上海市浦东新区2010年高考预测数学(理科)试卷_243
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解上海理科数学试题及答案
2010年高考上海理科数学试题及答案一、填空题（共13小题；共65分）1. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．2. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．3. 行列式 \（\begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．4. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．5. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．6. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．7. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．9. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．10. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．11. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．12. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．13. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）14. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−216. 若x0是方程12x=x13的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1217. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．20. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．21. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．22. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a2，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．2. y2=8x【解析】由定义知P的轨迹是以F2,0为焦点的抛物线，故p=4，所以其方程为y2=8x．3. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．4. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=22=3．5. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．6. S←S+a7. 0,−28. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．9. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．10. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1=11+0=1．11. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．12. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．13. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分14. A 【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．15. C【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．16. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．17. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分18. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.19. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．20. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ， 设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 21. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ． （2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．22. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。
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绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。
8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。
10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。
上海卷,高考数学试卷理科
2010年普通高等学校招生全国统一考试·理科数学(上海卷)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(2010上海,理1)不等式错误！未找到引用源。
>0的解集是_______.答案:(-4,2)2.(2010上海,理2)若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·错误！未找到引用源。
+z=_______.答案:6-2i3.(2010上海,理3)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为_______.答案:y2=8x4.(2010上海,理4)行列式错误！未找到引用源。
的值为_______.答案:05.(2010上海,理5)圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=_______.答案:36.(2010上海,理6)随机变量ξ的概率分布由下表给出:答案:8.27.(2010上海,理7)2010年上海世博会园区每天9:00开园,20:00停止入园.在下边的框图中,S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数,a表示整点报道前1个小时内入园人数,则空白的执行框内应填入_______.答案:S←S+a8.(2010上海,理8)对任意不等于1的正数a,函数f(x)=log a(x+3)的反函数的图像都过点P,则点P的坐标是_______.答案:(0,-2)9.(2010上海,理9)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”,则概率P(A∪B)=_______(结果用最简分数表示).答案:错误！未找到引用源。
10.(2010上海,理10)在n行n列矩阵错误！未找到引用源。
中,记位于第i行第j列的数为a ij(i,j=1,2,…,n).当n=9时,a11+a22+a33+…+a99=_______.答案:4511.(2010上海,理11)将直线l1:nx+y-n=0、l2:x+ny-n=0(n∈N*,n≥2)、x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S n,则错误！未找到引用源。
2010年上海高考数学试题及答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 不等式042>+-xx 的解集为_______________； 2、 若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4、 行列式6cos 3sin6sin3cosππππ的值为_________； 5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________；6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x7 8 9 10 P(x =ξ) 0.3 0.35 0.2 0.15则随机变量ξ的均值是__________；7、2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
8、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 。
9、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P （结果用最简分数表示）。
10、在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理科)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)1.不等式＞0的解集是________．【答案】(－4,2)【解析】＞0＜0即( x＋4)( x－2)＜0，解得：－4＜x＜2，所以不等式的解集为(－4,2)．2.若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝____________.【答案】6－2i【解析】法一：∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，∴z·＝(1－2i)(1＋2i)＝12－(2i)2＝1－(－4)＝5.∴z·＋z＝5＋(1－2i)＝6－2i.法二：∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，∴z·＋z＝z(＋1)＝(1－2i)(2＋2i)＝2－4i2－4i＋2i＝6－2i.3.若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．【答案】y2＝8x【解析】由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以F为焦点，以直线x＋2＝0为准线的抛物线，其方程为y2＝8 x.4.行列式的值为________．【答案】【解析】＝cos·cos－sin·sin＝cos(＋)＝cos＝0.5.圆C：x2＋y2－2 x－4 y＋4＝0的圆心到直线l：3 x＋4 y＋4＝0的距离d＝________. 【答案】3【解析】圆C：x2＋y2－2 x－4 y＋4＝0的圆心为C(1,2)，所以圆心C到直线l的距离为＝＝3.6.随机变量ξ则随机变量ξ的均值是________．【答案】8.2【解析】Eξ＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝2.1＋2.8＋1.8＋1.5＝8.2.7.2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在下边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________．【答案】S←S＋a【解析】由题意知，该程序框图的功能是统计每个整点报道的入园人数之和，所以应该把每个小时内入园的人数a进行累加，故该赋值语句应为S←S＋a.8.对任意不等于1的正数a，函数f( x)＝log a( x＋3)的反函数的图像都过点P，则点P 的坐标是________．【答案】(0，－2)【解析】法一：函数f( x)＝log a( x＋3)的反函数为g( x)＝a x－3，而g(0)＝a0－3＝－2.∴g( x)的图像都过点(0，－2)．法二：∵f(－2)＝log a1＝0，∴函数f( x)的图像都过点(－2,0)，又∵原函数与其反函数的图像关于直线y＝x对称，∴其反函数的图像经过点(0，－2)．9.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P( A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．【答案】【解析】52张扑克牌中红桃K只有1张，黑桃有13张，∴P( A)＝，P( B)＝＝，又因A、B为互斥事件，所以P( A∪B)＝P( A)＋P( B)＝＋＝＝.10.在n行n列矩阵中，记位于第i行第j列的数为a ij( i，j＝1,2，…，n)．当n＝9时，a11＋a22＋a33＋…＋a99＝________. 【答案】45【解析】由所给矩阵可知：当n＝9时，a ii( i＝1,2，…，9)分别为：1,3,5,7,9,2,4,6,8，故a11＋a22＋…＋a99＝1＋3＋5＋7＋9＋2＋4＋6＋8＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝＝45.11.将直线l1：nx＋y－n＝0、l2：x＋ny－n＝0( n∈N*，n≥2)、x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S n，则S n＝________.【答案】1【解析】如图阴影部分为直线l1，l2与x轴、y轴围成的封闭图形．由解得：M(，)，直线l1与两轴的交点分别为A(1,0)，D(0，n)；直线l2与两轴的交点分别为B( n,0)，C(0,1)．∴S阴＝S△OAM＋S△OCM＝×| OA|×| y M|＋| OC|×| x M|＝×1×＋×1×＝.∴S n＝＝＝1.12.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A( B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．【答案】【解析】因正方形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，所以折起后得到的几何体为四面体D—OAC，且OA( B)、OC、OD两两垂直，OA＝OC＝OD＝2，∴S△OAC＝×OA×OC＝×2×2＝4，又∵OD⊥面AOC，∴V DAOC＝×S△OAC×OD＝×4×2＝.13.如图所示，直线x＝2与双曲线Γ：－y2＝1的渐近线交于E1、E2两点，记＝e1，＝e2，任取双曲线Γ上的点P，若＝a e1＋b e2( a，b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．【答案】4ab＝1【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±，故E1(2,1)、E2(2，－1)∴＝e1＝(2,1)，＝e2＝(2，－1)．∴＝a e1＋b e2＝(2 a，a)＋(2 b，－b)＝(2 a＋2 b，a－b)，∴P(2 a＋2 b，a－b)．又∵P点在双曲线－y2＝1上．∴－( a－b)2＝1，整理得4 ab＝1.14.从集合U＝{ a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A B或B A.那么，共有________种不同的选法．【答案】36【解析】由题意知：、U必须在选出的集合中，又因任意两个集合之间都是子集关系，所以剩余2个集合C、D中所含元素的个数有3种情况．(1) C中含3个元素，D中含2个元素，且D中的2个元素应从C的3个元素中选取，则不同的选法有：·＝4×3＝12种，(2) C中含有3个元素，D中含有1个元素，且D中的这个元素应从C中3个元素中选取，不同的选法有：·＝4×3＝12种；(3) C中含有2个元素，D中含有1个元素，且D中的这个元素应从C中2个元素中选取，不同的选法有·＝6×2＝12种．∴不同的选法共有12＋12＋12＝36种．三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)19.已知0＜x＜，化简：lg(cos x·tan x＋1－2sin 2)＋lg[cos( x－)]－lg(1＋sin2 x)．【答案】解：原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(1＋sin2x)＝lg＝lg＝0.【解析】略20.已知数列{ a n}的前n项和为S n，且S n＝n－5 a n－85，n∈N*.(1).证明：{ a n－1}是等比数列；(2).求数列{ S n}的通项公式，并求出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．【答案】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，则a1－1＝－15.当n≥2时，S n－1＝( n－1)－5a n－1－85，∴a n＝S n－S n－1＝1－5a n＋5a n－1，∴6a n＝5a n－1＋1，即a n－1＝( a n－1－1)，∴{ a n－1}是首项为－15，公比为的等比数列．(2)解：a n－1＝－15·() n－1，∴S n＝n－5[1－15·() n－1]－85＝n＋75·() n－1－90.当n≥2时，设S n－S n－1＝a n＝1－15·() n－1＞0，即15·() n－1＜1，解得n＞＋1≈15.85.当2≤n≤15时，S n＜S n－1；当n≥16时，S n＞S n－1.故n＝15时，S n取得最小值．【解析】略21.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2).在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数表示)．【答案】解：(1)设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－( r－0.4)2＋0.16]，其中0＜r＜0.6.∴当半径r＝0.4(米)时，S max＝0.48π≈1.51(平方米)．(2)当r＝0.3时，由2r＋h＝1.2，解得圆柱的高h＝0.6(米)．如图所示，以直线A3A7、A1A5及圆柱的轴为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．则有A1(0，－0.3,0)，B3(0.3,0,0.6)，A3(0.3,0,0)，B5(0,0.3,0.6)，＝(0.3,0.3,0.6)，＝(－0.3,0.3,0.6)，异面直线A1B3、A3B5所成角α有cosα＝＝.∴两根霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为arccos.【解析】略22.若实数x、y、m满足| x－m|＞| y－m|，则称x比y远离m.(1).若x2－1比1远离0，求x的取值范围；(2).对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2 ab；(3).已知函数f( x)的定义域D＝{ x| x≠＋，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f( x)等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f( x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)(1)解：由题意得| x2－1|＞1，x2－1＜－1或x2－1＞1，即x2＜0或x2＞2，∴x的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)证明：当a、b是不相等的正数时，a3＋b3－( a2b＋ab2)＝( a－b)2( a＋b)＞0，又a2b＋ab2＞2ab，则a3＋b3＞a2b＋ab2＞2ab＞0，于是| a3＋b3－2ab|＞| a2b＋ab2－2ab|，∴a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab.(3)解：若|sin x|＞|cos x|，即sin2x＞cos2x，cos2x＜0，2kπ＋＜2x＜2kπ＋，kπ＋＜x＜kπ＋( k∈Z)；同理，若|cos x|＞|sin x|，则kπ＋＜x＜kπ＋( k∈Z)．于是，函数f( x)的解析式是f( x)＝函数f( x)的大致图像如下：函数f( x)的最小正周期T＝2π.函数f( x)是非奇非偶函数．当x＝2kπ或x＝2kπ＋( k∈Z)时，函数f( x)取得最大值1.当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋( k∈Z)时，函数f( x)取得最小值－1.函数f( x)在区间(2kπ＋，2kπ＋]，[2kπ＋π，2kπ＋)，[2kπ＋，2kπ＋)，(2kπ＋，2kπ＋2π]( k∈Z)上单调递增．在区间[2kπ，2kπ＋)，[2kπ＋，2kπ＋)，(2kπ＋，2kπ＋π]，(2kπ＋，2kπ＋]( k∈Z)上单调递减．【解析】略23.已知椭圆Γ的方程为＋＝1( a＞b＞0)，点P的坐标为(－a，b)．(1).若直角坐标平面上的点M、A(0, －b)、B( a,0)满足＝(＋)，求点M的坐标；(2).设直线l1：y＝k1x＋p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y＝k2x于点E.若k1·k2＝－，证明：E为CD的中点；(3).对于椭圆Γ上的点Q( acosθ，bsinθ)(0＜θ＜π)，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点P1、P2满足＋＝，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围．【答案】(1)解：设点M的坐标为( x0，y0)，∵＝( a，－2b)，＝(2a，－b)，∴＝(＋)＝(a，－b)＝( x0＋a，y0－b)，于是，点M的坐标为(，－)．(2)证明：由得( b2＋a2) x2＋2a2k1px＋a2p2－a2b2＝0，∴CD中点坐标为(－，)．∵k1·k2＝－，∴k2＝－.由得l1与l2的交点E的坐标为(－，)．∴l1与l2的交点E为CD的中点．(3)解：第一步：取PQ的中点R(，)；第二步：过点R作斜率为－的直线交Γ于P1、P2两点．由(2)可知，R是P1P2的中点，则PP1QP2是平行四边形，有＋＝.要使P1、P2存在，则点R(，)必须在椭圆内．将x＝代入椭圆Γ的方程，得y2＝b2[1－]，当且仅当＜b2[1－]时，点R在椭圆内．整理得(1＋sinθ)2＋(cosθ－1)2＜4，即2sinθ－2cosθ＜1，亦即sin( θ－)＜，又0＜θ＜π，∴0＜θ＜＋arcsin.【解析】略二、选择题(本大题共4小题，共20.0分)15.“x＝2 kπ＋( k∈Z)”是“tan x＝1”成立的… ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“tan x＝1”的充要条件为“x＝kπ＋( k∈Z)”，而“x＝2 kπ＋( k∈Z)”是“x＝kπ＋( k∈Z)”的充分不必要条件，所以“x＝2 kπ＋( k∈Z)”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．16.直线l的参数方程是( t∈R)，则l的方向向量d可以是()A.(1,2)B.(2,1)C.(－2,1)D.(1, －2)【答案】C【解析】消去参数t，得直线l的方程为x＋2 y－5＝0，其斜率k＝－，∴l的一个方向向量a＝(1，－)，∴t a( t≠0)也为l的方向向量，当t＝－2时，d＝(－2,1)．17.若x0是方程的解，则x0属于区间…()A.(，1)B.(，)C.(，)D.(0，)【答案】C【解析】∴f()·f()＜0∴x0∈(，)．18.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人能()A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形【答案】D【解析】设三角形的面积为S，三边长度分别为a，b，c，则由题意知：×a×＝S，×b×＝S，×c×＝S，∴a＝26 S，b＝22 S，c＝10 S.∵b＋c＝32 S＞26 S＝a.∴存在这样的三角形，且a边最长．b2＋c2＝(22 S)2＋(10 S)2＝484 S2＋100 S2＝584 S2＜(26 S)2＝676 S2，∴该三角形为钝角三角形．。
2010年上海高考数学试卷
2010年上海高考数学试卷2010年高考数学:理科:上海试题一、填空题(本大题满分56分，每小题4分)2,x1(不等式的解集是_______________( ,0x，42(若复数z,1,2i(i为虚数单位)，则,_______________( zzz,，3(动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x，2,0的距离相等，则点P的轨迹方程为_________(,,cossin364(行列式的值是_______________( ,,sincos3622开始 5(圆C:x，y,2x,4y，4,0的圆心到直线3x，4y，4,0的距离d,_______________(T?9,S?0 6(随机变量的概率分布由下表给出: ,x 7 8 9 10输出T,S =x) P(,0.2 0.35 0.15 0.3否则该随机变量的均值是_______________( ,T?19 7(2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园(在右边是的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框T?T，1内应填入_______________(8(对于不等于1的正数a，函数f(x),log(x，3)的反函数的图像都经a输入a 过点P，则点P的坐标为_______________(9(从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率______________(结果用最简分数表示)( PAB(),结束 12321nnn,,,,,,23411nn,,,,,10(在n行n列矩阵中，记位于34512n,,,,,,nnnn12321,,,,,第i行第j列的数为a(i,j,1,2,???,n)(当n,9时，a，a，a，???，a,_______________( ij1122339911(将直线l:nx，y,n,0、l:x，ny,n,0(n,N*)、x 轴、y轴围成12D C 的封闭区域的面积记为S， n则,_______________( limSn,,nO 12(如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去,AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积B A是_______________(2x2y ,,,:1y13(如图所示，直线x,2与双曲线的渐近线交于4E1 OEe,OEe,,、两点，记，，任取双曲线上的EE221112x O OPaebeabR,，,(,)点P，若， 12E2 则a、b满足的一个等式是_______________(14(从集合的子集中选出4个不同的子集， Uabcd,{,,,}需同时满足以下两个条件:(1) 都要选出;(2)对选出的任意两个子集A和B，必有或( ,,UAB,AB,那么，共有___________种不同的选择(二、选择题(本大题满分20分，每小题5分),(k,Z)”是“tanx,1”成立的15(“xk,，2,4( )A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充要条件 D(既不充分也不必要条件xt,，12,()t,R16(直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是 d,yt,,2, ( )A((1,2) B((2,1) C((,2,1) D((1,,2)x11,,3,x17(若x是方程的解，则x属于区间 ( ) 00,,2,,212111,,,,,,,,A( B( C( D( ,,1,0,,,,,,,,,323323,,,,,,,,11118(某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将51311( )A(不能作出满足要求的三角形 B(作出一个锐角三角形 C(作出一个直角三角形D(作出一个钝角三角形三、解答题(本大题满分74分)19((本题满分12分)x,,20,,xlg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)xxxx,，,，,,，已知，化简:( 22420((本题满分13分)第1小题满分5分，第2小题满分8分(已知数列{a}的前n项和为S，且S,n,5a,85,n,N*( nnnn(1) 证明:{a,1}是等比数列; n(2) 求数列{S}的通项公式，并指出n为何值时，S取得最小值，并说明理由( nn20((本题满分14分)第1小题满分5分，第2小题满分8分(如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全BB7 8 等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝(骨架将圆柱底面8等B6 B1 分(再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装B上底面)( 5 B2 BB(1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值,并求出3 4 该最大值(结果精确到0.01平方米);(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯(当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯AB、AB所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值1335AA8 7 A6 表示)( A1A5 A2 AA4 322((本题满分18分)第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分(若实数x、y、m满足|x,m|，|y,m|，则称x比y远离m(2(1) 若x,1比1远离0，求x的取值范围;3322(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明:a，b比ab，ab远离; 2ababk,,(3) 已知函数f(x)的定义域Dxxkx,,，,,{|,,}ZR(任取x,D，f(x)等于sinx和24cosx中远离0的那个值(写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)23((本题满分18分)第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分(22xy，,,,1(0)ab,已知椭圆的方程为，点P的坐标为(,a,b)( 22ab1A(0,,b)、B(a,0)满足，求点M的坐标; (1) 若直角坐标平面上的点M、PMPAPB,，()22bkk,,,(2) 设直线l:y,kx，p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l:y,kx于点E(若， 1122122a证明:E为CD的中点;(3) 对于椭圆Γ上的点Q(acos, ,bsin, )(0<, <,)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P、P12PPPPPQ，,使，写出求作点P、P的步骤，并求出使P、P存在的, 的取值范围( 121212答案\一、填空题21((,4,2); 2(6,2i; 3(y,8x; 4(0; 5(3; 6(8.2; 7(S?S，a;7828((0,,2); 9(; 10(45; 11(1; 12(; 13(4ab,1; 14(36( 263二、选择题15(A; 16(C; 17(C; 18(D( 三、解答题219(原式,lg(sinx，cosx)，lg(cosx，sinx),lg(sinx，cosx),0(5aa,,,20((1) 当n,1时，a,,14;当n?2时，a,S,S,,5a，5a，1，所以，1(1)1nnn,1nn,1nn,16又a,1,,15?0，所以数列{a,1}是等比数列; 1nn,1n,1n,1555,,,,,,a,,,,115a,,,115Sn,,，,7590(2) 由(1)知:，得，从而(n,N*); nn,,,,n,,666,,,,,,n,1522,,解不等式S<S，得,，，当n?15时，数列{S}单调递增;n,，,log114.9nn，1n,,56525,,6同理可得，当n?15时，数列{S}单调递减;故当n,15时，S取得最小值( nn 221((1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l,1.2,2r(0<r<0.6)，S,,3,(r,0.4)，0.48,，所以当r,0.4时，S取得最大值约为1.51平方米;AB,,(0.3,0.3,0.6)AB,,,(0.3,0.3,0.6)(2) 当r,0.3时，l,0.6，建立空间直角坐标系，可得，， 1335,ABAB21335,ABAB设向量与的夹角为,，则cos,,， 13353||||ABAB,13352所以AB所在异面直线所成角的大小为( B、Aarccos13353x,,,,，,(,2)(2.)22((1) ;3322(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，ababab，,2abababab，,233222|2||2|()()0ababababababababab，,,，,,，,,因为， 33223322|2||2|ababababababab，,,，,所以，即a，b比ab，ab远离;2abab,,3,sin,(,)xxkk,，，,,,,44(3) ， fx(),,,,,cos,(,)xxkk,,，,,,,44,T性质:1:f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2:f(x)是周期函数，最小正周期,， 2kk,,,kk,,,3:函数f(x)在区间(,],单调递增，在区间[,)，单调递减，k,Z，24222424:函数f(x)的值域为( (,1]2ab23((1) M(,),; 22ykxp,，,1,2222222222()2()0akbxakpxapb，，，,,(2) 由方程组，消y得方程， ,xy11，,1,22ab,D,lykxp:,，因为直线交椭圆于、两点， C112222akbp，,,0所以,>0，即， 1设C(x,y)、D(x,y)，CD中点坐标为(x,y)， 1122002,xxakp，121x,,,,02222akb，,1则， ,2bp,ykxp,，,010222,akb，,1ykxp,，,1由方程组，消y得方程(k,k)x,p， 21,ykx,2,2,akpp1xx,,,,,02222kkakb,，b,211又因为，所以，k,,,222akbp,1ykxy,,,20222,akb，1,故E为CD的中点;ab(1cos)(1sin),，,,(3) 求作点P、P的步骤:1:求出PQ的中点， E(,),1222 b(1sin)，,2:求出直线OE的斜率， k,,2a(1cos),,2bb(1cos),,PPPPPQ，,3:由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，k,,,1212aka(1sin)，,2bba(1sin)(1cos)(1cos)，,,,,,4:从而得直线CD的方程:， yx,,，()2(1sin)2a，,5:将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P、P的坐标( 12欲使P、P存在，必须点E在椭圆内， 1222(1cos)(1sin),，,,1,2，,1所以，化简得,,,,，， sincos,,sin(),44244 ,,,3,,2又0<, <,，即,,,,，所以， ,,,,,arcsin,444444,2故, 的取值范围是( ，(0,arcsin)44。
2010年高考新课标理科数学试题及参考答案(估分)-中大网校
2010年高考新课标理科数学试题及参考答案(估分)总分：150分及格：90分考试时间：120分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
(1)<Ahref="javascript:;"></A >(2)<Ahref="javascript:;"></A>(3)<A href="javascript:;"></A>(4)<Ahref="javascript:;"></A>(5) <A href="javascript:;"></A>(6)<Ahref="javascript:;"></A>(7)<A href="javascript:;"></A><A href="javascript:;"></A>(8)<Ahref="javascript:;"></A> (9)<Ahref="javascript:;"></ A>(10)<Ahref="javascript:;"></A>(11)<Ahref="javascript:;"></A>(12)<Ahref="javascript:;"></A>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(1)<A href="javascript:;"></A><A href="javascript:;"></A>(2)<Ahref="javascript:;"></A >(3)<Ahref="javascript:;"></A>(4)<ahref="javascript:;"></a>三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2010年高考理科数学(上海)卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.不等式204xx ->+的解集是 . 2.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= .3. 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 .4.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 .5. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d = . 6. 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是 .7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 .8.对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 .9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P （A ⋃B ）= （结果用最简分数表示）10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=.11. 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去△AOB,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为13。
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上海市浦东新区2010年高考预测数学（理科）试卷注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若33cos =α，则=α2cos .2．不等式0112<+-x x 的解是 .3. 若自然数n 满足206=n C ，则行列式=-nnn 321 .4．已知集合{}R x x y y A ∈==,sin ，集合{}R x x y y B ∈==,，则=B A . 5. 532)23(xx -的二项展开式中，常数项的值是 .6．已知一组数据7、8、9、x 、y 的平均数是8，则这组数据的中位数是 .7．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 ．8．有一种叫做“天天彩”的彩票，每注售价为2元. 设一等奖、二等奖两种奖. 一等奖中奖的概率0.1%，奖金为100元；二等奖中奖的概率为10%，奖金为10元. 那么购买一注彩票的期望收益是 .9．在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a +的最小值为 . 10．以双曲线116422=-yx的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为 .11．设点A （1,1）、B （1,－1），O 是坐标原点，将OAB ∆绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为 .12．设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 .13．设函数)(x f y =由方程1||||=+y y x x 确定，下列结论正确的是 .（请将你认为正确的序号都填上） （１）)(x f 是R 上的单调递减函数； （２）对于任意R x ∈，0)(>+x x f 恒成立；（３）对于任意R a ∈，关于x 的方程a x f =)(都有解；（４）)(x f 存在反函数)(1x f-，且对于任意R x ∈，总有)()(1x fx f -=成立.14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x x f ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为_______________.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15．“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．在极坐标系中，与点)3,2(πP 关于极点对称的点的坐标是 （ ）A ．）3,2(π--B ．）34,2(π- C ．）3,2(π-D ．）32,2(π-17．设O 为坐标原点，复数z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q ，则下列结论中不一定．．．正确．．的是（ ）A ．||||21OQ OP z z +=+B ．|||21OP z z =- C ．||||||||21OQ OP z z +=+D ．|||21OP z z ⋅=⋅18．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a 、中心在原点O 的正六边形ABCDEF ，Ox AB //. 直线为常数）k t kx y L (:+= 与正六边形交于M 、N 两点，记OMN ∆的面积为S ，则函数)(t f S =的奇偶性为 （ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形, 且AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点, 设h MC =.（１）若C A BM 1⊥，求h 的值； （２）若直线AM 与平面ABC 所成的角为4π，求多面体111C B A ABM -的体积.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知向量)3cos ,(,),3sin 3(m x m b y x a -=-=)(R m ∈，且0=+b a . 设)(x f y =.（1）求)(x f 的表达式，并求函数)(x f 在]92,18[ππ上图像最低点M 的坐标.（2）若对任意]9,0[π∈x ，19)(+->x t x f 恒成立，求实数t 的范围.21．（本大题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和1B 1C离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即1=n ；9点20分作为第二个计算人数的时间，即2=n ；依此类推 ，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.对第n 个时刻进入园区的人数()f n 和时间n （n N *∈）满足以下关系（如图1）： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤⋅≤≤=-)9073(0)7237(21600300)3625(33600)241(3600)(1224n n n n n n f n ，*∈N n对第n 个时刻离开园区的人数()g n 和时间n （n N *∈）满足以下关系（如图2）： ⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤≤≤-≤≤=*Nn n n n n n g ,)9073(5000)7225(12000500)241(0)(（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？ （2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设复数),(R y x yi x ∈+=β与复平面上点),(y x P 对应.（1）若β是关于t 的一元二次方程220t t m -+=（m R ∈）的一个虚根，且2||=β，求实数m 的值；（2）设复数β满足条件a a n n )1(3|3|)1(|3|-+=--++ββ（其中n N *∈、常数)3,23(∈a ），当n 为奇数时，动点()P x y 、的轨迹为1C . 当n 为偶数时，动点()P x y 、的轨迹为2C . 且两条曲线都经过点(2,D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点B()00,0(0)x x >的最小距(g 图2离不小于332，求实数0x 的取值范围.23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知函数2()log f x x =. （1）若)(x f 的反函数是)(1x f-，解方程：1)(3)12(11-=+--x fx f；（2）当)(]33,3(N m m m x ∈+∈时，定义)3()(m x f x g -=. 设)(n g n a n ⋅=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求1a 、2a 、3a 、4a 和n S 3；（3）对于任意a 、b 、[,)∈+∞c M ，且a b c ≥≥. 当a 、b 、c 能作为一个三角形的三边长时，()f a 、()f b 、()f c 也总能作为某个三角形的三边长，试探究M 的最小值.参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若33cos =α，则=α2cos 31-.2．不等式0112<+-x x 的解是 )21,1(- . 3. 若自然数n 满足206=n C ，则行列式=-nnn 321 12 .4．已知集合{}R x x y y A ∈==,sin ，集合{}R x x y y B ∈==,，则=B A ]1,0[ . 5. 532)23(xx -的二项展开式中，常数项的值是 1080 .6．已知一组数据7、8、9、x 、y 的平均数是8，则这组数据的中位数是 8 .7．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 729 ． 8．有一种叫做“天天彩”的彩票，每注售价为2元. 设一等奖、二等奖两种奖. 一等奖中奖的概率0.1%，奖金为100元；二等奖中 奖的概率为10%，奖金为10元. 那么购买一注彩票的期望收益 是 9.0- .9．在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a +的最小值为10．以双曲线116422=-yx的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为 25)52(22=+-y x .11．设点A （1,1）、B （1,－1），O 是坐标原点，将OAB ∆绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为34π.12．设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是)2,4[--.13．设函数)(x f y =由方程1||||=+y y x x 确定，下列结论正确的是（１）（２）（３）（４）.（请将你认为正确的序号都填上） （１）)(x f 是R 上的单调递减函数； （２）对于任意R x ∈，0)(>+x x f 恒成立；（３）对于任意R a ∈，关于x 的方程a x f =)(都有解；（４）)(x f 存在反函数)(1x f-，且对于任意R x ∈，总有)()(1x fx f -=成立.14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有 不等式1212()()()22f x f x x x f ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 []13,25 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.15．“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的 （ C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．在极坐标系中，与点)3,2(πP 关于极点对称的点的坐标是( D )A ．）3,2(π--B ．）34,2(π- C ．）3,2(π-D ．）32,2(π-17．设O 为坐标原点，复数z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q ，则下列结论中不一定．．．正确．．的是（ D ）A ．||||21OQ OP z z +=+B ．||||21OQ OP z z -=-C ．||||||||21OQ OP z z +=+D ．||||21OQ OP z z ⋅=⋅18．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a 、中心在原点O 的正六边形ABCDEF ，Ox AB //. 直线为常数）k t kx y L (:+= 与正六边形交于M 、N 两点，记OMN ∆的面积为S ，则函数)(t f S =的奇偶性为 ( A )A ．偶函数B ．奇函数C ．不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形, 且AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点, 设h MC =.（１）若C A BM 1⊥，求h 的值； （２）若直线AM 与平面ABC 所成的角为4π，求多面体111C B A ABM -的体积.解：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,),2,0(h M ，)4,0,0(1A ,)0,2,0(C …………………………………………2分),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A …………………………2分由C A BM 1⊥得，01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h 解得1=h ………………………………………………………2分 （2）由题意知，平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(=n ，),2,0(h AM =……………………………………………………………………………………2分1B 1Cx y因为直线AM 与平面ABC 所成的角为4π，所以2422hh +=解得2=h …………………2分三棱锥ABC M -的体积3431=⋅=∆-MC S V ABC ABC M三棱柱111C B A AB C-体积161=⋅=∆CC S V ABC …………………………………………………2分所以多面体111C B A ABM -的体积3443416111=-=-C B A ABMV ……………………………………2分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知向量)3cos ,(,),3sin 3(m x m b y x a -=-=)(R m ∈，且0=+b a . 设)(x f y =.（1）求)(x f 的表达式，并求函数)(x f 在]92,18[ππ上图像最低点M 的坐标.（2）若对任意]9,0[π∈x ，19)(+->x t x f 恒成立，求实数t 的范围.解：（1）0=+b a ，即⎩⎨⎧=-+-=+03cos 03sin 3m x y m x ，…………………………………………………………2分 消去m ，得x x y 3cos 3sin 3+=，即)63sin(23cos 3sin 3)(π+=+=x x x x f ，…………………………………………2分 ]92,18[ππ∈x 时， 63π+x ]65,3[ππ∈，]1,21[)63sin(∈+πx ，…………………………2分即)(x f 的最小值为1-，此时92π=x所以函数)(x f 的图像上最低点M的坐标是)1,92(-π……………………………………2分（2）19)(+->x t x f , 即19)63sin(2+>++t x x π，当]9,0[π∈x 时, 函数)63sin(2)(π+=x x f 单调递增，x y 9=单调递增，所以xx y 9)63si n (2++=π在]9,0[π上单调递增，………………………………………2分 所以x x y 9)63si n (2++=π的最小值为1, …………………………………………………2分 为要19)63s i n (2+>++t x x π恒成立，只要11<+t ，所以0<t 为所求.………………2分21．（本大题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即1=n ；9点20分作为第二个计算人数的时间，即2=n ；依此类推 ，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.对第n 个时刻进入园区的人数()f n 和时间n （n N *∈）满足以下关系（如图1）： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤⋅≤≤=-)9073(0)7237(21600300)3625(33600)241(3600)(1224n n n n n n f n ，*∈N n对第n 个时刻离开园区的人数()g n 和时间 n （n N *∈）满足以下关系（如图2）：⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤≤≤-≤≤=*Nn n n n n n g ,)9073(5000)7225(12000500)241(0)(（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）（图1）(g时，世博园区内共有多少游客？ （2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.解：（1）当024n ≤≤且n N *∈时，()3600f n =，当3625≤≤n 且n N*∈时，2412()36003n f n -=⋅……………………………………………2分 所以[]36(1)(2)(3)(24)S f f f f =+++++…[])36()26()25(f f f ++++=3600×24+3600×1⎡⎤-=86400+82299.59=168700；……………………………………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是： 12(25)(26)(36)T g g g =+++ 12=×50012115002⨯+⨯39000=；…………………2分所以361216870039000129700S S T =-=-=（人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有129700位游客. ……………………2分（2）当0)()(≥-n g n f 时园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时园内游客人数递减.(i)当241≤≤n 时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；……………………………………2分(ii)当3625≤≤n 时，令360012000500≤-n ，得出31≤n ，即当3125≤≤n 时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………2分当3632≤≤n 时，12000500336001224->⋅-n n ，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；………………………………………………………………………………………………………………………2分(iii)当7237≤≤n 时， 令3002160050012000n n -+=-时，42n =，即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………………………2分22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设复数),(R y x yi x ∈+=β与复平面上点),(y x P 对应.（1）若β是关于t 的一元二次方程220t t m -+=（m R ∈）的一个虚根，且2||=β，求实数m 的值；（2）设复数β满足条件a a n n )1(3|3|)1(|3|-+=--++ββ（其中n N *∈、常数)3,23(∈a ），当n 为奇数时，动点()P x y 、的轨迹为1C . 当n 为偶数时，动点()P x y 、的轨迹为2C . 且两条曲线都经过点(2,D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点B ()00,0(0)x x >的最小距离不小于332，求实数0x 的取值范围.解：（1）β是方程的一个虚根，则β是方程的另一个虚根，……………………………………………………2分则4||2===⋅βββm ，所以4=m ………………………………………………………………………2分（2）方法1：①当n 为奇数时，332a αα+--=，常数)3,23(∈a ），轨迹1C 为双曲线，其方程为222219x yaa-=-；……………………………………………………………2分②当n 为偶数时，334a αα++-=，常数)3,23(∈a ）， 轨迹2C 为椭圆，其方程为22221449xyaa +=-；……………………………………………………………2分依题意得方程组22224214494219a a aa ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩⎩⎨⎧=+-=+-⇒036150994542424a a a a 解得23a =， 因为332a <<，所以a =此时轨迹为1C 与2C 的方程分别是：22136xy-=，221123xy+=.………………………………………2分方法2：依题意得⎩⎨⎧=--+=-++a a 2|3||3|4|3||3|ββββ⎩⎨⎧=-=+⇒a a|3|3|3|ββ ……………………………………………………2分 轨迹为1C 与2C都经过点D，且点D 对应的复数i 22+=β， 代入上式得3=a ，……………………………………………………………………………………………………2分即32|3||3|=--+ββ对应的轨迹1C 是双曲线，方程为22136xy-=；34|3||3|=-++ββ对应的轨迹2C 是椭圆，方程为221123xy+=.………………………………………2分（3）由（2）知，轨迹2C ：221123xy+=，设点A 的坐标为(),x y ，则2202202413)()(||x x x y x x AB -+-=+-= 2202002313)34(433243x x x x x x x -+-=++-=，]32,32[-∈x ………………………………………2分当323400≤<x 即23300≤<x 时，34313||20min 2≥-=x AB 500≤<⇒x当32340>x 即2330>x 时，332|32|||0min ≥-=x AB 3380≥⇒x ，………………………………2分综上 500≤<x 或3380≥x .……………………………………………………………………………………2分23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知函数2()log f x x =. （1）若)(x f 的反函数是)(1x f-，解方程：1)(3)12(11-=+--x fx f；（2）当)(]33,3(N m m m x ∈+∈时，定义)3()(m x f x g -=. 设)(n g n a n ⋅=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求1a 、2a 、3a 、4a 和n S 3；（3）对于任意a 、b 、[,)∈+∞c M ，且a b c ≥≥. 当a 、b 、c 能作为一个三角形的三边长时，()f a 、()f b 、()f c 也总能作为某个三角形的三边长，试探究M 的最小值. 解：（1） 函数()y g x =是函数(21)y f x =+的反函数，2()log f x x = ∴1()(21)()2xg x x R =-∈，而(2)3()6g x g x =+∴211(21)3(21)622xx-=⋅-+，即22321xx-⋅-= ………………………………………………2分 (22)(25)0xx+⋅-=，∴25x=故：原方程的解为2lo g 5x =……………………………………………………………………………………2分(2) 若1(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴(1)(1)0f ϕ==，∴1100a =⨯=若2(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴(2)(2)1f ϕ==，∴2212a =⨯= 若3(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴2(3)(3)log 3f ϕ==，∴323log 3a =若4(3,33]m m ∈+，∴1m =，∴(4)(1)0f ϕ==，∴4400a =⨯=……………………………2分当31()n m m N =+∈时，()(3)(1)0n f n m f ϕ=-==，∴00n a n =⨯= 当32()n m m N =+∈时，()(3)(2)1n f n m f ϕ=-==，∴1n a n n =⨯= 当33()n m m N =+∈时，2()(3)(3)ln f n mf ϕ=-==，∴2log 3n a n =…………………2分3log23321323log )3963(1)13852(3log315043log312012222343213⨯⨯++⨯-+=+++++⨯-++++=++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=n n n n n n n a a a a a S n n[]3log )33(1322+++=n n n ……………………………………………………………………………………2分 (3) 由题意知，c b a +>若(),(),()f a f b f c 能作为某个三角形的三边长222lo g lo g l o g c b ab c a ⇔+>⇔>…………2分又：(1)(1)1bc b c b c ≥+⇔--≥当2,2b c ≥≥时，有(1)(1)1b c --≥成立，则一定有b c a >成立. …………………………………2分,1,0log 2>∴>c c 即10≤<M 不合题意. ……………………………………………………………2分又当21<<M 时，取2,,b M c M a M ===，有2M M M+>,即b c a +>，此时,,a b c 可作为一个三角形的三边长，但22222log log 2log log M M M M +==，即()()()f b f c f a +=，所以()f a 、()f b 、()f c 不能作为三角形的三边长. 综上所述，M的最小值为2. ……………………………………………………………………………………2分解法2：a b c ≥≥，由题意知，b c a +> 若(),(),()f a f b f c 能作为某个三角形的三边长222log log log b c a ⇔+>bc a ⇔>…………2分设1a c p =+ , 2b c p =+ 120p p ≥≥若1200p p =⇒=，则1a b c ==>，(),(),()f a f b f c 显然能作为某个三角形三边长………2分若10p ≠，由（1）知12c p p >-.由(2)知bc a >⇒12c p a c bc p +>=+1221p p c p -=++……………2分而21c p p +>，则1212210p p p p c p p --≤≤⇒+121222111122p p p p p c p p p --≤<+=-≤+故：2c ≥…………………………………………………………………………………………………………………2分。