高中数学 2.1.1 合情推理(1)教案 新人教A版选修2-2

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.1.1 合情推理（1）教案 新人教
A 版选修2-2
教学目标：
1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用．
2．掌握归纳推理的一般步骤．
3．能利用归纳进行一些简单的推理．
教学重点：
了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．
教学难点：
用归纳进行推理，做出猜想．
教学过程：
一、创设情境
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．下面我们来看3个推理案例：
案例1 前提 当0n ＝时， 21111n n －＋
＝； 当1n ＝时，21111n n －＋＝； 当2n ＝时，21113n n －＋
＝； 当3n ＝时，21117n n －＋＝；
当4n ＝时，21123n n －＋＝； 当5n ＝时，21131n n －＋＝．
11，11，13，17，23， 31都是质数． 结论 对于所有的自然数n ，211n n －＋
的值都是质数． 案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．
结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．
案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．
结论 铜能导电．
三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结
构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．
二、构建新知
在案例1中，由“对自然数n 的几个特殊值，211n n －＋都是质数”，推出“对所有自然
数n ，211n n －＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：
1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的． 因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．
归纳推理的一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
归纳推理的思维过程：
三、数学运用
例1 已知数列{a n }的每一项均为正数，2211
11(12)n n a a a n ＋＝，＝＋＝，，，试归纳出数列{a n }的一个通项公式．
分析 学生通过具体的：当1n ＝时，11a ＝，当2n ＝时，2a ，当3n ＝时，
2a
由此我们猜想{a n }的一个通项公式为n a ．
例2 已知数列{a n }的通项公式2
1()(1)n a n n +N ＝∈＋，
12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－．
试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值．
分析 学生讨论结果预测如下：
113(1)1144
f a ＝－＝－＝ 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936
f a a f ⋅⋅＝－－＝－＝＝＝ 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168
f a a a f ⋅⋅＝－－－＝－＝＝ 由此猜想，2()2(1)
n f n n ＋＝
＋ 四、学生探究 1．已知1
11()1()23f n n n +⋅⋅⋅N ＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2f ＝，(4)2f ＞，5(8)2
f ＞，(16)3f ＞，7(32)2
f ＞，推测当2n ≥时，有_______________________． 2．已知：2223sin 30sin 90sin 1502＋＋＝，2223sin 5sin 65sin 1252
＋＋＝． 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．
3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101＋＋＝
． （2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51＋＋＝
． 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．
五、课堂总结
1．归纳推理的特点：
（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．
（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性．
（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上． 提出带有规律性的结论．
（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
2．归纳推理的一般步骤：
（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质．
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业
教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题．。