直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备：投影仪、PPT等教具。
教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。
3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。
Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，所求的角度为60°。
2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。
Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。
Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
直线与平面所成角方法归纳教案
直线与平面所成角方法归纳教案一、知识点概述二、教学目标1.掌握直线与平面所成角的概念。
2.理解直线与平面所成角的几种方法。
3.能够根据图形确定直线与平面所成角的大小和性质。
4.能够用所学方法解决与直线与平面所成角相关的几何问题。
三、教学活动活动一：直线与平面所成角的定义与性质介绍（10分钟）1.提问：直线与平面的关系是什么？回答：直线与平面可以相交、平行或共面。
2.几何名词解释：直线与平面的交线称为直线与平面所成角。
3.展示相关性质：垂直平面与其所包含直线所成角为90°；与平面平行的直线与该平面所成角为1/2周角；与同一平面垂直的两直线所成角相等。
活动二：直线与平面所成角方法归纳（20分钟）1.归纳讨论：学生们结合示意图，总结直线与平面所成角的几种方法。
2.教师点拨：引导学生归纳出直线与平面所成角的四种方法：直线与平面的夹角；直线与平面法线的夹角；直线与平面的斜角；两面角的一种特殊形式。
3.小组讨论：学生自由组成小组，根据已归纳的方法讨论一些具体例题，加深对每种方法的理解。
活动三：练习与应用（30分钟）1.整理复习：教师给学生几分钟时间，让他们来回忆已学内容，并整理复习笔记。
2.练习题：教师出示一些具体图形，让学生根据所学方法计算直线与平面所成角的大小，并分析角的性质。
3.实际应用：教师设计一些与直线与平面夹角相关的实际问题，让学生灵活运用所学方法解决。
活动四：总结与展望（10分钟）1.小结归纳：学生们通过讨论、练习和应用，总结直线与平面所成角的几种方法。
2.展望拓展：教师引导学生思考，这些方法还可以延伸到哪些几何问题中，如何应用于实际生活中。
四、教学资源1.教学准备：电脑、投影仪、教学PPT、白板、笔等。
2.学生用具：课本、笔、纸等。
五、教学评价与反思1.教学评价：通过课堂讨论、学生练习和实际应用等方式，教师可以对学生的掌握程度进行评价。
2.教学反思：本教案通过明确教学目标，合理设计学习活动，促进了学生对直线与平面所成角的理解和掌握。
高中数学选修2—1直线和平面所成的角教案
直线和平面所成的角（一）学习目标：（1）知道直线和平面所成的角定义生成过程及其合理性.（2）明确定义法求直线和平面所成角的方法和步骤.了解三余弦定理推导过程，并记忆定理内容（3）会在具体几何体中求直线与平面所成的角； 自学指导：1、直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：3线所成的角的关系如何？4、如图，怎样刻画不同斜线1l 与2l 相对同一平面α角的概念是什么？ 5、重要结论：（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .(2)一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角 6、规定：（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 . （3）直线和平面所成的角的范围是 . （4）三余弦公式是自学检测：1、在单位正方体1111ABCD A BC D -中，（1）试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角. （2）试求直线1BA 与平面1BC 所成的角.2、在长方体1111ABCD A BC D -中，a AD AA ==1，1与长方体各面所成角的余弦.3、已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角是︒60，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角是︒45，求斜线与平面所成角的大小。
合作探究：在单位正方体1111ABCD A BC D -中，求直线11AC 与截面11ABC D 所成的角.小结：定义法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法 （1）求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.（2）求直线和平面所成的角的关键是作（找）斜线在平面内的射影.A（3）下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
①定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 让学生掌握向量法求直线与平面所成的角的基本概念和原理。
2. 培养学生运用向量法解决直线与平面所成角的能力。
3. 提高学生对空间几何向量知识的运用和解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与平面所成的角的定义。
2. 向量法求直线与平面所成的角的原理。
3. 向量法求直线与平面所成的角的步骤。
4. 实例分析：求直线与平面所成的角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面所成的角的定义，向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 教学难点：向量法求直线与平面所成的角的步骤和实例分析。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实例，让学生更好地理解向量法求直线与平面所成的角的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生提问、讨论，提高学生对知识点的理解和运用能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作相关的教学课件，包括直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤等内容。
2. 实例：准备一些直线与平面所成的角的实例，用于讲解和分析。
3. 教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便进行板书和讲解。
六、教学过程1. 导入：通过复习前期学习的直线与平面基础知识，引导学生进入本节课的主题——用向量法求直线与平面所成的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的定义，解释其意义。
3. 讲解向量法求直线与平面所成的角的原理，阐述其适用范围和优势。
4. 讲解向量法求直线与平面所成的角的步骤，通过板书和课件演示每个步骤的操作。
5. 分析实例，引导学生运用向量法求直线与平面所成的角，解答过程中注意引导学生思考和讨论。
七、课堂练习1. 布置一些直线与平面所成的角的练习题，让学生运用向量法求解。
2. 引导学生独立思考和解决问题，及时给予指导和解答疑问。
3. 强调练习过程中需要注意的问题和方法，提醒学生巩固知识点。
中职数学(高教版)教案：直线与平面所成的角
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 4.3.3 直线与平面所成的角教学目标1.知道直线在平面内的射影的定义，会找出直线在平面内的射影；2.知道直线与平面所成角的定义，会找出直线与平面所成的角，会解决直线与平面所成角的简单问题.重点直线与平面所成的角难点直线与平面所成角的求法教法数形结合，讲练结合，教学设备多媒体教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示，斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交，但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？教学内容二、探索新知1.直线在平面内的射影如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.如图所示，直线m是平面α的斜线，点P为斜足，A∈m且AB⊥α,垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线AP与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度.2.直线与平面所成的角一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为2π于是,直线与平面所成的角的范围为02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.三、例题巩固例7如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)找出BC1在底面ABCD上的射影；(2)求BC1与底面ABCD所成角的大小；(3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值.解(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都是正方形，所以CC1⊥DC，CC1⊥BC，且DC∩BC=C，从而，CC1⊥平面ABCD且垂足为C.又BC1∩平面ABCD=B，故BC是BC1在平面ABCD上的射影.教学内容(2)由(1)知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C1BC.因为BC1是正方形BCC1B1的对角线，所以∠C1BC=4π.于是，BC1与底面ABCD所成角为4π. (3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为DD1⊥AD，DD1⊥DC，且AD∩DC=D，所以DD1⊥底面ABCD，从而BD是BD1在平面ABCD上的射影，且DD1⊥BD.因为DD1=a，BD=2a，所以tan D1BD=122DDBD=，即BD1与底面ABCD所成角的正切值是22.例8 中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示，为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响，牵拉绳接地点A到电杆与地面的交点C的距离是 2.5m.若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.解由题意可知电杆与地面是垂直的，所以BC⊥AC，且AC是AB在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.在RtΔABC中，因为AC=2.5m，所以BC=AC tan ∠BAC=2.5tan60°=332255=(m)⨯.因此，牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离是325m .。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线间的夹角,直线与平面间的夹角参考教案
直线间的夹角,直线与平面间的夹角 教案一、教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题二、教学重点：异线角与线面角的计算；教学难点：异线角与线面角的计算。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 （二）、探析新课1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且b a ⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+==21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅1715||||,cos 111111=>=<DF BE DF BE DF BE解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝151715||||,cos 111111=<DF BE DF BE DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小 解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题： 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB |=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习：课本P45练习题1、2（四）、回顾总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，回顾总结方法。
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直线与平面所成的角的教案
一、教学目标
（一）知识目标：
（1）掌握斜线与平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角；（二）能力目标：
（1）培养学生的观察思考能力和空间想象能力；
（2）培养学生的立体感，数学美感；
（3）能熟练求解直线与平面所成角.
（三）情感目标：
让学生体验主动探究、合作学习的成功和喜悦，激发他们学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：斜线与平面所成角的概念及利用概念分步求角；
难点：在一个具体的立体图形中去找某条直线与平面所成的角。
三、教学方法：探究、合作、讲练结合
四、学法指导：对于立体几何的学习，学生已初步入门，本课时让学
生自己探究问题、发现问题、获取新知，并解决相关问题
五．教学过程
复习引入
直线与平面有几种关系？
1.直线在平面内；
2.直线相交于平面;
3.直线平行于平面;
自主预习
1.什么是平面的斜线？斜足？斜线段？斜线在这个平面内的射影？
斜线和平面所成的角？(请同学回答)
平面的斜线：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，
那么这条直线叫做这个平面的斜线．
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫
做斜线在这个平面上的射影．
斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)．
（利用自做模型让学生参与，并自己来总结如何找直线与平面所成的角）
斜线
垂线斜线与射影所成的角斜线与平面所成的角
射影
如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90︒)
如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0︒角．
例题讲解
如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝1，BC＝1，AA1＝√2．求对角线
A1C 与平面ABCD 所成的角．
解：因为A1C是斜线；
A1A垂直于平面AC
AC是斜线A1C的射影
所以∠A1CA就为线A1C与平面ABCD所成
的角。
又因为AC=√2
三角形A1A C是等腰直角三角形
所以∠A1CA=450
既线A1C与平面ABCD所成的角为450。
课内练习：
一.直线l与平面α的交点为B，点P在直线l上，且PB= √2，点P到平面α的距离为2，那么直线l与平面所成的角为
多少度？
二．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1与平面AC，平面BA1，
平面BC1 所成的角，并求这些角的余弦值．
小组探究
直线与平面所成角的取值范围是什么？
（注：利用几何画板演示）[00,900]
课堂小结
1.如何寻找直线与平面所成的角？
垂线，斜线和射影
2.如何求解直线所成的角？
利用勾股定理和三角函数对角度进行求解。
课后作业
课本第131练习A组题
教后录
本堂课从整体上讲，个人较满意，知识点讲的透彻仔细，学生参与度高，课后学生的反应较好反应对本堂课掌握很好。
个人觉得不好的地方，首先是在讲例题1的时候讲到最后求角度的时候有学生提出直接利用等腰直角三角形可以求出角度，我还是用了三角函数来求把问题复杂化了，以后要多注意学生的言语表情。
再者，个人感觉讲到某些细节的时候略显紧张，导致会疙疙瘩瘩，需要课前多自己酝酿几遍。