21世纪的数学发展
21世纪的数学发展
21世纪的数学发展21世纪是数学发展的重要时期，众多的数学成果和突破在这个时期得以诞生。
在这篇文章中，我将讨论21世纪数学发展的几个重要方面。
首先，我们必须提到的是计算机技术的革命对数学发展产生了深远的影响。
随着计算机算力的提高，数学家们能够更加依赖计算机进行复杂的计算和模拟实验。
这种依赖性使得数学研究的范围大大扩展，许多传统上被认为无法解决的问题得以通过计算机的辅助得到解决。
例如，计算机在解决复杂的微分方程、优化问题和组合优化等方面的应用已经取得了巨大的进展。
此外，计算机的出现使得大规模数据的处理和分析成为可能，这为统计学和机器学习等领域提供了丰富的研究素材。
其次，21世纪数学发展的另一个重要方面是对抽象数学的研究。
抽象数学是一种以纯数学为基础的研究方法，通过对数学结构的研究，发展了许多重要的数学概念和理论。
例如，拓扑学、代数学和数论等领域在这个时期得到了迅猛的发展。
不仅如此，抽象数学的发展也使得数学与其他学科之间的交叉研究有了更加广泛的空间，例如计算机科学、物理学和生物学等。
这种跨学科的研究使得数学在解决实际问题中的应用更加广泛和深入。
第三，数学教育的和创新也是21世纪数学发展的重要方面。
在过去，数学教育主要侧重于记忆计算和应用技巧，而现在越来越多的教育者和学者开始重视培养学生的创造力和问题解决能力。
在这个时期，许多国家的数学教育都集中在培养学生的探究精神和创新意识上。
一些国家甚至将数学思维和解决问题的能力视为基本的核心能力。
这种变革为扩大数学人才的培养提供了更多的机会，也促进了数学领域的创新和发展。
最后，我想讨论的是数学在解决大型和复杂问题方面的应用。
21世纪面临了许多重大的挑战，例如气候变化、人口增长和城市化等。
这些问题都需要数学方法来分析和解决。
数学家们利用数学建模、优化方法和统计分析等技术，为这些问题提供了解决方案和决策支持。
例如，气候模型的建立和分析已经成为应对气候变化的重要手段，城市规划和交通流量优化等领域也受益于数学方法的应用。
《21世纪中国数学教育展望——大众数学的理论与实践》课题研究成果简述
《21世纪中国数学教育展望——大众数学的理论与实践》课题研究成果简述21世纪中国数学教育展望——大众数学的理论与实践一、数学教育的重大意义数学作为人类文明史上的一项重要科学学科，是尊重自然规律、以推理为基础的理性思维的重要代表。
在现代社会，数学教育也发挥着重要的作用，用以改变人们对生活中各种社会问题的态度和领域。
带领人们用理性思想去深入思考各种问题，提升人们对高等数学的理解能力，在近几年来都得到了深入研究和推广。
二、大众数学的理论与实践大众数学（popular mathematics）是一种重新定义数学的一种方式，它不仅将数学不再当作学术研究的工具，更多的是让普通人参与到数学的学习和活动中去，让数学真正普及到大众当中。
为了把大众数学的理论变为现实，我们需要做的第一步就是在一定的时间范围内让大家从基础入门，然后才能去学习更为深入的方式和思想，来接触隐藏在数学中深层次的东西，因此在数学教育中增加了“大众数学”的学习，便成为很重要的一环了。
另外，大众数学满足了学生们想要快速掌握数学知识，并迅速拓展应用视野，用自己的思维来解决各种实际问题的愿望。
三、数学教育的发展趋势近几年，大众数学的理论和实践在数学教育领域都得到了深入研究和推广，越来越多的学校开设了大众数学课程，并且注重给教师和学生尽可能灵活多样的方式去理解、学习和应用数学，使每一个学生都能从学习过程中获得最大收获。
此外，结合社会实际情况，跨学科学习也被重申是数学教育的重要方向，将数学学科与其他学科相结合，融入其他学科，有助于拓宽学生们的认知视野，培养其运用数学解决实际问题的能力。
总的来说，21世纪中国的数学教育必须以“大众数学”的理论为指导，跨学科学习也是必须内置的实践要求，这将有助于大众在数学学习上获得更高成就，拓宽认知视野，同时激发数学创新力量，数学在未来展现新的面貌，将有更多的可能性。
二十一世纪科技发展趋势
磁技术和原子能技术为中心的技术革 命以及目前正方兴未艾的以信息技术 为中心的技术革命 。
根据对一般系统进化的规律性认 识 , 把科技史作为预知未来的向导 , 对 21 世纪科学 、技术结构中心的转移大体 上可做出如下判断 :
新的科学革命存在可能性 。尽管我 们认为在 21 世纪初 , 可能不会产生新 的科学革命 , 但随着生命科学的发展 , 因其研究对象的极端精巧和复杂 , 以及 社会多种需求包括生存环境 、食物 、健 康 、福利等多方面需求的紧迫性 , 出现 科学问题的机遇最多 , 从而可能在 21 世纪中叶以后发展成为新的“科学革命 中心”。生命科学面临的主要问题是 :基 因的表达和调控 ; 蛋白质分子的折叠 ; 生物大分子的结构与功能 ; 细胞进行识 别与防御的机制 ; 生物体特别是神经系 统的发育和工作机理 ; 植物的光合作用 等。
3. 跨门类科学与技术整合化 在整个科学技术的结构中 , 最大的 门类莫过于自然科学和社会科学 、物质 技术和社会技术 。这类跨门类科学和技 术必将汇流 , 以致在更深层次上融合 。 六七十年代兴起的世界性环境与发展 运动 , 促进自然科学与社会科学走向大 综合 , 并导致环境科学等综合性科学的 诞生 。新近兴起的工业生态学 、人类生 态学等又为这种整合展示了美好的前 景 。在本源上 ,人类社会就属于自然界 , 生存于自然界 , 社会现象本质上就是一 种高级的自然现象 。因此 , 自然科学和 社会科学内部蕴含着共性 , 包括研究客 体的一致性 , 基本的科学概念 、理论的 类似性和逻辑的同型性 。相应地 , 物质 技术 (自然技术) 和社会技术 ———社会 科学的应用 、社会组织和管理方法的总 和 ———也发展成为庞大的复杂系统 , 称 为大技术系统 。人类社会活动 、持续发 展必将致使这两大门类技术的整合 。跨 门类科学和技术整合化 , 对于建构新的 哲学认识论和方法论具有重要的意 义 。过去 ,在长期分化科学 、技术基础上 建立的经典哲学认识论和方法论有其 局限性 , 而跨门类科学 、技术的整合化 必将给未来哲学增添崭新的内容 。 4. 科学与技术一体化 科学史表明 , 直到 19 世纪中叶 , 自 然科学与物质技术的关系才开始变得 密切起来 , 以至形成了共生关系 。在严 格意义上的社会科学也经历了约 200 年的发展 , 与之有密切联系的社会技术 发端更早 。在 20 世纪里 ,科学与技术一 体化趋势已开始显现出来 , 即科学技术 化 、技术科学化并且彼此紧密相依 。在 未来 , 科学与技术一体化或整体化趋势 将会增强 , 即科学子系统之间发生相互 作用而产生整体效应 , 并显示出更多的 社会功能 , 对人类社会的发展产生巨大 的推动作用 。生命科学技术可能成为科 学与技术一体化的杰出代表 。 ■
函数的发展历程
函数的发展历程一、古希腊时期古希腊数学家希腊斯科特·伯涅劳斯（Scctonius）在公元前4世纪就提出了函数的概念。
他用字母表示一个量，并用等式将这个量和另一个量联系在一起。
例如，他用f(x)表示x的平方，即f(x)=x^2。
但是，他并没有将函数作为独立的数学概念来看待，只是作为一种辅助工具。
二、17世纪17世纪是函数发展的重要时期。
著名数学家斯特林（Stevin）在其著作《五十个数学问题》中提出了函数的概念。
他指出，函数是一种可以用数学公式表示的规律，即f(x)=x^2。
三、18世纪18世纪是函数发展的关键时期。
著名数学家莫尔（Leibniz）在公元1694年提出了微积分的概念。
他认为，微积分是一种研究变化的工具，可以用来研究连续函数的变化。
这为函数研究开辟了新的天地。
四、19世纪19世纪是函数发展的全盛时期。
著名数学家高斯（Gauss）在公元1801年提出了高维空间的概念。
他认为，高维空间是一个可以用函数表示的数学模型，即可以用函数来描述多维空间的性质。
这为函数的研究提供了更加广阔的空间。
五、20世纪20世纪是函数发展的高潮时期。
著名数学家华罗庚（Huang Qiu-Guang）在公元1943年提出了泛函分析的概念。
他认为，泛函分析是一种研究函数性质的数学方法，可以用来研究连续函数和离散函数的性质。
这为函数的研究提供了更加丰富的内容。
六、21世纪21世纪是函数发展的新时期。
计算机技术的发展使得函数在计算机科学和工程领域中发挥着越来越重要的作用。
函数也被广泛用于数据挖掘和人工智能领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。
综上，函数作为一种独立的数学概念，在古希腊时期就已经提出，但是直到17世纪才得到正式的定义。
随着时间的推移，函数在数学和工程领域的应用越来越广泛，为科学技术的发展做出了巨大贡献。
世界数学发展史
世界数学发展史数学，这个看似平凡的词汇，实则包含了宇宙的秘密和秩序。
它是科学的基础，也是工程的关键，更在我们的日常生活中无处不在。
回望历史，数学的发展历程充满了神奇的色彩和深厚的智慧。
一、古代数学：文明的基石古埃及、古希腊、古罗马等古代文明，都为数学的发展做出了巨大的贡献。
早在公元前3000年，古埃及人就已经开始使用数学来管理他们的农业和商业事务。
他们的数学知识主要基于实际应用，如测量土地、计算税收等。
古希腊人对数学的理解达到了全新的高度。
他们对数学的研究并非出于实际需求，而是为了探索和理解自然世界。
柏拉图、亚里士多德等哲学家都为数学的发展提供了新的思想和理论。
尤其是欧几里得，他的《几何原本》奠定了数学的基本原理和公理体系。
同时，古印度人和阿拉伯人也对数学的发展做出了重要的贡献。
他们发展了算术和代数，为数学的科学化奠定了基础。
二、中世纪数学：照亮黑暗的明珠中世纪时期，欧洲的数学发展受到了基督教教义的影响，但在科学家和学者的努力下，仍然取得了显著的进步。
这个时期的代表性人物是阿基米德和牛顿。
阿基米德发明了许多重要的数学工具，如微积分和杠杆原理，为物理学的发展提供了重要的支持。
三、现代数学：探索未知的宇宙进入现代社会，数学的发展更加迅速和深入。
微积分、概率论、线性代数等新的数学理论和工具不断涌现，为人类探索未知世界提供了更加强大的武器。
同时，计算机科学的兴起也为数学的应用提供了更广阔的平台。
从天气预测到基因编辑，从物理研究到金融建模，现代数学已经渗透到我们生活的每一个角落。
现代数学还在其他领域取得了显著的突破。
例如，数论和代数学的发展为我们理解整数和质数的性质提供了更深层次的认识。
几何学的发展让我们可以更深入地理解空间和形状的本质。
统计学则帮助我们理解和解释大量数据背后的规律和趋势。
四、未来的数学：无限可能随着科技的不断进步和创新，数学的发展也将永不停步、大数据、量子计算等新兴领域的发展将为数学带来新的挑战和机遇。
数学发展简史
人类进入原始社会，就需要数学了，从早期的结绳记事到学会记数，再到简单的加减乘除，这些都是人类日常生活中所遇到的数学问题。
数学是有等级的，就像自然数的运算是小学生的水平一样，超出了这个范围小学生就不能理解了。
像有未知数的运算小学生就无从下手一样，数学的发生发展也是从低级向高级进化的，人类最早理解的是算数，经过额一段时间的发展算数发展到了方程、函数，一级一级的进化，才发展到了现代的的数学。
人类数学的发展做出较大成就的是古希腊时期，奇怪的是古希腊对数的运算并不突出，反而是要到中学才能学到的几何学在古希腊就奠定了基础，学过几何的人对欧几里得不会陌生，欧几里得是古希腊人，数学家，被称为“几何之父”。
他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。
欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
在古希腊教育中几何学占有相当重要的地位，柏拉图提倡的希腊六艺就包括几何，后来希腊文化衰落了，希腊被入侵，希腊图书馆的藏书被掠夺了，被阿拉伯人保存了。
有这么一个说法，是阿拉伯人对希腊语与拉丁语文献的保留，才让欧洲人得以返过来取经，找回“失落”的希罗文化。
其中包括柏拉图学说和欧几里得几何。
经过了中世纪的黑暗，欧洲找回了古希腊古罗马文化，才有了欧洲的文艺复兴。
在算术上，阿拉伯人对数学的贡献是现在人们最熟悉的1、2、……9、0十个数字，称为阿拉伯数字。
但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要吸收、保存了希腊和印度的数学，并将它传给欧洲。
阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的数学记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。
代数这门学科名称就是由阿拉伯人发明的。
阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，我们数数的时候都是从1开始的，标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。
他们最早用黑点“·”表示零，后来逐渐变成了“0”。
关于21世纪中国数学教育改革的若干认识与思考
关于21世纪中国数学教育改革的若干认识与思考
21世纪是信息时代，数学教育改革也必须跟随时代的步伐进行。
数学是一门重要的基础学科，具有启迪思维、培养逻辑思维和创新能力的作用。
随着信息技术的飞速发展和全
球化的推进，世界各国争相实施面向未来的数学教育改革，提高学生的数学素养和创新能力。
在这样的背景下，中国的数学教育改革也越来越重要。
一方面，教育体制的改革是必要的。
学生需要在异质化的学习环境中得到专业化的服务，因此高中如何与初中以及小学、还有大学教育相配合，是一个迫切需要解决的问题。
同时，以往的教育体制强调应试而轻视素质教育。
这种应试教育体制不仅制约了学生的创
新能力与思维水平，也限制了教师的教学素质。
因此，数学教育的改革必须颠覆一些固有
的教育体制。
最后，要注意创新与实践。
数学思想和方法是深入理性和几何学科发展的基础，创新
和实践是数学人思考和发展的基础。
因此教育者应鼓励学生积极参加数学竞赛，学生应鼓
励钻研数学理论并通过实践加深对数学知识的理解，来提高自己的技能并成为其中一员。
在这样的背景下，中国数学教育改革需与时俱进，走在全球化和信息化的前列，吸收
先进的教育理念和方法。
同时，国家应注重建设数学人才队伍，营造良好的数学教育环境，提高教育的专业化和人才素质，为全面实现中国数学教育的现代化、素质化与国际化打下
基础。
数学发展和人类文明
数学发展和人类文明数学是与人类文明密不可分的一个学科，从古至今，数学的发展一直伴随着人类社会历史的进步。
本篇文章将从数学的发展史、数学应用于人类文明的方方面面、数学的未来发展等三个方面浅谈数学发展与人类文明的关系。
一、数学的发展史数学作为一个独立的学科起源于古代，人类为了方便计数而发展了基本的算术，而后又发展了几何学和代数学。
在欧洲，“数学母亲”希腊的出现使之从宗教的束缚中逐渐走向独立发展，欧洲数学学派也由此成型，牛顿、莱布尼兹、欧拉、高斯等一系列伟大的数学家和数学思想的诞生，标志着数学成为一个独立的科学学科。
20世纪，随着计算技术的发展，计算数学、统计学等新的分支不断涌现，数学的领域也得到了进一步扩展，丰富了数学的内涵，使数学的应用面更加广泛。
二、数学在人类文明中的应用数学的应用范围非常广泛，并与人类社会的各个领域密不可分。
在工程领域中，数学在电子技术、通讯技术、计算机技术等领域的应用促进了工业技术的发展，提高了生产效率，改善了人类生活。
在经济领域，数学在金融衍生品的设计、交易策略与监控等方面大有用武之地，日积月累地推进了现代金融体系的完善，同时也为政府实现经济调控提供了强大的数学工具。
在自然科学领域，汇率许多自然现象的分析和模拟也离不开数学的支持，地球模型、天体运动，气象等方面的预报都需要整合查询大量数据，使用合理的数学模型来进行计算，进行科学揭示。
总之，数学的应用远不只于此，不同领域数学的应用各自展现了数学在这些领域内的独特价值。
三、数学的未来发展随着科学技术的不断突破，未来的数学一定不会停滞不前。
日益完善的计算机技术使得数学发展有了全新的方向。
未来，数学的任务之一就是研究人类生活中涉及庞大数据统计和分析的问题，研究应用于多领域的新算法，如区块链、机器学习等等。
此外，数学理论的不断发展，为科学技术的高速发展注入了源源不断的动力，也对人类文明的进步和发展贡献了很多。
结语：进入21世纪，人类社会面临着很新的空前的机遇与挑战。
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世纪的数学展望丘成桐时空统一颂时乎时乎逝何如此物乎物乎繁何如斯弱水三千岂非同源时空一体心物互存时兮时今时不再屿天兮天兮天何多容亘古恒迁黑洞融融时空一体其无尽耶大哉大哉宇宙之谜美哉美哉真理之源时空量化智者无何管测大块学也洋洋在新世纪开始，全世界科学家对这个新时代的来临，有着无比的兴奋，期待着人类有史以来最新的发现。
数学是所有推理学问的基础，我希望在这个演讲里能够指出今后数学发展的一些线索。
由希腊数学家发展欧氏几何的公理系统开始，人类对严谨的三段论证方法才有实体的认识，影响所及，凡是需要推理的学问都与数学有关，推理的学问可分物理科学、工程科学和社会科学。
数学和工程科学乃是社会科学的基础，理论物理乃是工程科学的基础，数学乃是理论物理的基础。
人类科技愈进步愈能发现新现象，种种繁复现象使人极度迷惘（例如：湍流问题、黑洞问题）。
但是主宰所有现象变化的只是几个小数的基本定律。
标准模型统一了三个基本场：电磁场、弱力、强力，但是重力场和这三个场还未统一。
重力场由广义相对论描述，是狭义相对论和牛顿力学的统一理论而形成的，这是爱因斯坦最富有想象力的伟大创作。
爱因斯坦方程是Rij－(R/2)gij＝Tij其中gij是测度张量（引力场）；Tij是物质张量；Rij是里奇曲率张量。
弦理论企图统一重力场和其他所有场。
在21世纪，基本数学会遇到同样的挑战：基本数学的大统一，只有在各门分支大统一时，所有分支才会放出灿烂的火花，每一门学问才会得到本质上的了解。
数学的大统一将会比物理的大统一来得基本，也将由统一场论孕育而出。
近代弦论的发展已经成功地将微分几何、代数几何、群表示理论、数论、拓扑学相当重要的部分统一起来。
数学已经由此得到丰富的果实。
大自然提供了极为重要的数学模型，以上很多模型都是从物理直觉或从实验观察出来的，但是数学家却可以用自己的想象，在观察的基础上创造新的结构。
成功的新的数学结构往往是几代数学家共同努力得出的成果，也往往是数学中几个不同分支合并出来的火花。
几何和数字（尤其是整数）可说是数学里最直观的对象，因此在大统一中起着最要紧的作用。
20世纪的数论学家通过代数几何的方法已经将整数方程的一部分与几何结合，群表示理论亦逐渐与数论和几何学结合。
每次进步都有结构性的变化，例如算术几何的产生。
在这20年间，拓扑学和几何已经融合。
三维空间和四维空间的研究非懂几何不可。
瑟斯顿（Thurston）的猜测，是在三维空间上引用几何结构，这些创作新结构的理论有划时代的重要性，正等如19世纪引用黎曼曲面的概念一样重要。
分析和几何亦逐渐融合，到目前为止，微分方程在复几何和拓扑学上有杰出的贡献。
通过分析方法，陈氏类、霍奇理论、阿蒂亚一辛格指标定理和我们在复流形上构造的凯勒-爱因斯坦度量，在代数几何中解决了重要的问题。
最近哈密顿（Hamilton）的里奇流（R icci flow）可能解决瑟斯顿的猜想。
在四维空间上，唐纳森（Donaldson）利用陶布斯（Taubes）、乌伦贝克（Uhlenbeck ）的规范场上的存在性定理得到四维拓扑的突破。
上述工作和唐纳森-乌伦贝克-丘在杨-米尔斯的工作都与弦理论息息相关。
事实上弦理论提供了极为重要的讯息，使得古典的代数几何得到新的突破。
我们期望弦理论、代数几何、几何分析将会对四维拓扑有更深入的了解。
在21世纪的数学里，三维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进人一个尽情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流形将会有更彻底的理解。
我们希望霍奇猜测会得到圆满的解决，从而得知一个拓扑子流形什么时候可以由代数子流形来表示。
同样的问题也适用于向量丛上。
由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代替代数流形。
现在举一个理论物理、数学和应用科学上的共同而重要的问题：基本物理上的分级（hierarchy）问题，是一个能标（scale）的问题。
引力场和其他力场的能标相差极远，如何统一，如何解释？在古典物理、微分方程、微分几何和各类分析中亦有不同能标如何融合的问题。
在统计物理和高能物理中，用到所谓重正化群（renormalization group）的方法，是非稳定系统的一个重要工具。
如何用基本的方法去处理不同能标是应用数学中一个重要问题。
纯数学将会是处理不同度量的主要工具。
而事实上，纯数学本身亦有不同度量的问题。
在微分方程或微分几何遇到奇异点或在研究渐近分析时，炸开（blowing up）分析是一个很重要的工具，而这种炸开的工具亦是代数几何中最有效的工具。
在非线性微分方程中，我们需要更进一步地做定性和定量的分析来研究由炸开得出来的结果，因此对不同能标的量得到进一步的认识。
微分几何的张量分析（曲率张量）在多重尺度（multiscale）分析中应该会有重要的应用，因为即使在同一点上，有不同方向的变化，而此种变化亦应当受到能标的影响。
当一个图（graph）逼近一个几何图形或微分方程的解时，多重尺度分析极为重要，如何解决这些问题无论在纯数学和应用数学都是重要的问题，我希望研究离散数学的学者亦注意到这一点。
近代弦论发现有不同的量子场论可以互相同构（isomorphic）然而能标刚好相反（R←→l/R）因此一个强耦合常数（coupling constant）的理论可以同另一个弱耦合常数的理论同构，而后者可以从渐近分析理论来计算。
由于R←→l/R这种奇妙的对称可以保持量子场论的结构，使得我们可以用扰动性（pe rturbation analysis）的方法去计算非扰动的场论，在数学上得到惊人的结果。
更要注意到的一点是时空的结构可能因此有基本上的观念的改变能标。
极小的空间不再有意义。
时空的量子化描述需要更进一步的探讨。
物理学家和几何学家都希望能够找寻一个几何结构来描述这个量子化的空间。
有不少学者建议用矩阵模式来解释这种现象，虽然未能达到目标但已得到美妙的数学现象。
约在200年前，高斯发现高斯曲率的观念而理解到内蕴几何时，就感叹空间的观念与时而变，和人类对大自然的了解有密切的关系。
这20年来，超对称的观念深深地影响着基本物理和数学的发展，在实验上虽然尚未发现超对称，但在数学上却起着凝聚各门分支的能力，我们宁可相信在极高的能量时，超对称确实存在，但如何看待超对称在现实时空中的残余，应当会是现代应用物理和应用数学的一个重要命题。
举例来说，在超对称的结构中，规范场和电磁场会与完全不相关的子流形理论同构，是否意味着这种日常能见的场论可以用不同的手法来处理？种种不同的现象显示，弦论、几何、群表示理论逐渐会与算术几何接近。
在所谓阿拉克洛夫（Arakelov）理论中，除了在复数上定义的代数空间外，还需要考虑特征为p的代数空间，才能够对算术空间有完满的了解，是否表示它们能够帮助我们了解现实世界的问题？由镜对称的观点来看，数论上的L函数和伯奇-斯温纳顿-戴尔猜测有没有其他解释？数学中有所谓的对偶（duality）的现象，比如有如下关系：迹公式→自守形式（automorphic form）→群表示理论，数论这个环面（torus）的对偶正是弦理论对偶的基础，现代数论的一个最重要的环节叫朗兰兹理论，也有对偶的问题，与代数几何和表示理论有密切的关系。
希望能够与这一系列的想法也挂钩。
另一个重要的概念是对称（symmetry）。
群的观念在自然界中普遍存在，小群（如镜对称，雪花的对称）、连续群（又称李群，物理上用途）、非紧离散群（在数论和几何上的用途）以及无限维对称（规范场中的规范群）。
种种不同对称的观念在20世纪后半期的理论科学有基本贡献。
对偶比对称更广义，不同理论的基本同构将是21世纪的一个重要命题。
对称的观念可说是基本科学中最基本的工具，但是“运用之妙，存乎一心”，在于作者的经验和直觉。
21世纪基本科学的基本命题：如何将对称的物理基本现象与非对称的世界联合？对称破缺（symmetry breakins），众生色相，何由而生？基本的物理定律是时间对称（time symmetric）的，为何我们担忧时光消逝？因为直观世界是时间对称的。
由时间对称的定律来解释直观世界是现代数学和物理的一个重要问题。
热力学第二基本定律说，随机性（randomness）随时间而增，熵随时间而增。
这是一个奇妙的定理，到如今还未得到彻底了解。
时间的箭头在广义相对论中是一个重要的题目。
彭罗斯（R．Penrose）和霍金（S．H awking）都花了很多时间讨论。
这是因为爱因斯坦方程对时间来说是对称的，然而在现实世界，时间是不对称的。
熵的研究在现代物理和现代数学都起了极重要的作用。
湍流的问题，将是其中一个例子。
流体力学中的奇异点和边界层（boundary layer）都需要大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解释？在某种意义下，基本的方程式或基本的物理现象用数学形式表达出来时，是用等式来表达。
但往往在彻底研究这种等式以前，不等式会产生，同时起着无比的重要性。
波浪的重叠，最后产生的可以是极为光滑的波。
如何控制这种现象要依靠好的不等式。
也是一切分析和应用数学的精华。
叠加性质（superposition）是线性方程的特征，在研究非线性可积方程时，也有非线性的叠加。
一般而言，有没有办法由少数的解来产生新的解是一个重要的问题。
非线性现象是21世纪的研究对象。
由稳态（stationary）的物理现象到动态（dynamical）的物理现象，会遇到极为困扰而又刺激的数学问题。
在方程的观点来说，椭圆方程过渡到抛物型，到双曲型到混合型的方程组，有极度困难的奇异点处理问题，在物理上有震波的处理问题，既要研究估值，又要研究物理意义，又希望大型计算机能够帮忙。
高维空间的非线性波和各种物理几何的关系将会影响这几十年的应用数学，其中有孤立子的现象，有震波现象，多种粒子在非线性的互动时得出的宏观现象，方程带有随机变量时的处理将会是应用数学的重要题目。
很多古典的方法或近代物理的方法应当可以应用到离散问题上去。
大型的网络极为复杂，如何有效地传播讯息，如何寻找资料，提供了数学极有意义的问题。
图像处理和计算几何更是一个计算机、几何、组合数学结合的好地方，在医学上有重要的贡献，自动控制论和上述种种应用都会结合，要得到最有效的用途需要数学家密切合作。
当微分方程、几何和组合数学真正大统一时，应用数学会有大进步。
有宏大胸襟的数学家会在前进途径上创造新的结构来因应这个统一的使命，来了解不同的数学分支。
单靠程序和计算的数学即使有短暂的生长力量，不会有深远的影响。
如何解释由计算得出来的现象，如何与物理和工程的现象相吻合，如何利用计算结果作有意义的预测，乃是计算数学的目标。
因此理想的应用数学家，应该有数学家的根基，有物理学家和工程学家的眼光和触角。
由于应用科学的产生，所有连续性的数学理论或存在性定理，都有定量的逼近问题，因此产生很多有意义的新的数学。