探究2011年上海春季高考压轴题

递增． 从而当初始项 ｚ 逐渐增大 时， ｏ 由 １ — ：
】 ＾一 ＋ ／
／ ａ
知 １ 也逐渐增 大， 而 从
ａ ｎ＜ ２ ａ ， ｎ≠ １ 而 ａ ． ｎ＜ １｛ ２一ａ ｎ＞ １｛
２ — ：
也逐渐增大， 依次类 推 … … ，
／ａ
ａ ＋ ＿ 一 ＜ １ 若 １＜ ａ ｎ １： ＝ － ； ｌ＜ ２ 设存在正 ，
父 Ｉ ， 一； （ 时 交 ｆ￣３——Ｊ 当１１Ｊ 点 ／ （ 日 ＼ －— １ ∈， 寸 ＼ — ， ／ — 且 恒 但
有 Ｘ ｎ １ （， ） ２＋ ＞ ２— 成立， Ｃ ２一 ∈ １ ， ｎ １ ｘｎ ｌ 且９ ｎ∈ ２
必 证 明） ．
分析： 简要性质如： 两点 （， ） ２ １， ① １ ２、（， ） 均 在函数 ｆｘ ＝ 、７ 图像上； ２ ∈（，） （） ／ —３ ／ ② ； １２， １ 贝 ∈ （，） ０ １２； ⑨ ｌ∈ （，） 贝 ｉ 佗 ＝ １２， ０ｌ ａ ｒ
中的相关 问题．
＿
＋１： — —
故有下界且单调递减数列｛ ） 必有下确界，
即极限 ｌ 存在． ｌ ＝ Ｘ 则有 ＝ ｉ ｍ 设 ｉ Ｘ ａ ｒ ，
＋１一 ／
，
／ ａ
进而 ｚ：
．
／ ａ
探究 ２ 数与形结合， 观察迭代过程
∞＋ ～ 一 ｜
问题
（０ １ 上海春考题） 给定首项 ｏ ２１ 年 对
／ａ
ｎ
当初始项 ０ 在某个范围内时， ｎ １ ｆｘ ） 由Ｘ ＋ ＝ （ｎ 迭代得到无穷递减（ 或递增） 列？ 数
例 ３ （０ １ 上海 高考 题） 对于 初始 项 ２０ 年 若 ｏ ＋ Ｘ －Ｚ（ ∈ Ｎ） ，由 １＝ ￣＿ ｎ－ 礼 产生的无穷
＋， ／
—
—
得到数列 ｛ｎ ， ） 对任意竹∈Ｎ， 都有
项 ａ ＜ ｌ 由递推式 ０ ＋ ＝ 二 ＿得到的数列 ｌ ， ｎ１ ＿
（ ａ＞０ 时， ＋ ＝ｆｘ ） ） 由 １ （ｎ 总可得到无 穷递减 数列 （ｎ＞ ＋ ） 竹 １？ 分析： 在右上方无界型 区域 ＞ ， ＞ Ｙ
＋、
｛ｎ ， ０ ） 对任意ｎ∈Ｎ， 都有ａ ｎ＜１ 且恒有ａ ， ＜ ａ＋ 成立， ｎｌ 即数列 ｛ｎ 单调递增！ ０）
２１年第 ７ ０１ 期
项 的变化情况如何？ ｎ
数 学教 学
～９ ３
探究 ５ 由左下方无界 型区域 （ ＜ ｔＹ＜ Ｘ ，
，
＋、 ／
分析： ， ＝ — 设 ） ， 由导数 ｆ ）＝
ｔ 为常数）数形结合解释能否 当初始项 在某 ， ０
个 范 围内时，由Ｘ ＋ ＝ ｆｘ ） 礼１ （ｎ 迭代得到无穷递 减（ 或递增） 数列７ ．
ａｎ＋ １ ＝
ａ 一 ３ 若对 任意正整数 佗 均有 ， ， ａ ｎ＜ａ ＋ ， ｎ １ 求初始项 ０ 的取值范围． １ 分析： 函数 Ｙ＝ｚ 一 一３ 的图像与直线２， １ Ｘ ｏ
ｘ０
∞， １Ｌ １２得 一 ）Ｉ ，） （
（）ｕｊ若 ∈ １ ＿１ （） （＇ １ １． 。 －１ 百 ） ２ 百 ）
的近似值， 要求 １ 一Ｘ ＋ ｌ １ ＿ ， １ ＜ ０ ‘ 请估计 ｎ 。 ， 并说明理 由．
中的迭代过程易知： 若设 ＋ 一Ｘ １ ： Ａ 一 Ｂ， ｎ ｌ Ｃ 则结合 函数 的凸性 易得： — ＝ Ｄ，
Ｃ Ｂ
Ａ Ｂ
＝ｔｎ Ｂ ａ ＡＣ ＜ 互 Ａ １
ｌ ‘
（） 二 ２
。
／
／
＝
＜ 。 ；
（０ — 札 ＜ 旦 ３ ＜ ｎ ＋ 兰 ） １ 喾
＜
７ 。 Ｏ
图１
竿 ４ ＜ ＜ｎ ｎ， … －＜２ ２上
＜１ ＿ ， ｎ＞ １．ｊ ０ 故 。 ５１ 扎＝ １． ６
只要
探究３ 改变初始项 ， 固定正整数ｎ 该 ０对 ，
例 ４ （００ ２ １ 年上海预测题） 定义数列 ｛ ） ， 礼∈Ｚ ， ＋ ＝ ｆｘ ）若 ｙｘ ： 、７ 选 ＋ １ （ ， （） ／ —３ ， ／ 些不 同的初始值 ｌ使得 ｛ ｝ ， 为无穷数列， 试 用计算器观察并写 出这样 的数列的一些性质 （ 不
一
函数 ｙｘ （）＝ 、７—３ ／ ／ 的图像与直线 ： 的
均有 １＜ ＜ ２ 且 ＞ 恒成立． ， 故对初 始项
） ＝ ２ ｚ ＋２＜０亦可由 ∈（，） ｛ —３ ； １２的
图像在线段 Ａ ． Ｂｉ方得到） ⑤ 记 ＝ ； ，
若Ｘ ｌ∈（， ）则 ｛２一 ］ １ ， １ 单调递增， 单 ＿ ｛ ２） 调递减． 事实上， 由以两点 （， ） （， ） １ ２ 与 ２ １ 为顶 点
数列．ｎ ， ［ ）对任意正整数ｎ 均有Ｘ ｎ １求 ， ＜ ＋ ，
０ 的取值 范围．
＞ ， 礼＞Ｘ ＋ 恒成立， 且 ｎ１ 即数列｛竹 单 ）
调递减！
分析： ＜兰 由 兰
一
得ｚ ｎ∈（ 。 ， １ｕ 一 。一 ）
一
例 １ （０９ ２０ 年上海模拟题） 数列 ． ． ［ ］ ０ 满足
砉 一、
，
故当 ＞ 时， ｌ ）＞０ 即， ｆ（ ， （）
ｏ＋ ＾ 一 ／
／ａ
例 ２ （ ０ 年山东预赛题） ２ ８ ０ 数列 ｛竹 满足 ｎ）
ａ＋ ｎ １＝ ， 若对任意正整数 ｎ 均有 ｎ ， ｎ＜ ａ ＋ ， ｎ 的取值范围． ｎ １求 １ 分析： 一０ 十 由０ ｎ １＝ ＜ ０々
里 ／）詈＝里 （ 一） （ ｘ
ｘ＋ １ 一 ／
／ ａ
：可 ： ０知函
数（＝ ，）半
ｎ — 竹 一１
ｚ竹 ＋１一 ｚ ｎ
存 斜 进 由 １ 在 渐 线 ＝；图 Ｘ
Ｃ Ｄ
ＡＢ
．
（ 当Ｘ ∈５１］ 用数列 ｛ ］ ３ ） Ｏ ［ ０时， ， ． 计算 １０ ０
／鬲 ＝
（ ２， ２＋ ＜ ２， 矿，）Ｘ ２ Ｚｎ 即若 ∈ １ ）贝｛ ２一 ） １ （， ，０ １ 单调递增， ｛２） 而 单调递减； ２ ∈ ，） 则 若 ； （ ２， １ ｛２一） １ 单调递减， ｛２） 而 单调递增！
参考文献
；④ 若 １∈（，）则 ｎ＋ ＋ １２， １＞ ３
竹 一 ．
， Ｏ＞ Ｘ
知：
＞ ０ ，
＞
今年 的春考题虽然较 以往平稳， 但也不乏新意，
探究味道较浓， 比如最后的压轴题便充分体现了 程序算法 的思想， 很值得品味与探究！ 文将对 本 该问题给出简要解答， 并从数形结合及迭代过程 入手来探究问题的本质， 最后将探 究结果变式引 申， 解答几道近年来各地高考和预测卷以及竞赛
的交点为（ ， ）（， ） 由右上方无边界型 一１一１，３ ３． 区域 （ ＞ ３Ｙ＞ ３ 内函数图像知： ＞ ３ ， ） 当 时，
均有 Ｙ＞３ 且恒有 Ｙ＞ 成立． ， 故对初始项 ａ ＞ ｌ
３ 由递推式ａ ＋ ＝ ０ 一ａ ， 他 １ ｎ一３ ２ 得到｛ ， ０ ） 对 任意 ｎ∈Ｎ， 都有 ａ 竹＞３ 且 ａ ， ＜ ａ ＋ 恒成 立， ｎｌ 即｛ｎ递增． ａ） 故初始项０ 的取值范围为ａ ＞３ １ ｌ ．
似值？数列｛ｎ 是否存在极限 ｌ ｎ ） ｉ Ｘ？ ａ ｒ
ｚｎ ＋ ．
田， 无论从命题 内容还是命题方式上都进行 了大
胆的改革 与尝试．这正体现 了数学教改的精 神， 也为我们传递 出了秋季高考的一些信 息和动态！
分析 由 ＋ ｎ １＝ —
０ 得 Ｘ ＋ ＞０ 由 ， ｎ１ ． ＞
（几＋ ＋ ＞ ３铮 ｎ＋，７ ｚ ｎ ｌ ／ —３ 几＞３铮
Ｘ ∈（，）事实上， Ｏ １２． 函数， ＝ （）
图像与
７ ０ ＿
数 学教 学
２ １年第 ７ ０１ 期
直线 ： 的两个交点为 （， ） （， ） １ １、 ２ ２．对应 的正方形有界型 区域 （ ＜ ２ １＜ ＜ ２ １＜ ， ）
内函数 ＝ 的图像知： １＜ ＜ ２ 当 时，
ｎ
＋、 ／
／ａ
分析： 设函数， ）： ， 则其函数 图像 与直线 ＝ 的交点为点 （ ， ） 又由 ；
＞ （ 口＞ ０，由递推式 １＝ —— ） （ ∈Ｎ） ｎ 得到数列｛礼 ， ） 对任意ｎ ∈Ｎ， 都有 ＞ ， 用数列｛ ） 可以计算 的近似值． （） Ｘ １取 ０：５ ａ＝ １０ 计算 ｌ ２ ３ ， ０， ， ， 的值 （ 精确到 ０ １； ． ） 归纳出 ， ｎ １ ０ Ｘ ＋ 的大小关 系； （） ２当ｎ≥１ 证明： ｎ Ｘ－ ＜— －— ， 时， Ｘ － ￣１ ￣－ ｗ ． ｔ ｎ１ ｎ － －
内函数 ＝ 、７ 图像及迭代过程可知：当 ／ —３ ／
１＜ ＜ ２时，均 有 １ ＜ ＜ ２ ；极 限 点 为
１ ｏ ， ＜ ＜２ 由递推式 ＝ ÷ 得到数 的正 方形有界型 区域 （ ＜ ２１＜ ＜ ２ 时１ １＜ ， ）
列 ｛ ｝ 对任意 礼 ∈ Ｎ， 有 １＜ ， 都 ＜ ２ 且 ， ＜ 时 １ 恒成立， 即数列 ｛ ］ － 单调递增！
一
ａ ｎ
．
易知第 ｎ 项 也逐渐增大！ 这回答了问题 （）由 ３：
ｎ一、 ／ ｘ ｎ ｌ —— ｎ ｘ ＋ —— 一 ， 一Ｘ ＝ 当 坝 ０ 当初始项 ｘ 逐渐增大 逐新增
一
整 ｍａ＞ ¨ ， ０：厶 数 ，ｌ ｂ 则 ２
一
ａｌ
＞ｍ， — ＿
ｌ Ｌ— ｌ Ｌ
探 究６ 由正方形有界型区域 （ ＜ ＜ｔ， １ ２
ｔ ｌ＜ Ｙ＜ ， 、２ ２ｔ ｔ 为常数） 数形结合解释 能否 ｌ ，
） 内函数Ｙ： —