找二面角的平面角的方法汇总
作二面角的平面角的常用方法
而走险了,那个丫头,他势在必得. "咚咚咚." 门外突然响起敲门声,雪无痕有些恼怒,扭头看着旁边の凤姐,眼中有了一丝责怪.凤姐连忙躬身请罪,打开房门,随即门外传来一阵低声の交谈声. "吱呀！" 门再次被推开,凤姐有些面色凝重の走了进来,开口说道："看来这次任务只能提前行动 了,而且最好是今晚." "什么情况?"雪无痕眉头一挑,有了一丝不好の预感. "雪一他们死了,白重炙一人杀の,而且白重炙此时正赶回雾霭城,或许明早就能赶回,所以少主如果你坚持任务の话,那么就必须马上行动."凤姐忍住心中の惊骇,尽量让自己の诉说平静些. "哐当！" 手上の茶杯悄 然落地,四分五裂.雪无痕张大嘴巴,想说些什么,却什么也没有说.墨老和石老怔怔の望着洒在地面龙舌般の茶叶,默默消化着这信息深沉の含义. "将传递信息の人给我叫进来." 良久之后,雪无痕突然开口了,声音冷漠冰寒. 牛金和两名随从の情报人员被叫进来,看着正首位那名英俊无比 却面容十分平静の青年,连忙躬身行礼.随后一点不落の将自己所看、所听、所想,全部述说出来,没有一丝添油加醋,没有一丝遗漏.他知道一句话说错,有时就能代表一个生命消失,他知道那个青年有这个权利,也有这个能力. "行了,你们三人下去吧,凤姐安排一下他们,好好玩两天."雪无 痕自从牛金三人进来之后就已经恢复平静,心里虽然起了滔天巨浪,但他只能生生强压下来,在下人面前,他需要平静,也必须平静. "今晚行动." 思索良久,他毅然起身,说出四个字,然后快速推开门,匆匆离去. 白家堡,西院,醉心园. 夜轻狂身为白家の大少,此时却没有像那些普通の公子般, 流连在十三长街上挥霍着青春.也没有像别の雾霭城の纨绔子弟般,在某些场合诠释着世家和父辈の富有权势.而是静静
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找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点.对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60 :的二面角:-a的两个面内，分别有A和B两点•已知A和B到棱的距离分别为2和4,且线段AB =10，试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 :角在哪儿•如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根据题意，在平面1内作AD — a ；在平面:-内作BE —〉，CD//EB，连结BC、AC •可以证明CD_a，则由二面角的平面角的定义，可知• ADC为二面角:-a —的平面角•以下求解略.二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面一：内有一条直线AC与平面-成30 ?, AC与棱BD成45:，求平面〉与平面：的二面角的大小.分析：找二面角的平面角，可过A作AF - BD ; AE -平面-■,连结FE .由三垂线定理可证BD _ EF，则/ AFE为二面角的平面角.总结：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.(2 )在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作AF丄BD ”、“连结EF ”、“证明EF丄BD ”.三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为〉- CD -:内的一点，PA—：•于A点，PB —:于B点，如果/APB二n ［试求二面角:--CD -：的平面角.图1第1页共3页图2UiJ C cPA丄an PA 丄CD分析： c n CD丄平面PAB.PB 丄B = PB 丄CD因此只要把平面PAB与平面〉、1的交线画出来即可•证明• AEB为〉-CD - 一：的平面角，.AEB =180 ：-n :（如图2）.注意：这种类型的题，如果过A作AE _ CD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明EB _ CD，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC - A1B1C1中，平面AB!与平面AG构成的二面角的平面角为830 ［平面AB i与平面BC i构成的二面角为70匚试求平面AC i与平面BG构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得△ DEF , 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.四、平移平面法例5如图，正方体ABCD-A i BQ i D i中，E为AA的中点，H为CC i上的点，且CH : C I H =i：2 .设正方体的棱长为a，求平面D I EH与底面A I B I C I D I构成的锐角的正切.分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D i，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角.有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了.如图，过点E作EM //AD i与D i D相交于M点，过M点作MN —CP，与D i H相交于N点.可证平面EMN //平面ABiGD i .这样，求平面D i EH与平面ABQ i D i的二面角的平面角就转化为求平面D i EH与平面EMN的二面角的平面角.显然EN 为这两个平面的交线，过点M作MF - EN , F为垂足，连结D i F , 可证— EN .则.D i FM为本题要寻找的二面角.五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体ABCD - A I B i C i D i中，M为棱AD的中点，求平面B i C i CB和平面BC i M所构成的锐二面角的正切.分析：平面AC与二面角M -BG-C的一个面B i C垂直，与另一个平面MBC i相交，过M点作MP — BC，垂足为P，过P作PN — BC，交BC i于N点，连结MN，由三垂线定理可证MN — BC i ,则• MNP为二面角M - BC i -C的平面角.总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平第2页共3页面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线•根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角.再如图，要找:-a--所构成的二面角的平面角，可找平面-一：，且咐「二=b , =丨，过b上任何一点A作AB _ I ,垂足为B，过B作BC _ ：,垂足为C ,连结AC , 可证ACB 为:-a--的平面角.六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1•三线合一例7 如图，空间四边形ABCD中，AB = AD=3 , BC=CD=4, BD = 2, AC =5 .试求A- BD - C二面角的余弦值.分析：如图1 , AB二AD , BC二CD，则△ ABD和A BDC为等腰三角形.过A作AE - BD ,垂足为E ,连结CE .根据三线合一，且E为BD 中点，可证CE _ BD，则• AEC为二面角A- BD - C的平面角.2.全等三角形——"■ I 一 1 ■「• r in i. ■ i ■ i例8 如图，已知空间四边形ABCD , AB二BC二6 , AD二DC二4 , BD二8 ,AC =6 .试求A-BD-C的余弦值.分析：过A作AE - BD，垂足为E，连结CE .根据已知条件，△ AED和△ CED全等，可证CE — BD ,则•AEC为二面角A-BD-C的平面角.3.二面角的棱蜕化成一点**!、**■、匸r・rir 、•匸—r例9 如图，四棱锥A- BCED中，DB和EC与面ABC垂直，△ ABC为正三角形.（1 ）若BC = EC = BD时，求面ADE与面ABC的夹角；（2）若BC =EC =2BD时，求面ADE与面ABC的夹角.分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交.如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2 ）一条交线；（3 ）三条交线互相平行.在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线.可过A作AM // DE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM .过A作AN _ DE 于N，过A作AF _ BC 于F .可证AN _ AM , AF _ AM , 则• NAF 为面ADE与面ABC的夹角.如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点.延长ED、CB相交于G点，连结AG . AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角.通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了.只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解.第3页共3页。
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
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完整版)找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的重要内容，但很多学生在解决二面角问题时往往无从下手，因为他们没有掌握寻找二面角的平面角的方法。
本文将介绍六种寻找二面角平面角的方法。
一、根据平面角的定义找出二面角的平面角。
例如，在60度的二面角α-a-β的两个面内，有点A和B，已知A和B到棱的距离分别为2和4，线段AB为10，求直线AB与棱a所构成的角的正弦值以及直线AB与平面α所构成的角的正弦值。
为解决这道题，需要先找到二面角的平面角，即找到60度角所在的位置。
根据题意，在平面β内作AD垂直于a，在平面α内作BE垂直于α，CD平行于EB，然后连接BC、AC。
可以证明CD垂直于a，因此根据二面角平面角的定义，∠ADC为二面角α-a-β的平面角。
二、根据三垂线定理找出二面角的平面角。
例如，在平面β内有一条直线AC与平面α成30度，AC与棱BD成45度，求平面α与平面β的二面角的大小。
为了寻找二面角的平面角，可以通过点A作AF垂直于BD，AE垂直于平面α，并连接FE。
根据三垂线定理，可以证明BD垂直于EF，因此∠AFE 为二面角的平面角。
需要注意的是，寻找二面角平面角时需要注意“作”、“连”、“证”的顺序。
三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。
例如，在图1中，已知P为α-CD-β内的一点，PA垂直于α于点A，PB垂直于β于点B，如果∠APB=n度，则需要求二面角α-CD-β的平面角。
由PA垂直于α和PB垂直于β可得CD垂直于平面PAB。
因此，只需要画出平面PAB与平面α、β的交线即可。
可以证明∠AEB为α-CD-β的平面角，且∠AEB=180-n度（如图2）。
需要注意的是，如果通过点A作AE垂直于CD，垂足为E，并连接EB，则还需要证明EB垂直于CD，以及AEBP为平面图形。
由于篇幅限制，本文只介绍了三种寻找二面角平面角的方法，其他三种方法包括作二面角棱的垂线，作二面角的高线，以及利用向量的方法。
难点攻坚!如何寻找二面角的平面角
寻找二面角得平面角得方法二面角就是高中立体几何中得一个重要内容,也就是一个难点、对于二面角方面得问题,学生往往无从下手,她们并不就是不会构造三角形或解三角形,而就是没有掌握寻找二面角得平面角得方法.我们试将寻找二面角得平面角得方法归纳为以下六种类型.一、根据平面角得定义找出二面角得平面角例1 在得二面角得两个面内,分别有与两点.已知与到棱得距离分别为2与4,且线段,试求:(1)直线与棱所构成得角得正弦值;(2)直线与平面所构成得角得正弦值.分析:求解这道题,首先得找出二面角得平面角,也就就是找出角在哪儿。
如果解决了这个问题,这道题也就解决了一半.根据题意,在平面内作;在平面内作,,连结、、可以证明,则由二面角得平面角得定义,可知为二面角得平面角。
以下求解略、二、根据三垂线定理找出二面角得平面角例２如图,在平面内有一条直线与平面成,与棱成,求平面与平面得二面角得大小。
分析:找二面角得平面角,可过作;平面,连结、由三垂线定理可证,则为二面角得平面角.总结:(１)如果两个平面相交,有过一个平面内得一点与另一个平面垂直得垂线,可过这一点向棱作垂线,连结两个垂足。
应用三垂线定理可证明两个垂足得连线与棱垂直,那么就可以找到二面角得平面角.(2)在应用三垂线定理寻找二面角得平面角时,注意“作”、“连”、“证”,即“作"、“连结"、“证明”.三、作二面角棱得垂面,垂面与二面角得两个面得两条交线所构成得角,即为二面角得平面角例3 如图１,已知为内得一点,于点,于点,如果,试求二面角得平面角.分析:平面.因此只要把平面与平面、得交线画出来即可.证明为得平面角,(如图2).图1 图2注意:这种类型得题,如果过作,垂足为,连结,我们还必须证明,及为平面图形,这样做起来比较麻烦、例4 已知斜三棱柱中,平面与平面构成得二面角得平面角为,平面与平面构成得二面角为.试求平面与平面构成得二面角得大小、分析:作三棱柱得直截面,可得△,其三个内角分别为斜三棱柱得三个侧面两两构成得二面角得平面角、总结:对棱柱而言,其直截面与各个侧棱得交点所形成得多边形得各个内角,分别为棱柱相邻侧面构成得二面角得平面角。
找面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例 1 在60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略． 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BD AF ⊥”、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”． 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角． 分析：⊥⇒⊥⇒⊥⊥⇒⊥CD CDPB PB CD PA PA βα平面PAB ． 因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明CD EB ⊥，及AEBP 为平面图形，这样做起来比较麻烦．图1 图2例4 已知斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面1AB 与平面1AC 构成的二面角的平面角为 30，平面1AB 与平面1BC 构成的二面角为 70．试求平面1AC 与平面1BC 构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF ，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角． 四、平移平面法例 5 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，E 为1AA 的中点，H 为1CC 上的点，且211：：=H C CH ．设正方体的棱长为a ，求平面EH D 1与底面1111D C B A 构成的锐角的正切． 分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点1D ，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．如图，过点E 作11//D A EM 与D D 1相交于M 点，过M 点作11D C MN ⊥，与H D 1相交于N 点．可证平面//EMN 平面1111D C B A ．这样，求平面EH D 1与平面1111D C B A 的二面角的平面角就转化为求平面EH D 1与平面EMN 的二面角的平面角．显然EN 为这两个平面的交线，过点M 作EN MF ⊥，F 为垂足，连结F D 1，可证EN F D ⊥1．则FM D 1∠为本题要寻找的二面角． 五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，M 为棱AD 的中点，求平面CB C B 11和平面M BC 1所构成的锐二面角的正切．分析：平面AC 与二面角C BC M --1的一个面C B 1垂直，与另一个平面1C MB 相交，过M 点作BC MP ⊥，垂足为P ，过P 作BC PN ⊥，交1C B于N 点，连结MN ，由三垂线定理可证1BC MN ⊥，则MNP ∠为二面角C BC M --1的平面角．总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．再如图，要找βα--a 所构成的二面角的平面角，可找平面βγ⊥，且b =αγ ，l =βγ ，过b 上任何一点A 作l AB ⊥，垂足为B ，过B 作α⊥BC ，垂足为C ，连结AC ，可证ACB ∠为βα--a 的平面角． 六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1．三线合一例7 如图，空间四边形ABCD 中，3==AD AB ，4==CD BC ，2=BD ，5=AC ．试求C BD A --二面角的余弦值．分析：如图1，AD AB =，CD BC =，则△ABD 和△BDC 为等腰三角形．过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据三线合一，且E 为BD 中点，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．2．全等三角形例8 如图，已知空间四边形ABCD ，6==BC AB ，4==DC AD ，8=BD ，6=AC ．试求C BD A --的余弦值．分析：过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据已知条件，△AED 和△CED 全等，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．3．二面角的棱蜕化成一点例9 如图，四棱锥BCED A -中，DB 和EC 与面ABC 垂直，△ABC 为正三角形．（1）若BD EC BC ==时，求面ADE 与面ABC 的夹角；（2）若BD EC BC 2==时，求面ADE 与面ABC 的夹角．分析：如图，面ADE 与面ABC 的交线蜕化成一点，但面ADE 与面ABC 与面DC 相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线BC 与DE 互相平行，所以肯定有过A 且平行于DE 的一条交线．可过A 作DE AM //，平面ADE 与平面ABC 的交线即为AM ．过A 作DE AN ⊥于N ，过A 作BC AF ⊥于F ．可证AM AN ⊥，AM AF ⊥，则NAF ∠为面ADE 与面ABC 的夹角．如图，DE 与C B 不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长ED 、CB 相交于G 点，连结AG ．AG 即为平面ADE 与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE ∠为平面ADE 与平面ABC 的夹角．通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解．。
解二面角问题三种方法(习题和答案)
C AD A A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义.在二面角的棱上取一点.过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线.两射线所成的角就是二面角的平面角.这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角.当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图.立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形.画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中.∠APB=∠BPC=∠CPA=600.求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的.如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD .∠ACB=600.现沿对角线BD 将其折成才600的二面角.则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直.对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线.则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4.过BC 的一个平面与AA 1交于D .若AD =3.求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之.能用定义法来找二面角的平面角的.一般是图形的性质较好.能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体.正三棱柱.正方体.以及一些平面图形.正三角形.等腰三角形.正方形.菱形等等.这些有较好的一些性质.可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角.通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角.再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直.来找到二面角的平面角的方法。
二面角的定义
，12 PB=1，PE
，22 PO
1 2
3 2
∴ tanPEO 2
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
P
E
B
O
C P
E
O
例5 已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的
高，以AD为折痕使∠BDC成直角。
求证：① 平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC
②
∠
BAC
=
D 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE
1
求（1）平面C BD与平面 1 ∵直线B1C与平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC= ，∴AQ=1。
C1
∵AB=AC=a，∠BAC=90。
P
ABCD所成角的大小； A 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。
的大小。 BD=DC=BC/2=2/2
例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正
切值。 已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角
D
C
面分别相交于射线PA、PB
取AB 的中点为E，连PE，OE ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。
ABCD－A B C D 中， ∵AB=AC=a，∠BAC=90。
1 ∠COD是二面角α-AB-β的平面角
求（1）平面C1BD与平面
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例4 已知斜三棱柱 中，平面 与平面 构成的二面角的平面角为 ，平面 与平面 构成的二面角为 ．试求平面 与平面 构成的二面角的大小．
分析：作三棱柱的直截面，可得△ ，
其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两
2．全等三角形
例8 如图，已知空间四边形 ， ， ， ， ．试求 的余弦值．
分析：过 作 ，垂足为 ，连结 ．根据已知条件，△ 和△ 全等，可证 ，则 为二面角 的平面角．
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3．二面角的棱蜕化成一点
例9 如图，四棱锥 中， 和 与面 垂直，△ 为正三角形．
（1）若 时，求面 与面 的夹角；
（2）若 时，求面 与面 的夹角．
找二面角的平面角的方法汇．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．
我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．
一、根据平面角的定义找出二面角的平面角
例1 在 的二面角 的两个面内，分别有 和 两点．已知 和 到棱的距离分别为2和4，且线段 ，试求：
分析：平面 与二面角 的一个
面 垂直，与另一个平面 相交，过 点
作 ，垂足为 ，过 作 ，交
于 点，连结 ，由三垂线定理可证 ，
则 为二面角 的平面角．
*
总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交
线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三
垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．
二、根据三垂线定理找出二面角的平面角
例2 如图，在平面 内有一条直线 与平面 成 ， 与棱 成 ，求平面 与平面 的二面角的大小．
分析：找二面角的平面角，可过 作 ； 平面 ，连结 ．由三垂线定理可证 ，则 为二面角的平面角．
总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．
构成的二面角的平面角．
总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．
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四、平移平面法
例5 如图，正方体 中， 为 的中点， 为 上的点，且 ．设正方体的棱长为 ，求平面 与底面 构成的锐角的正切．
分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点 ，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．
如图，过点 作 与 相交于 点，过 点作 ，与 相交于 点．可证平面 平面 ．这样，求平面 与平面 的二面角的平面角就转化为求平面 与平面 的二面角的平面角．显然 为这两个平面的交线，过点 作 ， 为垂足，连结 ，可证 ．则 为本题要寻找的二面角．
…
五、找垂面，作垂线
例6 如图，正方体 中， 为棱 的中点，求平面 和平面 所构成的锐二面角的正切．
如图， 与 不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长 、 相交于 点，连结 ． 即为平面 与平面 的交线，通过一些关系可证 为平面 与平面 的夹角．
通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解．
（1）直线 与棱 所构成的角的正弦值；
（2）直线 与平面 所构成的角的正弦值．
分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．
…
根据题意，在平面 内作 ；在平面 内作 ， ，连结 、 ．可以证明 ，则由二面角的平面角的定义，可知 为二面角 的平面角．以下求解略．
（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 ”、“连结 ”、“证明 ”．
；
三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角
例3 如图1，已知 为 内的一点， 于 点， 于 点，如果 ，试求二面角 的平面角．
~
分析： 平面 ．
因此只要把平面 与平面 、 的交线画出来即可．证明 为 的平面角， （如图2）．
分析：如图，面 与面 的交线蜕化成一点，但面 与面 与面 相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线 与 互相平行，所以肯定有过 且平行于 的一条交线．
可过 作 ，平面 与平面 的交线即为 ．过 作 于 ，过 作 于 ．可证 ， ，则 为面 与面 的夹角．
再如图，要找 所构成的二面角的平面角，可找平面 ，且 ， ，过 上任何一点 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，连结 ，可证 为 的平面角．
六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角
、
1．三线合一
例7 如图，空间四边形 中， ， ， ， ．试求 二面角的余弦值．
分析：如图1， ， ，则△ 和△ 为等腰三角形．过 作 ，垂足为 ，连结 ．根据三线合一，且 为 中点，可证 ，则 为二面角 的平面角．