二面角及其平面角
二面角,判定,性质
面面垂直
定义
性质定理
直线与平面垂直定义
直线与平面垂直判定定理
b
a
ol
ba
b a 任意, a ,
b . l a,l b, a b o,
l .
直线与平面垂直定义
l
a
l ,a ,
l a.
面面垂直定义 面面垂直判定定理
面面垂直性质定理
AB
C
a
a
l
二面角ABC 90，
. a ,a ,
PMC是二面角P-AB-C的 A
C
平面角.
在 ABC中，CM=AC sin 60 3.
M
在 PAB中，PM PA sin 60 3,
B
又 PC 3, PCM是正三角形.
PMC 60.二面角P-AB-C的大小为60.
16:20
二面角
例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
1.求证：平面PAC 平面PBC.
(2)请找(作)出不互相垂直 P 的平面的二面角的平面角.
A
E
C
D B
16:20
如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点,
请作出平面EAD和平面BAC所成的二 面角的平面角 E
D
C
B
F
G
A
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思考题 （2001年高考题）
Bα
CA
D
β
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平面与平面垂直的判定定理
1.面面垂直的定义：如果两个面所成的二面角是直二
面角，称两个平面垂直.记作： .
二面角和平面角的定义
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
小
2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上， 角的两边分别在二面角的＿＿内，且两边都与棱
测 ＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿。
3.有关二面角的题型
例1 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。
①找（或作）出平面角
小
⑴定义法
⑵棱的垂面法
结 ⑶三垂线定理法 ⑷向量法 等
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
1、二面角的定义
本 2、二面角的平面角的定义
节 3、二面角的平面角的求解：
①找（或作）出平面角
小
⑴定义法
⑵棱的垂面法
结 ⑶三垂线定理法 ⑷向量法 等
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
知识影响格局，格局决定命运！
1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义
（1）半平面 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
αα
（2）二面角
l
l
从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面。
(3)常见二面角的画法
O
B
a
A
β
α
（4）二面角的记法
“面1—棱—面2”
O1 。
A
B1
β
另一个角的两边分别平行且方2.二面角的平面A角1 与点（或
向相同，则这两个角相等。 垂直平面）的位置α无任何关系，
二面角及二面角的平面角
A1B 平面A1B1CD
平面ABC1D1 平面A1B1CD
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A
∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
在Rt△ADO中，
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
17
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4；求二面角 － l－
的大小。
解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
2、垂面法 作与棱垂直的平面与
面
两半平面的交线得到
l
O
角
γA
B
的 3、三垂线定理法
作 法
借助三垂线定理或 其逆定理作出来
A
D
l
O
12
寻找平面角 S
D1
C1
B1 A1
N
M
A
D C
A
B
端点
B
DC
中点
寻找平面角
D1 B1
A1
M D
E
A
GF
B
C1 N
C
中点
小结：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义垂直于棱； （3）计算.
二面角、判定、性质
ι
β
3、二面角的平面角 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成的角叫作二 面角的平面角.如图
20:15
ι
P
β
B A
α
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
直二面角：平面角是直角的二面角.
思考: 思考: 一个平面垂直于二面角 α −ι − β 的棱，并与两半平
1）角的顶点在棱上 ） 2）角的两边分别在两个面内 ） 3）角的边都要垂直于二面角的棱 ） α A α A O β B
l
O
20:15
10
β B
(1)
(2)
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法 作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 、 在棱上 定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 、 在一个半平面上 三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法 、 在二面角内 垂面法
面分别相交于射线 PA、 PB 、 垂足为P， 垂足为 ，则∠APB是二面
ι
β
B` A`
α γ`
γ
P`
角α − l − β的平面角吗？ 是
利用等角定理) 相等(利用等角定理 利用等角定理 20:15
P A
B
思考: 思考: ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等 是否相等? 是否相等
α
注： 二面角的平面角的特点： 二面角的平面角的特点：
∵a / /b, a ⊄ α, b ⊂ α, ∴a / /α.
β
∵ b / /α , b ⊂ β , α ∩ β = a ∴ a / /b
∴∠PMC是二面角P-AB-C的 平面角.
二面角及其求法总结
二面角及其求法总结一、二面角及其平面角的概念 二面角：二面角的平面角：二、作二面角的常用方法 ①定义法②三垂线定理法 ③垂面法三、射影面积法设θ为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的平面图形的面积， S'为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则'cos S Sq = α βια-ι-βABOβαlgια βα β ι α βι四、平面法向量法练 习：(1)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.∠APCD.都不是(2)在正方体ABCD-A 'B 'C 'D '中，求作二面角B-B 'C-A 的平面角. (3)在正四面体ABCD 中，求作二面角A-BC-D 的平面角.ABCPB A CD B A C D A 'AB 'C'C D 'D B经典例题:如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，PA=AC=1，BC=2.求（1）二面角A-PC-B 的大小；（2）求二面角A-PB-C 的大小.思路1：思路2：思路3：思路4： P B A C PBACPBAC练习：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，BC ，C 1D 1，B 1C 1的中点，求二面角M-EF-N 的大小.五、二面角大小求法总结：１、通过求平面角；２、向量法；３、射影面积法. 六、课后巩固1、四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥面ABCD,PD=AD.求面PAD 和面PBC 所成二面角的大小.2、如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC 。
（Ⅰ）证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1-DE-B 的大小．MA C 1B 1A 1N FE D CB D 1 PADBCA 1 D 1 C 1B 1 ABCE D。
浅谈如何求二面角平面角
浅谈如何求二面角的平面角一、 定义法：两个半平面为等腰或等边三角形或全等三角形在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1、如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点M 在侧棱上，=60°（II ）求二面角的大小。
解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形中 过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在 平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点，∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （1）证明⊥AD 平面PAB ；S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD AD =2DC SD ==SC ABM ∠S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB∠ FG分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD ⊥平面PAB 后，容易发现平面PAB ⊥平面ABCD ，点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P 作棱BD 的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。
三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3、已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
二面角的平面角及求法
二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
二面角大小的取值范围是［0，180°］。
4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。
5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法：(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
二面角及其平面角 课件
如右图，在三棱锥A-BCD中，面 ABC与面BCD所成的二面角可以记 作二面角A-BC-D.
3. 画法
⑴ 平卧式：
l
A
B
A
l
B
⑵ 直立式： A
l
B
三、二面角的平面角
1.定义 在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'Βιβλιοθήκη B'D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
① 二面角的两个面重合： 0o ② 二面角的两个面合成一个平面： 180o ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． 90o
二面角的范围： [ 0o, 180o ]
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
二面角及其平面角
一、半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每
一部分都叫做半平面．
二、二面角
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二面角及其平面角
[引言]
二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法.
[概念]
由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面.
图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成
[二面角的度量]
以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直
二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角
[二面角的平面角作法]
做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考
1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角.
2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角
3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角
图2 二面角的平面角的三种作法
[例题1]
已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小
此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步：
1、找到或作出题目中二面角的平面角
2、证明1中的角为所求二面角
3、计算出角的大小
一“作”二“证”三“计算”
下面给出参考解法
解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1）
由三垂线定理得AD⊥l
∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2）
∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离
∴AO=2√3，AD=4
在Rt△ADO中
∴sin∠ADO=√3/2
∵二面角的范围是[0,π]
故∠ADO=60°
即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3）
需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出.
[思考]
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥
平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离.
[拓展延伸]
以下内容供有余力的同学参考
面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面
所夹角的余弦.”
S射影面积＝S原图形面积×cosθ
即cosθ=S射影图/S原图
(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)
证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度（三角形中称高）的比.那么这个比值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线）,那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可.
运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题,关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影（即找到从一个面内一点向另一面的垂线）通常求两个面内的三角形的面积比较容易.。