无单元技术在压力管道屈曲失稳分析中的应用

(6)
0 (0 ) r = rA + u, u = (u + tθ )a 0 + wn m = [R /(T + t )](u + tθ )g 2 + wg 1 + zg 3
式中：θ为剪应变引起的法线转角。 因仅在xoy面内考虑曲梁变形，故z不予考虑。而
设u=u gi,令变形后矢量：Gi=r,I, Gij=Gi·Gj。由张量分析定义，应变为
摘要：本文将加肋的水工压力管道看成厚曲梁与柱壳的组合体，考虑肋壳的相互作用，推导了厚曲梁及柱壳的非 线性几何方程。应用无单元技术建立曲梁的位移形状函数，消除了有限元法计算板壳时的闭锁现象。推导出了加 肋柱壳的稳定性分析及静态和动态分析的一般性数学表达式。基于上述理论及水工压力管道实际工作状态，建立 了分析压力管道屈曲失稳的模型。 关键词：加肋柱壳；稳定性；位移模式；无单元新技术 中图分类号：TU433 文献标识码：A
2
（9）
本文水工压力管道加肋S方向位移u=0，同时将上述分解成线性与非线性部分，为
2 w 1 t 1 tR ε s + 1 tθ , s + w, s 2 + θ ,s R + 2 = = {ε }RL + {ε }RN = R + R t 2 rts w + θ 0 ,s
g ii u i , ε j =
1 g ii g ii
ε ij ,σ ij = g ii g ii σ ij , 因
σ ij δε ij = σ ij δε ij ,所以
ｗｗｗ．ｂｚｆｘｗ．ｃｏｍ
v
ext = ∫ σ ij δε ij = ∫∫ δw R
Eε 22δε 22 2Gkε 12δε 12 2GKε 21δε 21 + + g 22 g 22 ( g 22 )
[ε ]s
(11)Βιβλιοθήκη 简记{ε l }s + {ε 0 }s + {ε N }s
上述三项分为线性项、缺陷项及非线性项。对第二、第三项任意取舍以反应不同的几何变形状态。 为便于消除加劲肋的剪切闭锁，需分析加劲肋的内力虚功方程，找出t+R→0时，消除剪切与薄膜变形 能的内在机制，为此用与正交曲线坐标重合的局部笛卡尔坐标系ei来衡量各物理量，便于找出本构关系， 设ui是在ei中位移，则(无求和约定) u i =
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2005 年 7 月 文章编号：0559-9350(2005)07-0880-06
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第 36 卷 第7期
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无单元技术在压力管道屈曲失稳分析中的应用
孟闻远1，2，卓家寿1，籍东3
(1.河海大学 土木工程学院，江苏 南京 210098； 2.华北水利水电学院，河南 郑州 100031) 450008； 3.华睿投资集团有限公司，北京
水工压力管道正常工作时一般承受较大的内水压力， 但在施工期或非正常无水状态下承受较大的 外压力(如灌浆压力、突然停水后的负压力等)。在外压力作用下，压力管道时有失稳破坏，如我国湖 南镇水电站和黄龙滩水电站、 云南绿水江水电站、 广东泉水水电站。 在国外也有压力管道破坏的事故， 如加拿大的Kemao水电站、 巴西的Nilo-pecanha水电站、 美国的泰乌姆及美国最大的抽水蓄能电站Bath County水电站等。随着国内外水电站建设事业的迅速发展，特别是大量的高水头、大容量抽水蓄能电 站的兴建，压力管道越来越趋向于大型化、巨型化，这就给压力管道的设计提出了更加复杂的课题。 [1～10] ，在分析方法、强度分析、结构优化 20世纪50年代以来，国内外对水电站压力管道有大量的研究 与设计、材料与结构模型试验等方面有较大的发展，如钢衬钢筋混凝土压力管道的成功应用及其分析 [6] [7] [8] [9] 理论、设计方法的出现等。马善定 、董哲仁 、路振刚和董毓新 、刘东常 等对水电站压力管道的 设计和分析理论均有新的发展。但现有压力管道外压稳定性分析理论存在着缺陷，主要表现在计算模 [1，11] 是解析方法和以有限 型不够准确，计算方法受到局限。目前压力管道稳定性设计分析的主要方法 元分析为主的数值计算方法。 事实上， 真正用解析方法对此类复杂的组合壳体进行分析是无能为力的， 于是有研究者将实物模型进行降维简化以求得解析表达式， 这些方法都是在假设条件下以牺牲真实受 力变形状态为代价来推导简化公式，他们在垂直轴线方向取单位宽度的圆环来分析，把肋看成刚性支 承，即使考虑肋的作用，也是将肋看成附加部分壳体尺寸的圆环。随着计算理论及计算机技术的迅速 发展，有限元数值计算方法逐步应用于水工压力管道分析，但由于曲壳元所依据的理论及有限元列式 [12] 都非常复杂，因而往往难以构造出完备的阶次高、协调性好且易于计算的单元。后来，Ahmad等人 提出了三维弹性体的退化壳元，此单元虽然有很多优点，但退化成薄壳易产生剪切与薄膜闭锁，当然 对加肋也有类似结果。文献[9]在分析水工压力管道时，提出了半解析方法，但对肋的处理有待探讨。 实际工程上， 加肋由于受到围岩及混凝土在垂直肋所在平面方向的约束， 一般不易发生侧移失稳变形， 而仅在肋轴线形成的平面内变形。同时，不同工程的加肋截面不同，有工字型、槽形、角形等，而仅
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几何非线性等任何形态的壳。对柱壳省略高阶微量后，为
2 1 ∂w 1 w z ∂2w 1 ∂w ∂w 0 R ∂φ 2 R − 2 2 2 R ∂φ R ∂φ ∂φ 2 2 0 1 ∂w ∂ w ∂w ∂w = − z 2 + + ∂y y y 2 ∂ ∂ y ∂ z ∂ 2 w 1 ∂w 0 ∂w ∂w ∂w 0 1 ∂w ∂w + R ∂φ∂y R ∂y ∂φ ∂φ ∂y R ∂φ ∂y
(8)
式(8)为任意圆弧状深曲梁的非线性应变公式，可适用于其它工程问题的大变形分析，对之进行显式 0 化，不计n 方向应变w,t等，有
1 w 1 R t ε s = ε 22 + 1 u , s + tθ , s + + w, s 2 + (u , s + tθ , s ) 2 R 2 R+t R u rts = 2ε 12 = w, s + θ − R
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加肋柱壳应变状态分析
如将肋看成厚曲梁，就必须放弃Kirchhoff假设，对剪切变形单独考虑。其实，有限元方法对厚梁、 厚板、厚壳的处理是方便的，但有限元不易构造高阶的位移模式，使得这些厚的结构体变薄时产生闭锁现 象，得出虚假结论，尽管有缩减积分、杂交模型等方法来处理，但始终不令人满意。本文采用无单元法来 处理厚曲梁是因为考虑剪切变形时， 无单元法可以构造高阶的完备的多项式， 注意各位移分量之间的关系， 可以使由厚变薄的曲梁消除剪切及薄膜闭锁，因而对厚、薄曲梁乃至直梁具有通用性。处理厚曲梁的无单 元技术可以推广到厚板、厚壳中，可以像肋一样得到适应厚、薄壳分析的一般性理论方法。只是限于本文 工程实际及稳定性分析的针对性，这里不用厚壳而针对薄壳进行分析。无单元技术对壳体结构的描述与分 析不像有限元法那样受到局限，可以发挥可构造高阶连续形函数的优点，不必顾虑协调性，避开了有限元 法分析壳体时的困难，且自由度少，列式简便，本文提出的构造新的形函数的办法，运算量少，边界条件 易处理。 1.1 肋 的 应 变 状 态 分 析 取图1所示一段曲梁， 1 2 3 放在坐标系xoy中，建立a a a 正交坐标活动标架， 设 AB为深曲梁且只在xoy面内变形。 1 2 3 x=Rcos(S/R),y=Rsin(S/R),z=z, a =t, a =s, a =z。 中线上一点C用矢量表示为
(4)
曲线坐标上基矢量gi为
g1 =
0 0 ∂rA ∂rA ∂r 0 ∂n 0 t 0 n , g t = + 1 a 0 , g 3 = e3 = = = + 2 1 2 2 2 ∂a ∂a ∂a ∂a R
(5)
两坐标体积分转换关系为 dv =
g ds dt dz , g = g 2 ⋅ ( g 3 × g1 ) = t / R + 1 ，梁上点在变形后的位置
收稿日期：2004-01-18 基金项目：国家自然科学金资助项目(50079005) 作者简介：孟闻远(1965-)，男，河南郾城人，博士生，教授，研究方向为数值计算及结构分析等。 E-mail：meng-wenyuan@ 1
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g dsdt
R 3 R = b ∫∫ E ε s δε s + GK rts δrts dsdt t + R t + R t/R →0
式中： b 为梁宽 在最小能量函数式中，系数相当于罚因子，作用于剪切与薄膜变形能。有关系：E>GK>>Et2，弯曲梁 变薄变直时，即t/R→0，剪切与薄膜闭锁消失，则应使γts=w,s+θ=0,εm=w/R=0，显然，R→∝时w/R→0可 以实现。而关键是要w,s+θ=0，即其位移模式是用多项式表达位移模式，则W须比θ高一阶，为保持θ的一 阶连续性，由式(9)与式(12)知，θ至少为2阶，而w为3阶，即w与θ的多项式阶数可分别表述为P及P+1阶 (P≥2)。P阶数高，列式复杂些，而闭锁消失。这是构造厚曲梁位移模式的内在依据。值得强调的是它可 以推广到厚板、厚壳中。为了消除肋闭锁现象及便于薄壳分析，本文采用无单元技术位移模式。这是因为 有限元在处理加肋壳时形式复杂，不易构造高阶完备的位移单元，导致一般厚肋(厚壳也是如此)变薄时无 法消除闭锁，进而产生错误结果，而无单元技术仅用节点，易于构造高阶的位移模式，这对厚肋与薄壳体