2.2.3反射变换
傅里叶变换的例子
傅里叶变换的例子介绍傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数或信号表示为一组正弦和余弦函数的和。
它在信号处理、图像处理、物理学等领域中被广泛应用。
本文将通过几个例子来说明傅里叶变换的应用。
例子1：音频信号处理1.1 音频信号的频谱分析音频信号可以表示为一个时间域的波形，但傅里叶变换可以将其转换为频域的表示。
通过傅里叶变换，我们可以获得音频信号的频谱信息，即不同频率成分的强度。
1.2 使用傅里叶变换进行降噪处理傅里叶变换可以将信号分解为不同频率成分，因此可以通过滤除不需要的频率成分来对信号进行降噪处理。
这在音频处理中非常有用，可以去除环境噪音或其他干扰。
1.3 声音合成傅里叶变换还可以用于声音合成。
通过合成不同频率的正弦波，可以生成具有不同音高和音色的声音。
例子2：图像处理2.1 图像压缩傅里叶变换在图像压缩中起着重要的作用。
通过将图像转换到频域，可以去除高频成分，从而减小图像的大小。
这在JPEG图像压缩算法中被广泛使用。
2.2 边缘检测傅里叶变换也可以用于边缘检测。
边缘通常表示为图像中灰度变化较大的区域，而傅里叶变换可以提取出这些频域上的高频成分，从而定位图像的边缘。
2.3 图像滤波傅里叶变换还可以用于图像滤波。
通过在频域对图像进行滤波操作，可以实现对图像的模糊、锐化、增强等效果。
2.4 图像恢复当图像受到噪声或其他损坏时，傅里叶变换可以帮助我们恢复原始图像。
通过滤波和反变换操作，可以去除噪声或修复损坏的部分。
例子3：物理学应用3.1 信号分析傅里叶变换在物理学中常用于信号分析。
例如，通过对光谱信号进行傅里叶变换，可以分析出不同频率的光型，从而研究物质的光学特性。
3.2 波动方程求解傅里叶变换还可以用于求解波动方程。
通过将波动方程转换为频域，可以简化求解过程，从而得到波动方程的解析解。
3.3 反射和折射傅里叶变换也可以分析光线在不同介质中的反射和折射行为。
通过将光线的波动特性表示为频域上的分布，可以研究光在界面上的反射和透射规律。
苏教版高中数学章节目录(泰州地区)
苏教版高中数学章节目录(泰州地区)必修一第一章集合1.1 集合的含义及其表示1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数的概念和图象2.2 指数函数2.3 对数函数2.4 幂函数2.5 函数与方程2.6 函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系1.3 空间几何体的表面积和体积第二章2.1 直线与方程2.2 圆与方程2.3 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1 算法的含义1.2 流程图1.3 基本算法语句1.4算法案例第二章统计2.1 抽样方法2.2 总体分布的估计2.3 总体特征数的估计2.4 线性回归方程第三章概率3.1 随机事件及其概率3.2 古典概型3.3 几何概型3.4 互斥事件必修四第一章三角函数1.1 任意角、弧度1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的图象和性质第二章平面向量2.1 向量的概念和表示2.2 向量的线性运算2.3 向量的坐标表示2.4 向量的数量积2.5 向量的应用第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.2 二倍角的三角函数3.3 几个三角恒等式必修五第一章解三角型1.1 正弦定理1.2 余弦定理1.3 正弦定理、余弦定理的应用第二章数列3.1 数列2.2 等差数列2.3 等比数列第三章不等式3.1 不等关系3.2 一元二次不等式3.3 二元一次不等式与简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 简单的逻辑联结词1.3 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线2.5 圆锥曲线的统一定义2.6 曲线与方程第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 空间向量的应用选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 导数在实际生活中的应用1.5 定积分第二章推理与证明2.1 合情推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充3.2 复数的四则运算3.3 复数的几何意义选修2-3第一章计数原理1.1 两个基本计数原理1.2 排列1.3 组合1.4 计数应用题1.5 二项式定理第二章概率2.1 随机变量及其概率分布2.2 超几休分布2.3 独立性2.4 二项分布2.5 随机变量的均值和方差2.6 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析选修4-2 矩阵与变换2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1 矩阵的概念2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几何常见的平面变换2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换 2.2.4 旋转变换2.2.5 投影变换2.2.6 切变变换2.3 变换的复合与矩阵乘法2.3.1 矩阵乘法的概念2.3.2 矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1 逆矩阵的概念2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用选修4-4 坐标系与参数方程4.1 坐标系4.1.1 直角坐标系4.1.2 极坐标系4.1.3 球坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1 曲线的极坐标方程的意义4.2.2 常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1 参数方程的意义4.4.2 参数方程与普通方程的互化4.4.3 参数方程的应用4.4.4 平摆线与圆的渐开线感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
初中数学二次反射点的概念
初中数学二次反射点的概念1.引言1.1 概述引言部分是文章的开头，主要用来引出文章的主题，并简要介绍文章要探讨的内容。
对于本文《初中数学二次反射点的概念》，概述部分应该涵盖以下内容：初中数学涉及到许多几何概念和性质的学习，在其中一个重要的概念之中，我们接触到了反射点这一内容。
反射点是在数学中一个重要的概念，可应用于许多实际问题的求解，特别在几何图形以及光学等领域具有广泛的应用。
在初中数学中，我们首先会了解到反射点的定义和性质，而这篇文章将详细讨论其中一个重要的概念——二次反射点。
二次反射点是指在一个平面上的图形经过第一次反射后再次反射所得的点，它是一个关于反射在几何中的重要现象。
我们知道，光线在平面镜面上发生反射时会形成一个入射角和一个反射角，而二次反射点就是光线经过第一次反射后再次反射，所得到的点。
二次反射点的概念非常有趣，不仅可以帮助我们更好地理解光线的传播规律，还可以解决一些与光学相关的问题。
在本文的正文部分，我们将会详细探讨反射点的定义和性质，并深入研究二次反射点的概念和特点。
通过对这些内容的学习，我们可以更好地了解和应用反射点的知识，进而在实际问题中灵活运用。
通过本文的研究，我们希望能够对初中数学中的二次反射点有一个全面的认识，理解其在几何图形和光学中的应用，进一步提高数学解决问题的能力，并为将来的学习打下坚实的基础。
在接下来的正文部分，将详细介绍反射点的定义和性质以及二次反射点的概念和特点。
最后，在结论部分进行总结，并探讨二次反射点的应用和意义。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写为：文章结构部分旨在向读者介绍本文的组织结构和各个部分的主要内容，以帮助读者更好地理解文章的组织和思路。
本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先对文章的主题进行了概述，介绍了初中数学中二次反射点的概念。
其次，引言部分阐明了文章的组织结构，明确了各部分的主要内容和目标。
最后，引言部分指出了本文的目的，即通过对二次反射点的概念的探讨，帮助读者理解和应用相关知识。
反射变换的名词解释
反射变换的名词解释反射变换是数学中非常重要的一个概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中被广泛应用。
反射变换（Reflective transformation）指的是一个物体或图形关于某个轴或面对称的变换过程。
在这篇文章中，我将对反射变换进行详细的解释与探讨。
1. 反射变换的定义与特点反射变换是一种保持角度不变但改变方向的变换方式。
通过沿着某一轴线或平面对称，使得图形的每一个点与其对称点关于对称轴或对称面上线对称，即实现了图形的镜像效果。
反射变换通常使用一个轴或平面来进行对称操作，被称为对称轴或对称面。
2. 反射变换的应用领域2.1 几何学中的反射变换在几何学中，反射变换是重要的基础变换之一。
它常常用于解决镜像对称问题、推导几何定理、证明几何性质等。
例如，在解决关于镜子的问题时，反射变换可以帮助我们确定光线的反射方向，从而实现几何光学中的计算和分析。
2.2 物理学中的反射变换物理学中，反射变换是对光线、声波等传播方式的描述。
根据反射定律，入射光线与反射光线之间的角度相等，但方向相反。
通过对反射变换的研究，科学家可以预测和解释反射现象，如镜面反射、声波的反射等。
2.3 计算机图形学中的反射变换在计算机图形学中，反射变换是一种常用的图形变换方式。
通过反射变换，可以实现图像的对称显示，从而呈现出多种非常有趣的视觉效果。
计算机游戏、虚拟现实和动画制作等领域都广泛应用了反射变换，使得图像更加真实、逼真和美观。
3. 反射变换的数学表示数学上，反射变换可以通过矩阵乘法来表示。
对于二维空间中的点(x, y)，关于对称轴y=0的反射变换可以通过以下矩阵表示实现：[1, 0][0, -1]其中，矩阵的第一行表示x坐标保持不变，第二行表示y坐标取相反数。
类似地，关于对称面x=0的反射变换可以通过以下矩阵表示实现：[-1, 0][0, 1]这样，我们可以通过矩阵运算来实现反射变换，从而对图形进行镜像处理。
4. 反射变换的意义与启示反射变换作为一种重要的数学概念，不仅在学术研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个领域。
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章 解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n 项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2----------------------------------- 第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
矩阵与变换
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
线性变换的几何意义
本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景学院专业学号学生姓名指导教师姓名指导教师职称指导教师单位年月日学位论文写作声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：日期：年月日论文作者签名：导师签名：日期：年月日。
线性变换的几何背景摘要线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。
本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。
我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。
关键词：线性变换；几何现象；矩阵The geometry background of linear transformationAbstract：Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena, geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the relationship of matrix and linear transformation on the basis of geometric meaning, researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the questions on the basis of connection between linear transformation and geometry, and considers the linear transformation of projective geometry. In conclusion, the thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze the geometry meaning of linear meaning, but the matrix is one of the tools to study the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation related problems are involved in the geometric phenomena, and the combination of linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems, but different geometry research objects have various aspects.Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix。
初等几何变换在中学数学中的应用
初等几何变换在中学数学中的应用1 引言几何起源于我们的生活，变换是解决几何问题很好的方法．“变换”包括平面几何图形的几种变换：平移、旋转、对称、位似、相似、全等、仿射、射影变换等．几何变换是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程．它对于几何学的研究有重要作用．如果某种几何变换的全体组成一个“群”，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容．例如，研究图形在全等变换群下的不变性与不变量，就是欧几里得几何学的主要内容．几何变换为用近代数学方法讨论初等几何提供了广阔的前景．几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用．通过对初等几何变换的学习和应用，可以培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，从而提高了学生的逻辑思维能力．在中学数学的学习中只应用到了初等几何变换．初等几何变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换．2 全等变换及应用定义2.1[2](80)P 平面到其自身的变换，如果对于该平面上的任意两点A 、B 和它们的像'A ，'B 总有''A B =AB ．则这个变换叫做全等变换，或叫做合同变换．在全等变换下两点之间的距离是不变量．由全等变换得到的图形与原图形相等．在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换，它把一个图形变成与它正常全等的图形，所谓正常全等图形是指两个全等图形上每两个对应三角形有同一方向，并且每两个对应的有向角有同一方向．第二种叫做反常全等变换，它把一个图形变成与它反常全等的图形，即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向．类似地，空间也有正常全等变换和反常全等变换．全等变换存在逆变换、恒等变换．接连施行两次全等变换的积仍是全等变换，所以全等变换的全体组成“群”，叫做全等变换群，也叫做刚体变换群或运动群．平移、旋转、反射都是特殊的全等变换．2.1 平移变换及应用定义2.2[2](96)P 如果在平面内任意一点P 按给定方向变到'P 时，并且线段'PP 有给定的长度，这种平面到其自身的映射叫做平移变换．显然，平移变换下连接各对应点的线段互相平行且相等，各对应线段互相平行且相等．平移变换把一个图形变为与它正常全等的图形．平移变换除了具有全等变换的一切性质外还有它自己的特点：定理2.1 在平移变换下，直线变成与它平行的直线．在中学数学几何部分的学习中平移变换的应用很广泛．例如在初中数学中证明三角形内角和等于0180是用平移变换就是一种很好的方法．例1 在矩形ABCD 内取点M ，试证明一定存在一个四边形，它的边长分别等于AM ，BM ，CM ，DM ，它的对角线互相垂直，且分别等于AB 和BC ．分析 解答本题的关键是设法构造满足题目要求的四边形．证明 设()'T AB M M −−−→，()T AB A B −−−→，()T AB D C −−−→，有'BM ＝AM ，'CM ＝DM ．又AB BC ⊥，所以'MM BC ⊥，根据平移变换的定义，有'MM ＝AB ．所以，四边形'MBM C 即为满足题目要求的四边形．2.2 旋转变换及应用定义2.3[2](86)P 如果平面到其自身的一个映射，使得定点O 保持不动，并且，对于任一点P 映射到P ＇点，有OP =OP ＇，∠POP ＇=θ(0°≤θ≤180°)，且从射线 OP 到OP ＇的方向与给定方向相同，这个映射叫做绕中心O ，按已知方向旋转θ的旋转变换．O 点叫做旋转中心，θ叫做旋转角．在旋转变换下各对应直线所成的角不变，都等于其旋转角．一个图形经过旋转变换，得到与它全等的图形．旋转角为180°的旋转变换叫做中心对称变换．如果在某个中心对称变换下，一个图形的像与它自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形．如平行四边形是关于对角线中点对称的中心对称图形．圆、椭圆、双曲线都是中心对称图形．空间旋转变换有绕轴的旋转，它是空间到其自身的映射，且满足下述条件：①点P 的像P ＇与P 同在与给定轴线S 垂直的平面M 内，②点P 和P ＇到轴线S 的距离相等，即PP 0=P ＇P 0．P 0是平面M 与轴线S 的交点，③∠PP 0P ＇为定角θ．这个映射叫做绕轴S 旋转定角θ的空间旋转变换．由PP 0到P ＇P 0的旋转方向规定为：如果θ>0就表示用右手握拳，拇指指向轴上正方向；如果θ<0，旋转与此反向．空间旋转还有空间中心对称变换．每个点，对于中心O 都有它的像与之对应．空间中心对称变换把一个图形变为与它反常全等的图形．关于某定点的中心反射空间图形，常见的有平行六面体，它是关于对角线交点为反射中心的中心反射图形．旋转变换具有全等变换的一切性质，如：(1)两点间的距离是旋转变换下的不变量，(2)角度是旋转变换下的不变量，(3)一直线上三点的简比是旋转变换下的不变量，(4)一个图形在旋转变换下变成与它全等的图形，(5)同素性、结合性、顺序性是旋转变换下的不变性．此外旋转变换还有自己的特性：定理2.2[2](87)P 旋转变换下两对应直线的夹角大小不变，等于其旋转角． 定理2.3[2](88)P 在中心对称下，过对称中心的直线变为它本身． 定理2.4[2](88)P 如果两条直线关于某个点成中心对称，那么它们平行． 定理2.5[2](89)P 如果两条直线平行，那么它们是中心对称下的两条对应直线． 在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形．例2 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上一点，如果BE +DF =EF ，求EAF ∠的度数． A B C DE FF'思路分析 在题中没有具体线段的边长，只有三条线段的长度关系，条件分散，使我们束手无策，怎么办？但如果将线段DF 移到BE 一直线上，就有线'F E =EF ，条件相对较为集中．将ADF ∆绕着点A 顺时针旋转090，点D 与点B 重合，点F 与点'F 重合，奇迹发生了，这'F E =EF ，'AF E ∆≌AFE ∆.利用旋转角090，得出EAF ∠=045．例3 用旋转变换证明勾股定理．证明 设在Rt ABC ∆中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．作矩形ADBC ，使AD BD ⊥． 矩形(,90)'''R B ADBC A D BC −−−−→。
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思考3：我们从中能猜想什么结论？
一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或点）.
建构数学
M(l1al2b) l1Mal2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1al2b 变成直线 l1Mal2Mb.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做 线性变换。
x ' ax by (即形如 ' 的几何变换叫做线性变换) y cx dy
求 a, b 的值.
例4.求直线l:y=4x在矩阵 得到的曲线.
0 1 思考1：若矩阵 M 1 0
0 1 M 作用下变换 1 0
则变换得到的曲
3 1 3 1 思考2：若矩阵 A 再改为矩阵 B 呢？ 1 1 1 0
3、求出△ABC在矩阵
并给出图示，其中 A(0,0), B(1, 3), C(0, 2)
变式训练
换把直线 l : 2 x y 7 0 变换成另一直线 l : x y 7 0 求a，b的值.
a 0 1.设 a, b R , 若 M 1 b 所定义的线性变
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来 表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的 性变换。
建构数学
0 0 当a=b=c=d=0时, 0 0 把平面上所有点
都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的 退化情况. 因此，在研究平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察 顶(端)点的变化结果即可.
建构数学
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换 叫做反射变换，其中（2）叫做中心反 射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射 轴，定点称为反射点.
数学运用 y x2 例1 求出曲线
( x 0) 在矩阵
1 0 M 作用下变换所得的图形. 0 1 y
1 0 M3 0 1
(2)
把一个几何图形变换为与之关于原点 对称的图形；
(3)
0 1 把一个几何图形变换为与之关于直线 M4 1 0 y=x对称的图形；
0 1 M5 1 0
(4)
把一个几何图形变换为与之关于直线 y=-x对称的图形；
作用下变换得到的曲线.
3 0 3 1 思考1：若矩阵 M 1 1 改为矩阵 A 1 1
则变换得到的曲线是什么？
思考2：我们从中能猜想什么结论？
变式训练：
设
a 0 a, b R 若 M 1 b 所定义的线性变换把直线
l : 2 x y 7 0变换成另一直线l : x y 7 0
变式训练
2.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别 变换成(5,7)与(-3,6) （1）求矩阵M （2）求直线 l : x y 4 在此变换下所变成的 直线 l 的解析式.
变式训练
1 0 3.求直线x=2在二阶矩阵 M 对应的 1 0 变换下所变成的图形。
y x2
1
( x 0)
O -1
1
x
y x2 ( x 0)
例2.求出曲线 y lg x( x 作用下变换得到的曲线.
0 0) 在矩阵 M 1
1 0
y
y 10 x
1
y lg x
( x 0)
O
1
x
3 0 例3.求直线l : 2 x y 7 0 在矩阵 M 1 1
(2, 2)
O
x
反思：两个几何图形有何特点？
y
O
x
问1：若将一个平面图形F在矩阵M1的作 用变换下得到关于y轴对称的几何图形， 则如何来求出这个矩阵呢？
1 0 M1 0 1
问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？
(1)
1 0 把一个几何图形变换为与之关于 x 轴 M2 0 1 对称的图形；
1 0 练习.1.求平行四边形OBCD在矩阵 作用 0 1
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中 O(0,0), B(2,0), C(3,1), D(1,1) 2.求出曲线 y 作用下变换得到的曲线.
3
0 1 x 在矩阵 M 1 0
课后作业：
0 1 1.求矩形OBCD在矩阵 作用下变换得到的 1 0
几种常见的平面变换 -----反射变换
问题情境
求圆C： x 2) ( y 2) 2 在矩阵 (
2 2
1 0 M 作用下变换所得的曲线. 0 1 y
( x 2) ( y 2) 2
2 2
( x 2)2 ( y 2)2 2
(2, 2)
课堂反馈
1 0 1、求平行四边形ABCD在矩阵 作用下变换得 0 1 到的几何图形，并给出图示，其中 A(0,0), B(3,0),
C (4, 2), D(1, 2)
2、求出曲线 y 变换得到的曲线。
0 1 x 在矩阵 M 1 0 作用下
1 2 3 2 3 2 作用下变换得到的图形, 1 2
几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0), C(2,1), D(0,1)
2.求出曲线 y
0 M2 1
3
1 作用下变换得到的曲线. 0
1 x 经 M 1 0
0 1
和
y x2 ( x 0)在 M 1 0 M 1 0 3.求 1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 M3 M 4 1 0 0 1
分别作用下变换得到的曲 线.
4.二阶矩阵 M 对应的变换将 (1, 1) 与(2,1) 分别变换成 (5, 7)与 (3, 6) （1）求矩阵M （2）求直线 l : x y 4在此变换下所变成的直线 l 的解析式.
课后作业 完成创新课时卷