活用平面的法向量1
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
平面法向量的求解及应用
例谈平面法向量的求解方法及应用郭兴甫 云南会泽一中 邮编：654200平面法向量是空间向量中的一个重要内容，是解决立体几何问题的强有力工具，对解决线面平行，面面平行，二面角的大小，点面距离，线面角等问题具有公式化，程序化的作用，本文举例说明怎样求一个平面的法向量及其法向量在解决相关问题的应用，以期对同学们的学习有所帮助！ 一、平面法向量的求解方法例1.在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为BC AB AA F E G a 、、分别为、、1,的中点，求平面GEF 的法向量.解：如图1所示，以D 为坐标原点建立空间 直角坐标系xyz D -，则)0,,2(),0,2,(a a F a a E ,),2,0,(a a G 由此得)0,2,2(),2,2,0(aa FE a a GE -=-=−→−−→−设平面GEF 的法向量为).,,(z y x n =−→−则由−→−−→−−→−−→−⊥⊥FE n GE n ,可得⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙−→−→−→−→,,,02121,0212100y x z y y x z y FE n GE n 令.1,1,1===x z y 则 故平面GEF 的一个法向量为).1,1,1(=−→−n评注：由上例可看出，在求平面α的法向量时，应建立空间直角坐标系，求 平面α内两个不共线的向量的坐标，并设平面α的一个法向量为).,,(z y x n =−→−由法向量的定义可知法向量必需与α内的向量垂直，进而得两个关于z y x ,,的三元一次方程令其中一个未知数为1，进而可得另两个未知数，即得平面的法向量→n .二、平面法向量的应用 1.证明两平面平行例2如图 2，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是正方体六个面的 中心，证明平面EFG//平面HMN证明：建立如图 2所示的空间直角坐 标系xyz D -,设正方体的棱长为2，易得：．)1,1,0(),1,2,1(),2,1,1(),1,1,2(),1,0,1(),0,1,1(N M H G F E .)1,0,1(),1,1,0(),1,0,1(),1,1,0(--=-==-=∴−→−−→−−→−−→−HN HM EG EF .设n 1=（x 1,y 1,z 1）,n 2=(x ,y 2,z 2)分别是平面EFG ，平面HMN的法向量，则由 1,1,1,0,0111111111-===⎩⎨⎧=+=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥−→−→−→−→x y z z x z y EGn EFn 则令 所以平面EFG 的一个法向量)1,1,1(1-=→n同理由)1,1,1(,222-=⊥⊥→−→−→−→−→n HMN HN n HM n 的法向量可得平面→→→→=∴2121//,n n n n 即即平面E F G//平面HMN评注：证明两个平面平行可由以下方法去证明：（1）转化为相应的线线平行或线面平行，（2）求出两个平面的法向量，然后证明这两个平面的法向量平行而获证。
平面的法向量定义
平面的法向量定义平面的法向量是指垂直于该平面的矢量。
在数学和物理学中，法向量是研究平面性质和解决与平面相关问题的重要工具。
本文将介绍平面的法向量的概念、性质和应用。
一、概念平面的法向量是指与该平面垂直的矢量，它垂直于平面的每一个点。
平面上的每个点都有一个唯一的法向量。
法向量可以用有序数对或坐标表示，也可以用矢量符号表示。
通过法向量，我们可以确定平面的方向和倾斜程度。
二、性质1. 平面的法向量与平面上的任意两个不重合的向量都垂直。
2. 平面的法向量与平面上的任意两个平行的向量也平行。
3. 平面的法向量的模长等于平面上任意两个不重合向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值。
三、求法向量的方法1. 已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量运算求出平面的法向量。
设向量AB=a，向量AC=b，则平面的法向量n=a×b，其中“×”表示向量的叉乘。
2. 已知平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0，可以用系数A、B、C构成的向量作为平面的法向量。
四、应用1. 判断平面的位置关系：通过比较两个平面的法向量可以判断它们的位置关系，如平行、垂直或相交。
2. 求直线与平面的交点：直线与平面相交时，可以使用平面的法向量和直线的方向向量求解交点的坐标。
3. 求平面的方程：已知平面上的一点和法向量，可以利用点法式或一般方程求解平面的方程。
4. 求平面的倾斜度：平面的法向量可以用来表示平面的倾斜程度，根据法向量的大小可以判断平面的倾斜程度。
总结：平面的法向量是垂直于该平面的矢量，它可以用来描述平面的方向和倾斜程度。
通过法向量，我们可以判断平面的位置关系、求解直线与平面的交点、求解平面的方程以及判断平面的倾斜程度。
熟练掌握平面的法向量的概念、性质和应用，对于解决与平面相关的问题具有重要意义。
平面的法向量和方向向量
平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。
本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。
一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。
平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。
2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。
3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。
平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。
同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。
二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。
平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。
2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。
平面的法向量-高中数学知识点讲解
平面的法向量
1．平面的法向量
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
→→空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．直线l
上的向量푒以及与푒共线的向量
叫做直线l 的方向向量．注意：
①一条直线l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l 的方向向量也是所有与l 平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l 上的任意两点的坐标写出直线l 的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方
→→→向”．如果表示向量
푛⊥α，如果푛⊥α，那么
푛的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作→
向量
푛叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
→→→→
③向量푛是平面的法向量，向量푚是与平面平行或在平面内，则有푛•푚= 0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
→
（1）设：设出平面法向量的坐标为푛=（u，v，w）；
→（2）列：根据푎⋅→→
푛= 0，푏
⋅
→
푛= 0，列出方程组；
（3）解：把u（或v 或w）看作常数，用u（或v 或w）表示另外两个量
→
（4）取：取u 为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量푛的坐标．
1/ 1。
平面的法向量公式
平面的法向量公式在我们学习空间几何的时候，平面的法向量公式可是个相当重要的“家伙”。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多几何难题的大门。
先来说说啥是平面的法向量。
想象一下，有一个平平的面，就像一张超级大的纸铺在那里。
而法向量呢，就是垂直于这个面的向量，它就像一根直直站立在纸上的针，和纸面完全垂直。
平面的法向量公式是：设平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，（A、B、C 不同时为 0），那么这个平面的法向量就是 n = (A, B, C) 。
这个公式看起来好像挺简单，可真要用起来，还得好好琢磨琢磨。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这法向量到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一支笔在黑板上画了一个立方体。
“同学们，咱们假设这立方体的一个面是由平面方程表示的，那如果我们知道了这个面的法向量，是不是就能很容易地求出这个面和其他面的夹角啦？这在解决很多空间几何问题时，可是超级有用的哦！”我一边说，一边在立方体上比划着。
那堂课上，我带着学生们做了好多练习题，通过实际的操作让他们更深刻地理解平面的法向量公式。
比如说，有这样一道题：已知平面方程 2x - 3y + 4z - 5 = 0 ，求它的法向量。
这时候，直接根据公式就能得出法向量是 (2, -3, 4) 。
再复杂一点，让求两个平面的夹角。
这时候，先分别求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式，就能算出平面的夹角啦。
学习平面的法向量公式，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一次运用它解决问题，都像是找到了一颗璀璨的宝石。
而且呀，这个公式在实际生活中也有不少用处呢。
比如建筑设计中，工程师们要确定建筑物各个面的朝向和角度，就得用到平面的法向量知识；在计算机图形学里，制作逼真的 3D 模型，也离不开对平面法向量的准确计算。
总之，平面的法向量公式虽然看起来有点小复杂，但只要咱们多练习、多思考，就能把它运用得得心应手，让它成为我们解决空间几何问题的有力武器！希望同学们都能和这个公式成为好朋友，在数学的海洋里畅游无阻！。
平面的法向量
y
则可得各点坐标，从而有
B
M
x
C
NM NA AB BM (2a,0,c)
又平面CDE的一个法向量是 AD (0,3b,0) 由NM AD 0 得到NM AD
因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE
三、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为n=(x，y，z) 则由n DA 0，n DE 0得
D Ax
E
C
F
y
B
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2
x
y
1 2
z
0
所以n=(0，1，- 2)
又因为D1F
(0,
1 2
, 1)
所以D1F//n
所以 D1F 平面ADE
(1，- 2，2）
3 33
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不惟一， 合理取值即
可。
方程组
n n
2023年2月17日星期五
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
v
vB
直线l上的向量v 以及与v 共线
平面法向量的应用
平面法向量的应用
(一)求空间角：
①求异面直线所成角： 设直线1l 的方向向量为a ，直线2l 的方向向量为b ，1l 与2l 的夹角为θ，所以有cos a b a b
θ⋅=⨯ . ②求直线与面的夹角： 设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l 与平面α的夹角为θ，所以有sin a n a n
θ⋅=⨯ . ③求面与面的夹角(二面角)：
设平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，平面α与平面β的夹角为θ，所以有1212cos n n n n θ⋅=⨯ . (二)求距离：
④求点到面的距离： 设平面外一点A 到平面α上的一点B 的向量为AB ，平面α的法向量为n ，则点A 到平面α的距离为0d AB n =⋅ .
⑤求异面直线间的距离： 设直线1l 的方向向量为a ，直线2l 的方向向量为b ，与1l 和2l 都垂直的向量为n ，在两条直线上各取一点A 、B ，从A 到B 的向量为AB ，则异面直线1l 、2l 的距离为0d AB n =⋅ .
⑥求直线与平面间的距离： 设从直线l 上的一点A 到平面α上的一点B 的向量为AB ，平面α的法向量为n ，则直线l 与平面α间的距离0d AB n =⋅ .
⑦求平面与平面间的距离： 设从平面α上一点A 到平面β上的一点B 的向量为AB ，n 是平面α、平面β的法向量，则平面α、平面β之间的距离0d AB n =⋅ .。
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活用平面的法向量巧解空间角 高中数学教材中增加了向量知识，随着课程改革的进行,向量作为几何与代数的结合点,向量的应用将会更加广泛。
用向量作为工具，大大降低了思维的难度,充分体现了几何问题代数化的优势。
向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角,特别是平面的法向量,它是中学数学中的一颗明珠，是解决立体几何的锐利武器。
法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰而规范。
本文将介绍平面法向量在空间几何证明、计算中的应用。
一、 平面法向量的概念和求法
向量与平面垂直:如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作a α⊥。
平面的法向量:如果a α⊥,那么非零向量a 叫做平面α的法向量。
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量,进而可以利用平面的法向量解决相关的立体几何问题。
推导平面法向量的方法如下：在给定的空间直角坐标系中,设平面α的法向量n=(x,y,1)[或(x,1，ｚ）或（１，ｙ，z)],在平面α内任找两个不共线的向量ɑ，b ，由n ⊥ɑ,n ⊥b, 得n ·ɑ=0且ｎ·b =0,由此得到关于x,y 的方程组,解此方程组即可得到ｎ,有时为了需要,也求法向量ｎ上的单位向量n 0,则0n n =
n
.【例1】在棱长为1的正方体ＡB ＣD-A 1B 1Ｃ1D 1中,求平面ACD １的法向量n 和单位向量n 0． 解：建立空间直角坐标系，如图所示，则
A （1，0，0），C(0,1,0)，D 1(0，０，1）设平面ＡC Ｄ1的法向
量n =(x ，y,１)得1(1,1,0),(1,0,1)AC AD =-=-，
又n ⊥平面ACD 1，得,.n AC n AD ⊥⊥
有(,,1)(1,1,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y -=⎧⎨-=⎩得11
x y =⎧⎨=⎩ ∴n=（1,1,１),ｎ０=
333(,,)333111n
n ==++ 二、 用法向量巧解空间角
在高考中，利用向量方法求线线角、线面角、二面角等重
点考查的知识点,特别是用法向量求解线线角、线面角、二面角
更成为高考考查的新视点，随着新课标的推广运用,这一重点必将成为高考的一个热点。
1、求直线与平面所成的角
（１）直线与平面所成的角，应分三种情况：
①直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它所在平面上的射影所成的锐角; ②直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是900；
③直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角是０0。
由此可知，直线与平面所成角的范围是［00,900]。
(２)斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成的角互余，或与该平面的法向量所成角的补角互余，故要求斜线与平面所成的角，只要求斜线与该平面的法向量所成的角即可。
常记斜线AB 与平面α所成的角为θ(０＜θ≤π2），则c ｏs(错误!-θ)＝AB n AB n
,
即si ｎθ=AB n AB n .
【例２】(2０0７全国高考卷Ⅰ19）四棱锥S ABCD -中,底面ABC Ｄ为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =
,
BC =SA SB ==（Ⅰ)证明：SA BC ⊥； (Ⅱ）求直线SD 与平面ＳBC 所成角的大小． 解：(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ，由侧面SBC ⊥
底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD ． 因为SA SB =,所以AO BO =. 又45ABC =∠，AOB △如图,以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向建立直角坐标系O xyz -,
因为AO BO AB ===SO =(0B ，(0C -，．(001)S ，，,(21)SA =-，
，， (0
CB =,0SA CB =，所以SA BC ⊥.
（Ⅱ)(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，
,(20)OA =，，. OA 与SD 的夹角记为α,SD 与平面ABC 所成的角记为β,因OA 为平面SBC 的法向量， 所以α与β互余．22cos 11
OA SD
OA SD α==,sin 11β=, 所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11
． 【例3】(20０５全国高考卷Ⅱ）如图，四棱锥P-ABCD 中， 底面A ＢC Ｄ为矩形,PD 垂直于底面A ＢC Ｄ,AD=PD,Ｅ、F 分别为C
Ｄ、PB 的中点．
（Ⅰ)求证:EF 垂直于平面PAB ；
（)设ＡB=2BC ，求ＡC 与平面AEF 所成的角的大小. （Ⅰ)证明：建立空间直角坐标系(如图),设A Ｄ＝P Ｄ=1,AB=2a(a ＞0)则E （a ，0,0），C(2a ，0,0),A （0,1,0),Ｂ（2ａ,1,0),P(0,０，1）,F(a ，
1２,错误!),得11(,,),(2,1,1),(2,0,0)22
EF o PB a AB a ==-=
S
C D A B。