天津市2018届高三毕业班联考数学(文)试题(一)含答案

天津市2018届高三毕业班联考数学（文）试题（一）含答案2018年天津市高三毕业班联考（一）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：∙锥体的体积公式Sh V31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的。

1. 已知集合}5,4,3,2,1,0{=A ,集合}10{2<=x x B ，则=⋂B A ( ) A ．}4,2,0{ B ．}3{ C ．}3,2,1,0{ D ．}3,2,1{2. 设实数,x y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则z x y =+的最小值是( )A ．85B ．1C ．2D ．7 3. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．23 B ． 35 C ．58 D ． 813 4．设R x ∈，则“11<x ”是“1)21(>x ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点到抛物线22(0)y px p =>的准线的距离为4,点)22,2(是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( )A ．15422=-y xB ．14522=-y xC ．13622=-y xD ．16322=-y x 6. 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在]0,(-∞上单调递增，若)3(log 51f a =，)2.0(,)5(log 5.03f c f b ==，则c b a ,,的大小关系为( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c a b <<D ．c b a << 7．将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是( )A ．34π B ．3πC ．65πD ．6π 8.定义在)1,1(-上的函数)(x f 满足1)1(1)(+-=x f x f ，当]0,1(-∈x 时， 111)(-+=x x f ，若函数m mx x f x g ---=21)()(在)1,1(-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．)169,41( B ． )169,41[ C ．11[,)42 D ．11(,)42第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.已知R a ∈，i 为虚数单位，若iia 21-+为纯虚数，则a 的值为________. 10.设函数的图象在点)4,1(P 处的切线为l ，则直线l 在y 轴上的截距为________.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________. 12.已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点)22,0(M 在圆C 上，且圆心到直线012=+-y x 的距离为553，则圆C 的方程为________. 13．已知R b a ∈,,且a 是b -2与b 3-的等差中项，则||||24b a ab+的最大值为________.14.在等腰梯形ABCD 中，已知CD AB //，3=AB ，2=BC ，060=∠ABC ，动点F E ,分别在线段BC 和CD 上，且BC BE λ2=，)31(λ-=，则⋅的取值范围为______.123++=x x y三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，4π=B ，23=c ，ABC ∆的面积为6．（Ⅰ）求a 及A sin 的值； （Ⅱ）求)62sin(π-A 的值．16.（本小题满分13分）为进一步贯彻落实“十九”大精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。

从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)75,70，[)80,75，[)85,80，[)90,85，[)95,90，]100,95[，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）若从竞赛成绩在[)75,70与]100,95[两个分数段的学生M 中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件发生的概率.17. (本小题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥A A 1平面ABC ,BC AC =,421==A A AB 以BC AB ,为邻边作平行四边形ABCD ,连接11,DC D A .（Ⅰ）求证：//1DC 平面11ABB A ; （Ⅱ）若二面角A DC A --1为45. ①求证：平面⊥D C A 11平面AD A 1;②求直线1AB 与平面AD A 1所成角的正切值.18.(本小题满分13分）已知正项等比数列}{n a ，等差数列}{n b 满足111==b a ,722=+b a ，且2a 是1b 与23+b 的等比中项. （Ⅰ）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n n n b a b c 2)1(+-=，求数列}{n c 的前n 项和nT .19．（本小题满分14分）已知椭圆:()x y a b a b +=>>222210的上顶点为,离心率为2.抛物线:C y x =-+221截x 轴所得的线段长为C 1的长半轴长. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与相交于两点,直线,AB AC 分别与1C 相交于两点 ①证明：以BC 为直径的圆经过点A ； ②记和APQ ∆的面积分别是21,S S ,求S S 12的最小值.20．（本小题满分14分）已知函数x x a x f -=ln )( （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性 ；（Ⅱ）若01)(<+x f 对任意),1(+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当a e e <≤+10时，若函数xx f x g 1)()(+=有两个极值点)(,2121x x x x <,求 ()()g x g x -21的最大值.C 1A C 2,B C ,P Q ABC ∆2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一） 数学试卷（文科） 评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．2 ； 10．1-； 11.3310； 12．9)1(22=+-y x ； 13．94 ； 14．]1,31[三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，4π=B ，23=c ，ABC ∆的面积为6．（Ⅰ）求a 及A sin 的值； （Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）由已知B ac S ABC sin 21=∆ 44sin .23.216=∴=∴a a π ………………2分102223421816cos 22222=⨯⨯⨯-+=∴-+=b Bac c a b 且 10=∴b ………………4分在ABC ∆中，BbA a sin sin = 552sin 2210sin 4=∴=∴A A ………………6分 （Ⅱ）20π<<∴<A c a ………………7分)62sin(π-A又分分分125315121cos 22cos 1054555522cos .sin 22sin 855cos 552sin 2⋯⋯⋯⋯-=-⨯=-=⋯⋯⋯⋯=⨯⨯==∴⋯⋯⋯⋯=∴=A A A A A A A 6sin .2cos 6cos .2sin )62sin(πππA A A -=-∴1033421)53(2354+=⨯--⨯=………………13分16.（本小题满分13分）为进一步贯彻落实“十九”大精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。

从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)75,70，[)80,75，[)85,80，[)90,85，[)95,90，]100,95[，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）若从竞赛成绩在[)75,70与]100,95[两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率.解：（Ⅰ）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以1)05.004.002.002.001.0(5=+++++⨯a ………………2分解得06.0=a …………………3分（Ⅱ）成绩在[)75,70分数段内的人数为205.040=⨯人，分别记为B A ,……4分成绩在分数段内的人数为人，分别记为F E D C ,,,……5分 在两个分数段内随机选取两名学生，所有的基本事件为：{}{}{}{}{}F A E A D A C A B A ,,,,,,,,,{}{}{}{}F B E B D B C B ,,,,,,, {}{}{}F C E C D C ,,,,,{}{}F D E D ,,,{}F E , 共15种. ………………9分事件M 包含的基本事件有：{},,B A {}{}{}F C E C D C ,,,,,{}{}F D E D ,,,{}F E ,共7种………………12分[]100,9541.040=⨯事件M 发生的概率为157)(=M P ……………………13分 17. (本小题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥A A 1平面ABC ，BC AC =，,421==A A AB 以BC AB ,为邻边作平行四边形ABCD ,连接11,DC D A .（Ⅰ）求证：//1DC 平面11ABB A ; （Ⅱ）若二面角A DC A --1为 45. ①求证：平面⊥D C A 11平面AD A 1;②求直线1AB 与平面AD A 1所成角的正切值.解：（Ⅰ）连接1AB 11////C B BC AD且11C B BC AD ==11B ADC 四边形∴为平行四边形 11//DC AB ∴…………………2分又111ABB A AB 平面⊂ 111A B B A DC 平面⊄ ∴1DC //平面11ABB A (4)分（Ⅱ）取DC 中点M ，连接AM M A ,1 AC A Rt AD A Rt 11∆≅∆C AD A 11=∴DC M A ⊥∴1…………5分又DC AM ⊥∴ MA A 1∠∴为二面角的平面角451=∠∴MA A …………6分AM A Rt 1∆∴中，2221==∴==AC AD AM AA 222DC AD AC =+∴ AD AC ⊥∴ …………7分又1AA AC ⊥ A AA AD =⋂1 AD A AC 1平面⊥∴ …………8分 又11//C A AC AD A C A 111平面⊥∴ ⊂11C A 平面D C A 11 AD A D C A 111平面平面⊥∴…………9分（Ⅲ）D C AB 11// AD A D C 11与平面∴所成角与AD A AB 11与平面所成角相等………10分由（2）知AD A A C 111平面⊥ …………11分D A 1∴为线D C 1在平面AD A 1内的射影11DC A ∠为直线1DC 与平面AD A 1所成角…………12分在 11DC A Rt ∆中，36t a n 11111==∠D A C A DC A∴直线1AB 与平面AD A 1所成角的正切值为36…………13分18.(本小题满分13分）已知正项等比数列}{n a ，等差数列}{n b 满足111==b a ,722=+b a ，且2a 是1b 与23+b 的等比中项. （Ⅰ）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n n n b a b c 2)1(+-=，求数列}{n c 的前n 项和nT .解：设等比数列}{n a 的公比为q ，等差数列}{n b 的公差为d由2a 是1b 与23+b 的等比中项可得：)2(3122+=b b a ， …………1分 又722=+b a ，则：⎩⎨⎧+==++dq d q 23712，解得3=q 或5-=q因为}{n a 中各项均为正数，所以3=q ，进而3=d . …………3分 故23,31-==-n b a n n n . …………5分 （Ⅱ）设13)26()23()1(-⋅-+--=n n n n n c设数列)}23()1{(--n n 的前n 项和为n A ，数列}3)26{(1-⋅-n n 的前n 项和为n B 当n 为偶数时，23)23()]53([10741nn n A n =-+--++-+-= …………7分 当n 为奇数时，23123233)23(1nn n n A A n n -=+--=--=- …………9分 而 12103)26(31631034-⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n B ① 则n n n n n B 3)26(3)86(3163103431321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ②由①-②得：nnnnn n n n n B 3)56(53)26(3133643)26()333(642121⋅---=⋅----⨯+=⋅--++++=--因此n n n B 325625⨯-+=…………12分 综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-+-⨯-++=为奇数为偶数n n n n n n T n nn 32562363256253…………13分20．（本小题满分14分）已知椭圆:()x y a b a b +=>>222210的上顶点为,抛物线:C y x =-+221截x 轴所得的线段长为的长半轴长. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与相交于两点,直线分别与1C 相交于两点 ①证明：以BC 为直径的圆经过点A ； ②记和的面积分别是21,S S ,求S S 12的最小值. 解：（Ⅰ）已知.y x =-+21中，令,y =0得x =±1，a ∴=2，…………1分又c a =2，则c =b =1 故：椭圆1C 的方程为：x y +=2214…………2分 （Ⅱ）①直线l 的斜率显然存在，设l 方程为mx y =.由⎩⎨⎧+-==12x y mx y 得012=-+mx x 设(,),(,)B x y C x y 11221,2121-=⋅-=+∴x x m x x…………4分由已知(,)A 01，所以)1,(),1,(2211-=-=y x AC y x AB01)()1()1)(1(212122121=++-+=--+=⋅x x m x x m y y x x故以BC 为直径的圆经过点A …………6分②设直线AB :y kx =+1，显然k ≠0，由y kx y x =+⎧⎨=-+⎩211，得x kx +=20，x x k ==-0或 (,)B k k ∴--21，则||||AB k == …………8分由①知AC AB ⊥，直线AC :y x k=-+11那么|||AC k =1…………9分 由y kx x y =+⎧⎨+=⎩22144得()k x kx ++=221480，解得k x x k -==+28014或 C 1A C 1C 2,B C ,AB AC ,P Q ABC ∆APQ ∆(,)k k P k k --∴++2228141414，则||AP =， …………11分由 知，直线AC :11+-=x ky那么||AQ =…………12分 ||||()()()||||AB AC S k k k S k k AP AQ ++∴===++≥222122211441425241716464642， 当且仅当k =±1时等号成立，即21S S 最小值为2564…………14分21．（本小题满分14分） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性 ；（Ⅱ）若01)(<+x f 对任意恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当a e e <≤+10时，若函数xx f x g 1)()(+=有两个极值点)(,2121x x x x <,求 ()()g x g x -21的最大值.解：（Ⅰ）由已知得()a x af x x x -+'=-=1…………1分 当a ≤0时，()f x '<0，()f x 在(,)+∞0内单调递减.当a >0时，若(,)x a ∈0，有()f x '>0，若(,)x a ∈+∞，有()f x '<0，则)(x f 在(,)a 0上内单调递增，在(,)a +∞内单调递减. …………3分 （Ⅱ）令()()ln h x f x a x x =+=-+11，由()x ah x x-+'= 解法一：当a ≤1时，()h x '<0，所以()h x 在(,)+∞1内单调递减， 则有()()h x h <10=，从而()h x <0 …………4分当a >1时，()h x '=0，得x a =，当(,)x a ∈1，有0)(>'x h ，则)(x h 在(,)a 1上内单调递增，x x a x f -=ln )()(x f ),1(+∞∈x此时()()h x h >10=，与()h x <0恒成立矛盾，因此不符合题意…………6分 综上实数a 的取值范围为a ≤1. …………7分 解法二：当0≤a 时，()h x '<0，所以()h x 在(,)+∞1内单调递减， 则有()()h x h <10=，符合题意. …………4分当0>a 时，()h x '=0，得x a =，当),0(a x ∈，有，若(,)x a ∈+∞，有0)(<'x h ，则)(x h 在(,)a 0上内单调递增，在(,)a +∞内单调递减.又0)1(=h ， 因此1≤a ，即10≤<a …………6分 综上实数a 的取值范围为a ≤1 …………7分（Ⅲ）()()ln g x f x a x x x x =+=-+11，则()a x ax g x x x x -+-'=--=222111…………8分由已知，可得()g x '=0，即方程x ax -+-=210有2个不相等的实数根)(,2121x x x x <，则x x a x x +=⎧⎪=⎨⎪∆>⎩121210， …………9分 解得x xa x x a ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪>⎪⎩1222112 ，其中x x <<<1201而()()ln ln ln ()()()ln [()ln ]x g x g x a x x a x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+-=+-+-=++-+-=++-1221221122112122222222222221111111112…………11分由,a e e<≤+12可得x e x e<+≤+22112，又x >21，所以x e <≤21…………12分 设()()ln t x x x x x x =++-1222，x e <≤1()()ln t x x x '∴=-2121，由x e <≤1，则,ln x x->>21100，故()t x '>0所以()t x 在(,]e 1单调递增，…………13分0)(>'x h∴当x e =时，)(x t 取得最大值，最大值为()t e e=4…………14分。