运筹学作业习题
运筹学习题
运筹学复习题第一章 线性规划及单纯形法一、单选题1. 线性规划具有无界解是指A. 可行解集合无界B. 有相同的最小比值C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤=D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指A. 最优表中非基变量检验数全部非零B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例B. 最优表中存在非基变量的检验数为零C. 可行解集合无界D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是A. (-1,1,2)B. (1,-1,-2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指A. 基可行解中存在为零的非基变量B. 基可行解中存在为零的基变量C. 非基变量的检验数为零D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指A. 第一阶段最优目标函数值等于零B. 进基列系数非正C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算A. 一定有最优解B. 一定有可行解C. 可能无可行解D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非退化基本可行解是A. (2， 0，0， 0)B. (0，2，0，0)C. (1，1，0，0)D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非可行解是A. (2，0，0， 0)B. (0，1，1，2)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是A. 可行解B. 非基本解C. 非可行解D. 是最优解 12. 1234min z x x =+1212124220,x x x x x ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩ A. 无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解13. 12122124432450,max z x x x x x x =-⎧+≤⎪≤⎨⎪≥⎩A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解 14. X 是线性规划的基本可行解则有A. X 中的基变量非负，非基变量为零B. X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D. X 不一定满足约束条件 15. X 是线性规划的可行解，则错误的结论是A. X 可能是基本解B. X 可能是基本可行解C. X 满足所有约束条件D. X 是基本可行解 16. 下例错误的说法是A. 标准型的目标函数是求最大值 B 标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正 D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 A. 按最小比值规则选择换出变量B. 先进基后出基规则C. 标准型要求变量非负规则D. 按检验数最大的变量选择换入变量 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m×n ，要求A. 秩(A )=m 并且m <nB. 秩(A )=m 并且m <=nC. 秩(A )=m 并且m =nD. 秩(A )=n 并且n <m 19. 下例错误的结论是A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B. 检验数是目标函数用非基变量表达的系数C. 不同检验数的定义其检验标准也不同D. 检验数就是目标函数的系数 20. 对取值为无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-，其中''',0j j x x ≥；在用单纯形法求得的解中不可能出现A. '0j x =,''0j x ≥ B. '0j x =,''0j x = C. '0j x >,''0>j x D. '0j x >,''0j x =21．运筹学是一门A. 定量分析的学科B. 定性分析的学科C. 定量与定性相结合的学科D. 定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析二、设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
运筹学练习题
运筹学练习题一、填空题1、线性规划模型有三种参数，其名称分别为_ 、 _ 和 。
2、一个模型是m 个约束，n 个变量，则它的对偶模型为 个约束， 个变量。
3、动态规划是解决 最优化问题的一种理论和方法。
4、在运输问题中，一个空格只存在______闭回路，计算闭回路的目的是要计算解中_______。
5、若线性规划问题最优解不唯一，则在最优单纯形表上的非基变量的检验数___________。
6、为求解销量大于产量的运输问题，可虚设一个产地A m+1，它的销量等于_ 。
二、单项选择题1．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数0≤j σ，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
2．一个极大化的线性规划问题用单纯形法求解，若对所有的检验数0≤j σ，但对某个非基变量j x ，有0=j σ，则该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
3．在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（ ）。
A ．b 列元素不小于零； B ．检验数都大于零； C ．检验数都不小于零； D ．检验数都不大于零。
4．在运输问题中，每次迭代时，如果有某基变量的解值等于零，则该运输问题（ ）。
A ．无最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．有唯一最优解；D ．出现退化解。
5．若一个产销平衡运输问题的数据表的各元素都乘以常数k （k.>0）得到一个新的数据表，这一新数据表对应着一个新的产销平衡运输问题，则（ ）。
A ．新问题与原问题有相同的最优解；B ．新问题最优目标值大于原问题最优目标函数值；C ．新问题最优解等于原问题最优解加上k ；D ．新问题最优解小于原问题最优解。
6．如果要使目标规划实际实现值达到或超过目标值，则相应的偏差变量应满足（ ）。
运筹学习题集(第一章)
判断题判断正误，如果错误请更正第1章线性规划1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型X1+X2=100X1>=0,X2>=07.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.8.任何线形规划都可以化为下列标准型Min Z=∑C j X j∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，mX j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m9.基本解对应的基是可行基.10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中存在非基变量的检验数为0 C可行解集合无界D存在基变量等于03.使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：A （-1，1，-4）B（-1，-1，-4）C（1，1，4）D（1，-1，-4-）4.当线形规划的可行解集合非空时一定A包含原点X=（0，0，0……）B有界C 无界D 是凸集5.线形规划的退化基本可行解是指A基本可行解中存在为0的基变量B非基变量为C非基变量的检验数为0 D最小比值为06.线形规划无可行解是指A进基列系数非正B有两个相同的最小比值C第一阶段目标函数值大于0 D用大M法求解时最优解中含有非0的人工变量E可行域无界7.若线性规划存在可行基，则A一定有最优解B一定有可行解C可能无可行解D可能具有无界解E全部约束是〈=的形式8.线性规划可行域的顶点是A可行解B非基本解C基本可行解D最优解E基本解9.minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则A有惟一最优解B有多重最优解C有无界解D无可行解E存在最优解10.线性规划的约束条件为X1+X2+X3=32X1+2X2+X4=4X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是A（0，0，4，3）B（0，0，3，4）C（3，4，0，0）D（3，0，0，-2）计算题1.1 对于如下的线性规划问题MinZ= X1+2X2s.t. X1+ X2≤4-X1+ X2≥1X2≤3X1, X2≥0的图解如图所示。
运筹学20道习题
1．已知线性规划（15分）123123123max 3452102351,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧+-≤⎪-+≤⎨⎪≥=⎩0，（1）求原问题和对偶问题的最优解；（2）求最优解不变时c j 的变化范围36.解：（1）化标准型 2分 （2）单纯形法 5分（3）最优解X=(0，7，4)；Z ＝48 （2分） （4）对偶问题的最优解Y ＝（3.4，2.8） (2分)（5）Δc 1≤6，Δc 2≥-17/2，Δc 3≥-6，则 1235(,9),,13c c c ∈-∞≥-≥-(4分)2．某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足：（1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
3、请用表上作业法解下题，得到最优解,并计算此时总运费：现在有运价表如下:产地销地B1B2B3产量A1 5 1 6 12A2 2 4 0 14A3 3 6 7 4销量9 10 11 30 答案：根据上面运价表以及销量和产量的要求，使用表上作业法：5 1 62 4 03 6 79 10 11得到下面运输方案：检验空格：空格A检验：6 –(0+3) = 3 > 0空格B检验：7 – (3-2) = 6 > 0空格C检验：6 - (1-2) = 7 > 0空格D检验：4 – (1-3)= 6 > 0 故全部符合要求。
总运输费用：2×5 + 3× 2 + 4 × 3 + 10 × 1 + 11 × 0 = 38 答：上面的运输方案为最佳方案，总运费为38。
运筹学习题
P1 11. 判断下列说法是否正确：（a）图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；（b）线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；（c）线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；（d）如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；（e）对取值无约束的变量，通常令x j=x j′-x j〞，其中x j′≥0 , x j〞≥0 ,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x j′>0, x j〞>0 ；（f）用单纯形法求解标准形式的线性规划问题时，与бj >0对应的变量都可以被选作换入变量；（g）单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；（h）单纯形法计算中，选取最大正检验数бk对应的变量x k作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；（i）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；（j）线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；（k）若x1，x2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X 2 也是该线性规划问题的最优解，其中λ1 , λ2为正的实数；（l ）线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为min z=(ai ai ix x ∑为人工变量)，但也可以写为min z=i ai ik x ∑，只要所有k i 均为大于零的常数；（m ）对一个有 n 个变量 m 个约束的标准形的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为C m n 个；（n ）单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；（o ） 线性规划问题的可行解如为最优解 ，则该可行解一定是可行解；（p ） 若线规划问题具有可行解，切其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；（q ）线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。
运筹学习题
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝53x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3(2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2≤4 2x1＋4x2≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16x j≥0 （j＝1,2,3）x j≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4 st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3 st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16 x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束 x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
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销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1
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⎪- x 1 + 4x 2 - 3x 3 - 5x 4 = 9 ⎪2x 1 + 4x 2 - 3x 3 + 2x 4 = 15 ⎩⎩⎨- 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ≤ 12 ⎪3x 1 - x 6 = 0⎩ ⎩线性规划建模及单纯形法思考题主要概念及内容：线性规划模型结构（决策变量，约束不等式、等式，目标函数）；线性规划标准形式； 可行解、可行集（可行域、约束集），最优解；基、基变量、非基变量、基向量、非基 向量；基本解、基本可行解、可行基、最优基。
复习思考题：1、线性规划问题的一般形式有何特征？2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果反映建模时有错误？5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解、最优解、最优基本解的概念及 它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多 个最优解、无界解或无可行解。
8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？9、大 M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什 么？最大化问题呢？10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情 况下，继续第二阶段？ 作业习题1、将下列线性规划问题化为标准型max z = 3x 1 + 5x 2 - 4x 3 + 2x 4 ⎧2x 1 + 6x 2 - x 3 + 3x 4 ≤ 18（1） ⎪x 1 - 3x 2 + 2x 3 - 2x 4 ≥ 13⎨ ⎪x 1, x 2 , x 4 ≥ 0 min f = 3x 1 + x 2 + 4x 3 + 2x 4 ⎧2x 1 + 3x 2 - x 3 - 2x 4 ≤ -51（2） ⎪3x 1 - 2x 2 + 2x 3 - x 4 ≥ -7⎨ ⎪x 1, x 2 ≥ 0, x 4 ≤ 02、（1）求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）： ⎧2x 1 + 3x 2 + 3x 3 ≤ 6 ⎪ ⎪x 1, x 2 , x 3 ≥ 0（2）对下述线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基本可行解,并确定最优解. max z = 3x 1 + x 2 + 2x 3 ⎧12x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 3x 4 = 9 ⎪8x 1 + x 2 - 4x 3 + 2x 5 = 10 ⎨ ⎪x j ≥ 0( j 1,K K ,6)3、用图解法求解下列线性规划问题⎪x 1 ≤ 3 ⎨3x 1 - 5x 2 ≥ 15 ⎩⎩ ⎨x 1 + 4x 2 - x 3 ≤ 4 ⎩ ⎨- x 1 + x 2 ≤ 5 ⎨2x 2 - x 3 ≤ 12 ⎩ ⎩ ⎪2x 1+ x 2 + x 3 = 13 ⎪- x 1 + 5x 2 + x 3 ≤ 4 ⎩ ⎩ max z = x 1 + 2x 2⎧2x 1 - x 2 ≤ 6（1） ⎪3x 1 + 2x 2 ≤ 12⎨ ⎪x 1, x 2 ≥ 0min z = -x 1 + 3x 2⎧4x 1 + 7x 2 ≥ 56（2） ⎪⎪x 1, x 2 ≥ 04、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
max z = x 1 + 2x 2 - x 3 ⎧x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 6 ⎪ ⎪x 1, x 2 , x 3 ≥ 05、用单纯形法求解以下线性规划问题max z = 3x 1 + 2x 2 ⎧2x 1 - 3x 2 ≤ 3（1） ⎪⎪x 1, x 2 ≥ 0max z = x 2 - 2x 3⎧x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 12（2） ⎪⎪x 1, x 2 , x 3 ≥ 06、用大 M 法及两阶段法求解以下线性规划问题max z = x 1 + 3x 2 + 4x 3 ⎧3x 1 + 2x 2 ≤ 13 （1） ⎪x 2 + 3x 3 ≤ 17 ⎨ ⎪x 1, x 2 , x 3 ≥ 0 min f = x 1 + 3x 2 - x 3⎧x 1 + x 2 + x 3 ≥ 3（2） ⎪- x 1 + 2x 2 ≥ 2⎨ ⎪x 1, x 2 , x 3 ≥ 07、某工厂生产过程中需要长度为 3.1 米、2.5 米和 1.7 米的同种棒料毛坯分别为 200 根、100 根和 300 根。
现有的原料为 9 米长棒材，问如何下料可使废料最少？8、有 1，2，3，4 四种零件均可在设备 A 或设备 B 上加工，已知在这两种设备上分别 加工一个零件的费用如下表所示。
又知设备 A 或 B 只要有零件加工均需要设备的启动 费用，分别为 100 元和 150 元。
现要求加工 1，2，3，4 零件各三件。
问应如何安排使 总的费用最小。
试建立线性规划模型。
9、某造船厂根据合同从当年起连续三年末各提供四条规格相同的大型客货轮。
已知该 厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮成本如下表所示：已知加班生产时,每艘客货轮成本比较正常时高出 60 万元；又知造出来的客货轮若当年 不交货,每艘每年积压一年造成损失为 30 万元。
在签定合同时，该厂已积压了两艘未交 货的客货轮，而该厂希望在第三年未完成合同还能储存一艘备用。
问该厂如何安排每年客货轮的生产量，在满足上述各项要求的情况下总的生产费用最少？试建立线性规划模型，不求解。
线性规划问题的对偶及灵敏度分析思考题主要概念及内容：对偶问题，对称形式、非对称形式；对偶定理；对偶单纯形法；灵敏度分析。
复习思考题：1、对偶问题和它的经济意义是什么？2、简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3、什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4、如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5、利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量），其经济意义是什么？7、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量的检验数，其经济意义是什么？8、关于价值系数和资源常量单个变化对线性规划问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？有多少种不同情况？如何去处理？9、线性规划问题增加一个变量，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？如何去处理？10、线性规划问题增加一个约束，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？如何去处理？作业习题1、写出下列问题的对偶规划2、试用对偶理论讨论下列原问题与它们的对偶问题是否有最优解3、考虑如下线性规划（1）写出对偶规划。
（2）用单纯形法解对偶规划，并在最优表中给出原规划的最优解。
（3）说明这样做比直接求解原规划的好处。
⎨6x1+3x2+5x3≥10⎪x2-x3≤2⎪x+2x+x=8⎪⎪1⎪4x+x=12⎪⎩⎩其最优单纯形表为：⎩4、用对偶单纯形方法，求解下面问题min f=5x1+2x2+4x3⎧3x1+x2+2x3≥4（1）⎪⎪x1,x2,x3≥05、考虑下面线性规划max z=2x1+3x2⎧2x1+2x2+x3=1224⎨4x1+x5=1626⎪x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0max z=-x1-2x2-3x3⎧2x1-x2+x3≥4（2）⎪x1+x2+2x3≤8⎨⎪x1,x2,x3≥0试分析如下问题（1）分别对cj进行灵敏度分析。
（2）对bi进行灵敏度分析。
（3）当cj=时，求新最优解。
（4）当bi=时，求新最优解。
（5）增加一个约束，问对最优解有何影响？（6）确定保持当前最优解不变的P1的范围。
6、已知某工厂计划生产A1、A2、A3三种产品，各产品需要在甲、乙、丙设备上加工。
有关数据如下下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
试问：（1）如何充分发挥设备能力，使工厂获利最大；（2）若为了增加产量，可借用别的工厂的设备甲，每月可借用 60 台时，租金 1.8 万元， 问是否合算？（3）若另有两种新产品 A 4 、 A 5 ，其中每件 A 4 需用设备甲 12 台时、乙 5 台时、丙 10台时，每件获利 2.1 千元；每件 A 5 需用设备甲 4 台时、乙 4 台时、丙 12 台时，每件获 利 1.87 千元。
如 甲、乙 、丙 设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产是否合算？（4）增加设备乙的台时是否可使企业总利润进一步增加？7、已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如产品运输数据表 （1）运输问题数据表j0 (K) (G) 0 -5/4 (J)运输问题思考题主要概念及内容：运输问题、运输表、产销平衡；基本可行解；闭回路；位势；检验数；虚设产地（销地）；运输问题 建模。
复习思考题：1、运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于 ？2、用西北角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？3、最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案？4、试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？5、用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯 一的？6、试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
7、试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
8、如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
9、一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？ 作业习题1、某公司生产某种产品有三个产地 A1、A2、A3 ，要把产品运送到四个销售点 B1、B2、B3、B4去销售。
各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每吨产品的运费（百元）如下表所示。
问应如何调运，可使得总运输费最小?(1)、分别用西北角法和最小元素法求初始基本可行解；(2)、在上面最小元素法求得的初始基本可行解基础上，用两种方法求出非基变量的检验数； (3)、进一步求解这个问题。
2、用表上作业法求解下列运输问题:（2）运输问题数据表销地产地B 1B 2B 3B 4B 5产量3、某厂考虑安排某件产品在今后4个月的生产计划，已知各月工厂的情况如下表所示试建立运输问题模型，求使总成本最少的生产计划。
选择题1．当利用单纯形法计算某个线性规划问题时，若最终表人工变量不为零，则可以断言该性线规划问题（A）。
A．无可行解B．有无界解C．有多重解D．唯一解2．当利用对偶单纯形法计算某个目标函数极大化线性规划问题时，若右侧常数b<0，对应的a ij>0，i则可以断言该性线规划问题（A）。