法向量的求法归纳
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法 2：行列式法（高等数学方法） 定义：二阶行列式
⇒
x = 3z 7 y=− z 3
取 z = 3 ，则 x = 9 ， y = −7 ， 故 n = ( 9, −7,3)
a c
b d
= ad − bc
a3 b3 = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a2b1c3 − a1b3c2 c3 i j k 由 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) 得 n = 2 3 1 = −9i + j − 3k + 6 j = −9i + 7 j − 3k = ( −9, 7, −3) 1 0 −3
a1 行列式可借助代数余子式 b1 c1
故n =
a1 a2 三阶行列式 b1 b2 c1 c2
a2 b2 c2
a3 b b3 = a1 2 c2 c3
b3 b b b b − a2 1 3 + a3 1 2 展开得到 c3 c1 c3 c1 c2
来自百度文库
3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 ,− , i− j+ k = −9i + 7 j − 3k 即 n = ( −9, 7, −3) ，也即 n = 0 −3 1 −3 1 0 0 −3 1 −3 1 0
三人行，必有我师
法向量的求法归纳
例：设平面 ABC 内的两个向量坐标分别为 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) ，求平面 ABC 的一个法向量 n ． 法 1：方程组法（通解通法）
2 x + 3 y + z = 0 设 n = ( x, y, z ) ，则 x − 3z = 0
3、借零构造法（个人最喜欢的方法） 与 m = ( a, 0, b ) 垂直的向量可以构造为 n = ( b, x, − a ) ，注意根据 0 的位置调整构造的向量 由 AC = (1, 0, −3) ，可设 n = ( 3, x,1) ，再由 n ⋅ AB = 0 ⇒
6 + 3x + 1 = 0 ⇒
x=−
7 7 即 n = 3, − ,1 调 3 3
整为 n = ( 9, −7,3) 可以借助线性运算产生 0 ； 若两个向量有 0 在同一个位置， 则直接得到法向量， 特例： 若两个向量均没有 0 出现， 此时平面为坐标平面 例： （1） a = (1, 2,3) ， b = ( 2,3,1) ，则 2a − b = ( 0,1,5 ) ，可设 n = ( x,5, −1) 后用 n ⋅ a = 0 得到 x = −7 （2） a = (1, 2, 0 ) ， b = ( 3, −1, 0 ) ，则 n = ( 0, 0,1)
⇒
x = 3z 7 y=− z 3
取 z = 3 ，则 x = 9 ， y = −7 ， 故 n = ( 9, −7,3)
a c
b d
= ad − bc
a3 b3 = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a2b1c3 − a1b3c2 c3 i j k 由 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) 得 n = 2 3 1 = −9i + j − 3k + 6 j = −9i + 7 j − 3k = ( −9, 7, −3) 1 0 −3
a1 行列式可借助代数余子式 b1 c1
故n =
a1 a2 三阶行列式 b1 b2 c1 c2
a2 b2 c2
a3 b b3 = a1 2 c2 c3
b3 b b b b − a2 1 3 + a3 1 2 展开得到 c3 c1 c3 c1 c2
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3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 ,− , i− j+ k = −9i + 7 j − 3k 即 n = ( −9, 7, −3) ，也即 n = 0 −3 1 −3 1 0 0 −3 1 −3 1 0
三人行，必有我师
法向量的求法归纳
例：设平面 ABC 内的两个向量坐标分别为 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) ，求平面 ABC 的一个法向量 n ． 法 1：方程组法（通解通法）
2 x + 3 y + z = 0 设 n = ( x, y, z ) ，则 x − 3z = 0
3、借零构造法（个人最喜欢的方法） 与 m = ( a, 0, b ) 垂直的向量可以构造为 n = ( b, x, − a ) ，注意根据 0 的位置调整构造的向量 由 AC = (1, 0, −3) ，可设 n = ( 3, x,1) ，再由 n ⋅ AB = 0 ⇒
6 + 3x + 1 = 0 ⇒
x=−
7 7 即 n = 3, − ,1 调 3 3
整为 n = ( 9, −7,3) 可以借助线性运算产生 0 ； 若两个向量有 0 在同一个位置， 则直接得到法向量， 特例： 若两个向量均没有 0 出现， 此时平面为坐标平面 例： （1） a = (1, 2,3) ， b = ( 2,3,1) ，则 2a − b = ( 0,1,5 ) ，可设 n = ( x,5, −1) 后用 n ⋅ a = 0 得到 x = −7 （2） a = (1, 2, 0 ) ， b = ( 3, −1, 0 ) ，则 n = ( 0, 0,1)