直线与平面所成的角
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备：投影仪、PPT等教具。
教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。
3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。
Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，所求的角度为60°。
2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。
Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。
Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
直线与平面所成的角(2019年12月整理)
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
斜线与平面所成的角θ 群 https:// 微信群 微信红包群
；
度各季度及第一季度分月生产成本预算及制造费用预算；完成生产性固定资产大修理、改造、新增等资本性支出预算 9.411月10日投资管理办公室/券部完成下年度投资项目资本性支出预算 9.511月10日企业发展部/研发部门完成下年度新药开发项目资本性支出预算 9.611月10日其他各职 能部门完成本部门下年度各季度及第一季度分月费用预算 1011月20日预算管理办公室预算编制及调整岗汇总整理各部门上报的预算草案，完成下年度公式整体预算及第一季度滚动预算编制，起草完成《部门预算汇总表》、《预算损益表》、《预算资产负债表》、资金预算及《预算现金 流量表》，并送预算管理办公室主任审核。 1111月22日预算管理办公室主任审核下年度公式整体预算及第一季度滚动预算草稿，报财务总监审核。 1211月25日财务总监审核下年度公式整体预算及第一季度滚动预算，提请召开预算管理委员会进行审议。 1312月1日预算管理委员会 审核 预算草案，在对必要的项目要求各部门进行相应调整后，将年度预算草案报送董事会审议。 1412月10日董事会 审议预算草案，在对必要的项目要求各部门进行相应调整后，报送股东大会批准。 1512月20日股东大会审议、批准预算方案。 1612月20日预算管理办公室预算编制及调整岗将 股东大会批准的《整体年度预算和分部门年度预算》第一份交预算管理办公室预算执行与考核岗存档。 1712月25日预算管理办公室预算编制及调整岗将股东大会批准的《整体年度预算和分部门年度预算》第二份下发至各部门。 1812月30日各部门将部门预算分解至科室或班组。 2、季度 滚动预算编制 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1每季度第二个月20日各部门将下季度季度预算细化为分月度预算，并完成未来第四个季度的季度预算，报预算管理办公室汇总。 2每季度第二个月25日预算管理办公室预算编制及调整岗汇总各部门下季度分月度预算及未来第 四个季度季度预算，形成草案报预算管理办公室主任审核。 3每季度第二个月25日预算管理办公室主任审核公式下季度分月度预算及未来第四个季度季度预算草案，报财务总监审批。 4每季度第二个月30日财务总监审核公式下季度分月度预算及未来第四个季度季度预算草案，提请预算管 理委员会审批。 5每季度第三个月5日前预算管理委员会审核批准各部门分月预算及未来第四季度预算。 6每季度第三个月10日前预算管理办公室预算编制及调整岗将已经批准的各部门分月预算及未来第四季度预算第一份交预算管理办公室预算执行与考核岗存档。 7每季度第三个月10日 前预算管理办公室预算编制及调整岗将已经批准的各部门分月预算及未来第四季度预算下发至各部门。 3、年度预算编制（编制第2年及以后） 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1每年10月-11月各职能部门对比公式下年度经营目标，制定第一季度分月预算，完成第四季度预 算，并且调整第二、第三季度预算。形成年度预算草案。 2每年12月预算管理办公室按度预算审批程序报送预算管理委员会、董事会及股东大会审批。[见年度预算编制程序（编制第一年）] 4、预算的调整 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1不确定各职能部门根据实际情况 与原年度预算和季度滚动预算的差异，提出《预算调整申请报告》报预算管理办公室。 2不确定 预算管理办公室预算编制与调整岗审核《预算调整申请报告》，并提出处理建议。 3不确定预算管理办公室主任审核预算调整处理建议。 4不确定财务总监审核预算调整处理建议，同意上报 预算管理委员会局部调整预算或予以否决。 5不确定预算管理委员会在月度预算分析会上讨论预算调整方案。同意调整或予以否决。 6不确定预算管理办公室预算编制与调整岗按已经预算管理委员会批准的方案调整相应预算。 7不确定预算管理办公室主任将调整后预算报财务总监审核。 8不确定财务总监审核签署。 9不确定预算管理办公室预算编制与调整岗将调整后预算下发给相关部门，并交一份与预算执行考核岗存档。 五、单据及报告 公式发展战略 部门预算目标纲要 整体年度预算和分部门年度预算 季度分月预算及季度预算 预算执行与考核（P5-Z4-2） ?目的 本管理文件明确了公式年度预算及季度滚动预算执行与考核的管理要求与操作规范，以规范预算执行作业程序及对预算执行情况确定考核标准的基本程序。- 二、范围 本程序管理文件适用于公式年度预算及季度滚动预算的执行与考核。预算执行考核标准的内容不包含在本管理文件内。 - 三、相关程序管理文件 10、供应内部控制（P2-Z1） 11、财务分析管理( P4-Z2-J4-6 ) 12、预算编制( P5-Z4-1 ) 四、业务流程 步骤涉及部门步骤说明 1人事部起草《预算考核标准》，送预算管理办公室提出修改建议。 2预算管理办公室主任对《预算考核标准》提出修改建议，并 报财务总监审核。 3财务总监 审核《预算考核标准》，提请预算管理委员会审议。 4预算管理委员会 审核《考核标准》，并作出同意或修改的决定。 5预算管理办公室预算执行监控岗将已经批准的《考核标准》第二份下发给各部门，第一份存档。 6各部门按已批准的分月预算及季度预 算控制费用支出。若支出项目不超出预算，则根据正常授权审批程序进行审批。若支出项目超出预算，须提出解释原因及处理建议，完成《预算超支原因及纠正措施报告》一式两份，经部门负责人签署后报预算管理办公室初审。 7预算管理办公室预算执行监控岗对《预算超支原因及纠正 措施报告》内容进行初步审核，提出建议处理措施。 8预算管理办公室主任审核预算执行岗提出处理措施，并送财务总监审批。 9财务总监审核《预算超支原因及纠正措施报告》，送预算管理委员会主任批准。 10预算管理委员会主任对《预算超支原因及纠正措施报告》内容进行审批。 11预算管理办公室预算执行监控岗将经批准的《预算超支原因及纠正措施报告》第一份存档，第二份交相关部门，并监督纠正及处理措施的执行情况。 12预算管理办公室预算执行监控岗每月汇总各部门实际发生的财务数据，编制《月度预算执行情况分析表》，分析本月预算执行情况， 发生的差异以及预算外的项目，说明差异发生的原因。 13预算管理办公室主任审核《月度预算执行情况分析表》。 14预算管理办公室预算执行监控岗将《月度预算执行情况分析表》送预算管理委员会主任及副主任及相关部门。 15各部门分析本部门月度预算完成情况，发生差异及预算 外项目，详细说明差异发生原因。 16预算管理办公室主任提请召开月度预算分析会，并将具体时间地点通知预算管理委员会各委员及列席部门。 17预算管理委员会组织召开月度预算分析会，具体分析上月预算完成情况，及发生主要差异。根据《考核标准》决定对各部门的考核或处理意 见，并决定是否对月度预算或季度滚动预算进行调整。 18各部门根据预算管理委员会的审批意见对存在的问题进行详细调查，制定纠改措施。 19预算管理办公室预算执行监控岗每年末编制《全年预算执行报告》。分析全年预算执行情况，发生的差异以及预算外的项目，说明差异发生的 原因及已进行的改进措施和成效。 20预算管理办公室主任审核《全年预算执行报告》。 21财务总监审核《全年预算执行报告》。 22预算管理办公室预算执行监控岗将《全年预算执行报告》送预算管理委员会各委员及相关部门。 23预算管理办公室主任提请召开年度预算分析会。 24预 算管理委员会召开年度预算分析会，审阅公式《全年预算执行报告》，进行总结，并作为绩效考评的依据之一，为下一期的预算调整提供参考，并报董事会审议。 25董事会审阅公式《年度预算执行报告》，并提出审核意见。 26股东大会审阅公式汇总的《年度预算执行报告》，提出审批 意见。 五、单据及报告 《预算超支原因及纠正措施报告》 《月度预算执行情况分析表》 《年度预算执行报告》 第六篇 内部审计制度 第一章 内控概述 一、定义与范围 内部审计是指由公式内部相对独立的审计机构和审计人员对公式各部门及分公式、子公式的财务收支、经营管理活 动及其经济效益进行审核和评价，查明其真实性、正确性、合法性、合规性和有效性，提出意见和建议的一种专职经济监督活动。- 公式内部审计的审计范围包括公式本部、下属各部门及控股子公式、分公式、驻外办事处等。内部审计的审计类型包括经营绩效审计、法纪规章遵循情况审 计、任期内经济责任审计、内部控制审计、预算执行情况和其他专项审计。- 本制度所规定的内部审计包括： 1、内部审计计划 审计部按照审计委员会所确定的年度审计重点制定年度审计计划，经审计委员会批准后作为年度审计工作的指导性文件。- 2、内部审计执行 审计部按照年度 审计计划，针对具体审计项目制定审计程序，派遣审计人员进行审计。 3、内部审计结果处理 审计部将审计报告报送审计委员会，同时送达被审计部门（或单位）。审计委员会根据审计报告确定内部审计处理意见。当发生重大争议时由审计委员会召开听会，由董事会对重大问题确定处 理意见。- 二、控制目标 五、健立建全内部控制制度，严肃财经纪律； 六、查错揭弊，改善经营管理，提高经济效益； 七、加强对下属各单位（部门）的监督与控制； 八、为董事会的经营决策提供相对立、客观的资料。 三、主要控制节点 九、审计委员会审批年度内部审计计划； 十、审计委员会对内部审计中重大争议召开听会； 四、控制政策与方法 十一、审计部对董事会下设的审计委员会负责，财务总监对审计部日常业务进行指导； 十二、按照年度审计计划安排内部审计工作进程； 十三、实行审计结果重大争议的听会制度。 第二章 组织机构及岗位职责 一、涉及部门及部门职责 审计委员会：隶属于董事会，其职责包括： ?批准内部审计制度及修订方案、年度内部审计计划； ?确定年度内部审计工作重点； ?对聘请的注册会计师与内部审计部门的职责划分和协调； ?根据审计结果依照公式有关制度对被审计单位及有关人员作出处理决 定并交公式有关部门执行； ?对审计结果中反映出的重大问题，可先形成处理意见，然后提交
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
直线与平面所成的角
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复习回顾： 直线和平面有哪几种位置关系
直线在平面内 直线与平面平行
(0,90 )0 想 直线与平面相交 一 想
直线与平面相交
l
l
α
直线与平面垂直
α
斜交
直线与平面相交但 不垂直
线面角相关概念
平面的斜线
G
A
C
F
D
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，(1)求证： AF ⊥平面CDE
0o,90o • (2)求证：AF ∥平面BCE
• (3)求直线BF和平面BCE
• 所成角的正切值。
小结
• 1、斜线与平面所成角的范围： 0o,9o0
• (1)求证： AF ⊥平面CDE
• (2)求证： AF ∥平面BCE E
• (3)求直线BF和平面BCE所
• 成角的正切值。
B
A
C
F
D
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，
• (1)求证： AF ⊥平面CDE
• (2)求证： AF ∥平面BCE
• 2、直线与平求线面角的步骤：
一找垂线 二找射影
三找角
四求角
作业
P67页练习第1题,P74页B组2题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1
C1 B1
直线与平面所成的角
直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。
9.3.2直线与平面所成的角
讲授新课 1、直线和平面所成的角
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，垂线与 平面的交点叫做垂足。过垂足O和斜足A的直线AO叫做 斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条直线和这个平 面所成的角. P
O
A
2、直线与平面所成的角的变化范围 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直 角，即900.
9.3.2直线与平面 所成的角
复习引入
1.定义；
如果一条直线与一个平面内的两 2.判定定理： 条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直于这个平面. 如果两条直线垂直于同一个平面， 3.性质定理：那么这两条直线互相平行.
讲授新课
1、直线和平面所成的角
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面 垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的 交点A叫做斜足． P A
D'
C'
A'
D A
B'
C B
在直角三角形BDD'中
DD' tanDBD' BD DD' 2 2 2 DD'
课堂小结
直线和平面所成的角.
直Hale Waihona Puke 与平面所成的角或该角的三角函数值。
例3. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求对角线BD'与 底面ABCD所成的角的正切。 解：BD'与底面ABCD交于点B，且D'不在底面ABCD内
DD' 平面ABCD
连接DB，则DB是D' B在底面ABCD上的 投影，且DD' DB, 则DBD' 就是对角线 BD' 与底面ABCD所成的角
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线与平面所成的角
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线，ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
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l
α
思考2:如图，AB为平面α 的一条斜线，A为斜 足，AC为平面α 内的任意一条直线，能否用 ∠BAC反映斜线AB与平面α 的相对倾斜度？为 什么？
B
A
α
C
思考3:如图，∠BAD为斜线AB与平面α 所成的 角，AC为平面α 内的一条直线，那么∠BAD与 ∠BAC的大小关系如何？
B
∠BAC >∠BAD
强调:任何一条直线和一个平面的相对倾斜度 都可以用一个角来反映，那么直线与平面所 成的角的取值范围是什么？
[0 ,90 ]
思考1、比较异面直线所成的角、直线与平面 所成的角
1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别 引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 做这条直线和这个平面所成的角。
文字语言
符号语言
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面. 关键：线不在多，相交则行
m n mn P l l m α l n
图形语言 l m
P
n
3：如图，已知PA⊥平面ABC， AB⊥BC. AE⊥PB. 求证：PC⊥AE P
P
O
A
a
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面 的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直
P
O
A
a
知识探究（二）：直线和平面所成的角
思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一 个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反 映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与 平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点 宜选在何处？
斜线 斜足
α
l P
射影、过斜线上斜足外一点向平面引垂线， 连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个 平面上的射影.那么斜线l在平面α内的射影有 几条？ P l A α B 思考1、两条平行直线、相交直线、异面直线 在同一个平面内的射影可能是哪些图形？
思考2、如图，过平面α 外一点P引平面α 的 两条斜线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P 引平面α 的垂线，垂足为O，如果PA>PB，那 么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？
C
A
B
1.如图，直四棱柱ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时AC B D ？
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
知识探究（一）：平面的斜线
斜线、当直线与平面相交时，它们可能垂 直，也可能不垂直，如果一条直线和一个 平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.那 么过一点作一个平面的斜线有多少条？
P
PA PB OA OB
B
射影长定理：从平面外一点引的 斜线段、垂线段中：相等的斜线 段对应的射影长相等、长的斜线 段对应的射影较长。
α
A
O
思考、如图，过平面α 内一点P引平面α 的 两条斜线PA、PB，这两条斜线段在平面α 内的射影分别为PC、PD，如果PA>PB，那么 PC与PD的大小关系确定吗？
比较
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
1
O
A
B
思考2、两条平行直线与同一个平面所成的 角的大小关系如何？反之成立吗？一条直 线与两个平行平面所成的角的大小关系如 何？
A B
D
C
拓展： 如图，AB为平面α 的一条斜线，B为 斜足，AO⊥平面α ，垂足为O，直线BC在平 面α 内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求 斜线AB和平面α 所成的角.
A
B
O
D
α
C
A
B
C
α
D P
巩固练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面A1B1CD中的射影
（2）AB1在面CDD1C1中的射影
（3）AB1在面BB1D1D中的射影
A1 D1
线段B O 1 C
1
B1
D
O
C B
A
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
A D C
α
思考4:反映斜线与平面相对倾斜度的平面 角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另 一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？
P
α
A
B
定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面 所成的角.
P
α
A
B
特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为 90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们 所成的角为0°.
复习回顾
直线与平面垂直的定义：
文字表示： 如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， l 则称这条直线与这个平面垂直.记作
平面α的垂线
王新敞
奎屯 新疆
l
直线l的垂面
图形表示：
α
P
画法：直线画成与表示平面的平
行四边形的一边垂直。
垂足符号表示：任意a ，源自有l a l 直线与平面垂直的判定定理：
α
例题讲解：
(课本例2).如图所示, 在正方体ABCD A1B1C1D1中, 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1
C1
A1
D
B1
O
C
A
B
练习：已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形， PA=AB。
1)求PC和平面ABCD所成的角
2）求PC和平面PAD所成的角
3)求PC和平面PAB所成的角 P