高中数学平面几何对称问题(实用)

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高考数学专题05 解析几何中的对称解法(解析版)

专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则三．【题型】（一）点关于直线的对称（二）光线的对称问题（三）圆关于直线的对称（四）利用对称求最值（五）圆锥曲线的对称（六）椭圆的中点弦问题（七）双曲线的中点弦（八）抛物线的对称问题（九）椭圆中的对称方法（十）对称的综合应用四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--，圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ，则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=，所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++，因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0，解得x=-7（舍）或x=-2，由x=-2得6（负值已舍）故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-，所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１，即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=，故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =；（2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+，所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++，因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-，因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ，则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=，由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =，根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-，从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。

解析几何中对称问题(完整版)

大共享论文网专题：探究解析几何中点、线对称问题（一）（导学案）一、学习目标（1）从数和形两个角度来理解图形中对称问题，并能用其解决实际问题。

（2）在探究中进一步让学生体会数形结合和转化的数学思想。

二、课前篇自学支持条件1、轴对称的性质：①对称轴是____ ___ ②对称轴是对应点连线的_______ 线；2、中心对称的性质：①对称中心是_____ ②对称轴的连线都经过对称中心，并且被对称中心_______ ；3、几种特殊的对称（1）点p （x,y ）关于下列点或线的对称点分别为点p （x,y ）关于x 轴对称点是__ _ ；点p （x,y ）关于y 轴对称点是_____ ；点p （x,y ）关于原点对称点是_____ ；点p （x,y ）关于y=x 对称点是___ ；（2）设直线l ：0=++C By Ax ，则l 关于x 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y 轴对称的直线方程是__ ___ ；l 关于y=x 轴对称的直线方程是__ _ ；三、课上篇新知探究引例探究一：点关于点对称例1、已知点A(5,8) , B(4,1), 试求A 点关于B 的对称点C 的坐标。

解题要点：中点坐标公式的运用规律技巧总结：一般的，点A （00,y x ）关于点P （m ，n ）的对称点是______ _ ；探究二：直线关于点对称例2、求直线1l :043=--y x 关于点p(2,-1)对称的直线2l 的方程。

解题要点：方法一：2l 上的任意一点的对称点在1l 上；方法二：1l ∥2l 且点p 到两直线等距。

规律技巧总结：一般的，直线Ax+By+C=0关于点P （m ，n ）的对称的直线方程是。

探究三：点关于直线对称例3.已知点M 的坐标为（-4,4），直线L 的方程为3x+y-2=0,求点A 关于直线l 的对称点/M 的坐标。

解题要点：⎩⎨⎧-=•1/MM k k探究四：直线关于直线对称例4、试求直线1l ：01=--y x 关于直线2l ：032=+-y x 对称的直线l 的方程。

高中数学解析几何部分对称问题的研究

高中数学解析几何部分对称问题的研究高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。

所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。

解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。

解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x 轴、y 轴、直线y=±x ）的轴对称。

现分述如下： 1、关于中心对称1.1、关于坐标原点中心对称理论推导：如图，点),(000y x P 关于坐标原点O （0，0）的对称点P （y x ,）。

⎪⎩=+020y y ⎩-=0y y 引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线'L ：F(-x ，-y)=0。

1.1.1、点关于坐标原点中心对称例如，点A （-3，2）关于坐标原点的中心对称点'A （3，-2）。

1.1.2、线关于坐标原点中心对称例如，直线Ax+By+C=0关于坐标原点的中心对称直线是-Ax-By+C=0，即：Ax+By-C=0。

1.2、关于任意点中心对称理论推导：如图，点),(y x P P （y x ,）。

M 为线段P 0由中点坐标公式⎪⎩⎪⎨=+=n y y m 2200得：⎩⎨⎧-=-=0022y n y x m x引申：曲线L ：F(x ，y)=0，关于任意点M ),(n m 中心对称的曲线'L ：F(2m-x ，2n-y)=0。

1.2.1、点关于任意点中心对称例1 （1996年上海）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又知P 是线段OB 的中点，则B 的坐标为。

高中平面解析几何对称问题练习含答案

训练目标会利用点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称的性质求对称“元素”.训练题型(1)求对称点、对称直线，圆关于直线对称的圆；(2)利用对称求最值.解题策略(1)根据对称的几何性质列方程求解；(2)关于特殊“元素”的对称，可按相应公式代入即得(如关于原点、坐标轴、直线x＝a，y＝x，y＝－x等)；(3)数形结合，利用几何性质解决最值问题.2．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a与b的值分别为________．3．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________．4．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0 (a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.5．直线2x＋3y－6＝0分别交x，y轴于A，B两点，P是直线y＝－x上的一点，要使P A＋PB最小，则点P的坐标是________．6．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．7．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与直线l：y＝x＋2相切，且圆D与圆C关于直线l对称，则圆D的方程是________________．8．若直线ax－y＋2＝0与直线3x－y－b＝0关于直线y＝x对称，则a＝________，b＝________. 9．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线l1：x－y－1＝0对称，动圆P与圆C相外切且与直线l2：x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________________．10．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．答案解析1．x ＋2y －3＝0解析由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.2．－9,3解析在直线ax ＋3y －9＝0上取一点(0,3)，点(0,3)关于x ＋y ＝0的对称点(－3,0)在直线x －3y ＋b ＝0上，所以b ＝3，同理在直线x －3y ＋b ＝0上取一点(0,1)，它关于x ＋y ＝0的对称点(－1,0)在直线ax ＋3y －9＝0上，∴a ＝－9.3．y ＝2x ＋5解析点A (3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点分别为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)，且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为：y ＝2x ＋5.4．－2解析由已知得，直线x －y ＋2＝0经过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2，所以－1＋a 2＋2＝0，从而有a ＝－2. 5．(0,0)解析 2x ＋3y －6＝0分别交x 、y 轴于A 、B 两点，则A (3,0)、B (0,2)．B 关于y ＝－x 的对称点为B ′(－2,0)．AB ′交直线y ＝－x 于点(0,0)，则P (0,0)即为所求．6．x －y ＝0解析由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b 2)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2，即x －y ＝0.7．x 2＋(y －1)2＝12解析圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，由于圆C 与直线l 相切，故圆心C (－1,2)到l 的距离等于半径，即|－1－2＋2|2＝5－m ，解得m ＝92. 故5－m ＝12，又圆心C (－1,2)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为D (0,1)，所以圆D 的方程为x 2＋(y －1)2＝12. 8.136 解析因为直线ax －y ＋2＝0关于直线y ＝x 对称的直线是ay －x ＋2＝0，即x －ay －2＝0，所以直线x －ay －2＝0与直线3x －y －b ＝0重合，所以13＝－a －1＝－2－b，即a ＝13，b ＝6. 9．y 2－6x ＋2y －2＝0解析由题意知，圆C 的圆心为C ⎝⎛⎭⎫a 2，－1，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，由两圆关于直线l 1对称，易得点(0,0)关于直线l 1：x －y －1＝0对称的点(1，－1)即为点C ，故a ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P 的圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，由动圆P 与圆C 相外切可得：PC ＝r ＋1，由图可知，圆心P 一定在直线x ＝－1的右侧，所以由动圆P 与直线l 2：x ＝－1相切可得r ＝x 0－(－1)＝x 0＋1.代入PC ＝r ＋1，得：(x 0－1)2＋(y 0＋1)2＝x 0＋1＋1＝x 0＋2，整理得：y 20－6x 0＋2y 0－2＝0.即圆心P 的轨迹方程为y 2－6x ＋2y －2＝0.10．解 (1)B 关于l 的对称点B ′(3,3)，l AB ′：2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，得P (2,5)．(2)C 关于l 的对称点C ′(35，245)，由图象可知P A ＋PC ≥AC ′，当P 是AC ′与l 的交点P (117，267)时，等号成立，所以P (117，267)．。

高考数学讲义 [高考数学对称问题讲义]

高考数学讲义[高考数学对称问题讲义]高三第一轮复习数学---对称问题一、教学目标：掌握求对称曲线的常用思想方法二、教学重点：掌握求对称曲线的常用思想方法三、教学过程：（一）主要知识：1、点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：⎧⎪⎪’设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x,y’)，则⎨”x⎪A⎪⎩y”-y0⎛A⎫-⎪=-1”x-x0⎝B⎭+x0y”+y0+B+c=0223、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0（2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上，⎧⎪⎪满足f(x0,y0)=0，利用方程组⎨”⎪Ax⎪⎩y”-y0⎛A⎫-⎪=-1x”-x0⎝B⎭，解得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，”+x0y+y0+B+c=022从而得对称曲线方程。

4、常用的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a).（二）例题分析：[对称问题]例1．（1）直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是（）1A。

高中数学平面几何对称问题(共25张PPT)

思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
直线关于特殊直线的对称
Ax By C 0
x轴
Ax B( y) C 0
A( x) B( y) C 0

y轴
Ay Bx C 0
yx
A( y) B( x) C 0
练习
求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线 n的方程.
二.轴对称(即关于直线的对称)
(一)点关于直线的对称:
例3.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即;
n 1 2 m (7)
y x
几种特殊的对称（当堂口答）：
点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
(-x,-y) 关于原点:__________; 关于y轴: __________; (-x,y) (-y,-x) 关于直线y=-x:______; (x,-y) 关于x轴:__________; (y,x) 关于直线y=x:______; 关于直线x=a:_______. (2a-x,y)
(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;
(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.
例：已知x,y满足x+y=0，求
( x 3) 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 3) 2 y 的最小值。 N(-2,3)
P O x M(3,-1)
M′(1,-3)
A（ x） B（ y） C 0 补：关于原点:____________ ;
应用一：解决物理光学方面的问题

高中数学点线对称问题(精选.)

答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可

平面几何中的对称问题例题和知识点总结

平面几何中的对称问题例题和知识点总结在平面几何的广阔世界里，对称问题是一个十分有趣且重要的研究领域。

对称不仅给图形带来了美感，还蕴含着丰富的数学原理和解题思路。

下面，让我们一起来深入探讨平面几何中的对称问题，通过一些具体的例题来加深对相关知识点的理解。

一、对称的基本概念对称，简单来说，就是图形沿着某条直线对折后，两部分能够完全重合。

常见的对称类型有轴对称和中心对称。

轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

比如等腰三角形沿着底边上的高对折，左右两部分能够重合，底边上的高就是它的对称轴。

中心对称图形是图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，这个点叫做对称中心。

例如平行四边形绕着对角线的交点旋转 180°后能与原图重合，对角线的交点就是它的对称中心。

二、例题解析例 1：已知在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，AD 是底边 BC 上的中线，求证：AD 既是角平分线又是高线。

分析：因为等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的中线（高或顶角平分线）所在的直线。

AD 是底边 BC 上的中线，所以根据等腰三角形的轴对称性质，AD 也是角平分线和高线。

证明：因为 AB ＝ AC，AD 是 BC 上的中线，所以△ABD ≌△ACD（SSS），所以∠BAD ＝∠CAD，∠ADB ＝∠ADC ＝ 90°，即 AD 既是角平分线又是高线。

例 2：在矩形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上的一点，连接 CE，将矩形沿 CE 折叠，点 D 恰好落在边 AB 上的点 F 处，若 CD ＝ 8，BC ＝6，求 AE 的长。

分析：由于矩形是中心对称图形，折叠前后对应线段相等。

根据勾股定理可以求出 BF 的长，进而得到 AF 的长，设 AE ＝ x，则 DE ＝ 8 x，在 Rt△AEF 中，利用勾股定理可求出 x 的值。

解：因为将矩形沿 CE 折叠，点 D 恰好落在边 AB 上的点 F 处，所以 CF ＝ CD ＝ 8。

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直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等.
二.轴对称(即关于直线的对称)
(一)点关于直线的对称:
例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即;
n 1 2 m (7)
=-1
①
m 7 n 1 , 线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 2 2 n 1 m7 在直线l上,故有 2 -5=0 ② 2 2
联立①② 解得m=9
n= -7
∴B(9,-7)
（法二）∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1）
∴直线AB的方程为y-1=x 2 y 5 0 由 2 x y 5 0
1 2
（x+7）
y 3
即x+2y+5=0
解得 x 1

即AB的中点为（1，-3），又A（-7，1）由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.
由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标 (2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标, 最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标.
一般地：
点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）
点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0）点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b）
三.对称问题的应用：
（一）涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题
1.若A，B两点在直线的同侧：
（1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小；
（2）直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。
2.若A,B两点在直线的异侧: (1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小; (2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点 P使得||PA|-|PB||最大.
一.中心对称(关于点的对称) (一）点关于点的对称
练习:
(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点. (2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M 的坐标.
(二）直线关于点的对称
Байду номын сангаас
直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程
例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.
点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b）注：当对称轴的斜率为±1用上述方法直接求出对称点的坐标。
（二）直线关于直线的对称
例3.求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程.
在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关 17 9 于直线l的对称点A1 , 落在直线n 5 5 上,然后解出直线l和m的交点,再求出直线n n 的方程.
直线f（x，y）=0关于直线y=-x+b对称的直线方程为f（b-y，-x+b）=0
特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为±1时可用以上结论直接代入；
练习题：
(1)点M (-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为____关于直线y=2x的对称点为_ _ 关于点(9,0)的对称点为 (2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为________关于直线y=-x的对称直线为________ (3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为___________关于y轴的对称直线方程为_______________关于原点的对称直线方程为 _______________ (4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为_____________若光线射到直线 y=2x上呢?
y
l
m o
x
一般地：求直线关于直线对称的直线方程可以转化为求点关于直线的对称点来解决。
设直线方程为f（x，y）=0则：
直线f（x，y）=0关于直线y=x对称的直线方程为f（y，x）=0
直线f（x，y）=0关于直线y=-x对称的直线方程为f（-y，-x）=0
直线f（x，y）=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f（y-b，x+b）=0
例4.已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使得:
(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;
(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.
练习题：
(5)已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线l:x+y-3=0上求一点P使 |PA|+|PB| 最小变形:在l上求一点Q使得| |QA|-|QB| |最大. (6)已知点A(4,1),B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点P使 |PA|+|PB| 最小. 变形:在直线l上求一点Q使得| |QA| -|QB| |最大.
小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点 Q(x1,y1)的方法:
(1)（综合求解）由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组:
y1 y0 A 1 (1) x1 x0 B A x1 x0 B y1 y0 C 0 (2) 2 2