直线和平面所成角
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
直线和平面所成的角
案例二：机械工程中的直线和平面所成的角
总结词
机械工程中，直线和平面所成的角对于机器 的运转和性能至关重要。
详细描述
在机械设计中，直线和平面所成的角涉及到 机器的传动、导向和定位等方面。例如，在 制造精密机床时，需要精确控制导轨的角度 和位置，以确保机床的加工精度和稳定性。 同时，在机器运转过程中，直线和平面所成 的角也需要进行实时监测和调整，以确保机 器的正常运转和性能。
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利用向量计算
总结词
通过向量的数量积和向量的模长来计算直线和平面所成的角，是一种简便的方法 。
详细描述
首先，选取平面上任意一点，并确定一个方向向量。然后，计算这个方向向量与直 线向量的夹角的余弦值。最后，利用公式：θ = arccos(cos(θ))，其中θ为直线和平 面所成的角。
利用几何定理计算
建筑设计
在建筑设计中，可以利用直线和 平面所成的角来设计建筑物的外 观和结构，例如斜屋顶的角度和 楼梯的角度等。
机械设计
在机械设计中，可以利用直线和 平面所成的角来设计机械零件的 形状和尺寸，例如斜齿轮的角度 和轴承的角度等。
道路建设
在道路建设中，可以利用直线和 平面所成的角来设计道路的坡度 和弯度，以确保车辆安全行驶。
直线在平面上
当直线上的所有点都在平 面上时，称为直线在平面 上。
02
直线和平面所成的角
角的定义和性质
角的定义
角是由两条射线共同端点形成的平面空间，这两条射线称为角的边，而它们的公共端点称为角的顶点 。
角的性质
角的大小是由其两边的射线所夹的角度决定的，与边的长度无关。此外，角的大小不会因为角的边做 平移或旋转而改变。
直线和平面所成的角
直线与平面所成的角
直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线和平面所成的角
直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°. 显然，斜线和平面所成角的范围是(0,)2π直线和平面所成的角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.例1、 如图，在正方体AC 1中， （1）求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角；（2）求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角的余弦值.解：（1）设所求角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1，则si n α=si n ∠OC 1B =211=BC OB ,故α=30 (2)△A 1B 1C 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1，连结A 1H ，∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 设A 1B 1=a ,则A 1B = a 2,得A 1H=a 36. 故c os ∠B 1A 1H=36111=B A H A ，所求角的余弦值为36. 点评：1.求线面角即求这条直线与它在平面内的射影所成的角，关键在于找或作出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影.2.通过本例我们要进一步明确求线面角的一般步骤，平面的垂线是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用，因此，找或作出平面的垂线是求线面角的关键.3.直线和平面所成的角，是刻画空间位置关系的一类基本几何量，与射影密切相关.其中线面垂直是构成射影的必要条件，而空间各种角的计算方法，都是化为平面图形角的计算.因此，掌握转化的思想方法是解决这类问题的基本功.变式练习：1．已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，（1） 求直线1AB 和平面1111A B C D 所成的角；（2）求直线1DB 和平面1111A B C D 所成的角的正弦值；2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。
职高数学第九章直线与平面、平面与平面所成的角 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．图9−36质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，所以DE是AE在α内的射影.因此AED∠是AE和平面α所成说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导 分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面讲解（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察通过图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与1平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a 和b 互相垂直，记作a ⊥b ．【想一想】演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？ 介绍质疑引导分析了解 思考启发 学生思考0 5 *巩固知识 典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直．解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD .图9-43说明 强调 引领讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会10 *运用知识 强化练习1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？2．在图9−43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答了解 知识 掌握 情况14 *创设情境 兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人质疑 引导思考带领 学生 分析图9−44*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D 都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD 内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？图9−48α，CD⊥α，所以AB∥CD BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面AE∥BD，直线AE与CD交于点ACE中，因为AE＝BD＝5 cm，过 程行为 行为 意图 间所以 AC ＝22AE CE + ＝ 22512+ ＝13（cm ）．说明求解 理解 知识 点 37 *运用知识 强化练习1．一根旗杆AB 高8 m ，它的顶端A 挂两条10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C 、D 两点，并使点C 、D 与旗杆脚B 不共线，如果C 、D 与B 的距离都是6 m ，那么是否可以判定旗杆AB 与地面垂直，为什么？2．如图所示，ABC ∆在平面α内，90BAC ∠=︒，且PA α⊥于A ，那么AC 与PB 是否垂直？为什么？提问 巡视 指导 思考 解答及时 了解 学生 知识 掌握 情况42 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作βα⊥． 画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．【做一做】请动手画出图9−50中的两个图形． [实例]建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．质疑 引导 分析观察 思考带领 学生 分析β（2）α图9−49过程行为行为意图间图9−5048 *动脑思考探索新知【新知识】这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图9−51所示，如果ABβ⊥，AB在α内，那么αβ⊥．讲解说明引领分析理解带领学生分析52*巩固知识典型例题【知识巩固】例4在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图9−52）中，判断平面B1AC与平面B1BDD1是否垂直．图9−52解在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面BB1D1D，因为AC在平面B1AC内，所以平面B1AC与平面B1BDD1垂直．说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会57*创设情境兴趣导入图9−51图9−54内，连结AD．又由于BD⊥AB过 程行为 行为 意图 间222223425=+=+=AD AB BD ，故 AD ＝5（cm ）．因为αβ⊥，AC 在平面α内，且AC ⊥AB ，AB 为平面α与β的交线，所以AC ⊥β． 因此CA ⊥AD ．在直角三角形ACD 中，22222125169=+=+=CD AC AD ，故 CD ＝13（cm ）．讲解 说明主动 求解观察 学生 是否 理解 知识 点69 *运用知识 强化练习1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，与平面1AB 垂直的平面有 个，与平面1AB 垂直的棱有 条．2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？ 提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况78 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：直线与平面垂直的判定与性质？ 平面与平面垂直的判断与性质？ 结论：直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．质疑 归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况82A BC D D AB C第1题图第2题图【教师教学后记】。
直线和平面所成角的取值范围
C
O
B
练习2：教材P.69探究 (1) 四个面的形状怎样？ (2) 有哪些直线与平面垂直？ (3) 任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定？ A
B
C
D
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的
中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点，
ABCD
是正方形，
求证：(1) PC⊥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B
寻找二面角的平面角 寻找二面角的 平面角
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
2.3.2平面与平面 垂直的判定
复习回顾
两直线所成角的取值范围： 直线和平面所成角的取值范围： 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围：
1
O
A
B
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
A B
C
练习1：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
A B E
C
练习1：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
直线与平面所成的角教学设计
【课题】9.3 直线与平面所成的角【教学目标】知识目标：理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面所成的角的概念【教学难点】直线与平面所成的角的求解【教学设计】斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(40分钟)【教学过程】过 程 行为 行为 意图图9−33*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足. 画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34提问 指导思考 解答领会知识*创设情境 兴趣导入将一根木棍P A 直立在地面α上，用细绳依次度量点P 与地面上的点A 、B 、C 、D 的距离（图9−35），发现P A 最短．质疑 引导 分析思考启发 学生思考*动脑思考 探索新知如图9−35所示，PA α⊥，线段P A 叫做垂线段，垂足A 叫做点P 在平面α内的射影．直线PB 与平面α相交但不垂直，则称直线PB 与平面α斜交，直线PB 叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜讲解 说明思考图9−35过程行为行为意图足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．引领分析理解带领学生分析*创设情境兴趣导入如图9−36所示，科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度呢？图9−36质疑思考带领学生分析*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在质疑思考带领学生过 程行为 行为 意图平面α内，已知底边长BC =16，腰长AB =17，又知点A 到平面α的垂线段AD =10．求（1）等腰∆ABC 的高AE 的长； （2）斜线AE 和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析 三角形AEB 是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE 的长；AED ∠是AE 和平面α所成的角，三角形ADE 是直角三角形，求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角． 解 (1) 在等腰∆ABC 中，AE BC ⊥，故由BC =16可得BE =8.在Rt ∆AEB 中，∠AEB =90°，因此 222217815AE AB BE =-=-=.（2）联结DE .因为AD 是平面α的垂线，AE 是α的斜线，所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===，所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线？分析*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆带领 学生 分析 *归纳小结 强化思提问 巡视 思考 求解及时了解图9−38过 程行为 行为 意图本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？指导学生知识掌握情况 *自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 自我测评 1、判断：（1）若直线和平面相交，则直线与平面所成的角小于等于90度。
直线和平面所成的角与二面角
直线和平面所成的角与二面角知识要点1．直线与平面所成角的范围若θ表示直线与平面所成的角，则0°≤θ≤90°。
2．公式cosθ=cosθ1·cosθ2。
斜线AB与平面α所成的角为θ1，A为斜足，AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ, 则有cosθ=cosθ1·cosθ2。
3．公式。
如图所示，在二面角α-l-β中，A∈平面β，B∈平面α，AD⊥l于D，BC⊥l于C，AD=m,BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ，则有：。
4．公式S'=Scosθ。
如果平面多边形所在平面与平面所成角为，这个平面多边形及其在平面内的射影的面积分别为S、S'，那么S'=Scosθ。
5. 向量知识(1)；(2)(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a与b的夹角)(4)若a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), 则：a·b=x1x2+y1y2+z1z2。
典型题目例1．如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。
(1)求证：A'F⊥C'E；(2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF'B的大小。
（结果用反三角函数表示）。
(1)证明：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。
∵，∴ A'F⊥C'E。
(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF的体积，当且仅当，时，取得最大值。
过B作BD⊥EF交EF于D，连B'D,B'D⊥EF,∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角。
2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第3章3.6直线与平面、平面与平面所成的角含答案
3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作α-l -β. (2)二面角的平面角过二面角α-l -β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角α-l -β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角α-l -β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°. [小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？ 提示：相等或互补．求直线与平面所成的角如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)． 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1. ∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，DF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫0，12，0＝0，(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)． 设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55， 故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.求二面角如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ， 所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919. 由图知，二面角E -BC -A 为钝角， 故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A -PB -C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A -PB -C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33. 故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝⎛⎭⎫12，22，12. 又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13.∴E ⎝⎛⎭⎫34，24，34，EA ―→＝⎝⎛⎭⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－24×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝12. ∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′. 令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A -PB -C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P -ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ， 故cos ∠PDC ＝PD DC ＝33.答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B -AD -C 后，BC ＝12a ，这时二面角B -AD -C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角， 又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝(0，0，3)·(8，9，2)382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________． 解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B -A 1D -A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz . 因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝(1，2，3)·(2，1，1)1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n ＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A -Ox -B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析： 过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A -PC -B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A -PB -C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B -PA -C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A -PC -B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A -PB -C 的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B -PA -C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B -PA -C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A -PC -B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A -BD -C 的正弦值为255. 答案：2557．已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.A 1(1，0，2).建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ， 则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66， 即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66. 答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值． 解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ， 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M -AB -D 为锐角， 因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.。
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９.4.4斜线在平面内的射影 9.4.5直线和平面所成的角
四.斜线在平面内的射影
p
１.垂线、斜线、射影
(１)垂线
Q
过一点向平面引垂线，垂足叫做这
点在这个平面上的射影；
这点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。
如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿ 内＿的＿射＿影＿ ＿线＿段＿PQ＿是点P到平面 的垂线段
是__A_B_、__A_C__在_平__面___内__的__射__影_，则有
OB=OC AB=AC
A
OB＞OC AB ＞AC
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
B
O
C
A
2．射影定理
从平面外一点向
这个平面所引的垂线
O
C
段和斜线段中， B
（1）射影相等的两条斜线段相等，射 影较长的斜线段也较长
BO是AO在内 的 射 影
AOB是AO与所成的角 O
B
说明：
①一条直线垂直与平面，它们所成的角 是直角；
②一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。
③直线和平面所成角的范围是[0，90]
l是平面 的斜线，点O是斜足，A是l 上任意一点，AB是平面 的垂线，B是垂 足，直线OB是l在内的射影， ∠AOB (记作θ）是l与平面 所成的角.
（2）相等的斜线段的射影相等，较长 的斜线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC
所在平面上的射影是△ABC的＿外 心。
P
A
C
O
B
练习
2.判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一
定是平行直线
（）
（2）两条相交直线在同一平面内的射影
一定是相交直线
（）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影要 么是平行直线，要么是相交直线 （ ）
（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的
射影长也相等
（）
五.直线和平面所成的角
１.定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影
所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所
成的角。
A
AB
说明：②斜线上 任意一点在平面 上的射影，一定 在斜线的射影上。
A
E
BC
F
思考：
①从平面外一点向这个平面引的垂线段 和斜线段，它们的射影和线段本身之间 有什么关系？
②从平面外一点向这个平面所引的垂线 段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那 一条最短？
A
几何画板测量
BC
E
D
如图，AO是平面 的垂线段，AB、 AC是平面 的斜线段， OB、OC分别
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
说明：①平面外一
P
点到这个平面的垂
线段有且只有一条，
而这点到这个平面 的斜线段有无数条
所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所
成的角。
A
AB
BO是AO在内 的 射 影
AOB是AO与所成的角ห้องสมุดไป่ตู้ O
B
２、定理及推论
２.定理： 斜线和平面所成的角，是这条 斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切 角中最小的角。
推论：斜线和平面所成的角，是这条 斜线和平面内任意的直线所成的一切 角中最小的角。
OD是 内不同于OB的
Al
任一直线，过点A引AC
垂直于OD，垂足为C.
θ与∠AOD的大 小关系如何？
O
B
CD
２斜θ与线.定∠和理AO平：D面的斜内大线小经和关过平系斜面如足何所的？成直的线角所，成是的这一条切
角中最小的角。 Al
O
B
CD
平拓在si面nR展t所△：A成斜AAOOB的B线中角和，， 是在这Rt 条△斜AO线C中和，平 面si内n任AO意D的 直AC线 所∵A成B＜的A一C，切角AO中 最∴s小inθ的＜角sin∠。AOD
T
Q
RS
(３)射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影．
垂足与斜足间的线段叫做这点到平
面的斜线段在这个平面上的射影．
A 如图：直＿线＿B＿C＿是斜线AC
在 内的射影，线段BC是
BC
＿斜＿线＿段＿AC＿在＿＿内＿的＿射＿影＿
思考：斜线上的一个点在平面上的射 影会在哪呢？
∴θ＜∠AOD
例1.如图，AO是平面π的斜线，AB ⊥ 平面π于B，OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ， ∠AOD= ，求证：cos =cos cos
A
O
B
CD
例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求A1B与平面BB1D1D所成的角
小结
一、斜线在平面内的射影 １、垂线、斜线、射影
2、射影定理
2．射影定理
A
从平面外一点向
这个平面所引的垂线
段和斜线段中，
OC B
（1）射影相等的两条斜线段相等，射 影较长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长 的斜线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
二、直线和平面所成的角
１、定义
１.直线和平面所成的角定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影