【免费】2010高考数学试题精编：导数的应用(含解析)

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【十年高考(理数)2010-2019】三导数及其应用第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案(附答案)

x1)
，所以
|
AB
|=
2
，联立

y − ln x1 y + ln x2
= =
1 (x − x1 − 1 (x
x2
x1 ) − x2
)
，
解得
xP
=
x1
2 +
1 x1
，所以 S∆PAB
=
1 2
×2×
xP
=
x1
2 +
1 x1
，因为
x1
> 1，所以 x1
+
1 x1
>
2，
所以 S∆PAB 的取值范围是 (0,1) ，故选 A．
的切
线的斜率 4a − b = − 7 ②，由①②解得 a = −1, b = −2 ，所以 a + b = −3 ． 42
24．①③④【解析】对于①，y′ = 3x2, y′ |x=0 = 0 ，所以 l : y = 0 是曲线 C : y = x3 在点 P(0, 0) 处的切线，画图可知曲线 C : y = x3 在点 P(0, 0) 附近位于直线 l 的两侧，①正确；对于
=
2
，即
a
=
3
．
6．D【解析】由 x3 = 4x 得，x = 0 、x = 2 或 x = −2（舍去），直线 y = 4x 与曲线 y = x3 在
∫ 第一象限内围成的封闭图形的面积 S =
2 0
(4x
−
x3
)dx
=
(2x2
−
1 4
x4
)
|02
=
4
．
∫ ∫ 7．B【解析】 S1 =

【十年高考(文数)2010-2019】三导数及其应用第七讲导数的计算与导数的几何意义(附答案)

专题三导数及其应用
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第七讲导数的计算与导数的几何意义
2019 年
1.（2019 全国Ⅰ文 13）曲线 y = 3(x2 + x)ex 在点 (0, 0) 处的切线方程为___________．
2.（2019 全国Ⅱ文 10）曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A． x − y − π −1 = 0
B． 2x − y − 2π −1 = 0
C． 2x + y − 2π + 1 = 0
D． x + y − π +1 = 0
3.（2019 全国三文 7）已知曲线 y = aex + x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A．a=e，b=-1
B． 1 2
C． − 2 2
D． 2 2
2 千里之行始于足下
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11．（2010 新课标）曲线 y = x3 − 2x +1在点 (1, 0) 处的切线方程为
A． y = x −1 B． y = −x +1 C． y = 2x − 2 D． y = −2x + 2
12．（2010
辽宁）已知点
B． y = ln x
C． y = ex
D． y = x3
4．（2016
年四川）设直线
l1 ， l2
分别是函数
f
(x)
=
− ln x,

ln
x,
0
< x<1
，图象上点
x >1
P1 ，
P2
处
的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P ，且 l1 ，l2 分别与 y 轴相交于点 A ， B ，则△ PAB 的

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数2018年：设函数2()1xf x e x ax =---。

（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围2019年：已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时， ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2019年：已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．2019：一卷：已知函数()f x ＝2x ax b ++， ()g x ＝()xe cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0， 2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围．2019一卷：设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为(1)2y e x =-+．(Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．2015一卷：已知函数31()4f x x ax =++， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min{},m n 表示m ， n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．2016一卷：已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ， 2x 是的两个零点，证明：122x x +<．2017一卷：已知函数2()(2)xx f x aea e x =+--．(1)讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．2019.二卷：已知函数()()ln xf x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >2019二卷：已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时， ()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）2015二卷：设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ， 2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围．2016二卷：(I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时， (2)e 20x x x -++>；(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．2016三卷：设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．2017二卷：已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥． (1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<．2017三卷：已知函数()1ln f x x a x =--． (1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ， 2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．精编答案2018年：解：（1）0a =时， ()1xf x e x =--， '()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时， '()0f x <；当(0,)x ∈+∞时， '()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12xf x e ax =-- 由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时， '()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时， ()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时， '()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.2019年：解析：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =， 1b =。

2010-2019高考数学(理科)真题分类汇编-导数及其应用

专题三导数及其应用第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==−， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b −==，D ．1e a −= ，1b =−2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =−B ．y x =−C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x −<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =−，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >−C ．11()11f k k <−−D ．1()11kf k k >−− 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =−+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y =2y x =−及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e −C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln 2− B ．2ln 2 C ．ln 2− D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =−+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =−B ．1y x =−+C ．22y x =−D ．22y x =−+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2−，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =−+，则曲线()y f x =，在点(1,3)−处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx −⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．（第15题）（第17题）21．（2014广东）曲线25+=−xey 在点)3,0(处的切线方程为．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(−P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:−=x l 在点()0,1−P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:−=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=− 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=−⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx −+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =−．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xebx −=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =−+，（I ）求a ，b 的值；（II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()exx ax f x a R +=∈．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =−．（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x−=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =−+．(Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln xf x e x m =−+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切．（1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x −，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值；（2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．专题三导数及其应用第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分 2019年1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =，又()00y =所以切线方程为()030y x −=−，即3y x =． 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a −=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =−．故选D ．2010-2018年1．D 【解析】通解因为函数32()(1)=+−+f x x a x ax 为奇函数，所以()()−=−f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]−+−−+−=−+−+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0−=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一因为函数32()(1)=+−+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0−+=f f ，所以11(11)0−+−−++−+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二易知322()(1)[(1)]=+−+=+−+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+−+g x x a x a 为偶函数，所以10−=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．2．A 【解析】不妨设111(,ln )P x x ，222(,ln )P x x ，由于12l l ⊥，所以1211()1x x ⨯−=−，则121x x =．又切线1l ：1111ln ()y x x x x −=−，22221:ln ()l y x x x x +=−−，于是1(0,ln 1)A x −，1(0,1ln )B x +，所以||2AB =，联立1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧−=−⎪⎪⎨⎪+=−−⎪⎩，解得1121P x x x =+，所以1112212PAB P S x x x ∆=⨯⨯=+，因为11x >，所以1112x x +>，所以PAB S ∆的取值范围是(0,1)，故选A ．3．A 【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=−1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =−1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然 12k k ⋅=1211x x ⋅=−1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0，显然12k k ⋅=12xxe e ⋅=−1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=−1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．4．C 【解析】取满足题意得函数()21f x x =-，若取32k =，则121()()33f f k == 213k <=，所以排除A ．若取1110k =，则111110()()(10)1911111111111010k f f f k k ===>==----，所以排除D ；取满足题意的函数()101f x x =-，若取2k =，则1111()()412211f f k k ==>==--，所以排除B ，故结论一定错误的是C ． 5．D 【解析】11y a x '=−+，由题意得0|2x y ='=，即3a =． 6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =−（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =−=−=⎰． 7．B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121x xS e dx ee e ===−⎰．显然213S S S <<，故选B ．8．C【解析】∵312201211)()0326S x dx x x =−=⎰阴影=,正方形的面积为1，∴P =16． 9．C【解析】用定积分求解342420021162)(2)323x dx x x x +=−+=⎰，选C10．C 【解析】1(2)x e x dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．11．D 【解析】∵1(ln )x x'=，∴421dx x ⎰=4ln ln 4ln 2ln 22x =−=．12．A 【解析】点(1,0)处的切线斜率为k ，213121x k y ='==⨯−=，由点斜式可得切线方程为A ．13．D 【解析】因为'2441(1)2x x x xe y e e e−−==≥−+++，即tan α≥－1，所以34παπ≤≤． 14．2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x −=−，即2=y x ．15．3−【解析】(1)xy ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2−，得0(1)12xx x y ax a e a =='=++=+=−，所以3a =−．16．1ln 2−【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x +和22(,ln(1))x x +．则切线分别为1111ln 2()y x x x x −−=−，2221ln(1)()1y x x x x −+=−+，化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++−++，依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+−⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=−．17．21y x =−−【解析】由题意可得当0x >时,()ln 3f x x x =−，则1()3f x x'=−，(1)2f '=−，则在点(1,3)−处的切线方程为32(1)y x +=−−，即21y x =−−．18．0【解析】2221(1)()002x dx x x −=−=⎰． 19．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=−，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==−，因为121k k ⋅=−，所以2011x −=−，即21x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．20．512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx −=−=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．21．53y x =−+【解析】55xy e −'=−，在点(0,3)处的切线的斜率为5−，切线方程为35(0)y x −=−−，即53y x =−+． 22．22e 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等， ∴110=2()22|2xx S e e dx e e−=−=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e 阴正． 23．－3【解析】由题意可得542b a −=+① 又2()2bf x ax x'=−，过点)5,2(−P 的切线的斜率7442b a −=− ②，由①②解得1,2a b =−=−，所以3a b +=−． 24．①③④【解析】对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为12(1),|0x y x y =−''=+=，所以:1l x =−不是曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1−P 处的切线，②错误；对于③，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y sin =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为x y l =:，画图可知曲线C ：x y tan =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤1y x'=，1|1x y ='=，在点()0,1P 处的切线为1:−=x y l ，令()1ln (0)h x x x x =−−>，可得11()1x h x x x−'=−=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x −≥，可知曲线C ：x y ln =在点()0,1P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误． 25．2【解析】1y x αα−'=，则k α=，故切线方程y x α=过点(1,2)解得2α=．26．3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT． 27．113[()1]12n n +−+【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=113[()1]12n n +−+．28．23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x −−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫+=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 112333=+=． 29．94【解析】a a x dx x S aa ====⎰232303232，解得49=a ．30．43y x =−【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y −−=. 31．1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．32．1N N 【解析】由题意可知11()1f x dx NN≈⎰得11()N f x dx N≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1N N．33．21【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为：22(),k k k y a a x a −=−当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k aa a a a +=++=++=． 34．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =−，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=−−=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =−−，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=−−−=−．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<．所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =−． 35．【解析】（I ）()e a x f x x bx −=+Q ，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b −−−'=−+=−+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =−+ ∴(2)2(e 1)4f =−+，(2)e 1f '=− 即2(2)2e 22(e 1)4a f b −=+=−+ ①2(2)(12)e e 1a f b −'=−+=− ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x −=+，2()(1)e e x f x x −'=−+令2()(1)e x g x x −=−，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x −−−'=−−−=−∴()g x 的最小值是(2)(12)e 1g =−=− ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=−>．即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),−∞+∞上单调递增，无减区间．36．【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x a f x e e+−+−+−+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =．当0a =时，()f x =22336,'(),x xx x x f x e e −+=故33(1),'(1),f f e e ==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e−=−化简得30x ey −=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'()xx a x af x e −+−+=．令2()3(6)g x x a x a =−+−+，由()0g x =解得166a x −−=，266a x −+=当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数；当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知263,6a x −=≤解得9,2a ≥−故a 的取值范围为9,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭．37．【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==−．因此，当34a =−时，x 轴是曲线()y f x =的切线．（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =−<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤， ∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a −≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <−，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =−>，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a −≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a −≤时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a −<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14．①若f ＞0，即34−＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =−，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a −<<−，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a −<<−时，()f x 在(0,1)有两个零点；当534a −<≤−时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >−或54a <−时，()h x 由一个零点；当34a =−或54a =−时，()h x 有两个零点；当5344a −<<−时，()h x 有三个零点．38．【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x−−=+−+．由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故 (2)由(1)知12()ln xx f x e x e x −=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e−>−．设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 子啊(0,)+∞的最小值为11()g e e=−．设函数2()xh x xe e−=−，则'()(1)x h x e x −=−．所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=−． 39．【解析】(Ι)因为'1()xf x e x m =−+, x =0是()f x 的极值点，所以'1(0)10f m=−=，解得1m =，所以函数()f x =xe -ln(x +1)，其定义域为(1,)−+∞，因为'1()1xf x e x =−+=(1)11x e x x +−+，设()(1)1x g x e x =+−，则'()(1)0x xg x e x e =++>，所以()g x 在(1,)−+∞上是增函数，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即'()0f x >；当10x −<<时，()0g x <，'()0f x <，所以()f x 在(1,0)−上是减函数；在(0,)+∞，上是增函数．（Ⅱ）当2m ≤，(),x ∈−∞+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()12x f x e x '=−+在()2,−+∞单调递增．又()()10,00f f ''−<>，故()0f x '=在()2,−+∞有唯一实根0x ，且()01,0x ∈−．当()02,x x ∈−时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得()00001,ln 22x e x x x =+=−+，故()()()2000011022x f x f x x x x +≥=+=>++ 综上，当2m ≤时，()0f x >．40．【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得1b =−，由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭，得0a =．(2)(证法一)由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x+12x．记()()9=-+6xh x f x x ，则()()()()()()22215454+654'==-<-+12+14+1+6+6+6x h x x x x x x x()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ，令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x ．（证法二）由（1）知()()=ln +1f x x ，由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x +12x令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1x k k x x x ，故()<0k x ，即()ln +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ，则当0<<2x 时，()()()()()31'=++6'-9<++6-92+1h x f x x f x x x x ⎛ ⎝=1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x ++++−++1[3(1)(6)(3)18(1)]2(1)2xx x x x x <++++−++()()=7-18<04+1xx x ．因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6xf x x ．41．【解析】（1）（i ）由3()=f x x x −得2()=31f x x '−=3(x −，当(,)3x ∈−∞−和3+∞（）时，()>0f x '；当(,3x ∈−)3时，()<0f x '，因此，()f x的单调递增区间为(,)3−∞−和3+∞（），单调递减区间为(,3−)3．（ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111=(31)()+,y x x x x x −−−即2311y=(31)2,x x x −−由23113(31)2=y x x x y x x⎧=−−⎪⎨−⎪⎩得3=x x −2311(31)2x x x −−，即211()+2)=0x x x x −（，解得1121=2,2x x x x x x =−=−或故，进而有 1123234111127(3+2)=4x x S x x x x dx x −=−⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =−和42227=4S x ，又2120x x =−≠，所以4212716=0,4S x ⨯≠因此有121=16S S ．（Ⅱ）记函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3ba−的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线=()y g x 的对称中心(3b g a −(，))3b a−平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得41127=4S x ，4212716=0,4S x ⨯≠故121=16S S ．专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用2019年1（2019天津理8）已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧−+=⎨−>⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e 2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数32()2f x x ax b =−+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1−且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019浙江22）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =−时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有(),2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =−+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π−存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数()11ln x f x x x −=−+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.6.（2019江苏19）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =−−−∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}−中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 7.（2019北京理19）已知函数321()4f x x x x =−+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[]2,4x ∈−时，求证：()6x f x x −≤≤.(III)设()()()F x f x x a a =−+∈R ，记()F x 在区间[]2,4−上的最大值为()M a ，当()M a 最小时，求a 的值.8.（2019天津理20）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明π()()02f x g x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭…；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =−在区间ππ2,2π42m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明200π22sin c e os n n n x x x ππ−+−<−.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）若2x =−是函数21()(1)x f x x ax e−=+−的极值点，则21()(1)x f x x ax e −=+−的极小值为A ．1−B ．32e −− C ．35e − D ．12．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是xxA ．B ．xxC ．D ． 3．(2016全国I) 函数2||2x y x e =−在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．4．（2015四川）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =−+−+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，那么mn 的最大值为A ．16B ．18C ．25D ．8125．（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f −=，当0x >时，'()()xf x f x −0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A ．()(),10,1−∞−UB ．()()1,01,−+∞UC ．()(),11,0−∞−−UD ．()()0,11,+∞U6．（2015新课标Ⅰ）设函数()(21)xf x e x ax a =−−+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 A ．3[,1)2e −B ．33[,)24e −C ．33[,)24eD ．3[,1)2e7．（2014新课标Ⅱ）若函数()ln f x kx x =−在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2−∞−B ．(],1−∞−C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为(千米)x -6y =-A ．321122y x x x =−− B ．3211322y x x x =+− C ．314y x x =− D ．3211242y x x x =+−9．（2014新课标Ⅱ）设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 A ．()(),66,−∞−⋃+∞ B ．()(),44,−∞−⋃+∞C ．()(),22,−∞−⋃+∞D ．()(),11,−∞−⋃+∞10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A ．3131255y x x =− B ．3241255y x x =− C ．33125y x x =− D ．3311255y x x =−+11．（2014辽宁）当[2,1]x ∈−时，不等式32430ax x x −++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[5,3]−−B ．9[6,]8−− C ．[6,2]−− D ．[4,3]−− 12．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln xxe e x x −>− B ．2121ln ln xxe e x x −<− C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e < 13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =−+与2322y a x ax x a =−++()a R ∈的图像不可能．．．的是B14．（2013新课标Ⅱ）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A ．∃()00,0x R f x ∈=B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x −∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()0'0f x =15．（2013四川）设函数()f x =a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线xy sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是 A ． ]e ,1[ B ．]11e[1，−− C ． [1e 1+，] D ． [1e 1e 1−−+，]16．（2013福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x −是()f x −的极小值点C ．0x −是()f x −的极小值点D ．0x −是()f x −−的极小值点 17．（2012辽宁）函数x x y ln 212−=的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+∞)D ．(0,+∞)18．（2012陕西）设函数()xf x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =−为()f x 的极大值点D ．1x =−为()f x 的极小值点19．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =−−+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．920．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =−为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D21．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12 C D ．2二、填空题22．（2015安徽）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =−=−；②3,2a b =−=；③3,2a b =−>；④0,2a b ==； ⑤1,2a b ==．23．（2015四川）已知函数xx f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）．对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m −−=，2121)()(x x x g x g n −−=，现有如下命题：①对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； ③对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m −=．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．24．（2015江苏）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>−−≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为．25．（2011广东）函数32()31f x x x =−+在x =______处取得极小值．三、解答题26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x=−+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2−<−−f x f x a x x ．27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数2()e =−xf x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++−．(1)若0a =，证明：当10x −<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．29．(2018北京)设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =−+++．(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 30．(2018天津)已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >．(1)求函数()()ln h x f x x a =−的单调区间；(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=−； (3)证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．(2018江苏)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+−不存在“S 点”； (2)若函数2()1f x ax =−与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数2()f x x a =−+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．32．(2018浙江)已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>−； (2)若34ln 2a −≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)xx f x aea e x =+−−．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．34．（2017新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =−−，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x −−<<．35．（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =−−．(1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．36．（2017浙江）已知函数()(xf x x e−=1()2x ≥．（Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．37．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72−，求a 的取值范围． 38．（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+−−+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数0()()()()h x g x m x f m =−−，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈U 满足041||p x q Aq −≥． 39．（2017山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =−+−，其中2.71828e =L 是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =−()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．40．(2016年山东)已知()221()ln ,R x f x a x x a x−=−+∈．（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 41．(2016年四川) 设函数2()ln f x ax a x =−−，其中a R ∈.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x−>−在区间(1,)+∞内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．42．(2016年天津)设函数3()(1)f x x ax b =−−−,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II)若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[−上的最大值不小于．．．41． 43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =−+−有两个零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 44．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数2()e 2xx f x x −=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x −++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x−−> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．45．(2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+−+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．46．（2016年浙江高考）已知3a ≥，函数()F x =2min{2|1|,242}x x ax a −−+−，其中min{,}p q =,>p p qq p q ⎧⎨⎩，≤ ．（I ）求使得等式2()242F x x ax a =−+−成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a ．47．(2016江苏) 已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x −≥恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =−有且只有1个零点，求ab 的值． 48．(2015新课标Ⅱ）设函数2()mxf x ex mx =+−．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)−∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈−，都有12|()()|f x f x −1e −≤，求m 的取值范围． 49．(2015山东)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．50．（2015湖南）已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞．记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点．证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列；（2）若a ，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立．51．（2014新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =−++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =−只有一个交点．52．(2014山东）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +−=（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围． 53．（2014新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a −=+−≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01af x a <−，求a 的取值范围． 54．（2014山东）设函数1()ln 1x f x a x x −=++ ，其中a 为常数．。

2010届高考数学一轮达标精品试卷(十四)导数及应用

2010届高考数学一轮达标精品试卷(十四)第十四单元导数及应用(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线y ＝x 2＋3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．已知二次函数y ＝ax 2＋(a 2＋1)x 在x ＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是 A ．2516B ．258C ．254D ．2523．函数y ＝x 2－1x 的导数是A ．x 2－1xB ．x 2＋1xC ．x 2－1x2D ．1－x 2x24．已知函数f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )＝ A ．4x ＋3 B ．4x －1 C ．4x －5 D ．4x －3 5．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线 A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 6．已知函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)……(x －100)，则f ′(1)＝ A ．－99！ B ．－100！ C ．－98！ D ．07．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 是常数)在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上的最小值是 A ．－5 B ．－11 C ．－29 D ．－37 8．设过曲线xy ＝1上两点P 1（1，1），P 2(2，12)的切线分别是l 1、l 2，那么l 1与l 2夹角的正切值为A ．－35B ．34C ．45D ．359．已知一个物体的运动方程是s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬间速度是 A ．6米/秒 B ．7米/秒 C ．8米/秒 D ．9米/秒 10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是 A ．a ≥3 B ．a ＝3 C ．a ≤3 D ．0<a <3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是． 12．设y ＝23x2，则y ′＝．13．以函数12y x =为导数的函数f (x )图象过点（9，1），则函数f (x )＝． 14．已知函数f (x )是定义在区间（－1，1）上的奇函数，且对于x ∈(－1，1)恒有f ’(x )<0成立，若f (－2a 2＋2)＋f (a 2＋2a ＋1)<0，则实数a 的取值范围是． 15．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的函数，给出下列结论： ①若存在常数x 0，使f ’(x )＝0，则函数f (x )必在x 0处取得极值；②若函数f (x )在x 0处取得极值，则函数f (x )在x 0处必可导；③若函数f (x )在R 上处处可导，则它有极小值就是它在R 上的最小值； ④若对于任意x ≠x 0都有f ’(x )>f (x )，则f (x 0)是函数f (x )的最小值；⑤若对于任意x <x 0有f ’(x )>0，对于任意x >x 0有f ’(x )<0，则f (x 0)是函数f (x )的一个最大值；其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设函数2(1)(),(1)x ax x f x x b x ⎧+≤=⎨+>⎩若该函数在实数集R 上可导，求实数a 、b 的值和该函数的最小值． 17．（本小题满分12分）已知曲线C 1：y ＝x 2－2x ＋2和曲线C 2：y ＝x 3－3x 2＋12x ＋5有一个公共点P （2，2），若两曲线在点P 处的切线的倾斜角分别是α和β，求tan α＋β2和sin α＋β3的值．18．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(x∈[－1，2])的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．19．（本小题满分14分）将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？20．（本小题满分14分）．已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；⑴求a的值；⑵是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx2－1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．21．（本小题满分14分）已知二次函数y＝g(x)的图象经过原点O（0，0）、点P1（m，0）和点P2（m＋1，m＋1）(m≠0，且m≠1)．⑴求函数y＝g(x)的解析式；⑵设f(x)＝(x－n)g(x)(m>n>0)在x＝a和x＝b(b<a)处取得极值．（ⅰ）求证b<n<a<m；（ⅱ）若m＋n＝22，则过原点与曲线y＝f(x)相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．第十四单元导数及应用参考答案二、填空题（每小题4分，共20分）11．y ＝4x －4；12．534'3y x -=-；13．322173x -；14．{|1a a -<<；15．⑤三、解答题（共80分，按步骤得分）16．解：依题意21(1)'(1)21,()(1)1,1,(),1(1)lim x x x x f a f x f a a b f x x x +→⎧-≤=+===+∴==-∴=⎨->⎩且作图易得函数的最小值是f (12)＝－1417．解：∵y ＝x 2－2x ＋2，∴y ′＝2x －2，∴tan α＝2×2－2＝2，又∵y ＝x 3－3x 2＋12x ＋5，∴y ′＝3x 2－6x ＋12，∴tan β＝3×22－6×2＋12＝12，∴tan αtan β＝1，即tan β＝cot α，由0<α、β<π2得β＝π2－α，∴α＋β＝<π2，tan α＋β2＝1且sin α＋β3＝sin π3＝12．18．解：求出f ’(x )＝0在[－1，2]上的解，研究函数f (x )的增减性：令22'()3123(4)f x ax ax a x x =-=-＝0，显然a ≠0，否则f (x )＝b 为常数，矛盾， ∴x ＝0，这不可能，∴f (2)＝8a －24a ＋3＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2；若a <0，同理可得a ＝－2，b ＝－29．19．解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，∴方盒的体积2(2)((0,)),2aV x a x x =-∈121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226a a a a aV a x a x V x x x x V =--====∉∈>令则由且对于 (,),'0,62a a x V ∈<∴函数V 在点x ＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V (a 6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a6．20．解：⑴∵f (x )在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，∴f ’(1)＝0，f ’(1)＝4x 3－12x 2＋2ax |x ＝1＝2a －8＝0，∴a ＝4；⑵由⑴知f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2－1，由f (x )＝g (x )可得x 4－4x 3＋4x 2－1＝bx 2－1 即x 2(x 2－4x ＋4－b )＝0．∵f (x )的图象与g (x )的图象只有两个交点，∴方程x 2－4x ＋4－b ＝0有两个非零等根或有一根为0，另一个不为0， ∴Δ＝16－4（4－b ）＝0，或4 – b ＝ 0，∴b ＝ 0或b ＝ 4．21．解：⑴设2()(0),g x px qx r p =++≠ 依题意得20,1,0,,(1)1;0;r p pm qm q m p m q r =⎧=⎧⎪⎪+==-⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎩解得∴g (x )＝x 2－mx ．⑵（ⅰ）f (x )＝x (x －n )(x －m )＝x 3－(m ＋n )x 2＋mnx ，∴f ′(x )＝3x 2－2(m ＋n )x ＋mn ，依题得a 、b 是方程f ’(x )＝0的两个实数根，又f ’(0)＝mn >0，f ’(n )＝(n －m )n <0，f ’(m )＝m (m －n )>0，故两根a 、b 分布在区间（0，n ）、（n ，m ）内，又b <a ，∴b<n<a<m 成立；（ⅱ）设两切线的横坐标分别为x 1、x 2，且不妨设x 1<x 2，则切线方程l 1为y －f (x 1)＝[3x 12－2(m ＋n )x 1＋mn ](x －x 1)由l 1过原点，∴－x 1(x 1－m )(x 1－n )＝[3x 12－2(m ＋n )x 1＋mn ](－x 1) 解得x 1＝0或x 1＝m ＋n 2，同理x 2＝0或x 2＝m ＋n 2，∴x 1＝0且x 2＝m ＋n2，两切线的斜率分别为2121,(),4k mn k m n mn ==-++若两切线互相垂直，则k 1k 2＝－1，∴1;m n mn ⎧+=⎪⎨=⎪⎩此时有1,1;m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直线．。

2010年天津高考数学(解析版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。

3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么 ·如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)·棱柱的体积公式V=Sh, 棱锥的体积公式V=13sh ,其中S 标示棱柱的底面积。

其中S 标示棱锥的底面积。

h 表示棱柱的高。

h 示棱锥的高。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求。

（1）i 是虚数单位，复数1312i i-+=+ (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。

进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1. 1312i i-+=+-+551(12)(12)5i i i i +==++-（13i ）(1-2i) 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。

（2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

由1(1)30,(0)102f f -=-<=>及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。

2010年高考全国数学卷（全国Ⅱ.文）（含详解答案）

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟分钟注意事项：注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。

条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。

皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在，每小题给出的四个选项中，分。

在，每小题给出的四个选项中，参考公式：参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么互斥，那么球的表面积公式球的表面积公式球的表面积公式P （A+B A+B））=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么相互独立，那么 P （A-B A-B））=P(A)-P(B)一、选择题一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}A B = ，∴(){2,4}U C A B = 故选 C . （2）不等式32x x -+＜0的解集为的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或（D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 32x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3a =，则cos(2)x a -=（A ）53-（B ）19-（C ）19（D ）5335733a +a +a +3C S E F 233 3t3t 3sty23st23st255)）且斜率为，若33x。

理科数学2010-2018高考真题分类训练：专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用答案

专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用
答案部分
2019 年
1.解析当 x 1 时， f 1 1 2a 2a 1 0 恒成立；
当 x 1时， f x
x2 2ax 2a 厖0
x2
2a
恒成立，
x1
令g x
x2 x1
x2 1x
2
1 x1
1x
2
1 x 21 x 1
1x
1 x 1 2? 2 1 x 1 2 0，
1x
1x
所以 2a … g x max 0 ，即 a 0．
当 x 1 时， f x
x a ln x 厔0
x
a
恒成立，
ln x
令h x
x ，则 h x ln x
1 ln x x
x
2
ln x
ln x 1
2，
ln x
当 x e时， h x 0 ， h x 递增，当 1 x e 时， h x 0 ， h x 递减，
在
, a ,(0, ) 单调递增，在 a ,0 单调递减 .
3
3
（2）满足题设条件的 a， b 存在 .
（i ）当 a≤０时，由（ 1）知， f ( x) 在 [0，1]单调递增，所以 f ( x) 在区间 [0，l] 的最小值为 f (0)= b ，最大值为 f (1) 2 a b .此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b 1 ， 2 a b 1 ，即 a=0， b 1．（ii ）当 a≥３时，由（ 1）知， f ( x) 在 [0，1] 单调递减，所以 f (x) 在区间 [0， 1]的最大值为 f (0)= b ，最小值为 f (1) 2 a b ．此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2 a b 1 ，b=1，

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第十三章导数 (二导数的应用) 【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．【考试要求】（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考题分类】（一）选择题（共2题） 1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为()St((0)0S)，则导函数()ySt的图像大致为

A． B． C． D．【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。

2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的

函数关系式为31812343yxx，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件【答案】C

【解析】令导数'2810yx，解得09x；令导数'2810yx，解得9x，

所以函数31812343yxx在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)上是减函数，所以在9x处取极大值，也是最大值，故选C。【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。（二）解答题（共35题）

1.（安徽卷理17）设a为实数，函数22,xfxexaxR。

tyot

yotyot

o (Ⅰ)求fx的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当ln21a且0x时，221xexax。

2.（安徽卷文20）设函数sincos1 , 02fxxxxx，求函数fx的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.

【解题指导】（1）对函数sincos1fxxxx求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

()12().423()0()422()xxxxxxxx解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0令f，从面sin，得，或，当变化时，f，f(x)变化情况如下表： 3223332222因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），

单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()= 【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.

3.（北京卷理18）已知函数f(x)=In(1+x)-x+22xx(k≥0)。 (Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间。

解：（I）当2k时， 21()ln(1),'()12.1fxxxxfxxx 由于3(1)ln(2),'(1),2ff所以曲线()1,(1))yfxf在点（处的切线方程为 3ln2(1)2yx

。即322ln230xy

（II）(1)'(),(1,).1xkxkfxxx 当0k时，'().1xfxx 因此在区间(1,0)上，'()0fx；在区间(0,)上，'()0fx；所以()fx的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,)；

当01k时，(1)'()01xkxkfxx，得1210,0kxxk; 因此，在区间1,0和1(,)kk上，'()0fx；在区间1(0,)kk上，'()0fx；即函数 ()fx的单调递增区间为1,0和1(,)kk，单调递减区间为1(0,)kk；

当1k时，2'()1xfxx.()fx的递增区间为(1,) 当1k时，由(1)'()01xkxkfxx，得1210,(1,0)kxxk；因此，在区间1(1,)kk和(0,)上，'()0fx，在区间1(,0)kk上，'()0fx；即函数 ()fx的单调递增区间为11,kk和(0,)，单调递减区间为1(,0)kk。 4.（北京卷文18）设定函数32()(0)3afxxbxcxda，且方程'()90fxx的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()yfx过原点时，求()fx的解析式；

（Ⅱ）若()fx在(,)无极值点，求a的取值范围。 5.（福建卷理20）（Ⅰ）已知函数3()fxxx，其图象记为曲线C。（ⅰ）求函数()fx的单调区间；（ⅱ）证明：若对于任意非零实数1x，曲线C与其在点111(())Pxfx，处的切线交于另一点222(())Pxfx，，曲线C与其在点2P处的切线交于另一点333(())Pxfx，，线段12PP、2PP与

曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则12SS为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0)gxaxbxcxda，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。

【解析】（Ⅰ）（i）由3(x)=x-xf得'2(x)=3x-1f=333(x-)(x+)33，当3x(-,-)3和33（，）时，'(x)>0f；当3x(-,33)3时，'(x)<0f，因此，(x)f的单调递增区间为3(-,-)3和33（，），单调递减区间为3(-,33)3。（ii）曲线C与其在点1P处的切线方程为231111y=(3x-1)(x-x)+x-x,即

2311y=(3x-1)x-2x,由

2311

(3x-1)x-2xy=x-xy



得3x-x=2311(3x-1)x-2x，

即211(x-x)x+2x)=0（，解得1121x=x2,x2xxx或故，进而有 11

23234111127(x-3xx+2x)dx=x4xxS



，用2x代替1x，重复上述计算过程，可得

32x2x和42227S=x4，又21x20x，所以4212716S=x0,4

因此有12S1=S16。（Ⅱ）记函数32g(x)=ax+bx+cx+d(a0)的图象为曲线'C，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命

题为：若对任意不等式b3a的实数1x，曲线'C与其在点111P(x,g(x))处的切线交于另一点 222P(x,g(x))，曲线C与其在点222P(x,g(x))处的切线交于另一点333P(x,g(x))，线段

122312

PP,PP,S,.SCS与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值

证明如下：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心b(3ag（，b))3a平移至坐标原点，因而不妨设3g(x)=ax+hx(x0)，类似（i）（ii）的计算可得 41127S=x4，421

2716S=x0,4

故12S1=S16。 6.（福建卷文22）已知函数21()3fxxaxb的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为32yx.

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）设224(2)22,1yxpx()()1mgxfxx是[2,)上的增函数. （ⅰ）求实数m的最大值；（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线()ygx围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 7.（广东卷文21）已知曲线2nCynx：，点(,)(0,0)nnnnnPxyxy是曲线nC上的点（n=1,2,„）.

（1）试写出曲线nC在点nP处的切线nl的方程，并求出nl与y轴的交点nQ的坐标；（2）若原点(0,0)O到nl的距离与线段nnPQ的长度之比取得最大值，试求试点nP的坐标 (,nnxy)；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，nx与ny是满足（2）中条件的点nP的坐标，

证明：1(1)(1)2snnnmxkymsks(1,2,)s…www.ks5u.com w.w.wwww.ks5u.com w.w.^w.k.s.5*