201X_201X版高中数学第二章证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法课件新人教A版选修4_5
近年-高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法高效演练新人教A版选修4-5(2021
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2。
2 综合法与分析法[A级基础巩固]一、选择题1．若实数x，y满足不等式xy＞1，x＋y≥0，则（)A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0解析：因为xy＞1＞0,所以x，y同号．又x＋y≥0，故x＞0，y＞0.答案：A2．设x，y＞0，且xy－（x＋y）＝1,则（)A．x＋y≥2（错误!＋1）B．xy≤错误!＋1C．x＋y≤2（错误!＋1）2D．xy≥2（错误!＋1)解析：因为x，y＞0，且xy－（x＋y）＝1,所以（x＋y）＋1＝xy≤错误!错误!。
所以(x＋y）2－4（x＋y)－4≥0,解得x＋y≥2（2＋1)．答案:A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )A．sin(α＋β）＞sin α＋sin βB．sin(α＋β）＞cos α＋cos βC．cos（α＋β)＞sin α＋sin βD．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos（α＋β）．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos（α＋β）．答案:D4．设错误!＜错误!错误!＜错误!错误!＜1，则( ）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a bC．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a解析：因为13＜错误!错误!＜错误!错误!＜1，所以0＜a＜b＜1，所以错误!＝a a－b＞1，所以a b＜a a，a ab a＝错误!错误!。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法a45a高二45数学
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因为 abc＝2， 所以 a，b，c 不能同时取 1， 所以“＝”不同时成立． 所以(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 abc＝8 2. 故(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 2.
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类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
解析：由已知，可得出a＝ 242 ，b＝
4 7＋
3 ，c＝
4 6＋
， 2
因为 7＋ 3＞ 6＋ 2＞2 2，所以b＜c＜a.
答案：B
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5．若a＞b＞c，则
1 b－c
与
1 a－c
的大小关系为
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[变式训练] 已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 abc＝2. 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8 2. 证明：因为 a＞0，b＞0，c＞0， 所以 1＋a≥2 a，当且仅当 a＝1 时，取等号， 1＋b≥2 b，当且仅当 b＝1 时，取等号， 1＋c≥2 c，当且仅当 c＝1 时，取等号．
内容(nèiróng)总结
第二(dìèr)讲 证明不等式的基本方法。执果索因
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第三十四页，共三十四页。
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2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，不 等式成立的充分条件，直至能肯定所需条件已经具 备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．
高二数学第二章《2.2.1直接证明--综合法与分析法》教案新人教A版选修2-2
§2. 2 .1 直接证明--综合法与分析法1．教学过程:学生探究过程：1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列,,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A + B + C =； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac ．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,R b a 求证.a b b a b a b a 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a,对称，不妨设.0b a 0)(0b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设,0b a ,0,1b a b a .1)(ba ab ba b a b a b a 故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
∴a b a b法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
思考二.(课本第 25 页例 4) a 2b2 b2c 2 c 2a 2 ≥ abc . 已知 a , b, c 0, 求证: abc
尝试2 尝试3
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成 立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件 为止. 其逻辑关系是： B B1 B2 Bn A . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴要证 a3 b3 a 2b ab2 ,只要证 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) ,
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 3:联想尝试， 就是由已知的不等式及题设条件 出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等 式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其 逻辑关系是： A B1 B2 Bn B . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴ a 3 ab2 2a 2b , b3 ba 2 2ab2 ,
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 1：作差比较，作差——变形——定符号
根据 a－b>0 a>b，欲证 a>b 只需证 a－b>0.
证明： (a 3 b3 ) (a 2b ab2 ) = a 2 (a b) b2 (a b) ∵ = (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
【解题探究】运用综合法，结合an与Sn的关系及数列的知 识来论证．
证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，① 得(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝1， (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.② ②－①，得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)． ∴aan＋n 1＝m2＋m3.∴{an}是等比数列．
综合法与分析法的综合应用 【例4】 已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)且 sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② 求证：11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ. 【解题探究】综合运用综合法和分析法，与三角函数知识 相结合来进行证明．
证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin2α－2sin2β＝1.③ 另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ， 即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ，
A．[2,3] B．[1,3] C．(1,2) D．(1,3) 【答案】C
【解析】将x＝－1，y＝3和x＝1，y＝1代入y＝ax2＋bx＋c
中，得
3＝a－b＋c， 1＝a＋b＋c，
∴b＝－1.∴a＋c＝2.又0<c<1，∴0<2
－a<1.∴1<a<2.故选C．
3．已知a，b，c为三条不同的直线且a⊂平面M，b⊂平面 N，M∩N＝c.
复习课件
高中数学 第2章 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2-2
高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法a45a高二45数学
2
=4+(1-2ab)+
≥4+ 1-2 ×
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1-2
2
2
1
4
+
1
1-2× 4
1 2
4
=
25
.∴
2
1 2
+
+
1 2
+
25
≥ 2.
题型一
题型二
题型三
反思 1.利用综合法证明不等式,揭示了条件和结论之间的因果
联系,为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系,合理进行转换,
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1.理解综合法和分析法的概念.
2.掌握综合法和分析法的证明过程.
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1
2
1.综合法
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过
一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,
又叫顺推证法或由因导果法.
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1
2
【做一做 1】 若 a<b<0,则下列不等式中成立的是(
(
)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
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1
2
1
x+ -1≥a
【做一做2-2】 当x>1时,不等式
取值范围是(
)
A.(-∞,2]
B.[2,+∞) C.[3,+∞)
解析：要使 x+
1
≥a
-1
恒成立,则实数a的
D.(-∞,3]
恒成立,只需 f(x)=x+
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：2-2
a－b2 a＋b a－b2 【证明】 ∵a>b>0，要证 8a < 2 － ab< 8b ， a－b2 a－b2 只需证 4a <a＋b－2 ab< 4b ，
2 a－b2 a － b 即证 <( a－ b)2< ， 4a 4b
a－b a－b 即证 < a－ b< ， 2 a 2 b a＋ b a＋ b 即证 <2< ， a b
【证明】
∵a，b，c 均为正数，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 1 bc ∴ －1＝ ＝ ＝ ＋ ≥2· . a a a a a a 1 ac 同理 －1≥2· ， b b 1 ab －1≥2· . c c 由于上面三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1 1 1 2 －1 －1 －1≥ a b c
a＋b 2 1 ∴ab≤ ＝4. 2
∴原不等式成立．
只需证 A 成立， 而 A 已知成立， 从而知“若 A 则 B”为真． (3)用分析法证明不等式的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2„⇐Bn⇐A.
3．分析综合法证明不等式 一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不 易下手，因而常用分析法寻求解题途径，然后用综合法进行证 明．还有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析 综合法(或两头凑法)．分析综合法充分表明分析与综合之间互 为前提，相互渗透，相互转化的辩证统一关系．分析的终点是 综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.
【证明】
要证(a＋b) 1＋(b＋c) 1＝3(a＋b＋c) 1 成立，
－ － －
1 1 3 即证 ＋ ＝ 成立， a＋b b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 即证 ＋ ＝3， a＋b b＋c a＋b b＋c c a 即 ＋ ＋ ＋ ＝3， a＋b a＋b b＋c b＋c c a 即证 ＋ ＝1， a＋b b＋c
高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_2
＋ 3，只需证：( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2.
解析答案
1
2
3
4
3.对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件 是( ) D A.m⊥l，m∥α，l∥β B.m⊥l，α∩β＝m，l⊂α C.m∥l，m⊥α，l⊥β D.m∥l，l⊥β，m⊂α
解析答案
1
2
3
4
2.欲证 2－ 3< 6－ 7成立，只需证( C ) A.( 2－ 3)2<( 6－ 7)2 B.( 2－ 6)2<( 3－ 7)2 C.( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2 D.( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2
解析 根据不等式性质，a>b>0 时，才有 a2>b2，∴只需证： 2＋ 7< 6
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).
sinα＋β 2sin α 证明 由 tan(α＋β)＝2tan α 得 ＝ ， cos α cosα＋β
即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 要证3sin β＝sin(2α＋β)， 即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 这就是①式.所以，命题成立.
证明的 (P表示 已知条件 、已有的 定义、 公理 、定理等，Q表示所要_______
结论 ______)
答案
知识点二 分析法
思考
阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？