2020年高考数学试题分类汇编13数学文化
2020届高考数学百题精炼系列13(文理合卷) 精品
2020届高考数学百题精炼系列13注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合{}{}0107|,73|2<+-=<≤=x x x B x x A ，则()U C A B ⋂=（ ）A. ()),5(3,+∞⋃∞-B. ()),5[3,+∞⋃∞-C. ),5[]3,(+∞⋃-∞D.),5(]3,(+∞⋃-∞解析：{}{}520107|2<<=<+-=x x x x x B ，∴{}53<≤=⋂x x B A ()U C A B ⋂=()),5[3,+∞⋃∞-。
故选A2．已知复数1z i =-，则21z z =- A. 2B. －2C. 2iD. －2i解析：22(1)22111z i iz i i--===---- 故选A 3．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为 （ ）A.24B. 22±C.24±D. 32解析：由369-=S 可得5936a =-，∴45-=a ；由10413-=S 可得713104a =-， ∴87-=a ∴5a 与7a 的等比中项为24±。
故选C4．如果执行右面的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60解析：1(641)3p =⨯-+=，1,k =3(642)12p =⨯-+=y=-ax +zy=x+1x=11oyx图２主视图224C 1B 1A 1CB A2,k =12(643)60p =⨯-+=，3,k =60(644)360p =⨯-+=，4k =而4m =，k m <不成立，循环结束，输出360p =故选B5．如图2，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A ．16B ．23C ．43D ．83 解析：该三棱柱的侧视图是长为4，宽为23的矩形，故选D.6．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 A ．242610A A个B.()2142610CA 个 C.()2142610C个 D.242610A 个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个，故选B. 7. 已知点(,)M x y 满足1,10,220.x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z ax y =+的最小值为3，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由各选项知a 取正值，设ax y z +=，结合图形易得当直线y ax z =-+ 过点(1,0)时，z ax y =+取得最小值，故3a =，选C.8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2(1)f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．2解析：()2(1)2f x f x ''=+，令1x =得(1)2(1)2f f ''=+，∴(1)f '=2-，故选B. 9．已知一组正数1234,,,x x x x 的方差为2222212341(16)4S x x x x =+++-，则数据122,2,x x ++ 342,2x x ++的平均数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：设1234,,,x x x x 的平均值为x ，则2222212341[()()()()]4S x x x x x x x x =-+-+-+-2222212341(4)4x x x x x =+++-∴2416x =，∴2x =∴12342,2,2,2x x x x ++++的平均数为4故选C.10．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A ．等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形解析：在双曲线12222=-by a x 中，22b a c +=，则a b a e 22+=；在圆12222=+by m x 中，22b m c -=，则m b m e 22-=。
2020年高考真题——数学(文)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1235711A ，，，，，， 315|B x x ，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ，故A B ∩中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.若 11 z i i ，则z =（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D 【解析】【分析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ，所以z i =.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C 【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1 故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.已知πsin sin =31，则πsin =6（）A.12B.3C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 122，则：33sin cos 122 ，313sin cos 223，从而有：sin coscos sin 663，即3sin 63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC，则点C 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A 【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设 20AB a a ，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ,0,,0A a B a ，设 ,C x y ，可得： ,,,AC x a y BC x a y，从而： 2AC BC x a x a y，结合题意可得： 21x a x a y ，整理可得：2221x y a ，即点C 的轨迹是以AB 中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.8.点(0，﹣1)到直线 1y k x 距离的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P ，设(0,1)A ，当直线(1)y k x 与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x 距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x 可知直线过定点(1,0)P ，设(0,1)A ，当直线(1)y k x 与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x 距离最大，即为||AP .故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S △△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（）A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a ，351log 33b ，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log 2log 9333a c ，355112log 3log 25333b c ，所以a c b .故选：A【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与回归的思想，是一道中档题.11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】设,,AB c BC a CA b22222cos 916234933c a b ab C c2221cos sin tan 299a cb B B B ac 故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x 对称D.f (x )的图像关于直线2x对称【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sin x ∵可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xQ Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x Q 故B 错；()f x 关于直线2x对称，故C 错，D 对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z .故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.设双曲线C ：22221x y a b(a >0，b >0)的一条渐近线为yx ，则C 的离心率为_________．【解析】【分析】根据已知可得ba，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程22221x y a b可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y，所以b a ，c e a【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.15.设函数e ()xf x x a．若(1)4e f ，则a =_________．【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【详解】由函数的解析式可得：221x xx e x a e e x a f x x a x a，则：12211111e a aef a a，据此可得：241aeea，整理可得：2210a a ，解得：1a .故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16.已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】3【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r 解得：22r =，其体积：34233V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足124a a ，318a a ．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S ，求m ．【答案】（1）13 n n a ；（2）6m .【解析】【分析】（1）设等比数列 n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列 n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a ，解得113a q ，所以13 n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n ，所以(01)(1)22n n n n n S，根据13m m m S S S ，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m，整理得2560m m ，因为0m ，所以6m ，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100 ，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．证明：（1）当AB BC 时，EF AC ；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ，根据长方体性质得1AC BB ,进而可证AC 平面11BB D D ,即得结果；（2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC ,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D ,所以1BB 平面ABCD 1AC BB ,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC ,所以四边形ABCD 为正方形AC BD 因为11,BB BD B BB BD I 、平面11BB D D ,因此AC 平面11BB D D ,因为EF 平面11BB D D ,所以AC EF ；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC ,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC ,所以11,//,ED MC ED MC 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC 因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF 因此1C 在平面AEF 内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.20.已知函数32()f x x kx k ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27.【解析】【分析】（1）'2()3f x x k ，对k 分0k 和0k 两种情况讨论即可；（2）()f x 有三个零点，由（1）知0k，且(00f f，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.【详解】（1）由题，'2()3f x x k ，当0k 时，'()0f x 恒成立，所以()f x 在(,) 上单调递增；当0k 时，令'()0f x，得x '()0f x，得x ，令'()0f x，得x或x ，所以()f x在(上单调递减，在(,，) 上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k，且(00f f即22203203k k，解得4027k，当4027k20f k ，所以()f x 在上有唯一一个零点，同理1k ，32(1)(1)0f k k k ，所以()f x 在(1,k 上有唯一一个零点，又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,)27.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率4c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ 面积为：155252；②当P 点为(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【答案】（1）（2）3cos sin 120 【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)B .AB ；（2）由（1）可知12030(4)AB k，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a，即max{,,}a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷文科13
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷文科创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2xB．y=﹣xC．y=2xD．y=x7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为49．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．210．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8B．6C．8D．811．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．112．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020全国卷真题分类(数列、三角、解三角形、立体几何)
数列（2020卷一理17）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和． 答案：（1） 故{}n a 的公比为2-.（2） 1(31)(2)99nn n S +-=-（2020卷一文10）．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++= A ．12 B ．24 C ．30 D ．32答案：D（2020卷一文16）．数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = 答案：7（2020卷二理6）．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k = A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：C（2020卷二文3）．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A ．5B ．8C ．10D ．15答案：C（2020卷二文6）．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a = A ．2n–1 B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n–1答案：B（2020卷三理17）．（12分）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．答案：（1）2 1.n a n =+ （2）1(21)2 2.n n S n +=-+ （2020卷三文17）．（12分）设等比数列{a n }满足124a a +=，138a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 答案：（1）1=3n n a - （2）6m =三角函数（2020卷一理7）设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π2答案：C（2020卷一理9）．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= AB ．23C ．13D答案：A（2020卷二理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0答案：D（2020卷二文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________答案：19（2020卷三理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1C ．1D ．2答案：D（2020卷三理16）．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③（2020卷三文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12BC ．23D答案：B解三角形（2020卷一文18）．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b，求ABC △的面积；（2）若sin AC，求C . 答案：（1）√3（2）15C =︒（2020卷二理17）．（12分）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．答案：（1）2π3A =（2）3+（2020卷二文17）．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ； （2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．答案：（1）3A π=（略）（2020卷三理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A立体几何（2020卷一理10）．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π答案：A（2020卷二理16）．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB = .答案：14-（2020卷一理18）．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO上一点，PO ．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．答案：（1）略（2）（2020卷一文19）．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积. 答案：（1）略（2）√68（2020卷二理10）．已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为AB ．32C ．1D 答案：C（2020卷二文理20）．（12分）如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．答案：（1）略（2）（3）24（2020卷三理8）．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．答案：C（2020卷三理15）．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．答案：3π（2020卷三理19）．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．答案：（1）略（2）（2020卷三文19）．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内． 答案：略。
2020高考数学全国真题及答案汇编
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 I
本试卷 5 页, 23 题 (含选考题). 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定 位置. 2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效. 4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答 题区域内, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
4
√ D： 5 + 1
2
题3图 4. 已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p =( ).
A： 2
B： 3
C： 6
D： 9
2020 年高考数学全国 I 卷理科真题
2
5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位: ◦C) 的关系, 在 20 个不同的温度条 件下进行种子发芽实验, 由实验数据 xi, yi (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图:
目录
2020 年高考数学全国 I 卷理科真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 2020 年高考数学全国 I 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 2020 年高考数学全国 I 卷文科真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 2020 年高考数学全国 I 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 2020 年高考数学全国 II 卷理科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 2020 年高考数学全国 II 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 32 2020 年高考数学全国 II 卷文科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40 2020 年高考数学全国 II 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 44 2020 年高考数学全国 III 卷理科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51 2020 年高考数学全国 III 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 55 2020 年高考数学全国 III 卷文科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 63 2020 年高考数学全国 III 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 67 2020 年新高考数学 I 卷真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 74 2020 年新高考数学 I 卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 79 2020 年新高考数学 II 卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 87 2020 年新高考数学 II 卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 92 2020 年高考数学北京卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 100 2020 年高考数学北京卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 104 2020 年高考数学天津卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 112 2020 年高考数学天津卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 116 2020 年高考数学上海卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 124 2020 年高考数学上海卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 127 2020 年高考数学浙江卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 135 2020 年高考数学浙江卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 139 2020 年高考数学江苏卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 146 2020 年高考数学江苏卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151
压轴题13 数学文化与新情景问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题13数学文化与新情景问题数学文化与新情景问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，难度较难．考向一：融合传统文化和数学史的数学阅读题考向二：融合其他学科知识的数学阅读题考向三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题考向四：融合生活实际的数学阅读题数学文化与新情景问题试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．一、单选题1．（2023·北京·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；②当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；④若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅ 的值为12.其中所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【解析】对于①，设黑色部分区域的面积为1S ，整个圆的面积为S ，由对称性可知，112S S =，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为112S P S ==，故①正确；对于②，当32a =-时，直线的方程为332y x =--，即3260x y ++=，圆心()0,0到直线3260x y ++=613213=<，下方白色小圆的方程为()2211x y ++=，圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线3260x y ++=的距离为1d =，如下图所示：由图可知，直线332y x =--与与白色部分无公共点，故②错误；对于③，黑色阴影部分小圆的方程为()2211x y +-=，设z x y =+，如下图所示：当直线z x y =+与圆()2211x y +-=相切时，z 取得最大值，且圆()2211x y +-=的圆心坐标为()0,1，半径为11=，解得1z =由图可知，0z >，故max 1z =，故③正确；对于④，由于MN 是圆224x y +=中过点()0,1P 的直径，则M 、N 为圆224x y +=与y 轴的两个交点，可设()0,2M 、()0,2N -，当AB y ⊥轴时，AB 取最小值，则直线AB 的方程为1y =，可设点()3,1A -、)3,1B，所以，)3,1AM = ，()3,3BN =-，()3,0AB = ，()3,4AM BN -= ，所以，()12AM BN AB -⋅=，故④正确.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆()2200x y ay a +-=>于点P ，交直线y a =于点Q ，过P 和Q 分别作x 轴和y 轴的平行线交于点M ，则点M 的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为()f x ，设AOQ θ∠=，下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．点M 的横坐标为tan M a x θ=C ．点M 的纵坐标为2cos M y a θ=D ．()f x 的值域是(],1-∞【答案】C【解析】连接AP ，则AP OP ⊥，圆()2200x y ay a +-=>的标准方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，该圆的直径为a，设点()0,Q x a ，当点Q 不与点A 重合时，直线OQ 的方程为0ay x x =，联立02200a y x x x y ay y ⎧=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠⎪⎪⎩，解得3220a y x a =+，当点Q 与点A 重合时，点A 的坐标也满足方程322a y x a =+，所以，()322a f x x a=+，对任意的x ∈R ，220x a +>，即函数()f x 的定义域为R ，()()()332222a a f x f x x a x a -===+-+ ，故函数()f x 为偶函数，A 错；当点Q 在第一象限时，Q M x x =，因为tan Q x aθ=，此时tan Q M x x a θ==，B 错；当点Q 不与点A 重合时，0M P y y =>，因为cos OP a θ=，则2cos cos M P y y OP a θθ===，当点Q 与点A 重合时，点P 也与点A 重合，此时0θ=，点P 的纵坐标也满足2cos P y a θ=，综上所述，点M 的纵坐标为2cos M y a θ=，C 对；对于D 选项，222x a a +≥ ，所以，()(]3220,a f x a x a =∈+，D 错.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意知，当0x =时，()1f x =-，所以0不是函数()f x 的零点，当0x ≠时，(){}21f x x x x =--0=可得，{}121x x=+，令{}[]121222,1y x x x y x==-=+，作出函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+的图象如图所示：由图象可知，除点()1,0-外，函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即1230x x x +++⋅⋅⋅=，由函数零点的定义知，函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为1231101x x x -++++⋅⋅⋅=-+=-.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD 传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为2E kv t =，其中v 为传感器在静水中行进的速度(单位：km /h )，t 为行进的时间(单位：h )，k 为常数，如果待测量的河道的水流速度为3km /h ，则该传感器在水中逆流行进10km 消耗的能量的最小值为（）A ．60kB ．120kC ．180kD ．240k【答案】B【解析】由题意，该传感器在水中逆流行进10km 所用的时间10(3)3t v v =>-，则所消耗的能量210(3)3E kv v v =⋅>-.方法一：2222210[(3)3][(3)2(3)33]910101010[(3)6]33333v v v v E kv k k k k v v v v v v -+-+⋅-⋅+=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅-++≥----106]1012120k k k ⋅=⋅=，当且仅当933v v -=-，即6v =时等号成立，此时2103E kv v =⋅-取得最小值120k .方法二：221010(3)33v E kv k v v v =⋅=⋅>--，求导得22610(3)v v E k v -'=⋅-，令226100(3)v v E k v -'=⋅=-，得6v =，当36v <<时，0E '<，2103E kv v =⋅-单调递减；当6v >时，0E '>，2103E kv v =⋅-单调递增，所以当6v =时，2103E kv v =⋅-取得最小值，为210612063k k ⨯⨯=-.故选：B.5．（2023·江西·校联考二模）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，其挂在墙壁上的最低点B 离地面194cm.小南身高160cm （头顶距眼睛的距离为10cm ），为使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为（）A ．2cmB ．76cmC ．94cmD ．445cm【答案】D【解析】由题意可得θ为锐角，故要使θ最大，只需tan θ最大，设小南眼睛所在的位置点为点D ，过点D 做直线AB 的垂线，垂足为O ，如图，则依题意可得()1941601044=--=BC （cm ），=CD S （cm ），0S >，设,αβ∠=∠=ADC BDC ，则θαβ=-，且17644220tan α++===AB BC CD S S，44tan β==BC CD S，故()222044tan tan 176176tan tan 2204496801tan tan 96801αβθαβαβ--=-===++++S S S S S S S S1762596802≤SS9680=S S即445=S 时等号成立，故使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为445故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()2224431m x y y x y +-+=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A ．()10,+∞B ．()0,10C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】B【解析】由()()2224431m x y y x y +-+=-+，0m >，得222[(2)](31)m x y x y +-=-+，22(2)31m x y x y +-=-+，222222(2)13103113x y x y m m +-+==-++，可得动点(,)P x y 到这点(0,2)和定直线310x y -+=10m101m>，解得010m <<，故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线l 交抛物线214y x =于A ，B 两点，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），则此直线l 恒过定点（）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,4【答案】D【解析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，由根与系数的关系可得：124x x k +=，124x x b =-，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），可得222OA OB AB +=，所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥ ，所以12120OA OB x x y y ⋅=+= ，()2221212*********y y x x x x =⨯=，所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-=，即240b b -=，解得4b =或0b =（舍）所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4，故选：D8．（2023·河南郑州·统考二模）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．25【答案】B【解析】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B9．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）宋神宗熙宁九年文学家苏轼在《水调歌头·明月几时有》中有一名句“月有阴晴圆缺”表达了他超脱的胸怀。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)(3)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =I ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且$2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且$3.476 5.648y x =-+；③ y 与x 正相关且$5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且$ 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数3sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 时间 时间 时间 时间O O OO 距学校的距离象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π67．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上的投影为 A 32B 315 C ．32D ．3158．x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]=-在R上为f x x xA．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点，则实数a的取值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .否A A m =⨯1i i =+输入m1, 1, 0A B i ===开始结束是?A B <输出i 第13题图 B B i =⨯14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56， 则m = .16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应的1S=，0N=，4L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的71N=，18L=，则S=（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积53S=，5B C的值.b=，求sin sin19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.第20题图21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , ()b f a ,()bf a是否成等比数列，并证明()()b b f f a a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．O x yBA 第22题图CDMN。
2020年高考数学试题分类汇编13数学文化
数学文化1.（2020·全国卷Ⅱ文 3）如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A. 5B. 8C. 10D. 152.（2020·山东 4、海南 4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°3.（2020·全国卷Ⅱ理 4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）⎪⎪ ⎪ ⎪ A. 3699 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块4.（2020·北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ π Day ）．历史上，求圆周率π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达式是（ ）．⎛ 30︒ 30︒ ⎫⎛ 30︒ 30︒ ⎫ A. 3n sin n + tan n B. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 60︒ 60︒ ⎫⎛ 60︒ 60︒ ⎫ C. 3n sin n + tan n D. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭⎝ ⎭数学文化参考答案1.【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：k -j = 3, j -i = 4 ．∴i =1, j = 5, k = 8 ；i = 2, j = 6, k = 9 ；i = 3, j = 7, k =10 ；i = 4, j = 8, k =11；i = 5, j = 9, k =12 ．原位小三和弦满足：k -j = 4, j -i = 3 ．∴i =1, j = 4, k = 8 ；i = 2, j = 5, k = 9 ；i = 3, j = 6, k =10 ；i = 4, j = 7, k =11；i = 5, j = 8, k =12 ．故个数之和为10．故选：C．2.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ；AB 是晷针所在直线. m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD 、根据线面垂直的定义可得AB ⊥m ..由于∠AOC = 40︒, m//CD ，所以∠OAG =∠AOC = 40︒，由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE = 90︒，所以∠BAE =∠OAG = 40︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE = 40︒.故选：B3.【答案】C【解析】设第n 环天石心块数为a n，第一层共有n 环，则{a n}是以9 为首项，9 为公差的等差数列，a n= 9 + (n -1) ⨯ 9 = 9n ，设 S n 为{a n }的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 S n , S 2n - S n , S 3n - S 2n ，因为下层比中层多 729 块， 所以 S 3n - S 2n = S 2n - S n + 729 ，3n (9 + 27n ) 2n (9 +18n ) 2n (9 +18n ) n (9 + 9n ) 即 - = - + 729 2 2 2 2 即9n 2 = 729 ，解得n = 9 ，27(9 + 9 ⨯ 27)所以 S 3n = S 27 =2故选：C= 3402 .4. 【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为 30︒ 360︒ = n ⨯ 6 60︒ n ，每条边长为2 sin30︒ ， n 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin n ， 30︒ 30︒ 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan n 12n sin 30︒ +12n tan 30︒ ，其周长为12n tan ， n ∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝⎭ 则π = 3n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝⎭故选：A.。
高考数学文化题汇总
数学与日常生活
总结词
数学在日常生活中无处不在，从购物决策到 建筑设计，都涉及到数学的应用。
详细描述
购物时比较不同商品的价格和性价比需要进 行简单的算术计算；建筑设计需要考虑几何 学原理；时间管理则涉及到线性规划等数学 知识。此外，天气预报、股票交易等领域也 大量使用了数学工具。
04
CATALOGUE
现代中国数学
中国现代数学在几何学、拓扑学、概率论和统计学等方面取得了一定的成就， 逐渐与国际数学界接轨。
02
CATALOGUE
数学与文学艺术
数学与诗歌
总结词
数学概念和原理经常被用作诗歌的主题，以增加其深度和复 杂性。
详细描述
数学与诗歌的结合可以追溯到古代文明，如毕达哥拉斯学派 用诗歌来表达数学理念。在现代，也有许多诗人运用数学概 念和原理，如分形、无限等，来创作出富有哲理和美感的诗 歌。
近现代数学文化题解析
总结词
考察近现代数学的重要分支和应用
详细描述
近现代数学文化题主要涉及19世纪和20世纪的数学发展 ，如微积分、线性代数、概率论和统计学等分支的进展 。这些题目要求考生了解近现代数学的基本概念、定理 和思想，并能够运用这些知识解决实际问题。同时，这 些题目还要求考生了解数学与其他学科的交叉融合，如 数学与物理、经济和计算机科学等领域的联系。
高考数学文化题汇 总
contents
目录
• 数学历史与文化 • 数学与文学艺术 • 数学与社会生活 • 高考数学文化题解析
01
CATALOGUE
数学历史与文化
古代数学的发展
01
02
03
古埃及数学
古埃及人发展了数学符号 系统，用于解决日常生活 和建筑、农业等方面的问 题。
2020高考试题分类(附答案)
2020高考数学试题分类汇编（附答案）01 集合1.（2020•北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A . {1,0,1}-B . {0,1}C . {1,1,2}-D . {1,2}【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}AB =-=，故选：D.2.（2020•全国1卷）设集合A ＝{x |x 2–4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |–2≤x ≤1}，则a ＝（ ） A. –4B. –2C. 2D. 4【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B. 3.（2020•全国2卷）已知集合U ＝{−2，−1，0，1，2，3}，A ＝{−1，0，1}，B ＝{1，2}，则()UA B ⋃=（ ）A . {−2，3}B . {−2，2，3}C . {−2，−1，0，3}D . {−2，−1，0，2，3}【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A .4.（2020•全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A . 2B . 3C . 4D . 6【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.5.（2020•江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2AB =,故答案为：{}0,2.6.（2020•新全国1山东）设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ）A . {x |2＜x ≤3}B . {x |2≤x ≤3}C . {x |1≤x ＜4}D . {x |1＜x ＜4}【详解】[1,3](2,4)[1,4)AB ==,故选：C7.（2020•天津卷）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A . {3,3}-B . {0,2}C . {1,1}-D .{3,2,1,1,3}---【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.8.（2020•浙江卷）已知集合P ＝{|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q ＝（ ） A . {|12}x x <≤ B . {|23}x x << C . {|34}x x ≤< D . {|14}<<x x【详解】(1,4)(2,3)(2,3)PQ ==,故选：B9.（2020•浙江卷）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x ＜y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128ST =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即ST 中有7个元素.故A 正确.故选：A.10.（2020•上海卷）已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【答案】{}2,402 复数1.（2020•北京卷）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A. 12i +B. 2i -+C. 12i -D. 2i --【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B. 2.（2020•全国1卷）若z ＝1＋i ，则|z 2–2z |＝（ ）A . 0B . 1C .2D . 2【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.3.（2020•全国2卷）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z +=+，则12||z z -＝__________. 【详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()3z z a c b d i i ∴+=+++=+，31a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，又12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=.2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-()22()()82a c b d ac bd =-+-=-+8423=+=.故答案为：23.方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z 23z Z Z -==.4.（2020•全国3卷）复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C.110D.310【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.5.（2020•江苏卷）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.6.（2020•新全国1山东）2i12i-=+（ ） A. 1 B. −1 C. iD. −i【详解】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-,故选：D 7.（2020•天津卷）i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【详解】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-.故答案为：32i -. 8.（2020•浙江卷）已知a ∈R ，若a –1＋(a –2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝（ ） A. 1B. –1C. 2D. –2【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选：C 9.（2020•上海卷）已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______03 逻辑用语1.（2020•北京卷）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； (2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12k k k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C .2.（2020•全国2卷）设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.3.（2020•天津卷）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.8.（2020•浙江卷）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B04 函数与导数1.（2020•北京卷）已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A . (1,1)-B . (,1)(1,)-∞-+∞C . (0,1)D . (,0)(1,)-∞⋃+∞【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+， 在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >. 所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D. 2.（2020•北京卷）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞3.（2020•北京卷）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 4.（2020•全国1卷）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.5.（2020•全国1卷）若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A . 2a b >B . 2a b <C . 2a b >D . 2a b <【详解】设2()2log x f x x=+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误.故选：B.6.（2020•全国1卷）已知函数2()e xf x ax x =+-. （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3＋1，求a 的取值范围. 【详解】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，由于()20xf x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x ＝0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112x e x x g x x ---=-，()()231212x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-， 令()()21102xe x x h x x ---≥=，则()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=-≥， 故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=， 由()0h x ≥可得：21102xe x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，0g x ，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，0g x，()g x 单调递减；因此，()()2max724e g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 7.（2020•全国2卷）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称， 又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 故选：D.8.（2020•全国2卷）若2233x y x y ---<-，则（ ） A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.9.（2020•全国2卷）已知函数f (x )＝sin 2x sin 2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：()f x ≤（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤34nn .【详解】(1)由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()224'23sin cos sin f x x x x =-()2222sin 3cos sin x x x =- ()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()'0f x =在()0,x π∈上的根为：122,33x x ππ==，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增， 当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.(2)注意到()()()()22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x πππ+=++==⎡⎤⎣⎦， 故函数()f x 是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：()()00f fπ==，23f π⎛⎫==⎪⎝⎭⎝⎭，223f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 据此可得：()max 8f x =⎡⎤⎣⎦，()min8f x =-⎡⎤⎣⎦，即()8f x ≤. (3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2nx x xx 233333sin sin 2sin 4sin 2nx x xx ⎡⎤=⎣⎦()()()2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin2sin 2sin2n nnx x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦23233sin sin 2n x x ⎡⎤≤⨯⨯⎢⎥⎣⎦23n⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎝⎭⎣⎦34n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 10.（2020•全国3卷）Log i st i c 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Log i st i c 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln 19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C. 11.（2020•全国3卷）若直线l 与曲线y 和x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为（ ） A. y ＝2x ＋1 B. y ＝2x ＋12C. y ＝12x ＋1 D. y ＝12x ＋12【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y'=，则直线l 的斜率k=， 设直线l的方程为)0y xx =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D. 12.（2020•全国3卷）已知55＜84，134＜85．设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜a ＜c C. b ＜c ＜a D. c ＜a ＜b【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<.故选：A.13.（2020•全国3卷）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【详解】（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭则34b =-； （2）由（1）可得33()4f x x x c =-+，'2311()33()()422f x x x x =-=+-， 令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<， 所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <，即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '， 即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.14.（2020•江苏卷）已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (－8)的值是____. 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-,故答案为：4- 15.（2020•江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k ＞0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低? 【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去) 当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.16.（2020•江苏卷）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-'=⋅. 若k 0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意.当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10F x F ≥=，即()()0h x g x -≥，符合题意.综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<， 此时1n m t -≤<<，当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t λλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==. 所以()max n m -=n m -≤.17.（2020•新全国1山东）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 ＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天【详解】因0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B.18.（2020•新全国1山东）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)＝0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A. [)1,1][3,-+∞ B. 3,1][,[01]-- C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.19.（2020•新全国1山东）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1＋e ),∴函数f (x )在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln x f x ae x a -=-+,11()x f x ae x -'∴=-，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+> ∴g (x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x aex -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，011x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+＞1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,＋∞). 解法二：()111x lna x f x aelnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+， 令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)＞0,h(x)单调递增；在(1,＋∞)上h’(x)＜0,h(x)单调递减， ∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,＋∞). 20.（2020•天津卷）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A .B.C.D.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.21.（2020•天津卷）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.22.（2020•天津卷）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞ D. (,0)(22,)-∞+∞【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.23.（2020•天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【详解】(Ⅰ) (i) 当k ＝6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当x ＞1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t ＞1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 24.（2020•浙江卷）函数y ＝x cos x ＋sin x 在区间[–π，＋π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误； 且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.25.（2020•浙江卷）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ） A . a ＜0B . a ＞0C . b ＜0D . b ＞0【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+,当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <.故选：C26.（2020•浙江卷）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--． 【详解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点； （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x 成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--，即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤，则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e(e 1)(1)x f a a ≥--.27.（2020•上海卷）设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x a f x x x a≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。
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数学文化
1.（2020·全国卷Ⅱ文 3）如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a1
2.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）
A. 5
B. 8
C. 10
D. 15
2.（2020·山东 4、海南 4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 90°
3.（2020·全国卷Ⅱ理 4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）
⎪
⎪ ⎪ ⎪ A. 3699 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块
4.（2020·北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ π Day ）．历史上，求圆周率π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， π 的近似值的表达式是（ ）．
⎛ 30︒ 30︒ ⎫
⎛ 30︒ 30︒ ⎫ A. 3n sin n + tan n B. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
⎛ 60︒ 60︒ ⎫
⎛ 60︒ 60︒ ⎫ C. 3n sin n + tan n D. 6n sin n + tan n ⎝ ⎭
⎝ ⎭
数学文化参考答案
1.【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：k -j = 3, j -i = 4 ．
∴i =1, j = 5, k = 8 ；i = 2, j = 6, k = 9 ；i = 3, j = 7, k =10 ；i = 4, j = 8, k =11；i = 5, j = 9, k =
12 ．原位小三和弦满足：k -j = 4, j -i = 3 ．
∴i =1, j = 4, k = 8 ；i = 2, j = 5, k = 9 ；i = 3, j = 6, k =10 ；i = 4, j = 7, k =11；i = 5, j = 8, k =
12 ．故个数之和为10．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ；AB 是晷针所在直线. m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD 、根据线面垂直的定义可得AB ⊥m ..
由于∠AOC = 40︒, m//CD ，所以∠OAG =∠AOC = 40︒，
由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE = 90︒，
所以∠BAE =∠OAG = 40︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE = 40︒.
故选：B
3.【答案】C
【解析】设第n 环天石心块数为a n，第一层共有n 环，
则{a n}是以9 为首项，9 为公差的等差数列，a n= 9 + (n -1) ⨯ 9 = 9n ，
设 S n 为{a n }的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 S n , S 2n - S n , S 3n - S 2n ，因为下层比中层多 729 块， 所以 S 3n - S 2n = S 2n - S n + 729 ，
3n (9 + 27n ) 2n (9 +18n ) 2n (9 +18n ) n (9 + 9n ) 即 - = - + 729 2 2 2 2 即9n 2 = 729 ，解得n = 9 ，
27(9 + 9 ⨯ 27)
所以 S 3n = S 27 =2
故选：C
= 3402 .
4. 【答案】A
【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为 30︒ 360︒ = n ⨯ 6 60︒ n ，每条边长为2 sin
30︒ ， n 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin n ， 30︒ 30︒ 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan n 12n sin 30︒ +12n tan 30︒ ，其周长为12n tan ， n ∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪
⎝
⎭ 则π = 3n ⎛
sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝
⎭
故选：A.。