第六章 对角互补模型
模型32 平行四边形：对角互补模型(学生版)
◎结论 2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC， 则①BC+AB= BD，② 四边形 侘੬觸= BD2，③BD 是角平分线
【证明】⑴满足对角互补，邻边相等
2．（2021·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形 ABCD 中，
AB BC, ABC CDA 90, BE AD 于 E, S四边形ABCD 10 ，则 BE 的长为__________.
1．（2019·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A,B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且 OA=OB，点 C 在第一象限，OC=3，连接 BC，AC，若∠BCA=90°，则 BC+AC 的值为_________．
平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型
◎结论 1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC， 则①BC+AB= BD，② 四边形 侘੬觸= BD2， ③BD 是角平分线
【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角 ⑴ AD.CD 夹角 90°,旋转 90°,延长 BC 至 E，使 CE＝AB,连接 DE， ∵∠DAB＋∠DCB＝180°， ∠DCE＋∠DCB＝180° ，∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB 和△DCE 中，DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED 是等腰直角三角形 BE＝ BD,BC＋CE＝ BD，BC＋AB＝ BD ⑵ 四边形 侘੬觸= △ 侘觸 ＋ △侘੬觸＝ △੬t觸＋ △侘੬觸＝ △侘t觸＝ BD·DE
对角互补相似模型
对角互补相似模型是一种几何模型，主要涉及四边形的两个对
角互补的条件。
在这个模型中，四边形的两个对角是互补的，这意
味着它们的角度之和为180度。
此外，对角互补相似模型可以分为
全等形和相似形两大模块。
全等形中又可以分为90度对角互补、
120度对角互补和任意角的对角互补三种类型。
在解决几何问题时，对角互补相似模型的应用非常广泛。
例如，它可以用来证明三角形的角平分线性质，也可以用来证明相似三角
形的判定和性质。
此外，在解决旋转、构造等问题时，对角互补相
似模型也常常被用到。
在实际应用中，对于不同的对角互补相似模型，需要采用不同
的解题思路和方法。
例如，对于90度对角互补模型，可以通过作垂线、延长线等手段来解题；对于120度对角互补模型，可以利用角
的补角性质来解题；对于任意角的对角互补模型，可以利用角的和
差性质来解题。
总之，对角互补相似模型是一种重要的几何模型，在解决几何
问题时具有广泛的应用。
通过掌握不同类型的对角互补相似模型，
可以更好地解决各种几何问题。
对角互补模型求面积
对角互补模型求面积1. 引言1.1 概述概述部分是文章引言的开端，旨在提供对文章主题的整体概述。
以下是对文章1.1概述部分的可能内容：在现代数学和几何学领域中，对角互补模型是一种重要的概念和工具，被广泛应用于诸多领域。
该模型的核心思想是通过利用对角线的互补性质，推导并计算平面图形的面积。
对角互补模型在计算几何学、图形设计、物理学和金融学等领域都具有广泛的应用价值。
本文将系统地介绍对角互补模型的定义及其求解面积的方法。
首先，我们将详细阐述对角互补模型的定义，并通过实例解释其基本原理和特点。
随后，我们将重点探讨求解对角互补模型面积的方法，包括基本公式的推导和具体计算步骤的演示。
通过深入分析对角互补模型的求解方法，我们可以充分理解该模型在实际问题中的应用价值。
特别是在实际应用中，通过利用对角互补模型求解面积，我们能够更加准确和高效地计算图形的面积，为相关领域的研究和应用提供了重要的数学工具。
在结论部分，我们将总结对角互补模型求面积的重要性，并展望其在实际应用中的潜力。
同时，我们也会指出目前对角互补模型在特定领域中的局限性和待解决的问题，为未来的研究和应用提供方向和启示。
通过本文的阅读和理解，读者将对对角互补模型有更加全面和深入的认识，掌握求解面积的方法和技巧，从而在相关领域中能够更好地运用该模型解决实际问题。
文章结构部分的内容可以这样写:1.2 文章结构本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。
在引言部分，首先对对角互补模型进行概述，介绍其基本特点和应用领域。
然后，阐述了本文的结构和目标，让读者对文章有一个整体的了解。
接下来是正文部分，主要包括对角互补模型的定义和求解对角互补模型面积的方法。
在2.1节中，详细介绍了对角互补模型的定义，包括其基本构成和相关概念。
在2.2节中，将重点探讨了求解对角互补模型面积的方法，从数学角度进行推导和分析，给出了具体的求解步骤和计算公式。
最后是结论部分，总结了对角互补模型求面积的重要性。
初中数学重点模型06 对角互补模型在三角形中应用(基础)
专题06 对角互补模型在三角形中应用【类型】一、一般情况基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。
可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。
1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C 为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E．(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．解：①全等．理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠O BC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．②不变．理由：∵△OBC ≌△ABD ，∴∠BAD ＝∠BOC ＝60°，又∵∠OAB ＝60°，∴∠OAE ＝180°﹣∠OAB ﹣∠BAD ＝60°，∴Rt △OEA 中，AE ＝2OA ＝2，∴OE ＝，∴点E 的位置不会发生变化，E 的坐标为E （0，）． 2、如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC ＝∠DAE ＝90°,AB ＝AC ＝2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（ ）A ．12B ．22C ．1D ．2解：设Q 是AB 的中点，连接DQ ，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ＝2，O 为AC 中点，∴AQ ＝AO ，在△AQD 和△AOE 中，，∴△AQD ≌△AOE （SAS ），∴QD ＝OE ，∵点D 在直线BC 上运动，∴当QD ⊥BC 时，QD 最小，OE D C B A∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，∵QD ⊥BC ，∴△QBD 是等腰直角三角形，∴QD ＝QB ， ∵QB ＝AB ＝1，∴QD ＝，∴线段OE 的最小值是为． 故选：B ．3、如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°,cosC＝56,点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ，将△EDC绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时, AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（图1） （图2）当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD ＝∠ACB ，∴∠ECA ＝∠DCB ，又∵＝＝， E D C B AA B CD E∴△ECA ∽△DCB ，∴＝＝；【类型】二、旋转构造双子型此类图的特点在于图形的不完整。
对角互补模型证明过程
对角互补模型证明过程哎呀，说起对角互补模型，那可真是个有趣的玩意儿啊！咱们来好好唠唠它的证明过程。
你看啊，想象一下有个四边形，它的对角互补，也就是这两个角加起来正好是 180 度。
那怎么证明呢？咱就一步步来。
先找个典型的例子，就像一个四边形ABCD，角A 和角C 是对角，它们互补。
那咱就在这个四边形里找点线索呗。
可以从边入手呀，把相邻的边延长一下，或者作几条辅助线。
就好像走迷宫一样，找找有没有什么特别的通道能让我们搞清楚这个对角互补的秘密。
比如说，延长 AB 和 DC 相交于点 E，这时候是不是就出现了一些新的角度关系？角 A 和角 E 就有了某种联系，角 C 和角 E 也有了特别的关联。
然后再通过一些角度的转换和计算，嘿，就有可能发现对角互补的证据啦！或者再试试在四边形里面作个平行线，那是不是又会出现一些新的角度组合？就像是打开了一个新的宝藏盒子，里面藏着证明的关键呢。
再想想，要是能把这个四边形分成几个小三角形，是不是也能从三角形的角度关系里找到线索？这就好像拼图一样，把一片片小的拼起来，最后就能看到完整的画面啦。
你说，这是不是很有意思？就像侦探破案一样，一点点找线索，一点点揭开谜底。
有时候可能会走点弯路，但没关系呀，换个思路再来嘛。
证明对角互补模型就像是一场冒险，充满了挑战和惊喜。
每一步都可能有新的发现，每一个想法都可能是打开大门的钥匙。
总之呢，通过不断地尝试、思考、探索，总能找到那个证明对角互补的完美路径。
别嫌麻烦，别嫌困难，加油去探索吧！相信你一定能搞清楚这个神奇的对角互补模型的证明过程的！这就是我的观点，对角互补模型，就是这么有趣又有挑战性！。
几何模型｜对角互补模型之任意角α
几何模型｜对角互补模型之任意角α
关于对角互补模型，前面已经写过了4篇，分别是《几何模型 | 对角互补之“双直角”（一）》《几何模型| 对角互补之“双直角”（二）》《几何模型| 对角互补之“120-60”》《几何模型| 对角互补之120°等腰三角形》前面几篇小文章讲的都是特殊角度，特殊三角形，也是初中学习阶段考试经常考的。
今天这篇《任意角α对角互补模型》在之前所思所想的特殊情况下走向一般情况。
希望能对大家有所帮助。
总结：
以上我们得到了对于任意角α对角互补模型的一般结论，其实双直角模型是其中一种特殊情况，也就是当α=45°时。
对于以上讨论，如果我们交换条件（2）和结论（1），也可以得到相同结论哦！同学们可以自己进行推导。
如果关于前面几篇小文章大家忘记看了，或者需要了解的，请往前面看4篇。
构造全等相似或借助辅助圆，轻松解决对角互补模型
构造全等相似或借助辅助圆，轻松解决对角互补模型构造全等相似或借助辅助圆，轻松解决对角互补模型所谓对角互补问题，一般出现在四边形中，那对于这种问题我们怎么解决呢？那就是通过作辅助线得到全等三角形或相似三角形的结论，也可以借助辅助圆。
常做的辅助线是做两边的垂线或用截长补短法构造全等或相似。
接下来我们一起来看一下常考的模型及解题方法。
模型一01模型一02模型一03这两种方法你学会了吗？如果学会了请看下面的几种模型，并自己动手证一下下面的结论。
（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠FCE=120°；②OC平分∠AOB【结论】：①CF=CE；②OF+OE=OC；③S△COD+S△COE等于四分之根号3倍的OC的平方（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③S△COD+S△COE等于OC的平方乘以sina再乘以cosɑ※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成：①②③(自己动手做）如图模型四本节课讲的是做题方法，不是让你结论，你只需要掌握这种做题方法即可，对角互补模型常做的辅助线是做两边的垂线或用截长补短法构造全等相似或借助辅助圆。
我们一起来看一下对角互补模型.练习题1.如图示：一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、BC的交点为G、H(1)当三角板DEF旋转至图1所示时，你能发现线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论。
(2)若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、CB上，AB=CB=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围。
(3)当三角板DEF旋转至图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时,(1)中的结论仍然成立吗？并说明理题目图答案图022.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠F OG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BOE；③四边形ODBE的面积始终等于三分之四倍的根号3；④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,,且∠MPNM与∠AOB互补,若∠MPN∠在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB 相交于MM、N两点,则以下结论：(1)PM=PM恒成立;(2)OM+ON的值不变(3)四边形PMON的面积不变(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )个A.4B.3C.2D. 1第2-3题图第2题答案图01第2题答案图02第2题答案图03第3题答案4.已知：△ABC是等边三角形，∠1+∠2=120°，求证：∠1=∠2=60°5.已知：△ABC是等边三角形，∠1=60°，求证：∠2=60°.第4-5题图分析：可借助四点共圆来证更简单。
对角互补模型
几何模型03——对角互补模型一、对角互补双90°模型（构造全等） 1.双90°型（1）【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CE CD =；②OC 2OD OE =+；③221OC S S OCD OEC =+∆∆（2）当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CE CD =；②OC 2OD -OE =；③221-OC S S OCD OEC =∆∆例1.如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线， （1）如图1，当点Q 在DC 边上时，证明：PB ＝PQ（2）如图2，当点Q 落在DC 的延长线上时，证明：PB ＝PQ（1）证明：过P 作PE ⊥BC ，PF ⊥CD ， ∵P ，C 为正方形对角线AC 上的点，∴PC 平分∠DCB ，∠DCB ＝90°，∴PF ＝PE ， ∴四边形PECF 为正方形，∵∠BPE +∠QPE ＝90°， ∠QPE +∠QPF ＝90°，∴∠BPE ＝∠QPF ， ∴Rt △PQF ≌Rt △PBE ，∴PB ＝PQ ； （2）证明：过P 作PE ⊥BC ，PF ⊥CD ， ∵P ，C 为正方形对角线AC 上的点，∴PC 平分∠DCB ，∠DCB ＝90°，∴PF ＝PE ， ∴四边形PECF 为正方形，∵∠BPF +∠QPF ＝90°，∠BPF +∠BPE ＝90°， ∴∠BPE ＝∠QPF ，∴Rt △PQF ≌Rt △PBE ，∴PB ＝PQ ．A O BCDEMN图 4AOBCDE 图 1练习1.如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，这两个正方形重叠部分的面积为 ．练习2.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，连接EF ．若AE ＝4，CF ＝3，OE ⊥OF ，求EF 的长．练习3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 的坐标为（0，2），B 点在x 轴上，对角线AC ，BD 交于点M ，OM ＝3，求点B 的坐标．例2.四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角△ABD 和直角△CBD ，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积． 解：将△ABC 绕点A 旋转90°，使B 与D 重合，C 到C ′点， 则有∠CDC ′＝∠ADC +∠ADC ′＝∠ADC +∠ABC ＝180°， 所以C 、D 、C ′在同一直线上，又因为AC ＝AC ′， 所以△ACC ′是等腰直角三角形，在△ABC 和△ADC ′中∴△ABC ≌△ADC ′（SAS ），∴四边形ABCD 的面积等于等腰直角三角形ACC ′的面积， 所以S 四边形ABCD ＝S △ACC ′＝×2×2＝2．练习4.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD 于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长．例3.已知：△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，且满足∠ADB＝90°，（1）如图1所示，求证：DA+DB＝DC；（2）如图2所示，求证：DA﹣DB＝CD（3）如图3所示，过C作CH⊥BD于H，BD＝6，AD＝3，求CH证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点∵∠ACB＝90°，CQ⊥CD，∠ADB＝90°∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠QCB＝90°，∠ADC+∠CDQ＝90°，∠CDQ+∠Q＝90°∴∠ACD＝∠QCB，∠ADC＝∠Q，且AC＝BC∴△ACD≌△BCQ（AAS）∴CD＝CQ，AD＝BQ∴DQ＝DB+BQ＝DB+AD∵CD⊥CQ，∠DCQ＝90°∴DQ＝CD∴DB+AD＝CD（2）证明：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°∵∠ACB＝90°，QC⊥CD∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴点A，点B，点D，点C四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°∵QC⊥CD∴∠CQD＝∠CDQ＝45°∴CQ＝CD，且∠QCD＝90°∴QD＝CD∵∠ACB＝∠DCQ＝90°，∴∠ACQ＝∠DCB，且AC＝BC，CQ＝CD∴△ACQ≌△BCD（SAS）∴AQ＝BD∴QD＝CD＝DA﹣AQ＝DA﹣BD（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，∵∠ACB＝90°，QC⊥CD∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠CDQ＝∠CAB＝45°∵QC⊥CD ∴∠CQD＝∠CDQ＝45°∴CQ＝CD，且∠QCD＝90°∴△DCQ是等腰直角三角形，∵∠ACB＝∠DCQ＝90°，∴∠ACD＝∠QCB，且AC＝BC，CQ＝CD∴△ACD≌△BCQ（SAS）∴AD＝BQ，∴DQ＝DB﹣BQ＝DB﹣AD＝3∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ＝3，CH⊥DB∴CH＝DH＝HQ＝DQ＝练习5.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E 在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：OF的长．二、对角互补双90°模型（构造相似）例4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN ＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF 时，求AP解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．练习6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．练习7.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线BD上，联结AE，作EF⊥AE交边BC于F，若BF＝，那么BE＝．三、对角互补.60°、120°模型（构造全等）例5.已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点．（1）如图1，过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，说明PD与PE相等的理由；（2）如图2，如果点F、G分别在射线OA、OB上，且∠FPG＝60°，连结FG，证明：△PFG是等边三角形，解：（1）∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，在△POD和△POE中，，∴△POD≌△POE，∴PD＝PE；（2）证明：如图2，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，同（1）的方法得，PM＝PN，在四边形PMON中，∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵∠FPG＝60°，∴∠FPG＝∠MPN，∴∠MPF＝∠NPG，在△PMF和△PNG中，，∴△PMF≌△PNG，∴PF＝PG；∵∠FPG＝60°，∴△PFG是等边三角形．练习8.已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上，任取一点D，连接AD，BD，CD．（1）如图1，∠BAC＝α，求∠ADB的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，求证：BD+CD＝AD；（3）如图3，如果∠BAC＝120°，求证：BD+CD＝AD．（1）解：∵AB＝AC，∴＝，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠BAC+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣α，∴∠ADB＝（180°﹣α）＝90°﹣α；（2）证明：延长BD到E，使得DE＝DC，如图2，∵∠BAC＝60°，AB＝AC ∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠EDC＝∠BAC＝60°，∵DC＝DE，∴△DCE是等边三角形，∴DC＝CE，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，∵BE＝BD+DE，∴AD＝BD+CD；（3）证明：延长DB到E，使得BE＝DC，连接AE，过点A作AF⊥BD于点F，如图3，∵AB＝AC，∴＝，∴∠1＝∠2＝90°﹣×120°＝30°，在Rt△ADF中，∵cos∠1＝，∴DF＝AD cos30°＝AD，在△EBA和△DCA中，，∴△EBA≌△DCA，∴∠2＝∠1，∴∠E＝∠1，∴AE＝AD，∴DF＝EF，∴DE＝BD+CD＝2DF，∴BD+CD＝2×AD＝AD；练习9.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB；证明：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，∴∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2×BD＝BC＝AB；四、对角互补任意角模型（构造全等）例6.已知：如图，四边形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°．求证：CD＝CB．证明：在AB上截取AM＝AD，如图∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC．在△CDA和△CMA中，∴△CDA≌△CMA（SAS）∴CD＝CM，∠D＝∠CMA．∵∠B+∠D＝180°，∠CMA+∠CMB＝180°，∴∠B＝∠CMB．∴CM＝CB．∴CD＝CB．练习10.如图，四边形ABCD中，CD＝CB，AC平分∠DAB，CH⊥AB于点H．（1）求证：∠ADC+∠B＝180°；（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长．例7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠F AE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．练习11.如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．练习12.如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为cm．课后作业：1.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在边AB和边AC上，且∠EDF＝90°，则下列结论不一定成立的是（）A．△ADF≌△BDE B．S四边形AEDF＝S△ABCC．BE+CF＝AD D．EF＝AD2.如图在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝，求点C的坐标．4.如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，在∠BAC所对上，任取一点D，连接AD，BD，CD．求证：BD+CD＝AD．5.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为对角线AC上的一个动点．（1）如图①，连接BE作EF⊥BE交线段DC于点F，的值；（2）如图②，连接DE，作EF⊥DE交射线BC于点F．设CF＝y，AE＝x，当点F在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式；。
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第六章对角互补模型
辅助线方法总结：作垂直截长补短法旋转法四点共圆
全等型之“90°”方法：求全等
例1：如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB,求证：
（1）CD=CE
（2）写出线段OD,OE 和OC 之间的数量关系，并说明理由
（3）S △OCD +S △OCE =2
1OC 2
全等型之“120°”方法：求全等
例2：如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB,求证：
（1）CD=CE
（2）写出线段OD,OE 和OC 之间的数量关系，并说明理由
（3）S △OCD +S △OCE =4
3OC 2
全等型之“任意角”方法：求全等
例3：如图，∠DCE+∠AOB=180°，OC 平分∠AOB,求证：CE=CD
相似型之“90°”方法：求相似
例4：如图，∠AOB=∠DCE=90°，点C 在直线y=21x 上，求CD
CE 的值
经典练习
1.已知：AB=AD,∠A=∠C=90°，连接AC ，
（1）求证：AC 平分∠BCD
（2）求证：CD+CB=2AC
2.如图1，将一个直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC 相交于点E．
（1）求证：PA=PE；
（2）若将（1）中正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；
（3）在（2）条件下，当P 滑动到BD 的延长线上时（如图3），请直接写出AP：PE 比值．
3.（1）如图1，△ABC 为等边三角形，∠1+∠2=120°，求证：∠1=∠2=60°
（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠1+∠2=90°，求证：∠1=∠2=45°
图1图2
4.（1）问题背景：如图甲，∠ADC=∠B=90°，DEAB于点E，且AD=CD,DE=5,求四边形ABCD的面积。
（2）类比迁移：如图乙，P为△ABC外一点，BP=1,CP=3,且∠BPC=120°，求四边形ABPC 的面积
（3）拓展延伸：如图丙，在五边形ABCDE中，BC=4,CD+AB=4,AE=DE=6,AE⊥AB,DE⊥CD,求五边形ABCDE的面积。
5.如图，△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连接AD，若∠ADB=60°，
求证：（1）DA=DB+DC
（2）∠ADC=60°
6.如图，△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连接AD，若∠BDC=120°，求证：（1）∠ADC=∠ADB=60°
（2）DA=DB+DC
(用至少三种方法解答）。