【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲
高三数学教师备考计划范文（五篇）
高三数学教师备考计划范文一、教学计划与要求由于本校学生的基础较差，我备课组决定____年高三（文科）数学分两轮进行复习，我校学生基础较差，而数学又是基础最差的，因此我们复习着重在第一轮的基础复习。
第一轮为系统复习（具体安排见附表），此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。
在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。
在教学中重点抓好各种通性、通法以及常规方法的复习，使学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。
同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。
第二轮（第二学期）专题复习与综合考试相结合。
要精选专题，紧扣高考内容，抓紧高考热点与重点，授课时脚踏实地，讲透内容;通过测评，查漏补缺，既提高解决综合题的分析与解题能力，又能调适心理，使学生进入一个良好的心理和竞技状态。
二、教学措施1、进一步转变教育观念，真正做到面向全体学生，尊重学生的身心发展规律。
教师特别注意调整教学心态，不能因为是复习阶段而“满堂灌”，惟恐学生吃不饱，欲速则不达。
在教学过程中处理好几个矛盾：一是讲和练的统一;二是量和内容的整合;三是自我探究和他人帮助的协调。
每天采用有针对性的内容进行限时小剂量的过关练习，帮助差生争取基本分，学生可以解决，鼓励他自己完成，克服机械模仿带来的负迁移，同时增强信心。
注意用分层教学来落实全体性与差异性。
不能一个水平，一个内容，一个进度对待所有学生，既要求保底，又要大胆放飞。
能达到什么水平就练什么水平的试题，保持这个水平是首要的，同时鼓励学生根据自己实际，大胆向前冲。
对于基础较薄弱的学生，应多鼓励多指导学法。
因为进入复习阶段，这些学生会无所适从，很容易产生放弃念头，教师的关心与鼓励，是他们坚持下去的良药。
以能力为中心，以基础为依托，调整学生的学习习惯，调动学生学习的积极性，让学生多动手、多动脑，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第1讲
所以△ABD 为等腰三角形．
本 讲 栏 目 开 关
又∵AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2， AE AC 又 ＝ ⇒AC2＝AE· AD＝4×6＝24，AC＝2 6. AC AD 在△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 36－24＝2 3.
热点分类突破
(2)如图，⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. ①求证：PM2＝PA· PC；
热点分类突破
专题七 第1讲
(2013· 课标全国Ⅰ)如图， 直线 AB 为圆 O 的切线， 切点为 B， 点 C 在圆上， ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于点 D.
本 讲 栏 目 开 关
(1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为 1， BC＝ 3， 延长 CE 交 AB 于点 F， 求△BCF 外接圆的半径．
主干知识梳理
专题七 第1讲
6．直线与圆位置关系的“四定理” (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积相等．
本 讲 栏 目 开 关
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
DM DE ∴ BM ＝ BF .
本 讲 栏 目 开 关
∵F 是 BC 的中点， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM， 1 ∴BM＝3DB＝3.
热点分类突破
专题七 第1讲
判定三角形相似的常用方法：
2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题5 第16讲 高考中圆
[解] 如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.
设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)， 则直线AB的方程为ax＋by＝1，即bx＋ay－ab＝0.
因为AB与圆C相切，所以|b＋ba2＋－aa2b|＝1. 化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2. 5分 因此AB＝ a2＋b2＝ a＋b2－2ab ＝ a＋b2－4a＋b＋4 ＝ a＋b－22. 因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2， 12分
(2)因为M→P·M→Q＝0，所以∠PMQ＝π2.
又由(1)得MP＝MQ＝r＝
5，所以点M到直线l的距离d＝
10 2.
14分
由点到直线的距离公式可知，|2m－4m－2＋2m4－1|＝ 210，解得m＝± 6. 16分
2．(2013·江苏高考)如图16－2，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l： y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4030，
从而BC＝CF－BF＝150.
因此新桥BC的长是150 m． 8分
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连结MD，则MD⊥BC，且MD是圆 M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝MMDF＝OFM－DOM＝6830r－d＝35， 所以r＝680－5 3d. 12分
[解] (1)由已知得A(6,0)，直线ON的方程为y＝－3x， 设Q(x0,2)(x0>0)，由|3x01＋02|＝7 510及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2). 5分 ∴直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0， 由xy＋＝y－－36x＝，0， 得yx＝＝9－，3， 即B(－3,9)， ∴AB＝ －3－62＋92＝9 2，从而t＝396 22＝14 h. 即货运汽车需要1 5分钟时间. 8分
2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)讲义：3-2-2第二讲数列的通项与求和
(1)证明：数列{an＋1－an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； 2n－1
(2)令 bn＝ an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
构造数列
累加法 ――→
[解题指导] (1){an＋1－an}→求出an＋1－an
求an
符合错位相减
(2)求bn→ 法求和特征 →求{bn}前n项和
[解] (1)证明：由 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，得 an＋1－an＝2(an－an－1)，
( ) ( ) ( ) 3 2
32
－
所以 bn－1＝ 5 × 5 n－1，即 bn＝1－5× 5 n－1，
( ) an 3 2
3 × 2n－1
所以5n＝1－5× 5 n－1＝1－ 5n ，
故 an＝5n－3×2n－1.
解法二：设 an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则 an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较
a11－q6 －1－26
列．∴S6＝ 1－q ＝ 1－2 ＝－63. 解法二：由 Sn＝2an＋1，得 S1＝2S1＋1，所以 S1＝－1，当 n≥2 时，由 Sn＝2an＋1 得
Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即 Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又 S1－1＝－2，∴{Sn－1}是 首项为－2，公比为 2 的等比数列，所以 Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以 Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.
{ } 1
(2)求数列 anan＋1 的前 n 项和 Tn.
[解] (1)an＋1＝Sn＋1－Sn，代入 an＋1＝2 Sn＋1， 得 Sn＋1－Sn＝2 Sn＋1，整理可得 Sn＋1＝( Sn＋1)2， 因为 Sn>0，所以 Sn＋1－ Sn＝1， 所以数列{ Sn}是首项为 λ，公差为 1 的等差数列，
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第2讲
专题四 第2讲
∵MC⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB，
∴MC∥平面 PAB.∵EM∩MC＝M， ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC⊂平面EMC， ∴EC∥平面PAB.
热点分类突破
专题四 第2讲
方法二
如图，延长 DC、AB，
设它们交于点 N，连结 PN.
本 讲 栏 目 开 关
∵∠NAC＝∠DAC＝60° ， AC⊥CD，∴C 为 ND 的中点． ∵E 为 PD 的中点，∴EC∥PN. ∵EC⊄平面 PAB，PN⊂平面 PAB， ∴EC∥平面 PAB.
热点分类突破
(2)方法一 如图，取 AD 的中点 M， 连结 EM，CM. 则 EM∥PA. ∵EM⊄平面 PAB，PA⊂平面 PAB，
本 ∴EM∥平面 PAB. 讲 ，MC＝AM， 栏 在 Rt△ACD 中，∠CAD＝60° 目 开 ∴∠ACM＝60° .而∠BAC＝60° ，∴MC∥AB. 关
面面垂直的 性质定理
主干知识梳理
专题四 第2讲
面面平行的 判定定理
本 讲 栏 目 开 关
a⊂β b⊂β ⇒α∥β a∩b＝O a∥α，b∥α α∥β α∩γ＝a⇒a∥b β∩γ＝b
面面平行的 性质定理 提醒
使用有关平行、 垂直的判定定理时， 要注意其具备的条
热点分类突破
专题四 第2讲
(2)设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正 确的是________．(填序号) ①若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α
本 讲 栏 目 开 关
②若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α ④若 l∥α，m∥α，则 l∥m
③若 l∥α，m⊂α，则 l∥m
解析 (1)对于①，直线 l1 与 l3 可能异面、相交； 对于③，直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱的三条棱而不共面；
2014届高三二轮专题 带电粒子在复合场中的运动
易失分案例 (2012· 重庆高考)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置， 其原理如图所示．两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向 上， 其中 PQNM 矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁 1 场．一束比荷(电荷量与质量之比)均为k的带正电颗粒，以不 同的速率沿着磁场区域的水平中心线 O′O 进入两金属板之 间，其中速率为 v0 的颗粒刚好从 Q 点处离开磁场，然后做 匀速直线运动到达收集板．重力加速度为 g，PQ＝3d，NQ ＝2d，收集板与 NQ 的距离为 l，不计颗粒间相互作用．求：
电场力做功与路径无关 W＝qU 电场力做功改变电荷的电势能 洛伦兹力不做功，不改变带电 粒子的动能
2．两种模型 (1)组合场模型： 电场、磁场、重力场 (或其中 两种场 ) 并存，但各位于一定区域，并且互不 重叠的情况． (2)复合场模型： 电场、磁场、重力场 (或其中 两种场 ) 并存（或者说叠加）于同一区域的情 况．
2．抓住物理过程的“三性” (1) 阶段性．将题目涉及的整个过程合理划 分为若干个阶段．在审题过程中，该分则 分，宜合则合，并将物理过程的分析与研 究对象及规律的选用加以统筹考虑，以求 最佳的解题思路． (2) 联系性．找出各个阶段之间是由什么物 理量联系起来的，各量之间的关系如何， 在临界点或极值点处有何特殊性质． (3) 规律性．明确每个阶段遵循什么规律， 可利用哪些物理公式进行求解．
角度1
2013·安徽卷，23)
以电磁技术的应用为背景材料，联系实际考查学以 角度2 致用的能力(2012·天津理综，12；2013·重庆卷，5； 2013·北京卷，22)
【典例1】
(2013·安徽卷， 23)如图所示的平面直角坐标系 xOy，在第Ⅰ象限内 有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc 区域内有匀强磁场，方向垂直于 xOy平面向里，正三角形边长为 L，且ab 边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以 大小为 v0 的 速度沿 x 轴正向射入电场，通过电场后从 x 轴上的 a(2h,0) 点 进入第Ⅳ象限，又经过磁场从 y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速率与 y轴 负方向成45 °角，不计粒子所受的重力．求： • (1)电场强度E的大小； • (2)粒子到达a点时速度的大小和方向； • (3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值．
(山东专版)高考数学二轮专题复习与策略 第2部分 必考补充专题 技法篇 6招巧解客观题,省时、省力得
必考补充专题技法篇 6招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考补充专题中的4个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲解客观题解法，其余以练为主.建知识网络明内在联系[高考点拨] 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以“四小”的形式呈现．本专题的考查也是高考中当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等．综合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“排列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6招巧解客观题，省时、省力得高分[技法概述] 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有75分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．解法1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度.(1)(2016·高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3(2)(2015·某某高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为______．[解题指导] (1)先求点P 坐标，再求点P ′的坐标，最后将点P ′的坐标代入y ＝sin 2x 求s 的最小值．(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m ，n 的值． (1)A (2)－3 [(1)因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.(2)∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.][变式训练1] (2015·某某高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．] 解法2 等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.(1)(2016·某某模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)(2015·某某高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.[解题指导] (1)把向量AM →，NM →用AB →，BC →表示，再求数量积．(2)利用∠AOB ＝120°，得到圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．(1)C (2)2 [(1)依题意有AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →，NM →＝NC →＋CM →＝13DC →－14BC →＝13AB →－14BC →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14BC →＝13AB →2－316BC →2＝9.故选C.(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.][变式训练2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( ) 【导学号：67722071】A ．2B.32 C ．1D.12(2)若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值X 围是________．(1)D (2)[－1,3] [(1)因为AC →＝AD →＋DC →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →，所以AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12DC →＝AD →2＋12AD →·DC →－12DC 2，所以1＋12|DC →|·cos 60°－12|DC →|2＝1，|DC →|＝12，故AB 的长为12.(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，即02＋12－2a ×0＋a 2－2a －4≤0，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3.]解法3 特殊值法在解决选择题和填空题时，可以取一个或一些特殊数值或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.(1)(2015·某某高考)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q(2)(2015·某某高考)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a ，b 取特殊值处理，如a ＝1，b ＝e.(2)正常来说分析不等式k sin x cos x ＜x 成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x 取特殊值进行分析，这样既快又准确．(1)C (2)B [(1)根据条件，不妨取a ＝1，b ＝e ，则p ＝f (e)＝ln e ＝12，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 2＞f (e)＝12，r ＝12(f (1)＋f (e))＝12，在这种特例情况下满足p ＝r ＜q ，所以选C.(2)若对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x 成立，不妨取x ＝π4，代入可得k ＜π2，不能推出k ＜1，所以是非充分条件；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有sin x ＜x ，若k ＜1，则k cos x ＜1，一定有k sin x cos x ＜x ，所以选B.][变式训练3] (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5(2)(2016·某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2)45 [(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8＜4×5成立．(2)令a ＝b ＝c ，则A ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12.从而cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.]解法4 数形结合法数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规X 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法.(1)(2016·某某模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x＋y 的最大值是( )【导学号：67722072】A ．－1B ．－2C ．－5D ．1(2)(2015·某某高考)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．[解题指导] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x ，y 的值，从约束条件中不可能解出对应的x ，y 的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可．(1)A (2)2 [(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1,1)，因此z 的最大值为－1.(2)f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．] [变式训练4] (1)(2016·某某模拟)方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不确定(2)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )＜0的解集为________．(1)B (2)(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞) [(1)方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．(2)由题意可画出y ＝f (x )的草图，如图．①x ＞0，f (x )＜0时，x ∈(0,1)∪(3，＋∞)； ②x ＜0，f (x )＞0时，x ∈(－3，－1)．故不等式x 3f (x )＜0的解集为(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)．] 解法5 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.(1)(2016·某某一模)已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＞xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)(2)如图1，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．图1[解题指导] (1)构造函数g (x )＝f xx，可证明函数g (x )在(0，＋∞)上是减函数，再利用 x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )求解． (2)以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，则球O 是此正方体的外接球，从而球O 的直径是正方体的体对角线长．(1)C (2)6π [(1)设g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，又因为f (x )＞xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′x －f xx 2＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f x x 为(0，＋∞)上的减函数，又因为x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )，则有1x＜x ，解得x ＞1，故选C.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.][变式训练5] (1)(2016·某某高三诊断)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)． (1)B (2)①②④ [(1)因为f (x ＋2)为偶函数， 所以f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称， 所以f (x )的图象关于x ＝2对称， 所以f (4)＝f (0)＝1， 设g (x )＝f xex(x ∈R)，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex，又因为f ′(x )＜f (x )， 所以g ′(x )＜0(x ∈R)，所以函数g (x )在定义域上单调递减， 因为f (x )＜e x⇔g (x )＝f xex＜1，而g (0)＝f 0e＝1，所以f (x )＜e x⇔g (x )＜g (0)，所以x ＞0，故选B.(2)用正方体ABCD A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法6 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案.(1)(2016·北师大附中模拟)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )【导学号：67722073】A BC D(2)(2015·某某高考)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x [解题指导] (1)根据函数的奇偶性和x →＋∞时函数值的正负，以及x →0且x ＞0时函数值的正负，排除可得答案．(2)可验证当x ＜0时，等式成立的情况．(1)D (2)D [(1)函数y ＝cos 6x 为偶函数，函数y ＝2x －2－x为奇函数，故原函数为奇函数，排除A.又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当x →＋∞时，2x －2－x →＋∞且|cos 6x |≤1，∴y ＝cos 6x 2x －2－x →0(x →＋∞)，排除C.∵y ＝cos 6x 2x －2－x ＝2x ·cos 6x 4x －1为奇函数，不妨考虑x ＞0时函数值的情况，当x →0时，4x →1,4x －1→0,2x →1，cos 6x →1，∴y →＋∞，故排除B ，综上知选D.(2)当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.] [变式训练6] (1)(2015·某某高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)(2015·高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0(1)D (2)C [(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．]客观题常用的6种解法已初步掌握，在突破点19～22的训练中一展身手吧！。
2025届高考历史二轮专题复习与测试专题强化练五晚清时期中国的内忧外患与救亡图存
专题强化练(五) 晚清时期中国的内忧外患与救亡图存一、选择题1．(2024·广东茂名二模)下表为1821—1850年北直隶宁津县的银钱比价和零售物价指数(注：设1821年银钱比价和零售物价指数为100)A．白银价格不断走低B．农夫和手工业者收入增长快C．小农经济渐渐解体D．农业和手工业生产发展受阻解析：据题干并结合所学可知，相比于农产品、手工业品零售物价指数，1821—1850年北直隶宁津县的银钱比价增长快，且幅度要大，银贵钱贱严峻，而农产品、手工业品的零售以铜钱交易为主，即农产品、手工业品更不值钱了，不利于农业和手工业的发展，故选D项；“不断走低”不合题意、史实，应为“不断走高”，解除A项；“增长快”不合逻辑，银贵钱贱会不利于农夫和手工业者的收入增加，解除B项；“小农经济”概念混淆，题干未见男耕女织的组织形式，解除C项。
答案：D2．(2024·辽宁鞍山一模)陈旭麓在《近代中国社会的新陈代谢》中说：“那个时候，正炮声初息，王朝中人惊魂甫定，与刚刚结束的一番遭受相比，12年之后的事是很渺茫的，正窃喜于‘万年合约’换来的太平，紫禁城景物照旧。
”这一番遭受( )A．带来中国社会性质的转变B．使外国力力进入中国内地C．使清政府沦为洋人的朝廷D．推动中国近代化蹒跚起步解析：据材料“那个时候，正炮声初息”可知指鸦片斗争，鸦片斗争使中国起先沦为半殖民地半封建社会，带来中国社会性质的转变，故选A项；其次次鸦片斗争使外国力力进入中国内地，解除B项；《辛丑条约》使清政府沦为洋人的朝廷，解除C项；洋务运动推动中国近代化蹒跚起步，解除D项。
答案：A3．(2024·广东一模)1862年，安徽巡抚唐训方发布《兴办屯垦告示》募民垦荒，并规定“如有外来客民，情愿领田耕种……一体借与牛力、籽种”。
这主要是因为当地( )A．经商风气冲击重农思想B．农夫大量前往上海谋生C．屡经战乱人口大量削减D．实业浪潮变更就业结构解析：据材料“1862年”“如有外来客民，情愿领田耕种……一体借与牛力、籽种”可知经验了太平天国运动的战乱冲击后，人口锐减，安徽当地政府主动招揽流民复原农业生产，故选C项；材料中出现招揽流民耕种的主要缘由战乱导致的人口削减，与经商风气无关，解除A项；安徽和江浙地区一样都遭了太平天国运动的波及，而且小农经济前提下的农夫不会轻易离开土地前往城市，解除B项；19世纪60年头民族资本主义刚刚产生，当时实业救国思潮对社会的冲击作用极其有限，解除D项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明：矩阵乘法 MN 的几何意义为对向量的连续实施的两 次几何变换(先 TN 后 TM)的复合变换．
主干知识梳理
专题七 第2讲
一般地，对于平面上的任意一个点 (向量)(x，y)，若按照 对应法则 T， 总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′， y′)，
本 讲 栏 目 开 关
则称 T 为一个变换，简记为 T：(x，y)→(x′，y′)或 T： x x′ → . y y′ 2．几种常见的平面变换 (1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换； (5)投影变换；(6)切变变换．
主干知识梳理
专题七 第2讲
1．矩阵乘法的定义
本 讲 栏 目 开 关
b11 一般地， 我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵 b 的乘法规则 21 b11 a b 为[a11，a12] ＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵 与列矩 c d b21 x a bx ax＋by 阵 的乘法规则为 ＝ . c d y y cx＋dy
－ － －
热点分类突破
(2013· 江苏)已知矩阵 矩阵 A－1B.
解 设矩阵 A
本 讲 栏 目 开 关
－1 则 0 －a 即 2c
a 的逆矩阵为 c
－1 A＝ 0
专题七 第2讲
1 0 ， B ＝ 0 2
2 ，求 6
本 讲 栏 目 开 关
(1)取曲线f(x，y)＝0上的任意一点A(x，y)； (2)A(x，y)通过二阶矩阵变换得A′(x′，y′)； (3)用x表示x′，y表示y′代入f(x，y)＝0，得g(x′，y′)＝ 0； (4)g(x′，y′)＝0用x代替x′，y代替y′，得g(x，y)＝0，即 为所求．
－ － －
②已知 A，B，C 为二阶矩阵，且 AB＝AC，若矩阵 A 存在逆 矩阵，则 B＝C.
主干知识梳理
专题七 第2讲
本 讲 栏 目 开 关
(4)逆矩阵与二元一次方程组 ax＋by＝m， 对于二元一次方程组 (ad－bc≠0)，若将 X＝ cx＋dy＝n x m 看成是原先的向量，而将 B ＝ y n 看成是经过系数矩阵 A＝ a b c d (ad－bc≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵 a b x m －1 －1 方程 AX ＝ B ， ＝ ，则 X ＝ A B ，其中 A ＝ c d y n －b d ad－bc ad－bc . －c a ad － bc ad － bc
热点分类突破
专题七 第2讲
求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法 设A
本 讲 栏 目 开 关
a 是一个二阶可逆矩阵 c
b ，AB＝BA＝E； d
(2)公式法 d － b a b |A| |A| －1 |A|＝ ， ＝ad－bc，有 A ＝ －c a c d |A| |A| 当且仅当|A|≠0； (3)利用逆矩阵的性质(AB) 1＝B 1A 1.
主干知识梳理
3．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念
专题七 第2讲
对于二阶矩阵 A， B， 若有 AB＝BA＝E， 则称 A 是可逆的，
本 讲 栏 目 开 关
B 称为 A 的逆矩阵．若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩 阵是唯一的，通常记 A 的逆矩阵为 A 1，A 1＝B.
－ －
(2)逆矩阵的求法 一般地，对于二阶可逆矩阵
专题七 第2讲
第2讲
【高考考情解读】
本 讲 栏 目 开 关
矩阵与变换
本讲从内容上看， 主要考查二阶矩阵的基本运算， 考查矩阵的 逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等． 从 形式上看， 以解答题为主， 本节知识是高考中数学教材和高等 数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经 常与其他知识结合， 在考查基础知识的同时， 考查转化与化归 等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为 10 分．
又
2 M＝ 0 2 0 x1 y1 1 0 0 ，所以 ＝ . 3 0 3 x2 y2 0 1
热点分类突破
所以 2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，
1 1 即 x1＝ ，y1＝0，x2＝0，y2＝ ， 2 3
主干知识梳理
专题七 第2讲
(3)特征多项式
a b 设λ是二阶矩阵A＝ c d 的一个特征值，它的一个特征向量 x x x x 为α＝ ，则A ＝λ ，即 y 满足二元一次方程组 y y y ax＋by＝λx， λ－ax－by＝0， 故 (*) cx＋dy＝λy， －cx＋λ－dy＝0.
热点分类突破
专题七 第2讲
常见矩阵变换的应用 1 0 0 2 例 1 已知矩阵 A ＝ ， B ＝ 1 1 3 2. 本 讲
栏 目 开 关
考点一
(1)求满足条件 AM＝B 的矩阵 M； (2)矩阵 M 对应的变换将曲线 C： x2＋y2＝1 变换为曲线 C′， 求曲线 C′的方程．
本 讲 栏 目 开 关
专题七 第2讲
1 0 2 －1 . 故所求的逆矩阵 M ＝ 1 0 3 (2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，它在矩阵 M 所对应的线性变 换作用下得到点 P′(x′，y′)，
a 则 0 0 ax＝x′， x x′ ＝ ，即 b y y′ by＝y′.
解得 y0＝0.
又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0＝1. 故点 P 的坐标为(1,0)．
热点分类突破
考点二 求二阶矩阵的逆矩阵 a 0 例 2 设矩阵 M＝ 0 b(其中 a>0，b>0)． － (1)若 a＝2，b＝3，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1；
本 讲 栏 目 开 关
a A＝ c
b (ad－bc≠0)，它的 d
－b d ad－bc ad－bc －1 逆矩阵为 A ＝ . －c a ad － bc ad － bc
主干知识梳理
专题 讲 栏 目 开 关
①若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且 (AB) 1＝B 1A 1.
热点分类突破
专题七 第2讲
1 A＝ 0
(2013· 福建)已知直线 l： ax＋y＝1 在矩阵 对应的变换作用下变为直线 l′：x＋by＝1. (1)求实数 a，b 的值；
本 讲 栏 目 开 关
x0 x0 A y ＝y ，求点 0 0
2 1
(2)若点 P(x0，y0)在直线 l 上，且
P 的坐标．
解 (1)设直线 l： ax＋y＝1 上任意点 M(x， y)在矩阵 A 对应的变 换作用下的象是 M′(x′，y′)．
x′ 1 由 ＝ y′ 0 x′＝x＋2y， 2 x x＋2y y＝ ，得 1 y y′＝y.
b ， d
本 讲 栏 目 开 关
由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时Dx＝0， Dy＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则 λ－a －b 必须有D＝0，即 ＝0. λ－d －c
主干知识梳理
专题七 第2讲
a b 定义：设A＝ c d 是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ) λ－a － b 2 ＝ ＝ λ －(a＋d)λ＋ad－bc. － c λ － d
主干知识梳理
专题七 第2讲
4．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向
本 讲 栏 目 开 关
量 α，使得 Aα＝λα，那么 λ 称为 A 的一个特征值，而 α 称 为 A 的一个属于特征值 λ 的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义 特征向量的方向经过变换矩阵 A 的作用后，保持在同一条 直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反 (λ<0)，特别地，当 λ＝0 时，特征向量就被变成了零向量．
热点分类突破
专题七 第2讲
x′2 又点 P′(x′，y′)在曲线 C′上，所以 ＋y′2＝1. 4
本 讲 栏 目 开 关
a2x2 2 2 则 4 ＋b y ＝1 为曲线 C 的方程． 又已知曲线 C 的方程为 又
2 a ＝4， 2 2 x ＋y ＝1，故 2 b ＝1.
a＝2， a>0，b>0，所以 b＝1.
本 讲 栏 目 开 关
称为A的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量 如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多 项式的一个根，它满足f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程 x0 x0 组(*)，就可以得到一组非零解 ，于是，非零向量 即为 y0 y0 A的属于λ的一个特征向量.
0 ∴M＝ 3
2 . 0
热点分类突破
专题七 第2讲
(2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)在矩阵 M 对应的变换作用下 变为点 P′(x′，y′)，
则
本 讲 栏 目 开 关
x 0 M y＝3 x 2y x′ 2 ＝ ＝ ， y 3x 0 y′
热点分类突破
专题七 第2讲
又点 M′(x′，y′)在 l′上，所以 x′＋by′＝1， 即 x＋(b＋2)y＝1，
本 讲 栏 目 开 关
a＝1， 依题意得 b＋2＝1， a＝1， 解得 b＝－1.
(2)由
x0 x x0＝x0＋2y0， 0 A ＝ ，得 y0 y0 y0＝y0，