平面与平面所成的角
平面的斜线和平面所成的角
M
O β
6
N'
M'
4
N'
1
M'
1 ' 解： 当M，N在平面同则时有 sin MOM 2 OM 1 OM=2 3 ' OM 6 4 cos MOM . 2
例2:线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米， N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β 所成角 的余弦值。
θ与∠AOD的大小关系如何？
二、最小角定理：
A
l
θ与∠AOD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
O
C
∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD
AB 斜线和平面所成的角， sin B AO 是这条斜线和平面内任意 D AC 在Rt 的直线所成的一切角中最 △AOC中，sin AOD AO 小的角。
0
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
解: 由最小角定理得
6 3
。
A
cos AOD cos BOD cos
O
C
即cos 60 cos30 cos
0 0
B D
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
引例:如图，OA是平面的斜线， AB⊥平面 于B，OC是 内不与 OB重合的任意直线，∠AOB= ， ∠BOC= ，∠AOC= ， O 求证：cos =cos cos C 证明: 设|AO|=1则
平面的斜线与平面所成的角
E D
F
∠HCD
BG和EA与平面
ABCD所成的角
C 分别是？
A
B
∠GBC与∠EAB
EG和EC与平面ABCD所成的角分别是？
∠ACE
三、典例分析
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平
面A1B1CD所成的角.
30
D1
C1
A1 D
B1 O C
1
步骤： 1、作角 2、证明 3、求角
1、理解平面的斜线和平面所成 的角的概念; 2、掌握平面的斜线和平面所成 的角的求法。
一、斜线在平面内的射影:
(一)点的射影:
P
线段PO称为点P到
平面α的垂线段
O
α
点O称为点P到平面 α内的射影
(二)斜线:
l P
直线l称 为平面α 的斜线
O
α
O称为斜
线段PO称 为点P到平 面α的斜线 段
(三)斜线的射影:
坚 韧、顽 强、执 着。他 ，年对 疾病的 一次次 来访， 命运的 一次次 捉弄， 矢志不 渝。 他 ， 丑 陋 的 外表下 有一颗 金子般 的心， 他是音 乐巨人 贝多芬 。 在 遭 遇
面面角的平面角的范围
面面角的平面角的范围
面面角是指两个面在空间中的交角，平面角是指两个平面在
空间中的交角。
平面角的范围取决于两个平面的相对位置和交
角的大小。
当两个平面相交于一条直线时，它们的平面角为零度。
这是
因为在这种情况下，两个平面可以视为重合在一起。
当两个平面相交于一个点时，它们的平面角取决于交角的大小。
根据平面角的定义，它的范围可以是0度到360度之间的
任意值。
当两个平面的交角为0度时，它们被视为平行平面；
当交角为90度时，它们被视为垂直平面；当交角大于90度时，它们被视为斜交平面。
当两个平面相交于一条线段时，它们的平面角也取决于交角
的大小。
如果交角小于180度，则在此情况下，平面角的范围
是0度到180度之间的任意值。
当交角等于180度时，平面
角被称为平面直角，这意味着两个平面互相垂直；当交角大于180度时，平面角的范围再次是0度到360度之间的任意值。
总结起来，平面角的范围可以是0度到360度之间的任意值，取决于两个平面的相对位置和交角的大小。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
平面与平面所成的角
的平面角。
D
A
图形
C B
因为在正方体中，∠A1AB 是直角, 所以二面角D1-AD-B为90°。
设计意图：加强了学生对二面角定义的认识与理解，并掌握如何求二面角
当堂检测
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
1、二面角指的是（ B）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度； B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形； C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角； D、过棱上一点和棱垂直的两条射线所成的角。
所成二面角，
可以记作： A-BD-B1
设计意图：增强学生对复杂立体图形中的二面角的把握能力
新知探究二
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
新知探究二
学 习 二 面 角 的 平 面 角
1 安装工人怎么做？ 2 认识二面角的平面角 3 同一个二面角的平面角是否相等 4 二面角的取值范围
新知探究二
1.安装工人怎么做？
设计意图：让学生初步感知二面角
9.3.3 平面与平面所成的角
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
复习旧知 n'
n
空间两直线所成的角
m' o
m
o
m' P
直线与平面所成的角
AB
设计意图：构建知识基础，做好知识储备
新知学习
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
新知探究一 认识二面角
学习二面角的平面角
PART
教学策略
教学流程
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
课前任务
课中实践
课后作业
课前任务
学习平台
面面所成角的概念-概述说明以及解释
面面所成角的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述面面所成角是几何学中的一个重要概念，它描述了由两个或多个平面所限定的角。
在我们的日常生活中，无论是建筑物的角落、几何图形的边角还是立体几何模型的切面，都离不开面面所成角的概念。
面面所成角的研究不仅仅是为了解释几何现象，更为重要的是它在实际问题中的应用和意义。
本文将对面面所成角的定义、性质以及其在几何学中的应用进行探讨。
首先，我们将详细介绍面面所成角的定义，阐述其形成的条件和基本特征。
其次，我们将探讨面面所成角的性质，包括其大小、关系和变换规律等方面。
最后，我们将总结面面所成角的概念，并对其在实际应用中的意义进行探讨。
本文的目的是为读者提供一个全面深入的了解面面所成角的概念，帮助读者在几何学研究和应用中更好地理解和应用这一概念。
无论是学习几何学的学生，还是从事相关领域的研究人员，都会从本文中获得有关面面所成角的详细知识和实践经验。
在接下来的正文中，我们将首先介绍面面所成角的定义，明确其基本概念和形成条件。
然后，我们将详细分析面面所成角的性质，包括大小、关系和变换规律等方面。
最后，我们将探讨面面所成角在实际问题中的应用和意义，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
希望本文能够对读者对面面所成角的理解和应用提供帮助，使读者能够更好地掌握这一重要的几何学概念，并能够将其运用于实际问题中。
在深入研究和应用面面所成角的过程中，我们不仅能够提高自己的学习能力和解决问题的能力，还能够拓宽对几何学的认识和感悟，培养自己的抽象思维和逻辑思维能力。
愿本文对您的学习和工作有所帮助，谢谢阅读！1.2 文章结构文章结构文章采用了引言、正文和结论三个部分的结构。
引言部分概述了整篇文章的内容，包括面面所成角的基本概念、文章的结构和文章的目的。
正文部分主要分为两个小节，分别是面面所成角的定义和面面所成角的性质。
面面所成角的定义部分会详细介绍面面所成角的概念，阐述面面所成角的形成条件和定义方式，以及一些基本的相关概念和术语。
平面的斜线和平面所成的角
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
H E
D A
G
HC与FG、EA在
F
平面ABCD上的 射影分别是什么？
DC,BC与点A
C
B
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
P
O
Aa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
射影长 定理 从平面外
O
B
C 一点向这个平面所引
的垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
O
A B
平面的斜线，斜足。 斜线段。
斜线在这个平面上的射影； 斜线段在这个平面上的射影。
斜线上任意一点在平面上的 射影，一定在斜线的射影上。
θ1 为斜线AO与AO在α 上的射影AB所成的角 θ2 为射影AB与平面α内直线AC所成的角
θ 为斜线AB 与平面α内直线AC所成的角OΒιβλιοθήκη 1A ２ BC
cos =cos １ cos２
最小角定理
平面的斜线和它在平面内的射影所
成的角，是这条斜线和平面内经过斜 足的直线所成的一切角中最小的角。
线面角
1.平面的斜线和平面所成的角
(平面的斜线和它在平面上的射影的夹角).
1
它的范围是[0，90]
2.一条直线垂直平面,线面所成的角是直角.
线面角、面面角
2、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意 O 一点为端点，在两个面上 l 分别引垂直于棱的两条射 O 线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角。 注：二面角的平面角必须满足： 角的顶点在棱上。 角的两边分别在两个面内。 角的边都要垂直于二面角的棱。 二面角的取值范围（0,π）。
B
A
B
A
1. 相交成90°的两条直线与一个平 面所成的角分别是30°与45°，则这 两条直线在该平面内的射影所成角的 正弦值为( C ) (A) 3 3
6 6 3 (B) (C) (D) 3 2 2
2.如图，正方形ABCD所在平面与正 方形ABEF所在的平面成60°的二面 角 ， 则 异 面 直 线 AD 与 BF 所 成角的余弦值是___________.
(2) 求二面角A-BC-D的平面角的正切值;
(3) 求二面角D-AB-C的平面角的正切值.
5. 已知ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD，BE⊥PC，E为垂足. 求证：平面BDE⊥平面PBC． P
E
D A B
C
2 4
3.将矩形ABCD中的△ ABD沿对角线 BD折起，使A在平面BCD上的射影O在 CD上，若O恰为CD中点，求折后直线 AB与平面BCD所成的角. D C
A D
C B
A
B
E
O
4. 在四面体ABCD中,平面ABD⊥ 平面BCD,△ABD为等边三角形， CD⊥BD，∠DBC＝30o．
(1) 求二面角A-DC-B的大小；
线面角 面面角
线面角
平面的一条斜 线和它在平面内的 射影所成的锐角， 叫做这条直线和这 个平面所成的角。
一直线垂直于平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。
两平面的夹角范围
两平面的夹角是一个几何学中的重要概念，它描述了两个平面之间的相对位置关系。
夹角的范围可以从0度到90度，其中0度表示两个平面完全重合，90度表示两个平面完全垂直。
首先，我们需要明确什么是平面。
平面是一个无限延伸的二维空间，它没有厚度和宽度，只具有长度和宽度。
当我们说两个平面时，我们实际上是在描述两个具有相同性质（如方向、法线向量等）的空间区域。
两个平面的夹角是由它们之间的相对位置关系决定的。
我们可以将这个夹角想象为两个人在舞池中跳舞，他们之间的角度变化就是这两个平面之间的夹角。
当两个人完全重合时，他们的角度为0度；当他们完全垂直时，他们的角度为90度。
在这两种极端情况之间，他们可以形成各种不同的角度，这就是夹角的范围。
在数学中，我们通常用向量来表示平面的方向。
向量的方向与平面的法线向量一致，而向量的长度则与平面的距离成正比。
通过比较两个平面的法线向量，我们可以确定它们之间的夹角。
在实际应用中，两平面的夹角具有重要的意义。
例如，在建筑设计中，设计师需要确保建筑物的各个部分与地面保持适当的角度，以确保建筑物的稳定性和安全性。
在机械设计中，工程师需要确保机器的各个部分之间的角度正确，以确保机器的正常运行和效率。
此外，两平面的夹角还可以用于解决各种几何问题。
例如，我们可以通过计算两个平面之间的夹角来确定它们之间的距离。
或者，我们可以使用夹角来解决与三角形相关的问题，例如找出三角形各边的长度或者判断三角形的形状等。
总之，两平面的夹角是一个重要的几何概念，它描述了两个平面之间的相对位置关系。
通过理解夹角的范围和计算方法，我们可以解决各种几何问题并应用于实际生活和工程领域中。
平面与平面所成的角
“数学教学中的互联网应用”教案参与到课堂活动中。
教学过程教学内容设计意图双边活动【创设情境】一．欣赏图片，联系生活1.请学生说出自己家的房顶都是什么样的，并展示自己所拍摄的图片，老师展示自己家乡的房屋图片，也可以借助学校的房顶来讲解，进而引导学生分析很多房顶设计成倾斜的平面的作用。
2.通过幻灯片展示网络上一些比较漂亮的房屋，三峡大坝，翻开的课本，打开的笔记本的图片。
【百度搜索】房屋三峡大坝i翻开的书打开的笔记本电脑教师根据这些图片并借助简图引出平面和平面成成角的问题，在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9?39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9?39（2））．进而让学生列举生活中的一些实例。
3.实验：在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．问题：一个点把一条直线分成两部分，一条直线把一个平面分1.预留作业让学生回家拍摄自己家的房子，学生会对本节课产生兴趣，让学生动起来，参与进来。
培养学生的实践能力和艺术审美。
2.通过生活中的各种实例，激发学生学生兴趣，抓住学生的注意力。
让学生充分感受生活中的数学应用。
认识到生活中到处都有数学。
3.充分利用互联网搜索，让学生知道在信息技术时代探究知识有更新更便捷的途径。
4.通过实验让每一位学生学生参与进来，活跃课堂的学习气氛。
同时让学生感受到生活中随处都有数学。
5.二面角的定义这里通过百度搜索二面角的定义，和二面角的图片，让学生感1.学生展示自己拍摄的家里的图片。
2.老师展示自己家乡里的房屋图片。
提出问题：“虽然我们的房屋不同，但是再设计的过程中都要考虑屋顶面与地面所成角的问题。
”3.展示通过百度搜索的各种图片，进一步体会在建设中需考虑的面面角的问题。
4.教师结合以上的例子利用简图总结出本节课的知识。
学生分组举出生活中的类似的例子。
5.教师和学生一起做实验，并抛出问题，并引导学生回（2）图9?39（1）成几部分？ 动脑思考 探索新知定义1：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．定义2：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9?40）．【百度搜索】 二面角的介绍 二面角的实体图形 二面角的画图方法与记法画法分为竖直式的和水平式的，记法：面1—棱—面2 探索二面角的度量方法：1.实验观察：课本打开，开口大小不同，打开房门时，门与墙的开口也不同.说明二面角的“张角”不同.2.产生矛盾：如何用基本量衡量开口大小.3.类比猜想引导学生类比异面直线所成的角、直线和平面所成的角的问题得出平面与平面所成的角要转化为平面角的思维。
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二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
∠A1O1B1
B1
B
l
O1 O
A A1
9
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
A
B
O
B
这样画对吗?怎么画才对?
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
二面角 -l-
二面角 C-l-D
C•
A
l
D•
面
棱 B
思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书 也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，
这些二面角的区别在哪里？
打开的书
二．二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点，在 两个面内分别作垂直 于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面
ι
β
γP
B
αA
二．如图所示，在正方体ABCD－ABCD 中， 求二面角A-AB-D 的大小．
D A
C B
D A
C B
B
l
O
A
l
B AO
我们约定，二面角 的大小范围是 0≤ ≤180 ．
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
例1 已知正方体 ABCD－ABCD ( 如图 ) ，
求二面角 D－AB－D 的大小 ．
解：在正方体 ABCD-ABCD 中， D AB⊥平面 ADDA，A
所以 AB⊥AD，AB⊥AD，
C B
D1
∵四边形ABCD是正方形
1
C B1
1
∴AC⊥ BD，O为AC中点
∵ BC1 = DC1 ∴C1O⊥DB，
D
C
A
OB
∴ C1OC 即为
二面C1OC2aC1中＝，2
∴二面角 C1-DB-C 的正切值为 2
a
2
一．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的 两个面的交线组成的角就是二面角的平面 角，对吗？为什么？
立
立体几何
体
立体几何
几
立体几何
何 9.3.3平面与平面所成的角
两个平面成一定夹角的实例： 打开的笔记本电脑； 打开的课本等等．
一．二面角
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，
其中的每一部分都分别叫做一个半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
叫做二面角．
记作：
面
二面角 -AB-
二面角 C-AB-D
所以 DAD 即为
D
二面角D-AB-D 的平面角．
A
由于△DAD是等腰直角三角形，
C B
因此 DAD＝45 ，
所以二面角 D-AB-D 的大小为 45．
例2 如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的顶
点BDC1作截面，求二面角 C1－DB－C 的正切
值． 解：连结AC交BD于O，连C1O A