2018-2019年高三数学(理)高考总复习板块命题点专练(十二) 及答案
2018-2019年高考数学(理)热点题型数列及答案
数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n .(2)不存在.理由如下： ∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k ∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13， ∴不存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n， 故T n ＝6－2n ＋32n －1. 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n.【对点训练】设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2＝3S n－S n＋1＋3，n∈N*.(1)证明：a n＋2＝3a n；(2)求S2n.(1)证明由条件，对任意n∈N*，有a n＋2＝3S n－S n＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有a n＋1＝3S n－1－S n＋3.两式相减，得a n＋2－a n＋1＝3a n－a n＋1，即a n＋2＝3a n，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈N*，a n＋2＝3a n.(2)解由(1)知，a n≠0，所以an＋2an＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列. 因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝32(3n－1).热点三数列的综合应用热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n 3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析六
2018高考仿真模拟联考数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设全集U＝R，集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤3}，则（C U A）UB＝A．（2，3] B．（－∞，1]U（2，＋∞）C．[1，2）D．（－∞，0）U[1，＋∞）2．已知i是虚数单位，若a＋bi＝2i i＋－2ii－（a，b∈R），则a＋b的值是A．0 B．－25i C．－25D．253．已知条件p：a＜0，条件q：2a＞a，则p⌝是q⌝的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②5．双曲线22221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）与椭圆221259x y ＋＝的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是A ．（2，4）B ．（2，4]C ．[2，4）D ．（2，＋∞）6．若数列{n a }满足11n a －－1na ＝d （n ∈N ﹡，d 为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝A ．10B ．20C ．30D ．407．已知实数x ，y满足约束条件0,3440,x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋≥,≥则22x y ＋＋2x的最小值是A ．25B ．2－1C ．2425D ．18．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋ϕ），其中0＜ϕ＜对x2π，若f （x ）≤｜f （6π）｜∈R 恒成立，且f （2π）＞f （π），则ϕ等于A ．6π B ．56πC ．76πD ．116π9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．2B ．－12C ．－3D ．1310．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为A ．585B ．1481C ．2281D ．258111．过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若｜AF ｜＝3，则△AOB 的面积为 A ．22B ．2C ．322D ．2212．如下图，在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f （M ）＝（m ，n ，p ），其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M －PAB ，M －PBC ，M －PAC 的体积，若f （M ）＝（1，x ，4y ），且1x＋a y≥8恒成立，则正实数a 的最小值是 A ．2－2 B ．2212－ C ．9424－ D ．642－第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次模拟考试试题及答案解析十二
2019届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，·球的体积公式V 球=34R 3，其中S 表示棱柱的底面积，其中R 表示球的半径． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数ii65 =（）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题px 1，x 2∈R ，(f(x 2)–f(x 1))(x 2–x 1)≥0，则p 是（）．（A x 1，x 2∈R ，(f(x 2)–f(x 1))(x 2–x 1)≤0 （B x 1，x 2∈R ，(f(x 2)–f(x 1))(x 2–x 1)≤0 （C x 1，x 2∈R ，(f(x 2)–f(x 1))(x 2–x 1)＜0 （Dx 1，x 2∈R ，(f(x 2)–f(x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）．（A ）10 （B ）11（C ）12（D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）．（A ）k ＜132?（B ）k ＜70? （C ）k ＜64?（D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a–22y b =1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（）．（A ）220x –25y =1（B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1（D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（）． （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（）． （A ）61（B ）31 （C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|+|=|–|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则•=（）． （A ）98（B ）910（C ）925（D ）926答题纸（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次复习效果检测试题及答案解析
2018-2019学年下期三年级第二次素质检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分。
考试时间为120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在下列每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=，则=⋂B A （ ） A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1：平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同；P 2：函数x x y --=22在R上为增函数，则在命题：213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和）（214:P Pq ⌝∧中，真命题是（ ） A.q 1, q 3 B.q 2, q 3 C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+，则)3tan(πα-=（ ）A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（ ） A.32-B.31-C. 31D. 325.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（ ）A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题中正确的是（ ） A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点（4，2e ）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（ ） A.229e B.4 2e C.2 2e D. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x ，则x 的数学期望为（ ） A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则=>-}0)1(|{x f x （ ） A.}32|>-<x x x 或｛ B. }20|><x x x 或｛ C. }30|><x x x 或｛ D. }31|>-<x x x 或｛10.设F 1，F 2是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率（ ） A.21 B.32C.43D.5411.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则2y x的最小值为（ ） A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值，设函数)0}(10,2,2max{)(≥-+=x x x x f x ，若)(0x f 是)(x f 的最小值，则x 0在区间内（ ） A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届高三数学(理)高考总复习：板块命题点专练(一)含解析
板块命题点专练（一）1．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( ) A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，故选B.2．(2016·全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：选C ∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁A B＝{0,2,6,10}．3．(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( ) A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：选D 集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.5．(2012·全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6C．8 D．10解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A |x－2|<1⇔1<x<3.由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集，所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分而不必要条件．2．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．的四个命题：1.(2012·全国卷)下面是关于复数z＝－1＋ip1：|z|＝2, p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为( )A．p2，p3B．p1，p2 C．p2，p4D．p3，p4解析：选C ∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．2．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( ) A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)解析：选A如图，若a＝A1A―→，b＝AB―→，c＝B1B―→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p 或綈q 发生．即为(綈p )∨(綈q )．A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：选C 因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n”．2．(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．3．(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，t a n x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于t a n x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝t a n x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝t a n x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：1。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)三轮复习模拟试题及答案解析二
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x ≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．124．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g （x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k 的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．47．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a （x ﹣1）+3，（a ＞0且a ≠1）的图象恒过点P ，则P 的坐标是______，若角α的终边经过点P ，则sin 2α﹣sin2α的值等于______．10．设定义域为R 的函数f （x ）=，则f （f （﹣1））=______；函数y=f （f （x ））的零点共有______个．11．设变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是______．12．已知单调递增的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=12，a 3•a 6=﹣18，则数列{a n }的通项公式为a n =______；若数列{b n }的通项公式为b n =2n ，则数列{a bn }的前n 项和T n =______．13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则直线MC 与平面ACD 1所成角的正弦值为______．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为______．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x+y+z，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC 的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ的值．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b﹣17）2的最小值．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x ≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为2，底面为梯形，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是2，∴V==4．故选B．4．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据复合命题的真假关系进行判断．B．函数的零点是横坐标x，不是点．C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．D．否命题是同时否定条件和结论．【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故A错误，B．由f（x）=x2﹣x﹣6=0得x=3或x=﹣2，则函数的零点为3和﹣2，故B错误，C．特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，故C正确，D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3”，故D错误，故选：C．5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx （cosx﹣2sinx）+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，则g（x）为奇函数，且在（0，）上单调递增，故A正确、D 不正确；由于当x=时，函数g（x）取得最大值为，故它的图象不关于（）对称，故排除B；当x=时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故C不正确；故选：A．6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g （x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k 的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数的值域．【分析】设t=f（x），即有g（x）=f（t），t≥k，可得函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f （x）的值域的子集，即有k的范围，可得最大值为2．【解答】解：设t=f（x），由题意可得g（x）=f（t）=at2+bt+c，t≥k，函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f（x）的值域的子集，即[2，+∞）⊆[k，+∞），可得k≤2，即有k的最大值为2．故选：C．7．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是（2，3），若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】令x﹣1=1求出x和y，可求出函数y=log a（x﹣1）+3图象过的定点P的坐标，由三角函数的定义求出sinα、cos α，由二倍角的正弦公式化简所求的式子，将数据代入计算即可．【解答】解：令x﹣1=1得，x=2，则此时y=log a1+3=3，∴函数y=log a（x﹣1）+3的图象过定点P（2，3），∵角α的终边经过点P，∴sinα==，cosα=，∴sin2α﹣sin2α=sin2α﹣2sinαcosα==，故答案为：（2，3）；．10．设定义域为R的函数f（x）=，则f（f（﹣1））= 0 ；函数y=f（f（x））的零点共有7 个．【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式直接代入即可求值，利用换元法令t=f（x），先求出函数f（x）的零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=﹣1+2=1，f（1）=|lg1|=0．故f（f（﹣1））=f（1）=0，若x＞0，则f（x）=|lgx|=0得x=1，由x≤0，则由f（x）=﹣x2﹣2x=0得x=0或x=﹣2，令t=f（x），则y=f（f（x））=f（t），由y=f（f（x））=f（t）=0，则t=1或t=0，或t=﹣2，作出函数f（x）的图象，以及t=1或t=0，或t=﹣2，则t=1时，两个函数有3个交点，当t=0时，两个函数有3个交点，当t=﹣2时，两个函数有一个交点，则共有7个交点，即函数y=f（f（x））的零点共有7个，故答案为：0，7；11．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，结合的几何意义求出其范围即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点和A（﹣1，1）的直线的斜率，由图象得：K AB==﹣，故的取值范围是．12．已知单调递增的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=12，a3•a6=﹣18，则数列{a n}的通项公式为a n= 3n﹣12 ；若数列{b n}的通项公式为b n=2n，则数列{a bn}的前n项和T n= 6•2n﹣12n﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设单调递增的等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d＞0），由S8=12，a3•a6=﹣18，得解得d=3，d=﹣2（舍去），a1=﹣9，∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12，（2）由b n=2n，∴a bn=3×2n﹣12，∴T n=（3×21﹣12）+（3×22﹣12）+（3×23﹣12）+…+（3×2n﹣12）=3（21+22+…+2n）﹣12n=3×﹣12n=6•2n﹣12n﹣6；故答案为：3n﹣12，6•2n﹣12n﹣6．13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点建立坐标系，设正方体边长为1，求出平的法向量和的坐标，则|cos＜＞|即为所求．面ACD【解答】解：以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：设正方体棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），M（1，1，）．∴=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣）．设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，1）．∴cos＜＞===﹣．所成角的正弦值为|cos＜＞∴直线MC与平面ACD|=．故答案为：．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为7+4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+1，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出3|AF|+4|BF|关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），设直线AB 的方程为x=my+1．联立方程组，得x 2﹣（4m 2+2）x+1=0．设A （，y 1），B （，y 2），则=1．∴y 22=．由抛物线的性质得|AF|=，|BF|==．∴3|AF|+4|BF|=+3++4=7++≥7+2=7+4．故答案为：．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x +y +z ，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），求出=（x ，y ，z ），表示出|﹣﹣|，根据 x+2y+4z=1表示一个平面，（x ﹣1）2+（y ﹣1）2+z 2的值表示空间中的点（x ，y ，z ）到点D （1，1，0）的距离，利用点D 到此平面的距离，即可求出|﹣﹣|的最小值．【解答】解：设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）， 则=x +y +z =（x ，y ，z ），且x+2y+4z=1，则﹣﹣=（x﹣1，y﹣1，z），∴|﹣﹣|=；又x+2y+4z=1表示一个平面，（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2的值表示空间中的点（x，y，z）到点D（1，1，0）的距离，这样的点在以点D（1，1，0）为球心的球面上，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2的最小值是球与此平面相切时切点与D点的距离平方，即点D到此平面的距离的平方；又点D（1，1，0）到平面x+2y+4z=1的距离是d===；∴|﹣﹣|的最小值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，化简得sinB=cosB，即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又∵A+B=，∴sin（﹣A）=2sinA，化简可得tanA=，而0＜A＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A ，得===+1又由≤A ≤， 知1≤tanA ≤，故c ∈[2，]．17．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（Ⅰ）求证：AD ⊥BM ；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E ﹣AM ﹣D 大小为时，求λ 的值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出BM ⊥AM ，从而BM ⊥平面ADM ，由此能证明AD ⊥BM ．（Ⅱ）法一：过点E 作MB 的平行线交DM 于F ，过点F 作AM 的垂线，垂足为H ，连接HE ，则∠EHF 即为二面角E ﹣AM ﹣D 的平面角，由此能求出当二面角E ﹣AM ﹣D 大小为时λ 的值．法二：以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴BM⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM．又AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．解：（Ⅱ）（方法一）过点E作MB的平行线交DM于F，由BM⊥平面ADM，得EF⊥平面ADM，在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，大小为．设FM=x，则，在Rt△FHM 中，由∠EFH=90°，∠EHF=60°，则．由EF∥MB，MB=2，则，即，解得x=4﹣2．故当二面角E﹣AM﹣D 大小为时，，即．（方法二）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，M（0，0，0），，，，且，所以，，设平面EAM 的法向量为，则，，所以，．又平面DAM 的法向量为，所以，，解得，或（舍去）．所以，．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b﹣17）2的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）由函数f（x）去掉绝对值，得f（x）=，又由f（x）在R上不单调，列出不等式组求解即可得答案；（2）由f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，可得，再由线性规划可得答案．【解答】解：（1）由函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b ∈R），得f（x）=，若f（x）在R上不单调，得或，实数a的取值范围为：a＜﹣2或a＞2；（2）f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，则，即，a2+（b﹣17）2的几何意义为定点（0，17）与可行域内动点距离的平方，由，得a2+（b﹣17）2的最小值为=40．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据点是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，计算出三角形的面积，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2∴a=2，，∴椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线BD的方程为由，消去y可得∴，，由△=﹣8b2+64＞0，可得∴，设d为点A到直线BD：的距离，∴∴，当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．…20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．【考点】数列与不等式的综合；不等式的证明．【分析】（1）通过变形可知数列{a n}为正项递增数列，通过放缩、变形可知﹣≤﹣，进而并项相加即得结论；（2）通过放缩、变形可知﹣≥，进而并项相加即得结论．【解答】证明：（1）易知a n＞0，∵，∴，∴﹣≤=﹣，累加，得：﹣≤1﹣（n≥2），又∵a1＜1满足上式，∴∴a n＜1；（2）易知a n＞0，∵a n+1=na n+a n，∴=﹣，∴﹣=≥，累加，得：++…+＜﹣＜=2．2016年9月26日。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)高考预测试题及答案解析
2018年全国普通高等学校招生统一考试全国数学模拟试卷7(理工类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 直线30x y +=的倾斜角的弧度数是__ _． 2. 若3212n n A C =，则n 等于__ _．3. 若角600的终边上有一点()3,a -，则a 的值为__ _．4. 已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为__ _．5. 某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 （精确到0.01）.6. 在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__ _．7. 已知向量a r＝(1，3)，b r ＝(3，m)．若向量b r 在a r方向上的投影为3，则实成 绩 人 数 40 1 1 50 60 2 2 1 3 70 8090数m ＝__ _．8. 设1i +是关于x 的方程0242=+-qx x （R q ∈）的一个虚根，若n S 表示数列1{5}n q -⋅的前n 项和，则lim n n S →∞的值是__ _． 9. 定义在区间[2，4]上的函数m x f m x (,3)(-=为常数）的图像过点（2，1），设)(x f 的反函数是)(1x f -，则函数)()]([)(2121x f x f x F ---=的值域为__ _． 10. 如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为__ _．11. 过抛物线22y x =的焦点作一条倾斜角为锐角α,长度不超过4的弦,且弦所在的直线与圆22316x y +=有 公共点,则角α的最大值与最小值之和是__ _．12. 某种产品的加工需要 A, B, C , D, E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）13. 某校对文明班级的评选设计了,,,,a b c d e 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式1a c b d es =++ 来计算各班的综合得分,s 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显示出0c d e b a <<<<<，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得s 的值增加最多，那么该指标应为 .（填入,,,,a b c d e 中的某个字母）14.设点),(y x Q 是曲线1(0,0)a x b y a b +=>>上的动点，且满足2222212122x y y x y y +++++-+≤，则2a b +的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考B 'C 'A 'O 'x 'y '生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. ”“0sin >x 是“角α为第一象限的角”的[答]（ ）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件16. 如图，O A B C ''''为四边形OABC 的斜二测直观图，则原平面图形OABC 是 [答]（ ） .A 直角梯形 .B 等腰梯形.C 非直角且非等腰的梯形 .D 不可能是梯形17. 若袋中有大小相同的编号为1到8的球各一只，自袋中随机取出两球，设η为取出两球中的较小编号，若k p 表示η取值为k （k =1,2,…,7）的概率，则满足k p ＜18的k p 的个数是 [答]（ ）.A 5.B 4.C 3.D 218. 函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(,)3;A B ϕ>②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为 [答]（ ）.A ①②.B ②③.C ③④.D ②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.在ABC ∆中, 90o ABC ∠=，3=AB ,1=BC ，P 为ABC ∆内一点,90BPC ∠=︒. (1) 若32PC =,求PA ； (2) 若0120=∠APB ,求ABP ∆的面积S .20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，现将它们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF （如图所示），(1) 求证：BF AE //；(2) 过A 、D 、F 三点作截面，将此多面体 上下两部分，求上下两部分的体积比．21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆n A （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b a B ． (1) 试求数列}{n a 的通项公式；(2) 设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．y1B 2B 3B 2S 1S22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设12,x x 为函数2()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点. (1) 若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ； (2) 若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；(3) 若2a ≥，212x x -=,且当12(,)x x x ∈时，2()()2()g x f x x x =-+-的最大值为()h a ，求()h a 的最 小值.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4． (1) 求椭圆D 的方程；(2) 已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=, 求λ的取值范围；(3) 作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值．参考答案二、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.23π2. 83. 33-4. 15. 17.646. 152+7.3+11.8. 10 9. [2,5] 10. 132π12. 24 13. C71214. [)2,+∞二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15-18:BACB三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.证明：(Ⅰ)由题意知，△ABE 、△CBE 和△BEF 都是正三角形，取BE 的中点O ，连AO 、FO 、CO 、AC,则BE ⊥AO ，BE ⊥FO ，BE ⊥CO ，∴∠AOC 、∠FOC 分别是二面角A-BE-C 和二面角F-BE-C 的平面角，…………3分设AB ＝2a ,则AO ＝FO ＝CO ＝a 3,AC=a 22,在△AOC 中，31332)22()3()3(cos 222-=⨯⨯-+=∠aa a a a AOC ，在△FOC 中，31332)3()3(cos 222=⨯⨯-+=∠aa a a a FOC∴∠AOC+∠FOC ＝0180,即二面角A-BE-C 与二面角F-BE-C 互补，…………………5分所以ABFE 四点共面，又AB=BF=FE=EA ，故AE ∥BF.………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，四边形ABFE 四边形CDEF 都是菱形，所以过三点ADF 的截面把多面体分成三棱锥A-DEF 和四棱锥F-ABCD ， 连BD 、FD 则BCD F ABD F BCD F ABCD F V V V V ----=+=2＝DEF A CDF B V V --=22所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………………………12分21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解析】（Ⅰ）由条件可得，)1(211-=-+n n a a ，又因为111=-a ，可得数列}1{-n a 是等比数列．故，121-=-n na，从而121+=-n n a ．…6分（Ⅱ）因为121-=-=n n na b ，所以)2,12(11--+n n n B ，所以)2,12(1n n n B++，且)0,12(1+-n n A ，)0,12(1++n n A111+++-=n n n n n n n A B A A B B A n S S S 扇形梯形2111)2(41)22(221---⨯-+⨯⨯=n n n n π1446-⨯-=n π所以1)41(641-⋅-=n n S π，所以 411)41(164))41(411(64111121--⋅-=+++-=+++-nn n S S S ππππ31816))41(1(31816-<--=n ．故可得实数π31816-≥m ．…14分22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解：（Ⅰ）由(2)(2)f x f x -=+得函数()f x 关于2x =对称，则122b a--= 又110a b +-+= 解得11,33a b ==- 214()133f x x x =-+（Ⅱ）由0a >知只需考虑2a x ≤时的情况 当2ax ≤时()22+f x x a =-可化为22(24)122(22)10+ax a x a x ax a x a +-+=-+---=即221(22)4(1)84400a a a a a a a--∆=-++=-+><且所以关于x 的方程()22+f x x a =-存在唯一负实根0x202(22)(22)4(1)111(1)22=a a a a x a a a a ⎡⎤----++=--+-+⎢⎥⎣⎦令11122t t a =->-则2027171424274=x t t t t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥--++=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎣⎦在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 则()0120x ∈--，（Ⅲ）12222121()()()2()22()()2g x a x x x x x x x x a a x x x x a a =---+-⎛⎫-+ ⎪=--+≤ ⎪⎪⎝⎭ 等号成立条件为21122(,)2x x a x x x +-=∈ 所以 222()2a h a a ⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭211(1)2a a a a =+=++ 因为min 92()(2)2a h a h ≥==23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解:（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c 由题意得AB 的方程为:)(3c x y -= 因1F 到直线AB 的距离为3,所以有31333=+--cc ,解得3=c (2)分所以有3222==-c b a ……①由题意知: 42221=⨯⨯b a ,即2=ab ……②联立①②解得:1,2==b a所求椭圆D 的方程为1422=+y x (4)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆D 的方程为1422=+y x设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λλλλ+=+-=∴1,111my x ……………7分又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm所以04)2)(23(2≥++=λλm 解得：23λ≥-或2λ≤- ……………10分 （Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182k k x +-=,=+=)2(11x k y 2414kk+ 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k + （1）当0=k 时, 则有)0,2(Q ,线段PQ 垂直平分线为y 轴 于是),2(),,2(t NQ t NP -=--=由442=+-=⋅t NQ NP ,解得:22±=t ……………12分 （2） 当0≠k 时, 则线段PQ 垂直平分线的方程为-y +-=+x k k k (14122)41822k k + 因为点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线的一点 令0=x ,得:2416k k t +-=于是),(),,2(11t y x NQ t NP -=--=由4)41()11516(4)(2222411=+-+=---=⋅k k k t y t x NQ NP ,解得:714±=k代入2416k kt +-=,解得:5142±=t综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t ． ……………14分。
2018届高三数学(理)高考总复习：板块命题点专练(十二)含解析
板块命题点专练（十二）11111＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A1E ＝D 1F ＝4．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8． 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10．于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10．以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)，FE ―→＝(10,0,0)，HE ―→＝(0，－6,8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎨⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)．又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515．所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515． 2．(2014·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ． 因为平面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ． 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC ．(2)因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴的正方向，|AP ―→|为单位长，建立空间直角坐标系A xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12．设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC ―→＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC ―→＝0，n 1·AE ―→＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3．又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量，由题设|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD 的高为12．三棱锥E ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38．3．(2016·山东高考)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F BC A 的余弦值．解：(1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI ． 在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF ．又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ． 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ，所以FM ＝ FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)． 故BC ―→＝(－23，－23，0)，BF ―→＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC ―→＝0，m ·BF ―→＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33．因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝77， 所以二面角F BC A 的余弦值为77．法二：如图，连接OO ′，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，则有FM ∥OO ′． 又OO ′⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC ， 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3．过点M 作MN ⊥BC 于点N ，连接FN ， 可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F BC A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径， 所以MN ＝BM sin 45°＝62．从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝77． 所以二面角F BC A 的余弦值为77．4．(2016·天津高考)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2．(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O EF C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD ―→，BA ―→，OF ―→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0，0)．(1)证明：依题意，AD ―→＝(2,0,0)，AF ―→＝(1，－1,2)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ADF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD ―→＝0，n 1·AF ―→＝0，即⎩⎨⎧2x 1＝0，x 1－y 1＋2z 1＝0，不妨取z 1＝1，可得n 1＝(0,2,1)． 又EG ―→＝(0,1，－2)，可得EG ―→·n 1＝0． 又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF ．(2)易证OA ―→＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量，依题意，EF ―→＝(1,1,0)，CF ―→＝(－1,1,2)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF ―→＝0，n 2·CF ―→＝0，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝0，－x 2＋y 2＋2z 2＝0，不妨取x 2＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．因此有cos 〈OA ―→，n 2〉＝OA ―→·n 2|OA ―→|·|n 2|＝－63，于是sin 〈OA ―→，n 2〉＝33．所以，二面角O EF C 的正弦值为33． (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF ．因为AF ―→＝(1，－1,2)，所以AH ―→＝25AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45．因此cos 〈BH ―→，n 2〉＝BH ―→·n 2|BH ―→|·|n 2|＝－721． 所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721．5．(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10．(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B D ′A C 的正弦值． 解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ． 又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CF CD， 故AC ∥EF ．因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H ．由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4． 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14． 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3．于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH ．又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD ．(2)如图，以H 为坐标原点，HF ―→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，故AB ―→＝(3，－4,0)，AC ―→＝(6,0,0)，AD ′―→＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB ―→＝0，m ·AD ′―→＝0即⎩⎨⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AD ′―→＝0，即⎩⎨⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝－1450×10＝－7525．故sin 〈m ，n 〉＝29525． 因此二面角B D ′A C 的正弦值是29525．。
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板块命题点专练（十二）111118，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8． 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10．于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10．以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)，FE ―→＝(10,0,0)，HE―→＝(0，－6,8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎨⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)．又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515．所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515． 2．(2014·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ． 因为平面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ． 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC ．(2)因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴的正方向，|AP ―→|为单位长，建立空间直角坐标系A xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12．设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC ―→＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC ―→＝0，n 1·AE ―→＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3．又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD 的高为12．三棱锥E ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38．3．(2016·山东高考)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F BC A 的余弦值．解：(1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI ． 在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF ．又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点，所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ． 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ，所以FM ＝ FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)． 故BC ―→＝(－23，－23，0)，BF ―→＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC ―→＝0，m ·BF ―→＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33．因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝77， 所以二面角F BC A 的余弦值为77．法二：如图，连接OO ′，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，则有FM ∥OO ′． 又OO ′⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC ， 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3．过点M 作MN ⊥BC 于点N ，连接FN ， 可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F BC A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径， 所以MN ＝BM sin 45°＝62． 从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝77．所以二面角F BC A 的余弦值为77． 4．(2016·天津高考)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2．(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O EF C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD ―→，BA ―→，OF ―→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0，0)．(1)证明：依题意，AD ―→＝(2,0,0)，AF ―→＝(1，－1,2)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD ―→＝0，n 1·AF ―→＝0，即⎩⎨⎧2x 1＝0，x 1－y 1＋2z 1＝0，不妨取z 1＝1，可得n 1＝(0,2,1)． 又EG ―→＝(0,1，－2)，可得EG ―→·n 1＝0． 又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF ．(2)易证OA ―→＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量，依题意，EF ―→＝(1,1,0)，CF ―→＝(－1,1,2)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF ―→＝0，n 2·CF ―→＝0，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝0，－x 2＋y 2＋2z 2＝0，不妨取x 2＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．因此有cos 〈OA ―→，n 2〉＝OA ―→·n 2|OA ―→|·|n 2|＝－63，于是sin 〈OA ―→，n 2〉＝33．所以，二面角O EF C 的正弦值为33． (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF ．因为AF ―→＝(1，－1,2)，所以AH ―→＝25AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45．因此cos 〈BH ―→，n 2〉＝BH ―→·n 2|BH ―→|·|n 2|＝－721．所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721． 5．(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10．(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B D ′A C 的正弦值． 解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ． 又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CF CD， 故AC ∥EF ．因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H ．由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4． 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14． 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3．于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH ． 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD ．(2)如图，以H 为坐标原点，HF ―→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，故AB ―→＝(3，－4,0)，AC ―→＝(6,0,0)，AD ′―→＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB ―→＝0，m ·AD ′―→＝0即⎩⎨⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AD ′―→＝0，即⎩⎨⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝－1450×10＝－7525． 故sin 〈m ，n 〉＝29525． 因此二面角B D ′A C 的正弦值是29525．。