 12、边长为a 、b 、c 的三角形，其面积为0.25，而外接圆半径为1，若c b a S ++=，
c
b a T 1
11++=，则S 与T 的大小关系是
（ ） A 、S>T B 、S=T C 、S<T D 、不确定
二、填空题（每小题4分，共24分，将正确答案填在下页的横线上。
）
13、当3=x 时，不等式)64(log )2(log 2
->--x x x a a （a 为常数，a >0，且
a ≠1）成立，则此不等式的解集是 ．
14、等差数列{}n a 中，24432-=++a a a ，78201816=++a a a ，则前20项和
=20S ．
15、购买一件售价为a 元的商品，采用分期付款，要在m 个月内分m 次付款还清，月利率为p ，则每次付款数为 ．
16、已知y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤-+0
00
33y x y x ，则12-+=x y z 的取值范围是 ．
17、已知向量)1,0(-=，),2
(),sin 2,cos 2(ππ
θθθ∈=，则向量与夹角
为 ．
18、已知⎩⎨⎧<+≥-=∈*
)
3)(2()
3(35)(,2x x f x x x f N x ，其值域为D ，给出下列数值：26-，
1-，9，14，27，65，则其中属于集合D 的元素是 ．
（写出所有可能的数值）
班级__________学号__________姓名__________
二、填空题（每小题4分，共24分）
13、_________________． 14、_________________． 15、_________________．
16、_________________． 17、_________________．
18、_________________．
三、解答题（本大题计5小题，共66分） 19、（本小题满分12分）
已知),(2sin 3cos 2)(2
为常数a R a a x x x f ∈++=.
（1）若)(x f 在]6
,6[π
π-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值； （2）在（1）的条件下，)(x f 先按平移再经过伸缩变换后得到x y sin =，求．
20、（本小题满分12分）
已知)(231)(2a x ax x f ++=
，1)2(2
1
)(2++=x a x g ，设)(x f 和)(x g 的导数分别为)(x f '和)(x g '，解关于x 的不等式)(x f ')(x g '-＞0．
21、（本小题满分14分）
如图，四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是矩形且AB=2BC=2，侧面△ADE 是正三角形且垂直于底面ABCD ，F 是AB 的中点，AD 中点为O ，
求：（1）异面直线AE 与CF 所成角；
（2）点O 到平面EFC 的距离； （3）二面角E －FC －D 的大小.
A B C D F E
22、（本小题满分14分）
已知函数14)(2
3
4
++-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减.
（1）求a 的值；
（2）设1)(2-=bx x g ，若方程)()(x g x f =的解集恰好有3个元素，求b 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数对(m ，n )，使)()(n x g m x f -+-为偶函数？如存在，求出m ，n ；如不存在，说明理由.
23、（本小题满分14分）
双曲线C 的方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，过右焦点F(0,22)作双曲线在第一、
三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，且·
6-=. （1）求双曲线C 的方程；
（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A 、B ，又M 为双曲线C 上任一动点，点Q 满足
·0=MB ，·0=MA ，试求动点Q 的轨迹方程.。