第六章偏导数与全微分(专升本微积分)
偏导数和全微分的关系
偏导数和全微分的关系在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨偏导数和全微分的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义偏导数是指函数在某一点处关于其中一个自变量的变化率。
设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点$(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{Delta x_ito0}frac{f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_i^0+Delta x_i,cdots,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)}{Delta x_i}$$其中 $Delta x_i$ 是 $x_i$ 的增量。
二、全微分的定义全微分是指函数在某一点处的微小变化量。
设函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 在该点的全微分为：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$其中 $dx_i$ 是 $x_i$ 的微小增量。
三、偏导数和全微分的关系对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，偏导数和全微分之间有以下关系：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$全微分 $df$ 可以看作是各个偏导数的线性组合。
这个公式可以被看作是对 $f$ 的微小变化的一种描述。
偏导数与全微分
若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
06第6章 偏导数与全微分
两个向量减法的三角形法则:将向量 a 与 b 的起点重合,则从 b 的 终点到 a 的终点的向量就是向量 a 与 b 的差 a-b. (如图 6-6).
b a 图 6-4 a+b a+b b a 图 6-5 图 6-6 b a-b a
向量加法满足的运算规律: 交换律:a+b=b+a 结合律(a+b)+c=a+(b+c)
z z
Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅱ
yOz平面 xOz平面
o
xOy平面
x
y
Ⅶ
O Ⅵ Ⅴ
y
xⅧ图 6-1 Nhomakorabea图 6-2
空间直角坐标系中的点 M 的坐标为有序数组 (a, b, c) , 其中 a, b, c 分别称为横坐标、纵坐标和立坐标.
6.1.2
1.向量的基本概念
向量的概念及其线性运算
向量:既有大小又有方向的量称为向量(或矢量),如速度、 位移等. 向量的表示:用黑体小写的字母表示向量，如a ,b ,c 等， 也用 a, b, c 等表示向量.在几何上,向量可用从起点到 终点的有向线段来表示.如：向量AB （如图 6-3）. 向量的模:有向线段的长度表示向量的大小,称为向量的 模, 记作 AB 或a , 向量的方向:有向线段的方向表示向量的方向. A B
第6章
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
偏导数与全微分
空间直角坐标系与向量的概念 多元函数的极限与连续 偏导数 全微分 多元函数的极值
6.1 空间直角坐标系与向量的概念
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 空间直角坐标系 向量的概念及其线性运算 向量的坐标表示 向量的点积与叉积 内容小结
偏导数与全微分的计算
偏导数与全微分的计算在微积分中，偏导数与全微分是重要的概念和工具，用来描述函数在不同方向上的变化率和近似值。
本文将介绍偏导数与全微分的计算方法及其应用。
一、偏导数的计算偏导数用来计算函数在某一变量上的变化率，而其他变量保持不变。
计算偏导数的方法可以通过对该变量求导来实现。
以二元函数为例，假设有一个函数f(x, y)，我们想要计算它关于x的偏导数。
可以通过以下步骤来进行计算：1. 将函数f(x, y)视为关于x的函数，将y视为常数；2. 对x求导，即将y视为常数进行求导运算；3. 求导后得到的结果即为函数f(x, y)关于x的偏导数。
同样地，如果我们想要计算f关于y的偏导数，可以将函数f(x, y)视为关于y的函数，将x视为常数，然后对y求导。
二、全微分的计算全微分描述了函数在某一点上的微小变化，可以用于近似计算函数值的变化。
全微分的计算可以通过以下步骤来实现：1. 将函数f(x, y)进行展开，得到函数的微分形式；2. 将微分形式中的dx和dy代入函数的具体值；3. 计算展开后的函数值，得到函数在某一点上的全微分。
具体地，在计算全微分时，可以使用以下公式来表示：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f关于x和y的偏导数，dx和dy表示自变量的微小变化量。
三、应用实例偏导数和全微分在许多领域中都有广泛的应用。
以下是两个应用实例：1. 物理学中的运动学在物理学中，偏导数和全微分常常用于描述物体在空间中的运动。
通过计算速度和加速度的偏导数，可以获得物体在不同时间点上的运动状态。
全微分则可用于近似计算物体在某一时刻的位移。
2. 经济学中的边际效应在经济学中，偏导数和全微分常常用于计算边际效应。
通过计算函数对某一变量的偏导数，可以了解某一因素对函数值的影响程度。
全微分则可用于近似计算函数值的变化量。
总结：偏导数和全微分是微积分中重要的概念和工具，用于计算函数的变化率和近似值。
偏导数和全微分
偏导数和全微分偏导数和全微分是微积分中一些重要的概念，用于描述多变量函数的变化情况和进行近似计算。
我们来看偏导数。
在一元函数中，导数描述了函数在某一点上的变化速率，而在多元函数中，一个变量的变化并不仅仅受到其他变量的影响，而是受到多个变量的共同影响。
我们需要引入偏导数，用于表示多元函数中一个变量的变化情况。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中各个变量都是相互独立的，我们可以对其偏导数进行求解。
对于变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他变量保持不变的情况下，函数关于xi的变化速率。
偏导数与导数类似，可以用极限的定义来解释。
对于变量xi，其偏导数可以通过限制其他变量，并将函数看作一元函数进行求解，然后取极限得到。
例如，对于函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) - f(x, y))/Δx。
我们来看全微分。
全微分是对多元函数进行近似计算的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为变量的微小增量。
全微分的含义是，当各个变量的微小增量dx1, dx2, ..., dxn趋于0时，函数f的微小增量df与各个偏导数的乘积之和趋于一致。
全微分可以看作是函数在某一点上的线性近似，用于描述函数在该点附近的变化情况。
全微分也可以通过偏导数的极限定义来求解，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn = lim(Δx1→0, Δx2→0, ..., Δxn→0) (f(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) - f(x1, x2, ..., xn))。
总结起来，偏导数用于描述多元函数中一个变量的变化速率，而全微分用于对多元函数进行近似计算。
偏导数与全微分的概念与应用
偏导数与全微分的概念与应用在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将对偏导数和全微分的概念进行解释，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的概念偏导数是多元函数的导数的一种扩展。
对于一个函数，当它有多个变量时，我们可以将其中的一个变量视为其他变量的常数，然后对该变量求导数，这就是偏导数。
数学上，对于一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，它的偏导数表示为$\frac{{\partial f}}{{\partialx_i}}$，表示在其他变量固定的情况下，函数$f$关于变量$x_i$的变化率。
二、全微分的概念全微分是函数在某一点附近的线性逼近。
对于一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，在某一点$(x_1,x_2,...,x_n)$处，其全微分表示为$df=\frac{{\partial f}}{{\partial x_1}}dx_1+\frac{{\partial f}}{{\partialx_2}}dx_2+...+\frac{{\partial f}}{{\partial x_n}}dx_n$。
全微分可以表示函数在该点附近的微小变化。
三、偏导数与全微分的应用1. 最优化问题在最优化问题中，偏导数和全微分是非常重要的工具。
通过求取偏导数，我们可以找到函数的极值点。
全微分可以帮助我们理解函数在极值点处的行为，并判断其是否为极值点。
2. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
偏导数和全微分可以用于推导泰勒展开的形式，从而更好地理解函数的性质和行为。
3. 物理学中的应用偏导数和全微分在物理学中也有广泛的应用。
例如，在力学中，速度、加速度等物理量通常与时间和位置有关，通过对这些物理量求偏导数，我们可以得到在某一时刻的速度和加速度。
全微分可以用于描述物理量在微小变化下的行为。
4. 经济学中的应用经济学中的边际分析常常需要用到偏导数和全微分。
全微分和偏导数
全微分和偏导数是微积分中的重要概念。
它们分别用来描述函数在某一点处的变化和变化率，具有广泛的应用。
本文将从基本概念入手，逐步探讨的性质和应用。
微分的概念可以追溯到17世纪，牛顿和莱布尼茨是微积分的奠基人。
在微分学中，微分是函数在某一点处的近似线性变化的表示。
全微分是一种更加精确的描述，它在数学上可以通过偏导数来表示。
首先，我们来介绍偏导数。
偏导数是多元函数对各个自变量的导数。
对于一个多元函数而言，存在多个自变量，而偏导数只考虑其中一个自变量的变化对函数值的影响。
以二元函数为例，如果函数z=f(x,y)，则f对x的偏导数记作∂f/∂x，表示函数在不改变y的情况下，对x的变化的敏感程度。
偏导数的求法与普通导数类似，只是要将其他自变量视为常数进行计算。
例如，对于函数z=3x^2+2y，其对x的偏导数为∂z/∂x=6x，对y的偏导数为∂z/∂y=2。
偏导数可以看作是函数在某一方向上的变化率，例如∂z/∂x表示函数在x方向上的变化率。
全微分提供了更加精确的描述函数变化的工具。
全微分是函数的线性逼近。
对于函数z=f(x,y)，全微分为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
其中dx和dy分别表示自变量x 和y的变化量。
全微分可以理解为函数值的增量与自变量的增量的线性组合，它描述了函数在某一点的变化情况。
全微分可以进一步扩展到多元函数的情况。
对于函数z=f(x_1,x_2,...,x_n)，其全微分为dz=∂z/∂x_1*dx_1+∂z/∂x_2*dx_2+...+∂z/∂x_n*dx_n。
全微分在物理学、经济学和工程学等领域具有广泛应用。
例如在物理学中，全微分可以用来描述物理量之间的关系。
在经济学中，全微分可以用来分析边际效应和弹性等概念。
在工程学中，全微分可以用于设计优化和系统控制等问题。
是微积分中相互关联的概念。
全微分提供了更加精确的函数变化描述，而偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
它们在研究函数的性质、优化问题和建立数学模型等方面有着重要的作用。
偏导数与全微分的概念与计算
偏导数与全微分的概念与计算在微积分中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在各个科学领域中都有广泛的应用，尤其在物理学、经济学和工程学等领域中更是不可或缺的工具。
本文将介绍偏导数和全微分的基本概念，并探讨它们的计算方法和应用。
一、偏导数的概念与计算在多元函数中，如果我们只关注某一个变量对函数的变化率，而将其他变量视为常数，那么我们就可以引入偏导数的概念。
偏导数表示了函数在某个特定方向上的变化率。
对于一个函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，它的偏导数可以用以下符号表示：$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$其中，$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$表示对于变量$x_i$的偏导数。
例如，对于一个二元函数$f(x, y)$，它的偏导数可以表示为$\dfrac{\partial f}{\partial x}$和$\dfrac{\partial f}{\partial y}$。
计算偏导数的方法与计算普通导数的方法类似。
对于一个以$x_i$为变量的函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，我们只需要将函数中所有不含$x_i$的变量视为常数，然后对$x_i$求导即可。
例如，对于函数$f(x, y) = x^2y + \sin(xy)$，我们先计算$\dfrac{\partial f}{\partial x}$，将变量$y$视为常数，得到：$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy)$同理，计算$\dfrac{\partial f}{\partial y}$，将变量$x$视为常数，得到：$\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\cos(xy)$通过计算偏导数，我们可以了解函数在不同方向上的变化率。
这对于优化问题、最小二乘法等应用非常重要。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (u,v) u3 2uv 3v2
令u 1 , v 2 则 xy
f (1 , 2 ) (1 )3 2(1 ) ( 2 ) 3( 2 )2
xy x
xy y
1 4 12 x3 xy y2
例3.设f
(x
y,
y )
x2
y2 ,求f
同理可定义三元函数及n元函数
例1：求函数z ln( y x)
x 的定义域
1 x2 y2
yx0 解：由 x 0
yx
x0
1 x2 y2 0 x2 y2 1
定义域为：
D( f ) (x, y) x2 y2 1且y x且x 0
y x
01
对应关系的求法同一元函数
例2：设f (x, y) x3 2xy 3y2,求f ( 1 , 2 ) xy
2z x 2
f
xx
(
x,
y
),
2z y 2
f
yy
,
2z xy
f xy ( x, y),
2z yx
f yx( x, y)
其中 2z , 2z 称为二阶混合偏导数 .
xy yx
1
二元函数z f (x, y)的偏导数z , z 仍然是
x y
x, y的二元函数
2 若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，
f y( x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0
y) y
f ( x0 ,
y0 )
lim f ( x0 , y) f ( x0 , y0 )
y y0
y y0
f y(0,0)
lim
y0
f (0,
y) y
f (0,0)
例4.设 函 数z e xy2 ,则lim f ( x,2) f (1,2) ______;
x1
x1
f (2,1 2y) f (2,1)
lim
_______
y0
y
解: 根 据 偏 导 数 定 义,知lim x1
f ( x,2) f (1,2) x1
f x(1,2)
而
f x x, y e xy2 y2 y2e xy2 f x(1,2) 4e4
f (2,1 2y) f (2,1)
y0 )
lim
y0
yz y
( x0 , y0 )
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
注：
f x( x0 , y0 )
lim
x x0
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x x0
f x(0,0)
lim
x0
f ( x,0) x
f (0,0)
f (2,1 2y) f (2,1)
lim
2 lim
y0
y
y0
2y
2 f y(2,1) 2 (2xye xy2 ) 8e2 ( 2 ,1)
６．二元函数的二阶偏导数
若z f ( x, y)的一阶偏导数z , z 对x, y的偏导数仍 x y
然存在,则称这些偏导数为f ( x, y)的二阶偏导数,记为
1 xy
2.二元函数的极限
lim f (x, y) A 0, 0,当
x x0 y y0
0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，恒有 f (x, y) .
注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，
任何方向，任何路径趋向于 P(x0 , y0 ) 时，均
有 f (x, y) A 若能找到两条不同的路径使
( x,
y),
f
(x
y,
x
y)
x
解
：
设
x
y
x
y
v
u
x y
u
1 v uv
1 v
f (u, v) ( u )2 1 v
( uv )2 1 v
u2 (1 v 2 ) (1 v)2
u2 (1 v)
1 v
f (x,
y)
x2 (1 y) 1 y
( x y)2 (1 xy) f ( x y, xy)
x x0
x0
x
则称此极限值为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处关于
自变量x的偏导数, 记作
z x
,
( x0 , y0 )
f x( x0 ,
f y0 ),
( x0 , x
y0 )
, zx ( x0 ,
y0 )
同样可定义关于y的偏导数:
z y
f
y( x0 ,
y0
)
zy ( x0 ,
沿此两路径 (x, y) (x0, y0) 时，f(x,y)具有不同的
极限，则 lim f (x, y), y kx不存在，一般 x x0 y y0
取y kx.
3.二元函数连续性定义：
如果函数 z f (x, y)满足条件 (1)z f (x, y)在点
P(x0 , y0 )的某邻域内有定义；(2)
第六章 偏导数与全微分
一 、基本概念及结论
1.多元(二元)函数的定义：
( x, y) f z R, z f ( x, y)
二元函数的定义域是平面点集，通常用平面 区域D表示,記为D(f)。 设点(x0, y0 ) D，则f (x0, y0 )称为对应于 点(x0, y0 )的函数值，函数值的集合称为函 数的值域。
为 z Ax By 0( ),其中A, B与x, y无关,
(x)2 (y)2 , 0( )为x 0, y 0时的
lim
xx0
f
(x, y)存在;
y y0
(3) lim x x0
f (x0 , y0 )
f (x0 , y0 )，则称z
f (x, y)
y y0
在点p(x0 , y0 )连续。
4.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最 大最小值定理、零值定理。
5.二元函数偏导数定义
z f ( x, y) yy0 一元函数f ( x, y0 ) x的导数
则意味着可交换混 合偏导数的求导次序，
可将结果整理为最简形式。即
2z 2z
xy yx
6.二元函数的全微分:
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义, x, y在 点( x0 , y0 )分别取得改变量x, y,相应函数z f ( x, y) 的改变量为z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ),若其可表
当x在点( x0 , y0 )取得改变量x时,函数z f ( x, y0 )
的改变量为 x z f ( x0 x, y0 )称为函数f ( x, y)
在点( x0 , y0 )处关于x的偏改变量.如果当x 0时,
极限 lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在,