利用向量巧解中学数学题(囊括所有可用向量解答的题型!)
利用向量巧解中学数学题
所成角为 θ ，则 sin θ =
AB·n AB · n
.
图 3.1.2.1
A1 B 、 AO1 都表示成基向量 的形式。
图 3.1.1 解:∵平面 OBB 1 O 1 ⊥平面 A0B，0A ⊂ 平面 A0B，平面 OBB 1 O 1 ∩平面 A0B＝OB，且 OA
3
生活小窍门自用资料集
例 2：如图 3，正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E 是 C 1 C 的中点， （1）求 BE 与平面 B 1 BD 所 成角的余弦值； （2）求二面角 B-B 1 E-D 的余弦值。 解：如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 D-xyz，则设正方体的棱长为 2，则（1） 因为 B（2,2,0） ，B 1 (2,2,2),E（0,2,1）,所以 BD =（-2，-2，0） ， BB1 =(0,0,2), BE =（-2， ⎧− 2 x − 2 y = 0 0，1） ，设平面 B 1 BD 的一个法向量是 n =（x,y,z）,则由 n ⊥ BD , n ⊥ BB1 得 ⎨ ， ⎩2 z = 0 ⎧x = − y 所以 ⎨ ，令 y=1，则有 n =（-1，1，0） ，所以 ⎩z = 0 cos< n , BE >= n·BE n · BE
例 3：上题第（2）问 解：令 m 、 l 分别为平面 B 1 DE 与平面 B 1 BE 的法向量，则易知
m =（1，1，-2） ， l =（-1，0，0） ， m·l
= − 6 ， 6 6 . 6
所以 cos< m ， l >=
m·l
所以二面角 B-B 1 E-D 的余弦值
3.2 向量巧解距离问题 = 10 15 ， 所以 sin< n , BE >= ， 5 5 15 . 5 3.2.1 求点到平面的距离 所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为 0， 可确定法向量．设 P 为平面 a 外一点，则点 P 到面 a 的斜线段向量在平面法向量方向的射 影，即为点 P 到平面 a 的距离．而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之． 其公式为 PO = PA·n0 ,其中 n0 =
利用向量求解几何问题
利用向量求解几何问题在初中数学中，几何是一个重要的内容，它涉及到图形的性质、变换以及空间的关系等。
解决几何问题时，我们可以运用向量的知识，通过向量的性质和运算来简化问题，提高解题的效率。
本文将以一些常见的几何问题为例，介绍如何利用向量来求解。
一、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。
我们可以利用向量的性质来证明平行四边形的一些性质。
例如，已知平行四边形ABCD，我们需要证明对角线AC和BD的中点E、F以及对角线的交点O共线。
首先，我们可以通过向量的定义，用向量表示线段，假设向量AB为a，向量AD为b。
由平行四边形的性质可知，向量BC和向量CD也分别等于a和b。
然后，我们可以利用向量的运算性质，通过向量加法和数乘来表示线段的中点。
根据向量的中点公式，我们可以得到中点E、F的向量表示：向量CE = (1/2)(向量BC + 向量CD) = (1/2)(a + b)向量DE = (1/2)(向量AB + 向量AD) = (1/2)(a + b)接下来，我们可以利用向量的加法和数乘运算，证明点E、F和O共线。
假设点O的向量表示为c，由平行四边形的性质可知，向量AC和向量BD也分别等于c。
因此，我们可以得到以下等式：向量CE = (1/2)(向量AB + 向量AD) = (1/2)(a + b)向量DE = (1/2)(向量BC + 向量CD) = (1/2)(a + b)由向量的相等性质可知，上述两个等式可以转化为：(1/2)(a + b) = (1/2)(a + b)通过化简，我们可以得到：a +b = a + b这说明点E、F和O共线，根据向量的性质，我们可以得出结论：平行四边形的对角线的中点和对角线的交点共线。
二、直线的垂直与平行关系在几何中，直线的垂直与平行关系是非常重要的。
利用向量的知识，我们可以通过向量的点积来判断直线的垂直与平行关系。
例如，已知直线l1和直线l2，我们需要判断它们是否垂直。
巧用向量解决几何问题
巧用向量解决几何问题
向量知识在几何问题中有着非常广泛的应用，在具体问题中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量运算来研究点、线段等几何元素之间的关系，最后将结论转化为几何问题，特别是在有些情况下，应用向量还能起到事半功倍的效果，下面就举几个简单的例子。
一、利用向量求直线夹角
例1 已知直线,，求和夹角的余弦值。
，解:由直线方程知道和的方向向量分别为，
则和夹角的余弦值即为所成角的余弦值或其相反数，设夹角为，
则。
所以和夹角的余弦值即为。
1.
利用向量研究直线的垂直与平行
例2 已知两直线，
1.
如果，求的值；
2.
如果，求的值。
解：由直线的方程可得直线的法向量分别为：和
，
，解得：或
当时，与重合，
，
1.
利用向量求解曲线方程
例3 已知两点，试求以为直径的圆的方程。
解：设为圆上任意一点，则， ,
而，
即为所求圆的方程。
四、利用向量证明几何问题
例4 已知 ,证明：四边形为矩形。
证明： ,
,所以四边形为平行四边形。
, ,
所以四边形为矩形。
当然向量在几何问题当中还有好多方面的应用，在这里仅举几个简单的例子以说明向量的应用问题，巧用向量，就能很容易地解决相关问题。
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。
下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。
例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。
解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。
设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。
根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。
由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。
所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。
通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。
然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。
再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。
例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。
解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。
则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。
由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。
直线l的法向量为(1,-2)。
因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。
将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。
综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。
但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。
同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。
合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。
高考数学如何利用向量解决几何问题
高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。
在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。
本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。
一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。
向量可以表示位移、速度、力等概念。
向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。
在几何中，常用向量表示线段。
例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。
二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。
3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。
三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。
利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。
2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。
利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。
3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。
对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。
对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。
中学数学学会使用向量解决问题
中学数学学会使用向量解决问题数学作为一门重要的学科，对于中学生来说至关重要。
在中学数学中，向量是一个重要的概念，并被广泛运用于解决各种问题。
本文将介绍中学数学中如何有效地使用向量解决问题。
一、向量的基本概念和性质在介绍如何使用向量解决问题之前，我们需要了解向量的基本概念和性质。
向量可以用来表示有方向和大小的量，通常用箭头表示，箭头的方向代表向量的方向，箭头的长度代表向量的大小。
向量的加法、减法、数量乘法等运算都有着明确的定义和性质。
二、使用向量解决几何问题1. 平面几何问题解决向量在平面几何问题中有着广泛的应用。
例如，通过向量的定比分点公式，我们可以求解平面上一点分割线段的比值问题。
此外，通过向量的共线性定理，我们可以判断三个或更多点在平面上是否共线。
2. 三角形几何问题解决在三角形几何问题中，向量也是一个非常重要的工具。
例如，通过向量的模长公式，我们可以计算三角形的周长和面积。
同时，通过向量的垂直判定公式，我们可以判断两条直线的垂直关系，从而帮助解决三角形的垂直问题。
三、使用向量解决代数问题1. 向量的线性组合在代数问题中，向量的线性组合是一个重要的概念。
通过将向量进行线性组合，我们可以得到新的向量，并找到原始向量之间的关系。
这在解决线性方程组和矩阵问题时非常有用。
2. 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积也是在代数问题中经常使用的工具。
通过向量的数量积，我们可以计算两个向量之间的夹角，并判断它们之间的关系。
通过向量的向量积，我们可以计算两个向量构成的平行四边形的面积，并判断它们的方向。
四、使用向量解决物理问题在物理学中，向量的应用同样不可或缺。
例如，在力学中，通过将力的大小和方向表示为向量，我们可以方便地计算力的合成以及物体运动的加速度。
在电磁学中，通过将电场和磁场表示为向量，我们可以描述电磁波的传播和电磁力的作用。
五、使用向量解决优化问题向量在优化问题中具有重要的作用。
例如，在线性规划问题中，我们可以使用向量来表示目标函数和约束条件，并通过优化向量的值来最大化或最小化目标函数。
巧用向量解数学题优秀获奖科研论文
巧用向量解数学题优秀获奖科研论文向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.。
中考数学模拟试题向量的解决问题方法
中考数学模拟试题向量的解决问题方法中考数学模拟试题 - 向量的解决问题方法在中考数学中，向量是一个重要的概念，广泛应用于几何、代数和物理等领域。
解决向量相关问题的方法与技巧对于学生们来说至关重要。
本文将介绍一些常见的向量解题方法，并给出具体的例题进行说明。
一、计算向量的模和方向角在解决向量问题时，首先需要计算向量的模和方向角。
向量的模表示向量的大小，方向角表示向量与某一参考方向之间的夹角。
例如，已知向量AB的坐标分别为(3, 4)，求向量AB的模和方向角。
解：根据勾股定理，向量AB的模可以通过以下公式计算得出：|AB| = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]代入坐标，即|AB| = √[(3 - 0)² + (4 - 0)²] = 5方向角的计算可以通过以下公式得出：θ = arctan[(y2 - y1) / (x2 - x1)]代入坐标，即θ = arctan[(4 - 0) / (3 - 0)] ≈ 53.13°二、向量相加与相减解决向量相加与相减问题时，可以将向量视为有方向和大小的箭头，并使用平行四边形法则进行计算。
例如，已知向量A的坐标为(2, 3)，向量B的坐标为(-1, 2)，求向量A与向量B的和及差。
解：向量的和可以通过以下公式计算得出：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)代入坐标，即 A + B = (2 + (-1), 3 + 2) = (1, 5)向量的差可以通过以下公式计算得出：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)代入坐标，即 A - B = (2 - (-1), 3 - 2) = (3, 1)三、向量的数量积与夹角解决向量的数量积与夹角问题时，需要使用向量的坐标表示，并应用数量积的定义。
定义：向量A与向量B的数量积可以通过以下公式计算得出：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
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利用向量巧解中学数学题摘要：向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从空间几何，平面解析几何、不等式、最值问题，以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题.关键字：向量；向量法应用；数学题；解题方法Abstract: This paper looks back some basic properties of vector at first, and then summarizing and inducing vector’s application in a series of mathematics problems in every aspect(Space geometry, Flat surface analytic geometry, Maximum and Minimum, Inequality and something other mathematics problems), and illustrating them with examples,it will be faster to work out some different mathematics problems by using vector.Keywords: Vector；Vector’s application；Mathematical problem ；Soluting method目录1. 前言 (2)2. 向量基本性质回顾 (3)3. 向量巧解空间几何中的问题 (5)3.1向量巧解角的问题 (5)3.1.1求异面直线a与b所成角θ (5)3.1.2求线面所成角θ (7)3.1.3求二面角的大小 (8)3.2向量巧解距离问题 (9)3.2.1求点到平面的距离 (9)3.2.2求两异面直线的距离 (10)3.3向量巧解平行与垂直的问题 (11)3.3.1平行 (11)3.3.2垂直 (12)4. 向量巧解平面解析几何中的问题 (12)4.1平面几何 (12)4.2解析几何 (13)5. 向量巧解复数的问题 (14)6. 向量巧解三角函数的问题 (15)7. 向量巧解其他代数问题 (16)7.1求最值 (16)7.2求取值范围 (17)7.3解方程 (17)7.4代数求值 (17)7.5证明等式 (17)7.6解不等式 (18)7.7代数式 (19)7.8数列 (19)8. 结束语 (19)1.前言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。
能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。
2.向量基本性质回顾1.向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
2.向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作。
（AB是印刷体，书写体是上面加个→）有向线段的长度叫做向量的模，记作||。
有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。
长度等于0的向量叫做零向量，记作。
零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
3.相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量、平行，记作//，零向量与任意向量平行，即//。
任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。
4.向量的运算4.1加法运算＋＝，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
（首尾相连，指向终点）已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是向量、的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量，有：0＋a＝a＋0＝a。
|＋|≤||＋||。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
4.2减法运算与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，－(－)＝，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）－＝＋(－)4.3数乘运算实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ，|λ|＝|λ|||，当λ> 0时，λ的方向和的方向相同，当λ< 0时，λ的方向和的方向相反，当λ= 0时，λ= 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ) = λ(μ)（2）(λ + μ) a = λa + μa（3）λ(±) = λ± λ（4）(－λ) =－(λ) = λ(－)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
5.向量的数量积已知两个非零向量、，那么||||cos θ叫做与的数量积或内积，a，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上记作b·（在方向上）的投影。
零向量与任意向量的数量积为0。
的几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
向量的数量积的性质(1) a ·a =|a |2≥0 (2) = (3)()b ·a k =()b ·a k =()b k a(4)()+= + (5) b ·a =0⇔a ⊥b 6.平面向量的基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ、μ，使= λ1e ＋μ2e 。
7.空间向量的基本性质 7.1共线向量定理对空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb7.2共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使=x +y 7.3向量的数量积=cos<,>7.4数量积的性质⊥⇔= |a |2=a a ·3.向量巧解空间几何中的问题3.1向量巧解角的问题3.1.1求异面直线a 与b 所成角θ求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。
应掌握如下公式：向量和所成的角记为<,>，若=（x 1,y 1,z 1）,CD =(x 2,y 2,z 2),则cos<，=222222212121212121····z y x z y x z z y y x x ++++++=a ，所以直线AB 和CD 所成的角为arccos a .特别的，AB ⊥CD ⇔AB ·CD =0⇔212121···z z y y x x ++=0。
例1：如图1,三棱柱 AOB-A 101B 1中，平面 OBB 1O 1⊥平面 AOB,∠01OB ＝60°，∠AOB=90°且 OB=OO 1=2，OA=3,求：(1)异面直线 A 1B 与AO 1所成角的大小；(2)略。
分析 1：由条件可得 OA ⊥0B ，OA ⊥010，再结合题干可知共点于 0的三条线段 OA 、0B 、001的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以｛,,1OO }为基底来解决异面直线AB 与A0所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量A 1、1AO 都表示成基向量 的形式。
图3.1.1解:∵平面OBB 1O 1⊥平面A0B ，0A ⊂平面A0B ，平面OBB 1O 1∩平面 A0B ＝OB ，且 OA ⊥0B ，∴OA ⊥平面OBB 1O 1∴OA ⊥001，即∠AOB ＝90°，∠AOO 1＝90°，因此,选择一组基向量｛OA ,OB ,1OO }，则1AO =1OO -OA ，B A 1=OB -OA -1OO ，∴|1AO|==︒⨯⨯-+90cos 32234=7， 同理|A 1|==7,又190cos 23390cos 23490cos 3260c 22 (1)1111=︒⨯++︒⨯--︒⨯-︒⨯=++--=os OO OO OO A AO设异面直线A 1B 与AO 1所成角为θ，则71,cos cos 11==〉〈=A AO θ， 所以θ=arccos 71.3.1.2求线面所成角θ用向量求线面所成角的公式如下：如图2，若n 为平面α的一条法向量，直线AB 与平面α所成角为θ，则sin θ图3.1.2.1例2：如图3，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，（1）求BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值；（2）求二面角B-B 1E-D 的余弦值。
图3.1.2.2解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz ，则设正方体的棱长为2，则（1）因为B （2,2,0），B 1(2,2,2),E （0,2,1）,所以=（-2，-2，0），1=(0,0,2),=（-2，0，1），设平面B 1BD 的一个法向量是=（x,y,z ）,则由n ⊥BD ,n ⊥1BB 得⎩⎨⎧==--02022z y x ，所以⎩⎨⎧=-=0z y x ，令y=1，则有n =（-1，1，0），所以cos<n ,BE510， 所以sin<,>=515， 即BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为515. （2）略.3.1.3求二面角的大小用向量法求二面角的大小，一般先找出两平面的法向量，则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。
公式如下：如图，若平面α、β的法向量分别为、,则cos<，=a ，结合图形判断，若二面角θ为锐角，则θ=arccos a ；若θ为钝角，则θ=π- arccos a .图4例3：上题第（2）问解：令、分别为平面B 1DE 与平面B 1BE 的法向量，则易知=（1，1，-2），=（-1，0，0），所以cos<，66-=，所以二面角B-B 1E-D 的余弦值66.3.2向量巧解距离问题3.2.1求点到平面的距离所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为0，可确定法向量．设 P 为平面a 外一点，则点P 到面a 的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点P 到平面a 的距离．而线到面的距离可通过线上取一点，=,其中n =0PO ⊥面α于点O ，A ∈α，PA 为面α的斜线段向量．注意：只有单位法向量才不会改变摄影的长度。