上海市杨浦区2013届高三上学期学业质量调研数学文试题

上海市杨浦区2013届高三上学期学业质量调研数学文试题2013.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若函数()x x f 3=的反函数为()x f 1-，则()=-11f．2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是 ． 5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ． 7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为 2cm .8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．9. 若直线l 过点()1,1-，且与圆221x y +=相切，则直线l 的方程为 ．10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b 和c ， 则2≤b 且3≥c 的概率是____ ___ .11.若函数1)23(log )(+-=x a x f (1,0≠>a a )的图像过定点P ,点Q 在曲线 022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是 ． 12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 .A MEPDCBNF13．设ABC ∆的内角C B A 、、的对边长分别为c b a 、、，且 c A b B a 53cos cos =- ，则B A cot tan 的值是___________．14．已知函数()()⎩⎨⎧≤-->+=.0,2,0,1log 22x x x x x x f 若函数()()m x f x g -=有3个零点， 则实数m 的取值范围是___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15． “3=a ”是“函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增”的………（ ）)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．)(A． )(B )(C ． )(D ． 18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x =“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC , E D 、分别是AP BC 、的中点，（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ． (文) 已知函数π()cos()4f x x =-，（1）若()10f α=，求sin 2α的值； （2）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．PABCDE已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别是()0,11-F 、()0,12F ，且焦距是椭圆C 上一点P 到两焦点21F F 、距离的等差中项. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点2F 的直线交椭圆C 于N M 、两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点 ),0(0y Q ，求0y 的取值范围.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数)0(121)(>-=x x x x f 的值域为集合A ，（1）若全集R U =，求A C U ； （2）对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x ，不等式()0≥+a x f 恒成立，求实数a 的范围； （3）设P 是函数()x f 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求⋅的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设数列{}n x 满足0>n x 且1≠n x （n ∈*N ）,前n 项和为n S ．已知点),(111S x P , ),(222S x P ,()n n n S x P ,,⋅⋅⋅都在直线b kx y +=上(其中常数k b 、且0≠k ,1≠k ，0≠b ),又n n x y 21log =．（1）求证：数列{}n x 是等比数列； （2）若n y n 318-=，求实数k ，b 的值；（3）如果存在t 、∈s n ∈*N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上．问是否存在正整数M ，当M n >时，1>n x 恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由．杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研 2013.1.5一．填空题:1. 0；2．2；3．2；4. ⎩⎨⎧==11y x （向量表示也可）；5．2arctan ；6.33±；7. π50 8. 2013；9.1=x 或1=y ； 10. 92；11.x x y 222-= 12． 48；13．1-；14．)1,0( 二、选择题:15．)(A ；16．)(D ；17．)(B ；18. )(C ．三、解答题19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //，所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分 由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ. ………12分(其他解法，可参照给分) 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．解：（1）因为π()cos()410f αα=-=， 则sin )210αα+=， 所以 7cos sin 5αα+=. ………3分 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， ………5分所以24sin 225α=. ………7分（2）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=(cos sin )sin )22x x x x +⋅- ………9分=221(cos sin )2x x -=1cos 22x . ………11分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ………12分 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； ………13分当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （1）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………1分 由题意得 a c 24=，2=a2223b a c =-=. ………4分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………6分（2）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………7分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+. ………10分所以212324234x x k x k +==+，3323(1)34k y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k k k k y 4314320+=+=. ………12分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k +≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………13分综上，0y的取值范围是[. ………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. (1)由已知得，0>x，则222)(≥+=x x x f ………1分当且仅当x x 2=时，即2=x 等号成立，[)∞+=∴,22M ………3分所以，()22,∞-=M C U ………4分(2)由题得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥x x a 2 ………5分 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x y 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 的最大值为29- ………9分 29-≥∴a (10)分(3)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0002,x x x P ，则直线PA 的方程为()0002x x x x y --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-，即0022x x x y ++-=，………11分由⎪⎩⎪⎨⎧++-==0022x x x y x y 得)1,1(0000x x x x A ++ ………13分又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+002,0x x B ， ………14分所以)1,1(00x x PA -=，)0,(0x -=，故1)(100-=-=⋅x x PB PA (16)分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （1）因为点1,+n n P P 都在直线b kx y +=上，所以kx x S S nn nn =--++11，得n n kx x k =-+1)1(， ………2分 其中0111≠-=k x ． ………3分因为常数0≠k ，且1≠k ，所以11-=+k kx x nn 为非零常数．所以数列{}n x 是等比数列． ………4分（2）由n n x y 21log =，得6821-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y n nx ， ………7分所以81=-k k ，得78=k ． ………8分 由n P 在直线上，得b kx S n n +=， ………9分令1=n 得7871785111--=-=-=x x S b ． ………10分（3）由nn x y 21log =知1>n x 恒成立等价于0<n y ．因为存在t 、∈s n ∈*N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上．由12+=t y s 与12+=s y t 做差得：)(2s t y y t s -=-． (12)分 易证{}n y 是等差数列，设其公差为d ，则有d t s y y ts )(-=-，因为t s ≠，所以02<-=d ，又由2)(2++=+s t y y t s，而4)(22)2)(1()2)(1(111++-=--++--+=+t s y t y s y y y t s得2)(24)(221++=++-s t t s y 得 01)(21>-+=t s y 即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数M ， ………16分使，⎩⎨⎧<≥+001M M y y , 即⎩⎨⎧<-+-+≥--+-+0)2(1)(20)2)(1(1)(2M t s M t s 解得2121++≤<-+t s M t s 因为*∈N M ，所以t s M +=，即存在自然数M ，其最小值为t s +，使得当M n > 时，1>nx 恒成立． ………18分 （其它解法可参考给分）。