人教版高中数学选修2-2教案全集
数学高中选修2一2教案
数学高中选修2一2教案
教学内容：一元二次方程
教学目标：
1. 掌握一元二次方程的概念和基本性质。
2. 掌握用因式分解法、配方法、公式法等解一元二次方程的方法。
3. 能够应用一元二次方程解决实际问题。
教学重点：一元二次方程的解法及应用。
教学难点：问题实际应用。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引出一元二次方程的概念，让学生回顾一元一次方程的解法，引出一元二次方程。
二、讲解与示范（15分钟）
1. 讲解一元二次方程的解法：因式分解法、配方法、公式法。
2. 通过例题进行示范，让学生掌握解题方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生个别练习，巩固解题方法。
2. 学生分组讨论解决实际问题的一元二次方程。
四、课堂小结（5分钟）
教师对一元二次方程的解法进行总结，强调应用能力的培养。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题，巩固学生学习成果。
以上就是本课的教学内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的知识。
祝学习顺利！。
高中数学 1.1.2导数的概念教案 新人教版选修2-2
§1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：ht o思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
人教版高中数学选修2-2归纳法学案
2．3 数学概括法1．认识数学 法原理．2．能用数学 法 明一些 的数学命 ．基 梳 理假1．数学 法．{ p(n)} 是一个与自然数有关的命 会合，假如：① 明开端命(p 1 或 p 0)建立；②在p k 建立的前提下，推出 p k ＋1 也建立，那么能够判定，{ p( n)} 全部自然数建立．2．用数学 法 的步 ： (1) 明当 n 取第一个n 0( 比如 n 0＝ 0 或 _n 0＝1) ，命 { p(n)} 正确；(2)假 n ＝ k(k ≥n 0，k ∈ N * ) 命 正确， 明当 n ＝ k ＋ 1 命 也正确， 即 p(k ＋ 1) 真； (3)依据 (1)(2) 知，当 n ≥n 0 且 n ∈ N * ， p(n)正确．想想： (1) 与正整数 n 没关的数学命 可否 用数学 法？(2)数学 法的第一步 n 0 的初始 能否必定 1?(1) 分析：不可以．数学 法是 明与正整数 n 有关的数学命 的一种方法．(2) 分析：数学 法的第一步中n 0 的初始 依据命 的详细状况来确立，不必定是1.如用数学 法 明凸 n 形的内角和 (n － 2)·180° ，其初始 n 0＝ 3.自 自n ＋21．用数学 法 明1＋q ＋ q 2＋ ⋯ ＋q n ＋ 1＝ q－ q(n ∈ N * ， q ≠ 1)，在 n ＝1 等式q － 1建立 ，等式左 的式子是(C)A ． 1B ． 1＋ qC ．1＋ q ＋ q 2D ． 1＋q ＋ q 2＋ q 3分析：左 ＝1＋ q ＋ q 1＋1 ＝1＋ q ＋ q 2.故 C.2．用数学法明1＋ 2＋ 3＋⋯＋ (2n＋ 1)＝ (n＋ 1)(2n＋ 1)，从“n＝ k”到“n＝k＋ 1”，左需增加的代数式是 (C)A ． (2k＋ 1)＋ (2k＋ 2)B． (2k－ 1)＋ (2k＋1)C．(2k＋ 2)＋ (2k＋ 3)D． (2k＋ 2)＋ (2k＋4)分析：当 n＝ k ，左是共有2k＋1 个自然数相加，即1＋ 2＋ 3＋⋯＋ (2k＋ 1)，因此当 n＝k＋ 1 ，左共有2k＋ 3 个自然数相加，即 1＋2＋ 3＋⋯＋ (2k＋ 1)＋ (2k＋ 2)＋(2k＋3)．因此左需增加的代数式是(2k＋ 2)＋ (2k＋ 3)．故 C.3．用数学法明：“(n＋1)( n＋ 2) ·⋯·(n＋n)＝ 2n· 1· 3·⋯· (2n－ 1) ”．从“k 到 k＋1”左端需增乘的代数式 (B)A ． 2k＋ 1B ． 2(2k＋ 1)2k＋ 12k＋ 3C.k＋ 1D.k＋ 1分析：当 n＝ k 左端的第一 (k＋ 1)，最后一 (k＋ k)．当 n＝ k＋1 ，左端的第一 (k＋ 2)，最后一 (2k＋2) ．∴左乘以 (2k＋ 1)(2k＋ 2)，同要除以 (k＋ 1)．基巩固1．一个与正整数 n 有关的命，当 n＝ 2 命建立，且由 n＝ k 命建立能够推得n＝ k＋ 2 命也建立， (B)A ．命于n>2 的自然数n 都建立B．命于全部的正偶数都建立C．命何建立与k 取没关D．以上答案都不分析：由 n＝ k 命建立可推出n＝ k＋2 命也建立，又 n＝ 2 命建立，依据逆推关系，命于全部的正偶数都建立，故 B.2．等式 12＋ 22＋ 32＋⋯＋n2＝1(5n2－ 7n＋ 4)(B) 2A ． n 任何正整数都建立B．当 n＝ 1， 2， 3 建立C ．当 n ＝ 4 建立， n ＝ 5 不建立D ． 当 n ＝4 不建立分析： ，n ＝ 1， 2， 3 建立， n ＝ 4，5，⋯不建立．故 B.3．用数学 法 明某命 ，左式12＋cosα ＋ cos 3α＋ ⋯ ＋ cos(2n － 1)α(α≠k π ，k ∈Z ， n ∈N * )，在n ＝ 1 ，左 所得的代数式 (B)1A. 21B.2＋ cos α1C. ＋ cos α ＋ cos 3α1D.2＋ cos α ＋ cos 3α ＋ cos 5α分析：令 n ＝ 1，左式＝ 1＋ cosα .故 B.211121 － 1，假 n ＝ k ，不等式建立，22>24．用数学 法 明 2 ＋ 3 ＋⋯＋（ n ＋ 1） n ＋ 2 当 n ＝ k ＋ 1 ， 推 的目 不等式是________．分析： 察不等式中分母的 化即可得 ．1 11＋11 1答案： 22（ k ＋2）＞ －2 ＋3 ＋ ⋯＋（ k ＋1） 222 k ＋ 3能 力 提 升5． (2014 揭·阳一中高二期中)用数学 法 明“n 3＋ (n ＋ 1)3＋ (n ＋ 2)3(n ∈ N * ) 能被 9 整除”，要利用 假n ＝ k ＋1的状况，只要睁开 (A)A ． (k ＋ 3)3B ． (k ＋ 2)3C ．( k ＋ 1) 3D ． (k ＋ 1)3＋ (k ＋ 2)3分析：因 从n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 的 渡，增加了 (k ＋ 1)3，减少了 k 3，故利用 假 ，只要将 (k ＋ 3)3 睁开， 明余下的9k 2＋27k ＋ 27 能被 9 整除．1＋ 1 ＋ 1＋⋯＋126．已知 f(n)＝ nn ＋ 1n ＋ 2n ， (D)1 1A ． f(n)共有 n ，当 n ＝ 2 ， f(2)＝ 2＋3111B ．f(n)共有 n ＋ 1 ，当 n ＝ 2 ， f(2) ＝ ＋ ＋C ．f(n)共有 n 2－n ，当 n ＝ 2 ， f(2)＝12＋ 132111D ． f(n)共有 n － n ＋ 1 ，当 n ＝ 2 ， f(2) ＝ ＋ ＋分析： 合f(n)中各 的特点可知，分子均1，分母 n ， n ＋1，⋯， n 2 的 自然21 1 1数共有 n － n ＋1个，且 f(2)＝ ＋＋ .2 347．用数学 法 明当235n －1是 31的倍数 ，当n ＝ 1n ∈ N ＋ ， 1＋ 2＋ 2＋2 ＋⋯＋2原式 1＋ 2＋ 22＋ 23＋ 24，从 k → k ＋ 1 需增加的 是25k＋ 25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋ 25 k ＋4．8．用数学 法 明等式2n －1＝2 n*)的 程以下：1＋2＋ 2 ＋⋯＋2－ 1(n ∈ N ①当 n ＝ 1 ，左 ＝20＝ 1，右 ＝ 21－ 1＝ 1，等式建立．*) ，等式建立，即2k －1k②假 n ＝ k(k ≥1，且 k ∈ N1＋2＋ 2 ＋⋯＋ 2＝2 －1.k ＋12k － 1k1－2k ＋ 1当 n ＝ k ＋ 1 ， 1＋2＋ 2 ＋ ⋯ ＋ 2＋2 ＝＝ 2 － 1，因此当 n ＝ k ＋1 ，等式也建立．*由①②知， 随意n ∈ N ，等式建立．9． 明不等式 1＋1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1＜2 n(n ∈N * )．23n明： (1)当 n ＝ 1 ，左 ＝ 1，右 ＝ 2.左 ＜右 ，不等式建立．(2)假 当 n ＝k(k ≥1且 k ∈N * ) ，不等式建立．即 1＋ 1 ＋ 1 ＋⋯ ＋ 1＜ 2 k.23k当 n ＝ k ＋ 1 ，左＝1＋1＋1＋⋯＋1＋1 ＜2 k ＋1 ＝2 k k ＋ 1＋ 1 ＜23kk ＋ 1k ＋1k ＋ 1（ k ） 2＋（ k ＋ 1） 2＋1k ＋ 1＝ 2（k ＋ 1）＝ 2 k ＋ 1.k ＋ 1∴当 n ＝ k ＋ 1 ，不等式建立．由 (1)(2) 可知，原不等式 随意n ∈ N * 都建立．10．在数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n ＋ 1＝2a n(n ∈ N * )．2＋ a n(1) 求： a 2， a 3， a 4 的 ；(2)由此猜想数列 { a n } 的通 公式 a n ； (3)用数学 法加以 明．(1)分析：由 a 1＝ 1， a n ＋1＝ 2a n，可得 a 2， a 3， a 4 分 是 2， 2，2.2＋ a n3 4 5(2)分析：由此能够猜想数列{ a n } 的通 公式 a n ＝2.n ＋ 12(3) 明：①当 n ＝ 1 ， a 1＝ ＝ 1，猜想建立．②假定当 n＝ k(k≥1， k∈ N* )时，猜想建立，即 a ＝ 2 ，k k＋ 12则当 n＝ k＋ 1 时， a k＋1＝2a k2×k＋12 2＋ a k＝ 2＝k＋ 2.2＋k＋1这说明当 n＝ k＋1 时，猜想也建立．由①②可知，猜想对全部的n∈ N*都建立．。
高中数学 教案定积分及其应用学案 新人教A版选修2-2 学案
某某省某某市肥城市第三中学高中数学教案定积分及其应用学案新人教A版选修2-2yy记作f(x)dx 。
即f(x)dx ＝)(1lim i ni n f n ab ξ∑=∞→-。
其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为 积分上限和积分下限。
2定积分的几何意义：①若0)(≥x f ，则积分⎰badxx f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即S dx x f ba=⎰)(②若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即S dx x f ba-=⎰)(③一般情况下，定积分⎰b adxx f )(表示介于x 轴、曲线()f x及b x a x ==,之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值的相反数， 3定积分的性质。
（１）⎰badx x kf )(＝k ⎰ba dxx f )(。
（２）[]dx x fx f ba)()(21±⎰＝。
（３）dx x f ba⎰)(＝ 。
4微积分基本定理：一般地，若f(x)为在][b a ,上的连续函数，且有)()(x f x F ='，那么⎰=badx x f )(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式，可记作⎰=badx x f )(= 。
常见求定积分的公式新知得到知识1n B.1n C.1n D.3lim n n →∞由落体的速，则落体从到0t t =所走路程为B.gtC.2012gtD.2014gt答案： 234-125+2l 4n四．精讲点拨： 例1：计算下列定积分：（1）dx x ⎰402sin π（2）。
dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121（3）dx x ⎰-2123答案：（1）418-π（2）21e 4+ln2-21e 2 (3)21例2利用定积分求图形的面积：求由抛物线,12-=x y 直线x=2，y=0围成的图形的面积。
湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学教案 选修2-2 1-5-3定积分的概念
学科： 数学学段：高二年级课题：§1.5.3定积分的概念教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．教学重点： 定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程：教学过程与设计：详细过程一．创设情景 复习：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式： 11()()nnn i i ii b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx=ò，其中-ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()ba f x dx ò是一个常数，即nS 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dxò，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1()ni i b af n x =-å；④取极限：()1()l i m nb i n a ib af x dx f nx =-=åò （3）曲边图形面积：()ba S f x dx=ò；变速运动路程21()t tS v t dt =ò；变力做功()baW F r dr =ò2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ³，那么定积分()ba f x dxò表示由直线,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()ba f x dx ò的几何意义。
高中数学选修2-2教案
高中数学选修2-2教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2选修2-2教案第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--3⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:41．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，5∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》示范教案
1．5.3 定积分的概念教材分析《定积分的概念》从曲边梯形的面积及变速直线运动的共同特征概括出定积分的概念，它是学生学习定积分的基础，为学习定积分的应用作好铺垫．因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一．本节课的重点是：理解并掌握定积分的概念、定积分的几何意义．理解定积分的概念是难点．主要是这种“以曲代直”“逼近”的思想方法在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，在几节课内达到深刻理解这种思想方法是难点所在．课时分配 1课时．教学目标 知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；借助于几何直观的基本思想，理解定积分的概念．过程与方法目标培养学生的逻辑思维能力和创新意识． 情感、态度与价值观激发学生主动探索学习的精神．重点难点重点：定积分的概念、定积分的几何意义． 难点：定积分概念的理解．教学过程引入新课提出问题：回忆前面曲边梯形的面积、变速运动的路程等问题的解决方法与步骤． 活动成果：分割→近似代替→求和→取极限活动设计：将以下问题及其解决步骤通过多媒体投影到屏幕上．物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，求它在a ≤t ≤b 内的位移s.步骤如下： (1)分割：用分点a ＝t 0<t 1<t 2<…<t n ＝b 将时间区间[a ，b]等分成n 个小区间[t i －1，t i ](i ＝1,2，…，n)，其中第i 个时间区间的长度为Δt ＝t i －t i －1，物体在此时间段内经过的路程为Δs i .(2)近似代替：当Δt 很小时，在[t i －1，t i ]上任取一点ξi ，以v(ξi )来代替[t i －1，t i ]上各时刻的速度，则Δs i ≈v(ξi )·Δt i .(3)求和：s ＝1nii S=∆∑≈∑i ＝1nv(ξi )Δt. (4)取极限：Δt →0时，上式右端的和式作为s 近似值的误差会趋于0，因此s ＝0lim t ∆→∑i ＝1nv(ξi )Δt.探究新知提出问题1：请同学们对求曲边梯形的面积和变速运动的路程两个实例的四个步骤对比分析，找出共同点．活动设计：先让学生独立思考，再分小组讨论、交流．活动成果：1.二者都通过四个步骤——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题； 2．解决这两个问题的思想方法是相同的，都采用了“逼近”的思想． 总结：类似的问题都可以通过这种方法来解决，而且最终结果都可以归结为这种类型的和式的极限．提出问题2：你能不能类似地将在区间[a ，b]上连续的问题函数f(x)的最终结果归结为这种类型的和式的极限．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在教师的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点 a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n)，作和式：∑i ＝1n f(ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f(ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么称该常数为函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分．记为⎠⎛a bf(x)dx ，即⎠⎛abf(x)dx ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf(ξi )， 其中f(x)称为被积函数，x 叫做积分变量，[a ，b]叫做积分区间，b 叫做积分上限，a 叫做积分下限，f(x)dx 叫做被积式．教师补充以下几点：(1)定积分⎠⎛a b f(x)dx 是一个常数；(2)定积分⎠⎛ab f(x)dx 是一种特定形式的和式∑i ＝1nb －a n f(ξi )的极限，即⎠⎛a bf(x)dx 表示当n →∞时，和式∑i ＝1n b －a n f(ξi )所趋向的定值；(3)对区间[a ，b]的分割是任意的，只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了；(4)考虑到定义的一般性，ξi 是第i 个小区间上任意取定的点，但在解决实际问题或计算定积分时，可以把ξi 都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)，以便得出结果．设计意图通过上述操作、思考问题使学生建立起对定积分的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．提出问题3：你能说说定积分的几何意义吗？活动设计：学生独立解决，必要时，教师指导、提示．学情预测：如果学生回答此问题有困难，可提示学生回顾求曲边梯形面积的例子．活动成果：结合课本本节图1.57总结定积分⎠⎛ab f(x)dx(f(x)≥0)的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．提出问题4：思考课本本节的探究问题． 活动设计：学生独立思考，并给出答案．活动成果：通过对定积分几何意义的理解，学生不难考虑到如何用定积分表示位于x 轴上方的两条曲线y ＝f 1(x)，y ＝f 2(x)与直线x ＝a ，x ＝b 围成的平面图形面积．由于图中用虚线给出了辅助线，学生易得到阴影部分的面积为S ＝⎠⎛a b f 1(x)dx －⎠⎛ab f 2(x)dx.教师引导学生根据定积分的定义，可以得出定积分的如下性质： 性质1：⎠⎛a b kf(x)dx ＝k ⎠⎛ab f(x)dx(k 为常数)；性质2：⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝⎠⎛a b f 1(x)dx±⎠⎛abf 2(x)dx ；性质3：⎠⎛ab f(x)dx ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx(其中a<c<b)．提出问题5：性质1等式两边的两个定积分上、下限和被积函数分别是什么？ 活动设计：以提问的形式让学生直接作答．提出问题6：你能从定积分的几何意义解释性质3吗？ 活动设计：学生思考、交流、探索解决问题． 学情预测：若学生解决问题有困难，教师可辅助学生用图象的方法帮助学生从几何直观上感知性质3的成立．活动成果：教师指出性质3为定积分对积分区间的可加性，它对把区间[a ，b]分成有限个(两个以上)小区间的情形也成立．给出以上3个性质，便于我们计算定积分．理解新知1．用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑i ＝1nb －an f(ξi )；④取极限：⎠⎛ab f(x)dx ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f(ξi )．2．一般情况下，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图形以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．即∫b a f(x)dx ＝x 轴上方面积－x 轴下方的面积．运用新知例1利用定积分的定义，计算定积分∫10x 3dx 的值． 解：令f(x)＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n (i n )3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·n 2(n ＋1)24＝14(1＋1n)2.(3)取极限∫10x 3dx ＝lim n →∞S n＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 例2根据定积分的几何意义推出下列定积分的值．(1)∫10xdx ；(2)∫R 0R 2－x 2dx.思路分析：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫b a f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(1)中的定积分的值即为由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形的面积；(2)中的定积分的值为由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形的面积．解：(1)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形为一个直角三角形，两条直角边边长均为1，则面积为12×1×1＝12，所以∫10xdx ＝12. (2)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形面积即为圆x 2＋y 2＝R 2面积的14，则面积为14πR 2，所以∫R 0R 2－x 2dx ＝14πR 2. 变练演编例 计算定积分∫20x 3dx 的值，并从几何上解释这个值表示什么？解：计算定积分∫20x 3dx 的值： (1)分割在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,2]等分成n 个小区间[2(i －1)n ，2in ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n)，则∫20x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n(2i n )3·2n ＝16n 4∑i ＝1n i 3＝16n 4·n 2(n ＋1)24＝4(1＋1n)2. (3)取极限∫20x 3dx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞4(1＋1n )2＝4. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝0，x ＝0，x ＝2和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．活动设计：学生在理解例1和例2的基础上，独立完成此例练习． 设计意图设置本题意在让学生进一步理解定积分的定义和其几何意义，训练学生思维的灵活性． 达标检测1. lim n →∞ 1n[cos πn ＋cos 2πn ＋…＋cos (n －1)πn ＋cos nπn ]写成定积分的形式，可记为( )A ．∫π0cosxdx B.1π∫π0cosxdxC ．∫10cosxdx D ．∫π0cosx xdx2．用定积分表示由曲线y ＝x 3和直线y ＝x 所围成的图形面积． 3．当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________； 当f(x)≤0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________．4．根据定积分的几何意义，求∫2－24－x 2dx 的值． 答案：1.B 2.∫10(x －x 3)dx.3．由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数4．2π. 课堂小结1．知识收获：(1)定积分的概念；(2)定义法求简单的定积分；(3)定积分的几何意义． 2．方法收获：联想、归纳、总结的思想方法． 3．思维收获：从特殊到一般． 布置作业习题1.5A 组3、4题． 补充练习 基础练习1．将和式的极限lim n →∞ 1α＋2α＋…＋n αn α＋1(α>0)表示成定积分为( ) A ．∫101xdx B ．∫10x αdx C ．∫101x αdx D ．∫10(x n)αdx 2．将和式lim n →∞(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分__________．3．曲线y ＝x 2，y ＝1所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．拓展练习4．用定积分定义求∫10|x 2－4|dx 的值． 答案：1.B 2.∫101x ＋1dx 3.∫1－1(1－x 2)dx 4.233. 设计说明通过两个实例让学生自己总结出定积分的概念，这符合思维认识发展的一般规律，也符合数学发展的一般规律，同时激发学生进一步学习的浓厚兴趣，学生也从中学到了联想、猜测的归纳、总结的思想方法．例题的设置，主要是为了强化本节课的重点，通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解“分割、近似代替、求和、取极限”的微积分思想方法．本节的设计既符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求．备课资料备选例题：利用定义计算定积分∫10(2x －x 2)dx ，并从几何上解释这个值表示什么？思路分析：利用定积分性质1、2，可将∫10(2x －x 2)dx 转化为2∫10xdx －∫10x 2dx ，利用定积分的定义分别求出∫10xdx ，∫10x 2dx ，就能得到定积分∫10(2x －x 2)dx 的值．解：∫10(2x －x 2)dx ＝∫102xdx －∫10x 2dx ＝2∫10xdx －∫10x 2dx ，用定义求∫10xdx 的值．(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间 [i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10xdx ≈S n ＝∑i ＝1n i n ·1n ＝1n 2·n (n ＋1)2＝n ＋12n.(3)取极限∫10xdx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞n ＋12n ＝12. 同理可求得∫10x 2dx ＝13，所以∫10(2x －x 2)dx ＝2×12－13＝23. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝2x ，x ＝1和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积．(设计者：孙娜)。
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人教版高中数学选修2-2教案全集第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以xx x x x y ∆-∆+=∆∆220)(x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.五．回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率 六．教后反思：§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 253t∆+所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念ht o从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：法一 定义法（略）法二：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x fx x+∆-∆=∆∆22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)limlim(3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．教后反思：§1.1.3导数的几何意义教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数()f x'的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n nP x f x n=沿着曲线()f x趋近于点00(,())P x f x时，割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？容易知道，割线nPP的斜率是0()()nnnf x f xkx x-=-,当点nP沿着曲线无限接近点P时，nk无限趋近于切线PT的斜率k，即00()()lim()xf x x f xk f xx∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在x x=处的导数.图3.1-2（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。