用向量法求二面角的平面角教案
北师大版高中理科数学2-1：用向量方法解决二面角的计算问题(教案)
αβPABl课 题：空间的角的计算（2）教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题 教学重点：二面角的计算 教学难点：二面角的计算 教学过程一、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义 二、建构数学利用向量求二面角的大小。
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向） 如图：二面角α-l -β的大小为θ， A ，B ∈l ，A C ⊂α，B D ⊂β, A C ⊥l ，B D ⊥l 则θ=<AC ,BD >=<CA ,DB >方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。
如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P ， 过P 作PO ⊥β，及P A ⊥l,连A O ，则A O ⊥l 成立，∠P A O 就是二面角的平面角 用向量可求出|P A |及|PO|，然后解三角形P A O 求出∠P A O 。
方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。
如图（1）P 为二面角α-l-β内一点，作P A ⊥α， P B ⊥β，则∠A P B 与二面角的平面角互补。
三、数学运用1、例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角11C BD A --的大小。
解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA建立如图所示坐标系D -xyz（法一）)1,21,21(1-=EA ,)1,21,21(1-=EC31,cos 11>=<EC EA（法二）求出平面BD A 1与平面BD C 1的法向量)1,1,1(,)1,1,1(21-=-=n n31,cos 212121=>=<n n 2、例4 已知E,F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱BC 和CD 的中点，求： （1）A 1D 与EF 所成角的大小；（2）A 1F 与平面B 1EB 所成角的大小； （3）二面角B B D C --11的大小。
向量法求二面角教学设计
向量方法求二面角的平面角大小的方法天水市张家川县第一中学李毅课堂探究活动：1.温故知新师：如何度量二面角平面角的大小？异面直线所成角以及线面角如何求？（提问） 思考：如何度量二面角α—l —β的大小 2.新知探究二面角的平面角能否转化成向量的夹角？ 师：对于一般的两个平面，他们两个的法向量的夹角和二面角有什么关系呢？请同学们讨论并在下图中标出。
师：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？学生思考，举手回答学生根据教师的提示，用类比的方法探究向量法在二面角的平面角的求解中的具体应用。
教师引导学生回顾前两节的所学，为引入本节内容作铺垫。
从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由向量的夹角来确定，从而调动学生探究这一问题的积极性.让学生体会类比与转换的数学思想在数学中应用。
通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能αβθαβθ>=<21,n n θ当法向量1n ，2n 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小>=<21,n n θ；当法向量1n ，2n 同时指向二面角内或二面角外时， 二面角的大小><-=21,n n πθ．3.实践操作师：已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°, SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1， ， 求平面SAB 与SCD 所成二面角的余弦值．学生利用已学过的知识，适当建立坐标系解决问题。
力和乐于探索的精神； 通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生理解法向量夹角与二面角大小的关系．体现利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性．121212cos cos ,n n n n n n θ•=-<>=-5.当堂练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．（补充练习）如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是矩形，ABCDPA面⊥,222===BCABAP，,FE,分别是PCAD,的中点。
导学案立体几何中的向量方法—求二面角
立体几何中的向量方法—求二面角导学案【教学目标】1.会求平面的法向量，并利用平面的法向量求二面角，感悟向量是研究立体几何问题的有效工具，培养数学建模的核心素养。
2.培养学生利用图形，描述、分析数学问题的能力。
体现了数形结合的思想，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养。
3.进一步发展学生的数学运算能力，促进学生数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，培养数学运算和数据分析的核心素养。
【教学重点与难点】教学重点：应用坐标法求二面角。
教学难点：理解法向量与二面角的关系，以及如何在具体问题中建立坐标系。
【学习过程】一、复习引入1.二面角的定义：从出发的所组成的图形叫做二面角。
2.取值范围：二、求二面角的方法1.定义法（几何法）2.法向量法（坐标法）：两平面法向量成角与二面角的平面角之间的关系θθ三、例题解析及拓展变式1.例题： 正方体ABEF-DCE ′F ′中, M,N 分别为AC,BF 的中点(如图),求二面角A-MN-B 的余弦值.2.拓展变式1：正方体ABEF-DCE ′F ′中, M 为AC 的中点(如图), N 是对角线BF 上一点，当直线MN 与平面ABEF 所成的角为45 °时，求二面角A-MN-B 的余弦值.3.拓展变式2：正方体ABEF-DCE ′F ′中, M 为AC 的中点(如图),在对角线BF 上是否存在一点N ，使平二面角A-MN-B 的余弦值为 - ? 若存在，确定点D 的位置，若不存在，说明理由。
1.3四、链接高考1.2017高考新课标全国1卷（理）第18题如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90∠=∠=.BAP CDP（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A=PD=AB=DC，90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.2. 2016高考新课标全国1卷（理）第18题如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是．（I ）证明：平面ABEF EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．3. 2018高考新课标全国1卷（理）第18题 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.五、课堂小结及作业。
《二面角》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】
《二面角》教学设计第二课时◆教学目标1、进一步理解线面角的定义.提升学生的数学抽象素养.2、掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法，提升学生的数学运算素养◆教学重难点◆教学重点：掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法.教学难点：灵活运用两种基本方法求线面角.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第50-52页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第二课时用空间向量求二面角的大小．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架二、探索新知问题2：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：由图（1）（2）易知，〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ追问：根据上述解答过程,请同学们探究二面角为锐角和钝角时的余弦值情况.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：已知θ为锐角,当〉〈21n n ，为锐角时,θ=〉〈21n n ，,〉〈=21,cos cos n n θ,当〉〈21n n ，为钝角时,〉〈-=21,n n πθ,〉〈-=21,cos cos n n θ,所以恒有|,cos |cos 21〉〈=n n θ.设计意图：该内容探究的是如何用两个平面的各自一个法向量去研究两个平面所成角的大小.教师可以在前面方法回顾的基础上,引导学生进行自主学习与尝试．三、初步应用例3： 如图所示，已知四棱锥ABCD S -中，ABCD ABCD SA ,面⊥为直角梯形，,90 =∠=∠ABC DAB 且AD BC AB SA 3===,求平面SCD SAB 与所成角的正弦值．师生活动：学生尝试建系解答，做完同桌总结思路，给出本体解答的一般步骤，由老师指定学生解答．预设的答案：解：依题意可得，AD ,AB ,AS 两两互相垂直，以A 为原点, AS AB AD ,,的方向分别为z y x ,,轴正方向，AD 的长为单位长度，建立如图所示直角坐标系，则：)0,0,1(),0,3,3(),3,0,0(),0,0,0(D C S A 所以)0,3,2(),3,0,1(),0,0,1(=-==DC DS AD 显然，AD 是平面SAB 的一个法向量，设平面''BCD A 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅03203y x DC n z x DS n 取3=x ，可得1,2=-=z y ，此时)1,2-,3(=n 因为14143||||,cos ==〉〈n AD nAD n AD 所以所求的角的正弦值为14701491=- 设计意图：例3是以条件较为特殊的几何体来示范用空间向量求平面所成角的问题.教师可以通过师生的探究与交流．教师讲解：在解题的过程中应该注意的方面：(1)条件的特殊性.存在共顶点的三条棱两两互相垂直,利于建系,可以直接确定其中一个平面的一个法向量;有三条棱长相等,因此,此四棱锥可视为某正方体中的一部分.可以合理利用题目中条件的特殊性,灵活确定点的坐标及平面的一个法向量．(2)所求的问题是两个平面所成角的正弦值.虽然前面有“尝试与发现”的结论,但是向量公式中没有正弦值,可以先求余弦值,再求正弦值,这是通法.事实上,两个平面所成角为特殊角的情况还是非常少的,因此,多数情况下为求所成角的三角函数值．(3)直观上看,平面SAB 与平面SCD 没有公共的棱,因此用作二面角的平面角去解答就会很困难,这也体现了向量方法在解答较复杂的立体几何问题时的优势.在条件不变的前提下,教师还可以让学生求平面SAD 与平面SBC 所成角的正弦值,以巩固学生本小节知识与方法的掌握．例4：如图所示，已知直三棱柱111C B A ABC -中,2,1,901====∠AA BC AC ABC ,且D 是1AA的中点.求平面BDC 与平面1BDC 所成角的大小.师生活动：学生先尝试自己建立坐标系，并给出解答，由老师指定学生解答．预设的答案：依题意可得，CA,CB,1CC 两两互相垂直，以C 为原点, 1,,CC CB CA 的方向分别为z y x ,,轴正方向，建立如图所示直角坐标系，则：)2,0,0(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,0(1C D B C 所以)2,1,0(),1,0,1(),1,0,1(),0,1,0(11-=-===BC DC CD CB设平面BCD 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅00z x DC n y CB n 取,1=z ，可得0,1=-=y x ，此时)1,0,1-(=n设平面D BC 1的一个法向量为),,(z y x m =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅020m 11z y BC m z x DC 取,1=z ，可得2,1==y x ，此时)1,2,1(=m因为0=⋅n m所以所求的角的大小为90°．设计意图：法向量的方向决定了法向量的夹角与二面角的平面角的大小的关系是相等或互补.这就需要结合算出的法向量,将坐标原点作为始点,根据横、纵、竖坐标的正负,判断其终点所在的空间直角坐标系的卦限,从而确定其方向.法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题3：根据例4所求问题中的不能直接确定平面的一个法向量.解答过程也是给出了证明空间中两个平面垂直的一种方法.请学生归纳解题的一般过程.师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：根据题目条件合理地建立空间直角坐标系;根据所设长度写出必要的点的坐标;根据点的坐标求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量;用方程组分别求出两个平面的一个法向量;利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值;写出所求问题的结论．设计意图：法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题4：根据所学，请学生总结求二面角的平面角的一般方法．师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：一定义法:在棱上任取一点,过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角；二是利用三垂线定理及其逆定理:自二面角的一个面上的一点向另一个平面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足与面上这一点连线,和斜足与垂足连线所夹的角,就是二面角的平面角；三是射影面积公式法:SS 'cos =θ(其中'S 表示射影图形面积,S 表示原图形面积)．设计意图：使用向量方法解决二面角的平面角问题,不能离开对立体几何图形的分析.实际上,向量方法与综合几何方法也是相互关联的.向量在立体几何中的应用的灵活性来源于立体几何图形位置关系和向量运算的联系,也就是实现向量语言对立体几何问题的描述.学习二面角的内容,对学生的空间想象力有着较高的要求．四、归纳小结，布置作业问题5：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：在教师的指导下共同讨论． 预设的答案：〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确利用空间向量求二面角的大小 布置作业：教科书第52页练习B1,2,3．五、目标检测设计1已知二面角αl β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角αl β的大小可能为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角的正弦值．2．三棱锥A BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A BD C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π3设计意图：考查学生对空间向量求夹角．3、已知向量m ，n 分别为直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则直线l 与平面α所成的角为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角．参考答案：1．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12， ∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角αl β的大小为60°或120°．]2．C [当二面角A BD C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3． 当二面角A BD C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．]3、60° [设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]。
立体几何中的向量方法---求二面角教学设计
课题3.2立体几何中的向量方法—求二面角教材：人民教育出版社高中数学选修2－1一、教学内容解析本节课是人民教育出版社高中数学选修2－1第三章第二节《立体几何中的向量方法》的第三课时内容．属于新授课性质原理课。
本单元的学习可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念，运算基本定理和应用，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
二、学生学情分析求二面角是高中数学立体几何学习的一个重点也是难点，学生在必修二学习过程中，主要采取“形到形”的综合推理方法，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
学生在必修4中已经学习了平面向量的基本概念与基本运算，对向量的坐标化运算有了一定程度的了解，已经初步具备利用向量工具解题的意识和能力。
选修2-1中向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于求二面角问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
三、教学目标设置①会求平面的法向量，并利用平面的法向量法求二面角，感悟向量是研究立体几何问题的有效工具。
②培养学生利用图形，描述、分析数学问题的能力。
体现了数形结合的思想。
③进一步发展学生的数学运算能力，促进学生数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
四、教学重点与难点教学重点：应用法向量法求二面角教学难点：理解法向量与二面角的关系。
五、教学策略分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课的教学采用的教学方法为：启发引导教学法和问题教学法六、教学过程设计1. 创设情境，复习引入课题师：经过前一阶段立体几何的学习，同学们已经知道，在立体几何中有三个重要的角，他们分别是：异面直线所成角，直线与平面所成的角和二面角。
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。
教学目标1．使学生会求平面的法向量；2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法. 教学难点求解二面角的平面角的向量法. 教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式：1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）结论：或统一为：2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
利用向量方法求二面角学案
3.2.2 利用向量方法求二面角学习目标：理解用平面法向量的夹角求二面角的方法。
学习重点难点：用平面法向量的夹角求二面角的方法学习过程:回顾：二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 。
这条直线叫做 ，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 。
二面角的求法AB 与CD →的夹角(如图①所示)．(2)设n 1、n 2是二面角α—l —β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．二面角：><-=><=2121,cos cos ,cos cos n n n n θθ或例1．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1，(1)求二面角C —DE —C 1的余弦值；(2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．例2：如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA.求二面角A －BE －D 的余弦值．练习：若PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A —PB —C 的余弦值．当堂检测,2,4,A B C B SA A B C SA B C A B M N A B B C S N M A ∆∠⊥===--是以为直角的直角三角形。
平面、分别是、的中点。
求二面角的余弦值。
3.2.2 利用向量方法求二面角（作业）基础作业1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.222.若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．3.01111160ABC A B C AB AC AA ABC -==∠=在直三棱柱中，，.11.A B A C A A C B ⊥--（1）证明（2）求二面角的平面角的余弦值。
空间向量法求二面角
徐沟中学高二年级数学学案 命制人： 董晓燕 郭凯丽 复查人：段红蕊空间向量法求二面角学习目标：1．让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角大小的方法；让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题．新知自学：让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的夹角解图1 图2课堂互学：例1；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B ACD --的正弦值例3：如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=21。
求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。
总结提炼：随堂检测：1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小；能力提升：1.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且AA 1=AB=2．（1）求证：AB ⊥BC ；（2）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为6π，求锐二面角A-A 1C-B 的大小．A BC DEF ϕω θ βlα2n 1nθ β lαϕ1n2n O （A ） B A 1 C 1 B 1D 1 D CQ zy x 图4AzyDCBS 图5ABCD1A1C1B。
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第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角
大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。
教学目标
1．使学生会求平面的法向量；
2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；
3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法. 教学难点
求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式：
1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）
向量夹角的补角.
3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习
例1、如图，ABCD 是一直角梯形，︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
2
1
=
AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面SCD 的法向量1n ， 平面SBA 法向量2n ，利用12,n n 夹角 求平面SCD 与平面SBA 的夹角余弦值。
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
易知面SBA 的法向量为)0,21,0(1==n ，)1,2
1,0(),0,21,1(-=-=
设面SCD 的法向量为),,(2z y x n =，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-0
2
02
z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，)1,21,1(2=∴n
又1n 方向朝面内，2n 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角
即所求二面角的余弦值为
3
6. 点拨求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。
练习1：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求二面角D AE F --的余弦值。
解：由题意知，)0,1,2
1(),2
1
,1,0(E F ，则)2
1,1,0(=AF )0,1,2
1(,=AE
设平面AEF 的法向量为),,(z y x =，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅02
10210
0y x z y AE n AF n ，取1=y ，得2-==z x 又平面AED 的法向量为)1,0,0(1=AA
观察图形知，二面角D AE F --为锐角，所以所求二面角D AE F --的余弦值为3
2
练习2：如图，三棱柱中，已知ABCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩
形，。
平面平面ABCD B B A A ⊥''
试问：当A A '的长度为多少时，二面角A C A D -'-的大小为？ 60 解：如图建立空间坐标系A xyz -，则 '(1,0,)DA a =- (0,1,0)DC =
设面'
DAC 的法向量为1(,,1)n x y =
则'110
0DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1(,0,1)n a = 易得面'AAC 的法向量2(1,1,0)n =-
∴向量12,n n 的夹角为60
由12122121
cos ,2
||||12n n a n n n n a ⋅-〈〉=
==+⋅得 1a =
∴当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．
设计说明：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．
练习3：正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．
当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的平面角的余弦值． 解：如图建立空间坐标系O xyz -，设AP a =
则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a -- ∵
,1
(3,1,2)BC =-
由11BC B P ⊥，得110BC B P =
即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11BC B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面
∴1(3,1,2)BC =-是面1CB P 的法向量
设面11C B P 的法向量为(1,,)n y z =，由1110
B P n B
C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,3,23)n =-,
设二面角11C B P C --的大小为α，则116
cos 4||||
BC n BC n α== Ⅲ、小结与收获
1、二面角的平面角的正弦值弦值：
2、求平面法向量的方法. Ⅳ、课后练习
1、如图,已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,90ABC BCD ∠=∠=,
2AB BC PB PC CD ====,侧面PBC ⊥底面ABCD . 求二面角P BD C --的大小.
2、如图,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均相等,点D 是BC 上一点,AD ⊥C 1D. 求二面角C －AC 1－D 的大小.。