2019年杨浦区高三一模数学试卷(含标答)

k 1

一、填空题

2019 届杨浦区高三一模数学试卷

1、设全集U = {1,2,3,4,5}，若集合 A = {3,4,5}，则C U A =

π

2、已知扇形的半径为 6，圆心角为 ，则扇形的面积为

3

3、已知双曲线 x 2 - y 2

= 1 ，则其两条渐近线的夹角为

4、若(a + b )n

展开式的二项式系数之和为 8，则 n =

5、若实数 x , y 满足 x 2 + y 2

= 1 ，则 xy 的取值范围是

6、若圆锥的母线长l = 5(cm )，高 h = 4(cm )，则这个圆锥的体积等于 (cm 3

)

7、在无穷等比数列{a }中， lim (a + a

+ ... + a

) = 1 ，则 a 的取值范围是

n

n →∞ 1

2

n

2

1

8、若函数 f (x ) = ln 1+ x

的定义域为集合 A ，集合 B = (a , a +1)，且 B ? A ，则实数 a 的

1- x 取值范围为

2x

9、在行列式 4

6 的零点是

7

4

x

- 3 4 5 -1

中，第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f (x ) ，则 y = 1+ f (x )

10、已知复数 z 1 = cos x + 2 f (x )i ， z 2 =

( 3 sin x + cos x )+ i （ x ∈ R ，

i 为虚数单位），在

复平面上，设复数 z 1 , z 2 对应的点分别为 Z 1, Z 2 ，若∠Z 1OZ 2 = 90

，其中O 是坐标原点，

则函数 f (x ) 的最小正周期

11、当0 < x < a 时，不等式 1 x 2

+ (a - x )2

≥ 2 恒成立，则实数a 的最大值为

12、设 d 为等差数列{a }的公差，数列{b }的前 n 项和T ，满足T + 1

= (-1)n

b （ n ∈ N * ），

n

n

n

n

2n

n

且 d = a 5 = b 2 ，若实数 m ∈ P k = {

x a

k -2

< x < a

k +3 }（ k ∈ N *

，k ≥ 3 ），则称 m 具有性质 P 。

若 H 是数列{T }的前 n 项和，对任意的 n ∈ N *

，H

都具有性质 P ，则所有满足条件的

n

n

2n -1

k

k 的值为

二、选择题

13、下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是（

）

? ? A. f (x ) = arcsin x

B. y = lg x

C. f (x ) = -x

D. f (x ) = cos x

14、某象棋俱乐部有队员 5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加一个象棋比赛，则选 出的 2 人中恰有 1 人是女队员的概率为（ ） 3

3

2

2 A.

B.

C.

D.

10

5 5

3

15、已知 f (x ) = log

x ，θ∈? 0,π?

sin θ

? ? 2 ?

设 a = f ? sin θ+ cos θ? ，

b = f ( sin θ?cos θ)，

c = f ? sin 2θ ?

，则 a , b , c 的大小 ? 2 ?

? sin θ+ cos θ?

关系是（ ）

A. a ≤ c ≤ b

B. b ≤ c ≤ a

C. c ≤ b ≤ a

D. a ≤ b ≤ c

16、已知函数 f (x ) = m ? 2x

+ x 2

+ nx ，记集合 A = {x f (x ) = 0, x ∈ R }

，集合

B = {x f [ f (x )] = 0, x ∈ R }，若 A = B ，且都不是空集，则 m + n 的取值范围是（ ）

A. [0,4)

B. [-1,4)

C. [- 3,5]

D. [0,7)

三、解答题

17、如图，PA ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形，PA = AB = 1，AD = 2 ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动。 （1） 求三棱锥 E - PAD 的体积；

（2） 证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 AF ⊥ PE 。

18、在?ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，且cos B =

5

。

13

（1） 若sin A =

4 ，求cos C ；

5

→

→

（2） 已知b = 4 ，证明 AB ? BC ≥ -5

19 、上海某工厂以 x 千克/ 小时的速度匀速生产某种产品， 每一小时可获得的利润是

?

5x +1- 3 ? 元，其中1 ≤ x ≤ 10 。 ?

?

x ? （1） 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 20 元，求 x 的取值范围；

（2） 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大

利润。

p

p

M

M

P

M

20、如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线C ： y 2

= 4x 上存在不同的两

点 A , B ，满足 PA , PB 的中点均在抛物线C 上。

（1） 求抛物线C 的焦点到准线的距离； （2） 设 AB 中点为 M ，且 P

(x , y )， M (x , y )，证明： y = y

；

（3） 若 P 是双曲线 x 2

+ y 4

= 1（ x < 0 ）上的动点，求?PAB 面积的最小值。

21、记无穷数列的前 n 中最大值为 M ，最小值为 m ，令b =

M n + m n ，其中 n ∈ N *

。

（1） 若 a

n

= 2n + cos

n π

，请写出b 的值；

n

n

2

n

2

3

（2） 求证：“数列

{a n }是等差数列”是“数列{b n }是等差数列”的充要条件；

（3） 对任意 n ，有 a n

< 2018 ，且 b n = 1，请问：是否存在 K ∈ N * ，使得对于任意不小

于 K 的正整数 n ，有b n +1 = b n 成立？请说明理由。

2

? ? 参考答案： 一、填空题： 1、{1, 2} ；2、6π；3、π；4、3；5、 ?- 1 , 1 ? ；6、12π；7、? 0, 1 ? ? 1 ,1? ；8、[-1, 0]； 2 ?? 2 2 ??

2 ? 2 ?

9、 x = -1 ；10、π ；11、2；12、3 或 4； 二、选择题：

13、C ；14、B ；15、D ；16、A ； 三、解答题： ? ? ? ? 17、【解析】（1）V

= V

= 1 ? S ? PA = 1 ? ( 1 ?1? 2) ?1 = 1

； E - PAD

P - AED

3 △AED 3 2 3

（2）证明： PA ⊥ 平面 ABCD ，∴ PA ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 平面 PAB ， ∴ BC ⊥ AF ， PA = AB = 1 ，点 F 是 PB 的中点，得到 AF ⊥ PB 得到 AF ⊥ 平面 PCB ， ∴ AF ⊥ PE

18、【解析】（1） sin A = 4 ， cos B = 5 ? sin B = 12 ， sin A = 4

< sin B ? A < B

5 13 13 5

为锐角∴cos C = -cos ( A + B ) = -cos A cos B + sin A sin B = - 3 ? 5 + 4 ? 12 = 33

5 13 5 13 65 （2）证明： b = 4 ， cos B =

5 , b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ≥ 2ac - 10 ac ? ac ≤13 13 13 当且仅当 a = c 5

时取到等号，∴ AB ? BC = - AB ? BC ? cos B = - 13 ac ≥ -5

19、【解析】（1）生产该产品 2 小时的利润为= 2 ?

5x + 1 - 3 ? ，

x ? ? ?

由题意， 2 ?

5x + 1 - 3 ?≥ 30 ，解得 x ≥ 3 或 x ≤ - 1 ，

x ? 5 ? ? 又1≤ x ≤10 ，所以3 ≤ x ≤ 10 ；

（2）生产 900 千克该产品，所用的时间是 900

小时，

x

获得的利润为? 5x + 1 - 3 ? ? 900 = 900 ? - 3 + 1 + 5?

,1≤ x ≤10 ， x ? x x 2 x ?

? ? ? ?

3

1 ? 1 1 ?

2

1 记 f (x ) = - x

2 + x + 5,1≤ x ≤10 ，则 f (x ) = -

3 x - 6 ? + + 5 ，当且仅当 x = 6 时取到最大

12

值，最大利润为900 ? 61

= 4575 元，因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利

12 润为 4575 元．

20、【解析】（1）焦点 F (1, 0) ，准线l : x = -1，∴焦点到准线的距离为 2；

【或由抛物线表达式 y 2 = 2 px ( p > 0) 中 p 的几何意义——焦点到准线的距离得到答案】

2t 2

2 1 1 P P P P P P P P P P P P 2 P 1 1 1

（2）设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，且 y 1 ≠ y 2

则 y =

y 1 + y 2 ， PA , PB 的中点分别为( x P + x 1 , y P + y 1 ) ， ( x P + x 2 , y P + y

2 ) ，

M

2 ? y 2 = 4x 2 2 2 2 ? 2 ? y 2 = 4x ① ? y 2 = 4x 2

1 1 ? ? y

2 = 4x ② 由题意，得?( y P + y 1 )2 = 4( x P + x 1 ) ? ? 2 2

? 2 2 y 2

+ 2 y y + y 2 = 8x + 8x ③ ? y + y x + x ? y 2 + 2 y y + y 2 = 8x + 8x ④ ?( P 2 )2 = 4( P 2 ) ? P 2 P 2 P 2

? 2 2 ③ - ④ ，得 2( y - y ) y + y 2 - y 2 = 8x - 8x ，即 2( y

- y ) y + y 2 - y 2 = 2 y 2 - 2 y 2

1

2

P

1

2

1

2

1

2

P

1

2

1

2

? 2( y - y ) y = y 2 - y 2 ? 2( y - y ) y = ( y - y )( y + y )

1

2

P

1

2

1

2

P

1

2

1

2

∵ y ≠ y ，∴ y =

y 1 + y 2

= y ，得证；

1

2

P

2

M

（3）由题意，得 y 2 = 4 - 4x 2

(-1≤ x < 0) ，

?? y 2 = 4x ?y 2 + 2 y ? y + y 2 = 8x + 8x ? y 2 - 2 y y + 8x - y 2 = 0 ， ?? P P P

?? > 0

则? y + y = 2 y ， ? 1 2 P ? y y = 8x - y 2 ? 1 2 P P

? = 4 y 2 - 4(8x - y 2 ) = 8y 2 - 32x = 8(4 - 4x 2 ) - 32x = -32x 2 - 32x + 32 > 0 ，

又-1≤ x P < 0 ，解得-1≤ x P < 0 ， S

= 1 ? x

- x ? y - y = 1 ? x 1 + x

2 - x ? ( y + y )2 - 4 y y

△PAB

2 M P 1

2

2 2

P 1 2 1 2

1

1 (y + y )

2 - 2y y

= x ?

( y + y )2

- 4 y y = ? 1 2 1 2

- x ? ( y + y )2 - 4 y y

2P

1 2 1 2 2 8 P

1

2

1 2

1 24(1 - x - x

2 ) 3

= ? P P ?

2 6 2 ? (1- x - x 2 )2 2 8

P

P

2

1 2 5

t ∈ ? 5 ? 令t = 1 - x P - x P

= -(x P + 2) + 4 ，∵ -1≤ x P < 0 ，∴ ?1, ? ，

? ?

S △PAB = 6 3

? 在t ∈ ?1, ? 5 ?

? 上单调递增，∴ t = 1 时， S △PAB 取得最小值6 ．

?

P P P 2 P P

21、【答案】（1）因为 a = 2n + cos n π

，所以 a = 2 ， a = 3 ， a

= 8 ．

n 1 2

3

所以 M = a = 8 ， m = a = 2 ，则b = M 3

+ m 3

= 5 ． 3 3 3 1 3 2

（2）证明：（充分性）由数列{a n } 是等差数列，设其公差为 d 1 ．

当 d 1 > 0 时， a n - a n -1 = d 1 > 0 ，所以 a n > a n -1 ，所以 M n = a n ， m n = a 1 ． 当 d 1 < 0 时， a n - a n -1 = d 1 < 0 ，所以 a n < a n -1 ，所以 M n = a 1 ， m n = a n ． 当 d 1 = 0 时， a n - a n -1 = d 1 = 0 ，所以 a n = a n -1 ，所以 M n = a n ， m n = a 1 ．

综上，总有b n =

a 1 + a n ．

2

所以b - b = a 1 + a n - a 1 + a n -1 = d 1

，所以数列{b } 是等差数列．

n n -1 2 2 2 n

（必要性）由数列{b n } 是等差数列，设公差为 d 2 ．

因为b - b

=

M n + m n - M n -1 + m n -1 = M n - M n -1 + m n - m n -1

= d ． n

n -1

2 2 2 2

2

根据 M n ， m n 的定义，有以下结论：

M n ≥ M n -1 ， m n ≤ m n -1 ，且两个不等式中至少有一个取等号当 d 2 > 0 时，则必有 M n ＞M n -1 ，所以 a n = M n ＞ M n -1 ≥ a n -1 ， 所以{a n } 是一个单调递增的数列，所以 M n = a 1 ， m n = a n ．

所以b - b

=

a 1 + a n - a 1 + a n -1 = a n - a n -1

= d ． n

n -1

2 2 2 2

所以 a n - a n -1 = 2d 2 ，数列{a n } 是等差数列．

当 d 2 < 0 时，则必有 m n ＜m n -1 ，所以 a n = m n ＜m n -1 ≤ a n -1 ， 所以{a n } 是一个单调递减的数列，所以 M n = a n ， m n = a 1 ．

所以b - b

=

a 1 + a n - a 1 + a n -1 = a n - a n -1

= d ． n

n -1

2 2 2 2

所以 a n - a n -1 = 2d 2 ，数列{a n } 是等差数列．

当 d < 0 时， b - b

= M n - M n -1 + m n - m n -1 = 0

2

n

n -1

2 2

因为 M n - M n -1 ， m n - m n -1 中必有一个为 0．

i i +1 2

1

3

2

4

3

m

m -1

根据上式，一个为0，则另一个亦为0，

所以 M n = M n -1 ， m n = m n -1 ，所以{a n } 为常数数列，所以{a n } 为等差数列． 综上，结论得证． （3）假设结论不成立．

因为| b n |= 1，即b n = 1 或b n = -1．

所以对任意 K ∈ N * ，一定存在i ≥ K ，使得b , b 符号相反

所以在数列{b n } 中存在b k ,b k ,b k , ,b k ,b k , ，其中 k 1 < k 2 < k 3 < < k i <

1

2

3

i

i +1

所以 a k +1 - a k +1 ≥ 4

a k +1 - a k +1 ≥ 4

a k +1 - a k +1 ≥ 4

…

a k +1 - a k +1 ≥ 4

所以 a k +1 - a k +1 ≥ 4(m - 1)

m

1

m

i

i

所以 a k +1 ≥ a k +1 + 4(m - 1)

所以 a 1010

+1

≥ a k +1 + 4(1010 - 1) ＞- 2018 + 4036 = 2018 ，这与 a n < 2018 矛盾，所以

假设错误．

所以存在 K ∈ N * ，使得对任意的 n ≥ K ，有b = b n ．

k

n +1