二面角平面角求法1教材
《二面角的平面角求法》课件
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
求二面角平面角的方法
求二面角平面角的方法
一、二面角平面角的定义
二面角平面角即指由两条平面线段组成的角度，它是由两个平面相交产生的，其值可能为0°（重合）到180°（平行）之间，也就是直角，钝角和锐角。
二、二面角平面角的测量
1.如果要测量二面角平面角，首先要把两条平面线段放到同一个水平面上，这样就可以做出一个直角。
2.然后，由一条水平平面线段和一条垂直平面线段组成的绝对角度，可以用一个水平尺来量出。
3.如果把水平尺顺时针或逆时针移动一定的角度，可以测量出另一条平面线段与水平尺之间的夹角。
4.接下来，可以用一个尺角尺来测量夹角，尺角尺可以用来测量任何角度，用它可以很容易的找到两条平面线段形成的二面角的值。
5.最后，可以用仪器仪表如三角尺等来测量二面角。
在使用三角尺测量夹角时，要尽可能把测量装置稳定地放在水平面上，这样就可以得出准确的结果。
三、二面角平面角的用途
二面角平面角经常用于机械工程设计、建筑学、运算几何以及工业自动化等方面。
其中机械工程设计和建筑学中，常用二面角的测量来进行机械零件和建筑物的强度设计，用于确定链接、螺栓和连接体形等的角度等。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
9.7.2二面角(1)
B A D
练 习:
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角 l 内一 点，且P到两个半平面的距离都 等于P到棱的距离的一半，则这 个二面角的度数是多少？ 60º
解：由已知 AB, AB BD, CA, BD 1800 600 1200 , 2 CA 2 CD | (CA AB BD) | 2 2 2 | CA | | AB | | BD | C 2CA AB 2 AB BD 2BD CA
A
B O A
∠AOB
二面角C－AB－ D
C
BLeabharlann 3、二面角的记法： 点1－棱－点2
l
5
D
E
B
F
A
二面角－ l－
A
D
B
C
二面角C－AB－ E
二、二面角的平面角:
1、二面角的平面角的定义： O
定义一：（定义法） 以二面角的棱上任意一点为端 点，在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的 角∠A0B叫做二面角的平面角。 定义二： （垂面法） 一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面分别相交于射线PA、PB 垂足为P，则∠APB叫做二 面角 的平面角.
北极
66 °34 ´
地球轨道面
↓ ↑ 23°26´
(黄道平面)
南极
1、掌握二面角定义及其表示方法；
2、掌握二面角的平面角定义；
3、掌握二面角的平面角的作法; 4、掌握二面角的平面角的求法。
二面角的四种求法-2021-2022学年高一数学(人教A版2019必修第二册)(解析版)
立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
二面角(新教材试验修订本)
CA · AB ＝ 0 ， AB · BD ＝ 0 2 CD | | ＝ （ CA ＋ AB ＋ BD ） 2 ∴ 2 2 2 CA AB BD | | ＋ | | ＋ | | ＋ 2 CA · BD ＝ CA | 2 ＋ | AB | 2 ＋ | BD | 2 ＋ 2 | CA | × |BD |c o s CA BD | ＝ ＜ ，
？
？
a
A
β
α
③以直线AB为棱，平面CAB、 平面DAB为半平面的二面角 记作： “C—AB—D” 等等。
？
(5)二面角的平面角——
垂直于二面角的棱的任一平面 与两个半平面的交线所成的角 。 O 。 叫做二面角的平面角。 或： 从二面角的棱上任一点在 两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角。
B B A A α
β
小结： 1.二面角就是用它的平面
。 O 角来度量的。一个二面角的平 面角多大，我们就说个二面角 是多少度的二面角 。 等角定理 若一个角的两边与 O1 。 另一个角的两边分别平行且方 复习回顾 2.二面角的平面角与点（或 向相同，则这两个角相等。 垂直平面）的位置无任何关系，
只与二面角的张角大小有关。
A1(1，0，1)，C1(0，1，1) ∴BD＝(0，0，0)－(1，1，0)＝（－1，－1，0）
1 1 1 1 OA ＝(1，0，1) － ( ， ，0)＝（ ，－ ，1） 2 2 2 2
1
1 1 1 1 OC ＝(0，1，1) － ( ， ， ，1） 2 2 ，0)＝（－ 2 2
1
∴
BD ● OA
2 ∴ ∠ E H A ＝ a r c t a n 。
H
1、二面角的定义
新教材高中数学1.2.4二面角课件新人教B版选择性必修第一册
(2)若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P-QD-A 的
3
余弦值为7,求四面体 ADPQ 的体积.
【规范答题】
(1)证明 由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直
线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标
面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”.黄道及其附
近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置
常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,
称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°
便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、
双子座等等,这便是星座的由来.
知识点拨
1.二面角及其度量
微思考
两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?
提示 (0°,90°]
微练习
(1)如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且
PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为(
A.∠PAC
B.∠CPA
C.∠PCA
D.∠CAB
)
答案 C
解析 ∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,
|1 ·2 |
= |1 ||2 | 成立.
|1 ·2 |
名师点析利用公式cos<n1,n2>=
(n1,n2分别为两平面的法向量)进行
|1 ||2 |
求解,注意<n1,n2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行
判断.
如图②④中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图①③中<n1,n2>
课件1：1.2.4 二面角
2．用空间向量求二面角的大小 如果 n1，n2 分别是平面 α1，α2 的一个法向量，设 α1 与 α2 所成角的 大小为 θ．则 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝_s_in_〈__n_1_，__n_2_〉．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的范围是0，π2．(
则nn11··AA→→BE1＝＝00，，
x1＋z1＝0， 即x1＋12y1＝0，
令 y1＝2，则 x1＝－1，z1＝1，所以 n1＝(－1,2,1)． 设平面 AD1F 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→→DF＝1＝00，，
y2＋z2＝0， 即12x2＋y2＝0.
令 x2＝2，则 y2＝－1，z2＝1．所以 n2＝(2，－1,1)．
【合作探究】
类型一 用定义法求二面角 【例 1】 如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上，若△PAB 是边长为 2 的正三角形，且 CO⊥AB， 求二面角 P-AC-B 的正弦值．
[解] 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD， ∵PO⊥底面，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D 为 AC 的中点， ∴OD⊥AC，又 PO∩OD＝O， ∴AC⊥平面 POD，则 AC⊥PD， ∴∠PDO 为二面角 P-AC-B 的平面角．
1 3
[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，
则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量， 则nn··DD→→BA1＝＝00，， 即xx＋＋zy＝＝00，， 令 x＝1，则 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面 BC1D 的一个法向量 m＝(1，－1,1)， 则 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝13， 所以二面角 A1-BD-C1 的余弦值为13．]
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B
A C
O
β
常见的图形
讲解例题
α
三 角 形 ABC 在 平 面 N 内 的 射 影 为 BCO 三 角 形 ABC 的 面 积 为S，三角形BCO的 面积为S射 cos = S 射
S
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例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为
二面角的平面角
求二面角的平面角方法
小
①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线法
结
③点P在二面角内 —垂面法 ④射影法
ι
α
β
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
A
二面角的平面角的三个特征:
l
O
B
1.点在棱上
2.边在面内
3.边与棱垂直
二面角的平面角范围：00 1800
二面角
二面角的平面角
求(作）二面角的平面角方法
①点P在棱上 —定义法
②点P在一个半平面上 —三垂线法
③点P在二面角内 —垂面法
④射影法
ι
α
β
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
二面角 返回主页
已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等，
且AB AC 3，BC 2，求二面角D BC A的
大小. 90°
D
C A
O
B
返回主页
三垂线法
点P在一个半平面上
β p
α
B
A
ι
讲解例题
常见的图形
二面角 返回主页
例2．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二
1 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
E
O
二面角 返回主页
垂面法 点P在二面角内
β
B
O
ι
讲解例题
常见的图形
p
α
A
二面角 返回主页
例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与
棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι
面角P-A2B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE OE⊥AB ，因此
BC12 PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，12 PB=1，PE
3 2
在Rt△POE中， OE ，22PO ∴ tan PEO 2
S A1B1C1
S AB1E
2 3
D1
C1
A1
B1
E
D A
C B
二面角的求法总结
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴CO=a， DO=a， PC
又∵∠MPN=60º
a ， P2D
a 2 C
∴CD=PC a 2
P aO
二面角
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二面角的定义
从空间一直线出发的
两个半平面所组成的
图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的
α
面
ι
β
记作 l
二面角的平面角
二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
二面角
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
变式：P为1200的二面角 a 内一点, P到和的距离均为10,
求P到棱a的距离.
P
M ON
a
返回主页
讲解例题
定义法 点P在棱上
α
常见的图形 ι β
A
p
B
二面角 返回主页
例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，