二倍角的正弦,余弦,正切公式
二倍角的正弦,余弦,正切公式
复习
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan 1 tan 2 , tan 2
2、已知等腰三角形一个 底角的正弦值 5 为 , 求这个三角形的顶角的 正弦 , 余弦, 13 正切值.
3、化简 :
1 cos 50
0
0 2 0
sin 70 1 cos 160
.
小结
本节我们学习二倍角的正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
作业
课本135页练习
1 例2已知 tan 2 , 求tan的值 3
2 tan 1 解： 2 tan 2 1 tan 3
由此得： tan 6tan 1 0
2
解得： tan 2 5
或 tan 2 5
练习
2(sin 2 1 ) 1、求证 : 1 tan . 1 sin 2 cos 2
我们由此能否得到
的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中
看成
即可），
S 2 :
sin 2 2 sin cos
C 2 :
cos 2 cos sin
2 2
2 cos 2 1 1 2 sin 2
T2 :
2 tan tan 2 2 1 tan
举例
5 例1 已知 sin 2 , , 求 sin 13 4 2 4 , cos 4 , tan 4 .
4
解：由 又因为 于是
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
cos2α ＝2cos2α －1
1 2sin a
2
注意：
二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式， 其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两 倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等， 所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理 解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是 β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应 用二倍角公式。
探究（一）：二倍角基本公式
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β ＝α 时，这 三个公式分别变为什么？
sin2α ＝2sinα cosα ；
.
cos2α ＝cos2α －sin2α ；
2 tan tan 2 2 1 tan
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ，C2α ，T2α ，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
赵 玲
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan tan( ) 1 tan tan
5 sin 2 13
4 【例 2】在 ABC 中， cos A ， tan B 2 ，求 5 tan(2 A 2B) 的值；
1 已知 tan 2 , 求 tan 的值 3
解：
2 tan 1 tan 2 2 1 tan 3
2 tan 6 tan 1 0 由此得
解得 tan 2 5 或
tan 2 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.
[规律方法] 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出 角．其中确定角的范围是关键的一步．
【活学活用3】 已知tan α＝17，sin β＝ 1100，且α，β为锐角，求α
＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，
类型一 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[思路探索] 利用倍角公式或公式变形求值即可．
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10° ＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
【活学活用1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°＋csoins 1155°°；
(2)tan 20°＋4sin 20°的值．
解 (1)原式＝csoins 1155°°＋csoins 1155°°＝sisni2n1155°＋°cocsos1251°5°
＝sin
1 15°cos
15°＝2sin
2 15°cos
θ 2
＝
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
正弦余弦正切的二倍角公式
正弦余弦正切的二倍角公式
二倍角公式是用来计算正弦、余弦和正切的二倍角的公式。
在三角函
数中，二倍角指的是原角的角度加倍。
正弦、余弦和正切的二倍角公式有
以下三个：
1.正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
正弦的二倍角公式表示了正弦函数的二倍角与原角之间的关系。
根据
这个公式，我们可以将正弦的二倍角的值表示为正弦与余弦的乘积的两倍。
这个公式可以用来计算正弦函数的值，特别是在需要计算较大角度的正弦
值时非常有用。
2.余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ
= 1 - 2sin^2θ
= 2cos^2θ - 1
余弦的二倍角公式表示了余弦函数的二倍角与原角之间的关系。
根据
这个公式，我们可以将余弦的二倍角的值表示为余弦与正弦的平方之差，
或者正弦的二倍角的平方之差与1的差。
这个公式可以用来计算余弦函数
的值。
3.正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)
正切的二倍角公式表示了正切函数的二倍角与原角之间的关系。
根据这个公式，我们可以将正切的二倍角的值表示为原角的正切的两倍除以1减去原角正切的平方。
这个公式可以用来计算正切函数的值。
这些二倍角公式在解决三角函数相关问题时非常有用，尤其是在需要计算较大角度的三角函数值时。
它们为我们提供了一个简便的方法来计算正弦、余弦和正切的二倍角。
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二倍角的正弦，余弦，正切公式
基础过关
1.已知θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=,那么sin 2θ等于()
A. B.- C. D.-
2.已知tan x=2,则tan等于()
A. B.- C. D.-
3.tan 67°30'-tan 22°30'的值为()
A.1
B.
C.2
D.4
4.等于()
A. cos 12°
B.2cos 12°
C.cos 12°-sin 12°
D.sin 12°-cos 12°
5.设-3π<α<-,化简的结果是()
A.sin
B.cos
C.-cos
D.-sin
6.函数y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是()
A.-,
B.-,
C.- +,+
D.- -,-
7.已知sin +cos =,那么sin θ=________,cos 2θ=________.
8.已知4cos Acos B=,4sin Asin B=,则(1-cos 4A)(1-cos 4B)=________.
9.已知方程x2-tan α+x+1=0的一个根是2+,则sin 2α=________.
10.已知sin(70°+α)=,则cos(2α-40°)=________.
11.利用倍角公式求下列各式的值.
(1)sin·cos;
(2)cos2-sin2;
(3)1-2sin2;
(4).
12.化简下列各式:
(1) -;
(2);
(3).
13.已知tan α=,tan β=,并且α、β均为锐角,求α+2β的值.
14.在一块半径为R的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD,使其一边CD 落在圆的直径上,问应该怎样截取,才可以使矩形ABCD的面积最大?并求出这个矩形的面积.
三年模拟
1.(2015安徽江淮十校联考,★★☆)若α∈,且cos 2α=sin,则sin 2α的值为()
A.-
B.
C.1
D.-1
2.(2015济南一中模拟,★★☆)函数y=2sin·cos图象的一条对称轴是()
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=π
3.(2015湖南岳阳模拟,★★☆)函数y=sin4x+cos4x是()
A.最小正周期为,值域为的函数
B.最小正周期为,值域为的函数
C.最小正周期为,值域为
的函数 D.最小正周期为,值域为的函数
4. (2015山东临沂模拟,★★☆)已知角α的终边经过点(3,-4),则tan =( )
A.-
B.-
C.-3
D.-2
5. (2015安徽安庆模拟,★★☆)函数f(x)=
cos 2x+sin x·cos x 的最小正周期和
振幅分别是( )
A.π,2
B.π,1
C.2π,1
D.2π,2
6. (2015广东东莞模拟,★★☆)已知函数f(x)=
,则有( ) A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点
对称 C.函数f(x)的最小正周期为
D.函数f(x)在区间(0,π)内单调递减
7. (2013山东烟台模拟,★☆☆)若 f(x)=2tan x-
,则 f 的值为( )
A.-
B.8
C.4
D.-4 8. (2015河北衡水模拟,★☆☆)已知<α<π,3sin 2α=2cos α,则cos(α-π)=________.
9. (2014江苏盐城高一期末,★☆☆)函数y=cos 2x 的最小正周期为________.
10. (2013山东日照模拟,★★☆)已知函数 f(x)=cos xsin x(x ∈R),给出下列四个结论:
①若 f(x 1)=- f(x 2),则x 1=-x 2;
② f(x)的最小正周期是2π;
③ f(x)在区间-,上是增函数;
④f(x)的图象关于直线x=对称.
其中正确的结论是________.
11.(2015山东济南模拟,★★☆)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x++a.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)设x∈,若函数f(x)的最小值是-2,求f(x)的最大值.
12.(2014北京东城高一期末,★☆☆)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.。