初值问题的Euler方法和梯形法
常微分方程初值问题数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在自然科学、工程技术、经济和医学等领域中，常常会遇到一阶常微分方程初值问题：(,),,(),y f x y a x b y a y '=≤≤⎧⎨=⎩ (1) 此处f 为,x y 的已知函数，0y 是给定的初始值。
本章讨论该问题的数值解法，要求f 在区域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤<∞内连续，并对y 满足Lipschitz 条件，从而初值问题(1)有唯一的连续可微解()y y x =，且它是适定的。
1 几个简单的数值积分法1.1 Euler 方法（1）向前Euler 公式（显式Euler 公式）10(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +=+=⎧⎨=⎩(2) 其中h 为步长。
由此便可由初值0y 逐步算出一阶常微分方程初值问题(1)的解()y y x =在节点12,,x x 处的近似值12,,y y 。
该公式的局部截断误差为2()O h ，是一阶方法。
（2）向后Euler 公式（隐式Euler 公式）1110(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +++=+=⎧⎨=⎩(3) 这是一个隐格式，也是一阶方法。
这类隐格式的计算比显格式困难，一般采用迭代法求解。
首先用向前Euler 公式提供迭代初值，然后迭代计算：(0)1(1)()111(,),(,),0,1,2,n n n n k k n n n n y y hf x y y y hf x y k +++++⎧=+⎨=+=⎩ (4)1.2 梯形方法1110[(,)(,)],2(),(0,1,2,)n n n n n n h y y f x y f x y y y a n +++⎧=++⎪⎨⎪=⎩= (5) 这也是一个隐格式，是二阶方法。
一般也采用迭代法求解。
迭代公式如下：(0)1(1)()111(,),[(,)(,)],0,1,2,2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (6)1.3 改进的Euler 方法11110(,),[(,)(,)],0,1,2,,2(),n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y n y y a ++++⎧=+⎪⎪=++=⎨⎪=⎪⎩(7) 为了便于上机编程计算，(7)可改写为110(,),(,),0,1,2,,1(),2(),p n n n cn n p n p c y y hf x y y y hf x y n y y y y y a ++=+⎧⎪=+⎪⎪=⎨=+⎪⎪=⎪⎩(8) 该格式是显式，也是二阶方法。
8.1用改进的Euler方法解初值问题
第八章常微分方程数值解法8.1用改进的Euler 方法解初值问题：取步长h=0.1计算，并与准确解相比较。
⎩⎨⎧=≤<+=1)0(10,'y x y x y 12−−=x e y x 8.2用改进的Euler 方法解初值问题：取步长h=0.1计算y(0.5)，并与准确解相比较。
⎩⎨⎧=−+=0)0('2y y x x y x e x x y −−+−=12习题８第八章常微分方程数值解法8.3对初值问题：证明Euler 公式和梯形公式求得的近似解分别为⎩⎨⎧=−=1)0('y y y ,)1(n n h y −=n n h h y ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=22并证明当时，它们都收敛于准确解。
0→h x e x y −=)(8.4取h=0.2,用经典R-K 法求解下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=≤<+=1)0(10,13')2(y x x y y ⎩⎨⎧=≤<+=1)0(10,')1(y x y x y第八章常微分方程数值解法8.5证明对任意参数t ，下列R －K 公式是二阶的：))1(,)1((),(),()(213121321hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n −+−+=++==++=+8.6对试验方程，试证明如下方法给出的绝对稳定条件。
（２）经典R-K 公式：（１）改进的Euler 公式：1|2)(1|2≤++h h λλ)0('<=λλy y 1|24)(6)(2)(1|432≤++++h h h h λλλλ第八章常微分方程数值解法本节内容完毕，点击自动返回章目录！。
数值分析习题解答
45习题八 习题解答1.取步长h = 0.2,用欧拉方法解初值问题)6.00(1)0(2≤≤⎩⎨⎧=−−=′x y xy y y 解：由f (x ，y ) = – y – x y 2，欧拉公式为y n+1 = y n + h [– y n – x n y n 2]即y n+1 = (1 – h )y n – h x n y n 2由y 0 = 1计算，得y 1= 0.8，y 2= 0.6144，y 3 = 0.46132.用梯形公式解初值问题)21(2)1(38≤≤⎩⎨⎧=−=′x y y y取步长h = 0.2,小数点后至少保留5位. 解：由f (x ，y ) = 8 – 3 y ，梯形公式为y n +1 = y n + 0.5h [(8 – 3 y n ) + (8 – 3 y n +1)]将h = 0.2代入并整理，得13161371+=+n n y y 由y 0 = 2计算，得y 1 = 2.30769，y 2 = 2.47337，y 3 = 22.56258，y 4 = .61062，y 5 = 2.636493.用改进的欧拉公式计算初值问题)5.11(5.0)1(112<<⎪⎩⎪⎨⎧=−=′x y yx y x y 取步长h = 0.1,并与精确解xxx y +=1)(比较. 解：改进的Euler 公式为nn nn n x y y h y y )1(~1−+=+ ])~1(~)1([5.011++−+−+=n n n n n n n n x y y x y y h y y 由y 0 = 0.5计算得1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5y n0.5000 0.5238 0.5455 0.5653 0.5834 0.6001 y (x n )0.5000 0.5238 0.5455 0.5652 0.5833 0.6000 y n – y (x n ) 0 0.2570×10-40.4503×10-40.5962×10-40.7066×10-4 0.7902×10-44.写出用梯形公式求解初值问题⎩⎨⎧==+′1)0(0y y y 的计算格式,取步长1.0=h ,并求)2.0(y 的近似值,要求迭代误差不超过510−.46解：由梯形公式为：][211+++−=n n n n y y hy y ，故计算格式为 n n y hh y +−=+221故，y 1 =0.9048，y 2 =0.8186。
数值分析习题
习题11. 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 _________ 的 _______ 运算; (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 _________ 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 ______________ 分子的绝对值；(3) 误差有四大来源，数值分析主要处理其中的 __________ 和 ___________ ; (4) 有效数字越多•相对误差越_________ ;2. 用例1.4的算法计算価•迭代3次•计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式，并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数，指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.斗=0.3040, x 2 =5.1x10% 兀=400,些=°・°°3346, x 5 = 0.875x 1Q-55. 证明1.2.3之定理1. 1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积卩的相对误差将为多少。
(假定钢珠为 标准的球形)7. 若跑道长的测量有0.欣的误差，对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使J 亦的近似数相对误差小于0. 05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件•直径d 为10・25±0・25mm.高力为40. 00± 1.00mm •则它的体枳卩的近 似值、误差和相对误差为多少.10证明对一元函数运算有并求出/(x) = tanx,x = 1.57时的k 值，从而说明/(x) = tanx 在人任彳时是病态问题.11. 定义多元函数运算s =》g,其中工q =1，£(舌)“,r-l求出w(S)的表达式，并说明q 全为正数时，计算是稳定的，q 有正有负时，误差难以控制.12. 下列各式应如何改进•使计算更准确：其中"(4) y = ^p'+q 2 - P, (p>O,q>O,p»q)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 _______________ 主元素的绝对值太小会发生 ___________ ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ___________ .平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 __________ ;(3) 直接£〃分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 __________ ,追赶法解对角占优的三对角方程组肘的计算量以乘除法计为 _____________ ；⑷ ；)阀二——•114= ------- ・——；t 0(5) A =yt > 1 p{A) _________ , cond 2(A) = _________I"丿(6) A = b 9c > b > a > 0 p{A) _______________ , cond ?(A) = ________4. 用Gauss —Jordan 消元法求:(卜l 《l)f 1 1 -1)T(1)八1 2 -2 ,b =1一2 1 1 丿丄2 6、3(1)心10 -7 0 ,b = 7< 5 -1 5丿r4 3 2 r3 4 3 21(2) A =•—2 3 4 3 -1<1 2 3 4;r0 2 0 1、2 232-2 (2) A =b =4-3 01-76 1 -6-56 ,(i) y =⑵y =1l — x(心1)2・用Gauss 消元法求解下列方程组Ax = b3.用列主元消元法解下列方程组Ax = b.2 1 0 J -1 o>5. 用直接厶U 分解方法求1题中两个矩阵的厶（/分解，并求解此二方程组.6. 用平方根法解方程组Ax = b<3 2 1、‘4、2 2 1 ,b = 3J 1 1丿O7.用追赶法解三对角方程组Ax = b2 -1一1 2 0-I0 0 0T0 A = 0 一1 2 -1 0 ,b = 00 0 -1 2 -1<0 0 0 -1 2丿©8. 证明:（1） 单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵. （2） 两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵. 9. 由厶=却冴・・£［「（见（2. 18）式），证明：10 •证明向量范数有下列等价性质: （1）14^14^14⑶|HL<H 2<^Kii. 求下列矩阵的||州删2，lkt“（q ）.81 3、(2) A= 1 10 2、3 26,12. 求 cond 2 (A)1 A = 1-13)2丿'13. 证明:⑴若A 是正交矩阵，即A rA = /f 则cond 2(A) = l ； (2)若A 是对称正定阵，心是A 的最大特征值，人是最小特征值，则cond 2(A )=习题31. 填空题：(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 ____________ 时，线性方程组Ax=b 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法均收敛； (2) 当线性方程组的系数矩阵力对称正定时, ___________ 迭代法收敛. (3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 _________ 小于1; S0R 法收敛的必要条件是 ______________ ;(4) 用迭代法求解线性方程组，若⑷，q _______________ 时不收敛，g 接近 _______ 时收 敛较快，g 接近 _______ 时收敛较慢；(5)(1 \\A= ?，$= _________ : Bs = _______ ； Q(坊)= _______ ； °(块)= ___ ・2. 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法求解方程组V 1 0、'3 ''-81 1 丫和‘1、 (1)1 2 1= -5 ; (2)1-5 1 x 2 = 16W 1 2,宀< 1 1 -仏丿6各分量第三位稳定即可停止.3•庄SOR 法解方程组，取60 = 0.9 ,与取CO = 1 (即Gauss-Seidel 法)作比较.(32 1]/ \<-5> -5 7 3 £ = 13 2 \ -5 7 /<X 3>4・下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收 敛性"5 2 1(\ 2) 1 3 2 ; ⑵…13 21 1 2\ / (1)flOO 99、99 9J(2) COS0A --sin& COS0 y6•设‘1 a 宀A= a 1 a ,d 为实数;⑴a 1；(1) 若q 正定，a 的取值范围；(2) 若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围.习题41. 填空题：(1) 毎法主要用于求一般矩阵的 __________________ 特征值，Jacobi 旅转法用于求对称矩阵的 ______ 待征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 ______________ 的一对 _____________ 元素将其消为零； (3) Q?方法用于求 ___________ 矩阵的全部特征值，庾黑法加上原点平移用于一个近似特征值的 _________ 和求出对应的 ______________ ■2. 用嫁法求矩阵•〔6 2 1'-4 14 0、⑴ 2 3 1, (2)-5 13 0,1 1 1、-1 0 2 丿按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位.-11 11 1 '3.已知： A= 11 9 -2< 1—2 13>"-2 1 0 0'21 2、1 -2 10 1 2 1 ;(4)1 -2 1-2 1 2\、01 -2；10 -1 I —1 -1 _i -r -1 -15 -1 -1 10；5.方程组a\\ 如、 / 、 丙=*<U2\ “22丿 1兀丿如证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是:5 -1取t =15,作原点平移的幕法，求按模最大特征值.‘4 1 4、4.A= I 10 1、4 1 10,用反無法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次.5.若A的特征值为人，易，…，九,r是一实数，证明：人―『是〃的特征值，且特征向量不变.6.已知x =(3,2,l)7求平面反射阵H使y = Hx=(0,*,0)‘，即使x的1, 3两个分量化零.5 3 2、7.A= 3 3 1<2 1 6丿试用Jacobi 转法求作一次症转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出〃角和结果./ r 0(3x2)、8.设已知2是人的特征值，相应的特征向量为(4卫2,6)丁，证明几也是丁的特征值，相应的特征向量为(坷,《2，偽,0,0『.9.证明定理4. 5.10.证明(4. 21)中的A,.和£+1相似.习题51.填空題(1)用二分法求方程x3+x-l = 0在［0,1］内的根，迭代一次后，根的存在区间为___________ ,迭代两次后根的存在区间为_____________ ；(2)设/(x)可微，则求方程x = /(%)根的Newton迭代格式为______________________ ;(3)(p(x) = x + C(x2-5),若要使迭代格式x k+} =(p(x k)局部收敛到a = >/5 ,则C取值范围为_____________ ;(4)用迭代格式x k+l=x k-AJ\x k )求解方程f(x) = x3-x2-x-\ = 0的根，要使迭代序列｛忑｝是二阶收敛，则心二;2 1(5)迭代格式兀+|=二忑+斗收敛于根a二_______________ ,此迭代格式是__________ 阶收3 x k敛的.2.证明Newton迭代格式(5. 10)满足3.方程/一9十+ 18尢一6 = 0, xe［0,+oo)的根全正实根，试用逐次扫描法(出1),找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01.4.用二分法求下列方程的根，精度£ = 0・001・仃)x-x+4=0(2) b+10x — 2 = 0 xe[0J]5.用迭代法求X3-2X-5= 0的正根，简略判断以下三种迭代格式:在x() = 2附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根.精度£ = 10_.6.方程= e~x(1)证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；(2)证明x k+i = e~Xt,k = 0,1,---,在(0,1)区间内收敛;(3)用Newton迭代法求出此根,精确到5位有效数字.7.对方程X3-3X-1=0,分别用(1)Newton法(州=2)； (2)割线法(观=2,召=1.9)求其根.精度f = 10~4.8.用迭代法求下列方程的最小正根(1) x5 -4x-2 = 0: (2) 2tanx—x = 0 ；(3) x = 2sinx9.设有方程3x2-e x=0(1)以力=1,找出根的全部存在区间；(2)验证在区间［0,1］上Newton法的区间收敛定理条件不成立；⑶ 验证取x() = 0.21 ,用Newton法不收敛;(4)用Newton下山法，取x()=0.21求出根的近似值，精度£ = 10_・10.分别用Jacobi法,Gauss—Seidel法求解非线性方程组\+2y-3=0<2x2 + y2-5 = 0在(1.5,0. 7)附近的根,精确到IO-4.11.分别用Newton法,简化Newton法求解非线性方程组sin x + cos y = 0<x+y = l在(0,1)附近的根,精确到10*.习题61.填空題(1)设J\x) = x5+x3+x + \ ,则 /[0,1]______________ , /[0,1,2]= _________________ /[0,1,2,3,4,习= ___________ : /[0,1,2,3,4,5,6] = ________________ .(2)设?o(x)，/i(x),…,/”(%)是以节点0,1,2, •••,/?的Lagrange 插值基函数,则£儿(羽= _______________；£旳伙)= _______________ •;-() J-0(3)设/(0) = 0,/⑴=16,/(2) = 46,则/[0,1]= ____________ , /[0,1,2]= ____________ ,/(X)的二次Newton插值多项式为________________________ ・2.3-利用心在“畤能及壬处的值，求S哙的近似值，并估计误差.4.利用数据计算积分［千，当二时的兀的取值.5.试用Newton插值求经过点(一3,-1), (0,2), (3,-2), (6,10)的三次插值多项式.6.求满足Pg) = f(Xo),P(xJ = f(xJ及Pg = f(XQ)的次数不超过2次的插值多项式Pg,并给出其误差表达式.7.设比是互异节点,3 是Lagrange插值基函数(j =0,1,2,,证明(1)£<,(%)三1；(2)$>乂(力三十伙=0,1,2,…丿)；(3)£(◎一x)k/丿(x)三0 仏=0,1,2,•••/).8 •设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton向前，向后插值公式求出它的插值多项式. 9.试构造一个三次Hermite插值多项式使其满足/(0) = 1,广(0) = 0.5, /(1) = 2,广⑴=0.510・已知函数/(X)的数据表分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求x=0. 05, x二0. 42, X二0. 75的近似值.11.对函数f(x) = sinx进行分段线性插值，要求误差不超过0.5x10"，问步长力应如何选取.12.设有数据用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1)570.25) = 1.0000 , 570.53) = 0.6868(2)S"(0.25) = —2 , S"(0.53) = 0.647913.证明定理6.6.习题81 •填空題⑴ “+1个点的插值型数值积分公式f 的代数精度至少是_____ ,最高不超过__________ .(2)梯形公式有______ 次代数精度，Simpson公式有______ 次代数精度.(3)求积公式打⑴川細(0)+ /(/?)]+ 加[八0)_/伽中的参数& =时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为__________ •2.确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度.(1)『/(X)厶a A)/(0) + AJ(//) + A2f(2h)f(f(x)dx q+ 2/(“) + 3/(x2)]⑶£ f(x)dx = A/(-D + AJ (-# + A J(4) jj Mdx a AJ(x{) + A2/(0) + AJ(l)⑸[/⑴厶« f(xj + f(x2)3.分别利用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分(1)「一3 二8)Jo4 + x2(2)^yfxdx (n =10)(3)("=io)(4)(弘—抽讼・5二6)(5)P —Jx (/? =8)J() x4.用Romberg公式计算枳分(1) 丄(精度要求£ = 10一‘)⑵佃 + cos4xdx(精度要求£ = 10-5)5.分别取节点数为2, 3, 4利用Gauss—Legendre求积公式计算积分(1) 「一厶，(2) 「八心，(3) f-dxJ T I+ Q血Ji X6.利用Gauss型求积公式，分别取节点数2, 3, 4计算积分(1) £e~x yfxdx , (2) J e~x <1 + x2 dx7.用节点数为4的Gauss —Laguerre求积公式和Gauss—Hermite求积公式计算积分的近似值，并与准确值/=—作比较・28.分别用两点公式与三点公式求f(x)=一在x=l・0,x二1.2的导数值，并估计误差, (l + x)・其中/(x)的数据由下表给出习题91.填空題(1)解初值问题的Euler法是________ 阶方法，梯形方法是 _____ 阶方法，标准R-K方法是_____ 阶方法.(2)解初值问题#(x) = 20(x—y),y(O) = 1时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R-K方法，步长0V/Y ________ ・采用Euler方法，步长力的取值范围为______ ,若采用Euler 梯形方法，步长力的取值范围为_______ 若采用Adams外推法，步长力的范围为________ ,若采用Adams内插法，步长方的取值范围为__________ .(3) __________________________________________ 求解初值问题Euler方法的局部截断误差为_____________________________________________ Euler梯形方法的局部截断误差为_____________ , Adams外推法的局部截断误差为_______________ Adams内插法的局部截断误差为_____________ .2.对初值问题1 ?/ = ----- -2y~0<x<l1 + JC.y(o)= oX试用Euler法取步长〃二0. 1和“二0.2计算其近似解，并与准确解y =—匚进行比较.1 + JC3.利用Euler预测一校正法和四阶经典R-K方法，取步长h=Q. 1,求解方程y f = x+y 0<x<\y(O) = 1并与准确解y(x) = -x-\ + 2e x进行比较.4.用待定系数法推导二步法公式>\+1 = y> + ~ (5齐+1 + 一Z-i)并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差.5.用Adams预测一校正法求解y = -y20 < X < 1.y(o)= 1并与准确解y(x)=—进行比较.1 + x6.用Euler中点公式计算y f = -y O< x< 2.5y(O) = 1取步长/?=0. 25,与准确解>'=比较，并说明中点公式是不稳定的.7.写出用经典的R-K方法及Adams预测一校正法解初值问题)/ = _8y + 7z< z，=兀2 + yzy(O) = l,z(O) = O的计算公式.8.写出用Euler方法及Euler预测一校正法解二阶常微分方程初值问題),/r + siny = 0y(O) = 1, V(O) = 0的计算公式.9.证明用单步法y1+i = X+呵兀+£, x+,x)解方程= -2ax的初值问题，可以给出准确解.。
数值分析习题
习题11． 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==⨯===⨯5. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。
（假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有r r xf x f x k x k f x εε'≈=()(())(),()其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2x π≈时是病态问题．11. 定义多元函数运算111,,(),n ni i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：111 11212 11-cos23 14 00xy x x xy x xy x x y p p q p q -=-++===>>(),()()()(),()(),(,,)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ;(3) 直接LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ; (4) ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2011A =1A , =2A , =)(A ρ ; (5) 1100>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t A , )(A ρ , 2cond ()A = ; (6) 0>>>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b c c b a A , )(A ρ , 2cond ()A = ; 2．用Gauss 消元法求解下列方程组b Ax =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101,112221111)1(b A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111,4321343223431234)2(b A 3．用列主元消元法解下列方程组b Ax =．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=674,5150710623)1(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6720,5616103423221020)2(b A 4. 用Gauss －Jordan 消元法求：1011012111-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5．用直接LU 分解方法求1题中两个矩阵的LU 分解，并求解此二方程组．6．用平方根法解方程组b Ax =321422131116,A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7． 用追赶法解三对角方程组b Ax =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=00001,2100012100012100012100012b A8．证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．9．由111211----=n L L L L ，(见(2.18)式)，证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-111111,321323121n n n n n l l l ll l l L10．证明向量范数有下列等价性质：∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤xn x xxn x x x n x x 21212)3()2()1(11．求下列矩阵的()12,,,A A A A ρ∞．()()5131312110212326;.A A ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭12．求()2cond A()()10099129998cos sin ;.sin cos A A θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13．证明：(1)若A 是正交矩阵，即T A A I =, 则()2cond 1A =;(2)若A 是对称正定阵， 1λ是A 的最大特征值， n λ是最小特征值，则()12cond nA λλ=. 习题31. 填空题:(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组Ax =b 用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时, 迭代法收敛.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于1; SOR 法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ρ (B ), q 时不收敛, q 接近 时收敛较快, q 接近 时收敛较慢; (5)1112,A ⎛⎫= ⎪⎝⎭J B = ;S B = ; ()J B ρ= ; ()S B ρ= ．2．用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法求解方程组(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛453210*********x x x ； (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7161411151118321x x x 各分量第三位稳定即可停止．3．用SOR 法解方程组，取0.9ω=，与取1ω= (即Gauss-Seidel 法)作比较．1233215573132573x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211231125； (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321；(3)212121212⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210012*********2； (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------101111511111011115 ； (6)112211221122111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5．方程组0,0,2211212122211211≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a b b x x a a a a证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：122112112<=a a a a r ． 6．设为实数；a a a a a a a A ,111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=(1)若A 正定，a 的取值范围；(2)若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围．习题41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩阵的 特征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 的一对 元素将其消为零;(3) QR 方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似特征值的 和求出对应的 ． 2．用幂法求矩阵．⑴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111132126， ⑵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---20101350144按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位．3．已知： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1321291111111A取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值．4． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10141101414A用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次．5．若A 的特征值为t n ,,,,21λλλ 是一实数，证明：t i -λ是tI A -的特征值，且特征向量不变．6．已知()321,,Tx =求平面反射阵H 使()00,*,Ty Hx ==，即使x 的1，3两个分量化零．7． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=612133231A试用Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果．8．设 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯⨯⨯222322333100T T T 已知λ是1T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 321,,，证明λ也是T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 0,0,,,321．9． 证明定理4.5．10． 证明(4．21)中的s A 和1+s A 相似．习题51．填空题(1) 用二分法求方程310x x +-=在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间为 ，迭代两次后根的存在区间为 ；(2) 设()f x 可微，则求方程()x f x =根的Newton 迭代格式为 ；(3) 2()(5)x x C x ϕ=+-，若要使迭代格式1()k k x x ϕ+=局部收敛到α=C 取值范围为 ；(4) 用迭代格式1()k k k k x x f x λ+=-求解方程32()10f x x x x =---=的根，要使迭代序列{}k x 是二阶收敛，则k λ= ；(5) 迭代格式12213k k kx x x +=+收敛于根α= ，此迭代格式是 阶收敛的．2．证明Newton 迭代格式(5.10)满足12()lim2()k k kf f εαεα+→∞''=-'3. 方程3291860, [0,)x x x x -+-=∈+∞的根全正实根，试用逐次扫描法(h =1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01．4．用二分法求下列方程的根，精度0.001ε=．(1) 340 [2,1]x x x -+=∈-- (2) 1020 [0,1]x e x x +-=∈5．用迭代法求3250x x --=的正根，简略判断以下三种迭代格式：(1) 3152k k x x +-=； (2) 1252k k x x +=- ； (3)1k x +=在02x =附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度410ε-=．6. 方程x e x-=(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明 ,,,101==-+k ex kx k ，在(0,1)区间内收敛；(3) 用Newton 迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程3310x x --=，分别用(1) Newton 法0(2)x =；(2) 割线法01(2, 1.9)x x ==求其根．精度410ε-=．8．用迭代法求下列方程的最小正根(1) 5420x x --=； (2) 2tan 0x x -=； (3) 2sin x x = 9．设有方程 230xx e -=(1) 以1h =，找出根的全部存在区间；(2) 验证在区间[0,1]上Newton 法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取00.21x =, 用Newton 法不收敛；(4) 用Newton 下山法，取00.21x =求出根的近似值，精度410ε-=．10．分别用Jacobi 法，Gauss —Seidel 法求解非线性方程组22230250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩在(1.5,0.7)附近的根,精确到410-．11．分别用Newton 法，简化Newton 法求解非线性方程组s i nc o s 01x y x y +=⎧⎨+=⎩在(0,1)附近的根,精确到410-．习题61．填空题(1) 设53()1f x x x x =+++，则[0,1]f ，[0,1,2]f = ，[0,1,2,3,4,5]f = ；[0,1,2,3,4,5,6]f = ．(2) 设01(),(),,()n l x l x l x 是以节点0,1,2,…,n 的Lagrange 插值基函数，则()njj jl x ==∑ ；0()njj jl k ==∑ ．(3) 设(0)0,(1)16,(2)46,[0,1]f f f f ====则 ，[0,1,2]f = ，()f x 的二次Newton 插值多项式为 ．2．已知函数2)(x ex f -=的数据如下试用二次，三次插值计算=0.35，=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用x sin 在3,4,6,0πππ=x 及2π处的值，求5sin π的近似值，并估计误差．4计算积分⎰=xdt ttx f 0sin )(, 当)(x f =0.45时的x 的取值． 5．试用Newton 插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式．6．求满足)()(),()(1100x f x P x f x P ==及)()(00x f x P '='的次数不超过2次的插值多项式)(x P ，并给出其误差表达式．7．设i x 是互异节点，)(x l j 是Lagrange 插值基函数(n j ,,2,1,0 =)，证明(1)1)(0≡∑=nj jx l；(2)k nj jk j x x l x≡∑=0)( (n k ,,2,1,0 =)；(3)0)()(0≡-∑=nj j k jx l x x(n k ,,2,1,0 =)．8．设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton 向前，向后插值公式求出它的插值多项式． 9．试构造一个三次Hermite 插值多项式使其满足5.0)1( ,2)1( ,5.0)0( ,1)0(='=='=f f f f10．已知函数)(x f 的数据表分别用x =0.75的近似值． 11．对函数()sin f x x =进行分段线性插值，要求误差不超过5105.0-⨯，问步长h 应如何选取．12用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1) 0000.1)25.0(='S ，6868.0)53.0(='S (2) 2)25.0(-=''S ， 6479.0)53.0(=''S 13. 证明定理6.6.习题81．填空题(1) 1n +个点的插值型数值积分公式()()nbj j aj f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度至少是 ，最高不超过 ．(2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson 公式有 次代数精度． (3) 求积公式20()[(0)()][(0)()]2hhf x d xf f h h f f h α''≈++-⎰中的参数α＝时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 ．2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1) )2()()0()(21020h f A h f A f A dx x f h++≈⎰ (2))](3)(2)1([)(2111x f x f f A dx x f ++-≈⎰-(3)1123111()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (4) )1()0()()(321111f A f A x f A dx x f ++≈⎰- (5))()()(212x f x f dx x f +≈⎰3．分别利用复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式计算下列积分 (1) ⎰+1024dx x x(n =8)(2) ⎰10dx x (n =10)(3) ⎰-12dx ex (n =10)(4) (n =6)(5)⎰20sin πdx xx(n =8) 4．用Romberg 公式计算积分(1) ⎰-1022dx e x π (精度要求510-=ε) (2) ⎰+404cos 1dx x (精度要求510ε-=)5．分别取节点数为2，3，4利用Gauss －Legendre 求积公式计算积分 (1) ⎰-+44211dx x ， (2) ⎰-10dx e x ， (3) 311dx x ⎰ 6．利用Gauss 型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分 (1) ⎰+∞-0dx x e x ， (2) ⎰+∞∞--+dx x e x212 7．用节点数为4的Gauss －Laguerre 求积公式和Gauss －Hermite 求积公式计算积分 ⎰+∞-=02dx e I x 的近似值，并与准确值2π=I 作比较．8．分别用两点公式与三点公式求2)1(1)(x x f +=在x =1.0，x =1.2的导数值，并估计误差，其中)(x f 的数据由下表给出9．已知)(x f x e -=的数据如下取=0.1，=0.2，分别用二点、三点公式计算=2.7处的一阶和二阶导数值．习题91．填空题(1) 解初值问题的Euler 法是 阶方法，梯形方法是 阶方法，标准R －K 方法是 阶方法．(2) 解初值问题()20(),(0)1y x x y y '=-=时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R －K 方法，步长0h << ．采用Euler 方法，步长h 的取值范围为 ，若采用Euler 梯形方法，步长h 的取值范围为 若采用Adams 外推法，步长h 的范围为 ，若采用Adams 内插法，步长h 的取值范围为 ．(3) 求解初值问题Euler 方法的局部截断误差为 Euler 梯形方法的局部截断误差为 ， Adams 外推法的局部截断误差为 Adams 内插法的局部截断误差为 .2．对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-+='0)0(1021122y x y x y试用Euler 法取步长h =0.1和h =0.2计算其近似解，并与准确解21x y x=+进行比较． 3．利用Euler 预测－校正法和四阶经典R －K 方法，取步长h =0.1，求解方程⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+='1)0(10y x y x y 并与准确解x e x x y 21)(+--=进行比较．4．用待定系数法推导二步法公式)85(12111-++-++=i i i i i f f f h y y 并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差．5．用Adams 预测－校正法求解⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-='1)0(102y x y y 并与准确解1()1y x x=+进行比较． 6．用Euler 中点公式计算0 2.5(0)1y yx y '⎧=-≤≤⎨=⎩取步长h =0.25，与准确解x e y -=比较，并说明中点公式是不稳定的．7．写出用经典的R －K 方法及Adams 预测－校正法解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+='+-='0)0(,1)0(782z y yz x z z y y的计算公式．8．写出用Euler 方法及Euler 预测－校正法解二阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧='==+''0)0(,1)0(0sin y y y y的计算公式．9．证明用单步法1,(,)22i i i i i i h h y y hf x y f x y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭解方程ax y 2-='的初值问题，可以给出准确解．。
6161.Euler方法常微分方程初值问题2.梯形公式
使其截断误差不超过 0.5×10-3,应算多少次函数值？
提示：
sin x 1
f ( x) x 0 cos(xt)dt
练习: 给定积分 3 e x sin xdx 1
当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和Simpson公
式计算时, 需要计算多少次函数值？
11/16
一阶向后差商
f (a) f (a) f (a h) O(h) h
一阶中心差商
f (a) f (a h) f (a h) O(h2 ) 2h
二阶中心差商
f (a)
f (a h) 2 f (a) h2
f (a h) O(h2 )
5/16
8/16
Ex1.推导左矩形求积公式
b f ( x)dx (b a) f (a) f () (b a)2
a
2
令 F (u)
u
f ( x)dx
a
F(a) 0, F(a) f (a),F() f ()
F(u)= F(a) + (u-a)F’(a) +0.5(u-a)2F ”()
j1
f ( x2 j )]
S2m
12/16
Ex6. 定积分
b
f (x)dx
的计算问题可化为初值问题
a
y’= f (t) , y(a)=0 N 1
试证明用Euler公式计算结果为 y(b) f (tn )h
其中, h = (b – a )/N,
tn= a + n h
n0
( n = 0,1,2,···, N)
b f ( x)dx (b a) f (a) f () (b a)2
常微分方程初值问题
二、 初值问题数值解的基本概念
1 构造数值解法的基本思想 假设初值问题(1)的解y = y(x)唯一存在且足够光滑, 对求解区域[a,b]做剖分
{ x k } k n 0 , a x 0 x 1 x 2 x n b , h k x k x k 1
(k1,2, ,n)称为步长。
显式单步法: yk 1ykh (xk,yk,h)
(5)
隐式单步法: y k 1 y k h (x k,y k,y k 1 ,h )
(6)
11
注: 该式右端项含有 y k 1 , 因此若求 y k 1 , 需要解方程。
显式多步法: y k 1 y k h ( x k ,y k ,y k 1 ,,y k l 1N 1
注： 此算法是单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过 程简单。稳定性高于显式欧拉法。
24
例 分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方 法解初值问题
dy y x 1, 0x1
dx
y(0) 1
解析解：y = e-x + x
f(x,y)yx1
解：取 h =0.1，
Euler方法为: y k 1 y k hk f ( x k , y k )
yk hk ( yk xk 1)
(1 hk ) y k hk x k hk
9
k1
10 yk 100 10
hk 0.1, xk khk 0.1k.
25
梯形方法为：
yk1yk
y0 , k0,1,2 ,n1
称为Euler中点公式或称双步Euler公式.
因此，求初值问题数值解的基本方法是步进法.即逐个节点计 算, 由 yi ( ik ) 计算yk+1
初值问题与解方法
初值问题与解方法初值问题是数学中的一个重要概念，它涉及到微分方程的解的初始条件。
解决初值问题的方法有多种，本文将介绍几种常用的解法，并讨论它们的适用性和优缺点。
一、欧拉法（Euler's method）欧拉法是一种较为简单的数值解法，通过逐步逼近微分方程的解。
它的基本思想是将时间和空间分割成小的步长，并用线性逼近的方式求解微分方程。
欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + h * f(t_n, y_n)其中，y_{n+1} 是下一个时间步长上的解，y_n 是当前时间步长上的解，h 是步长（时间或空间），f(t_n, y_n) 是微分方程的右端函数。
欧拉法的优点是简单易懂、计算量小。
然而，它的精度较低，对于具有较大步长或非线性的微分方程，可能会产生较大的误差。
二、改进的欧拉法（Improved Euler's method）改进的欧拉法是对欧拉法的一种改进方法，通过增加一个中间点的计算来提高精度。
改进的欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + (h/2) * (f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_n + h * f(t_n, y_n)))改进的欧拉法通过使用两个不同的斜率来进行计算，提高了解的逼近精度。
相比于欧拉法，改进的欧拉法的精度更高，误差较小。
三、龙格-库塔方法（Runge-Kutta methods）龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括一阶、二阶、四阶等不同精度的方法。
其中，最常用的是四阶龙格-库塔方法。
四阶龙格-库塔方法的计算公式为：k_1 = h * f(t_n, y_n)k_2 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_1/2)k_3 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_2/2)k_4 = h * f(t_n + h, y_n + k_3)y_{n+1} = y_n + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)/6四阶龙格-库塔方法通过使用多个斜率进行逼近，进而提高了解的精度。
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2.0029 2.0138 -0.0109
2.2102 2.2255 -0.0153
2.4386 2.4596 -0.0210
2.6902 2.7183 -0.0281
2.9674 3.0042 -0.0368
3.2727 3.3201 -0.0474
3.6089 3.6693 -0.0604
5.7201 6.0496 -0.3295
6.9113 7.3891 -0.4777
H=0.05
1.0000 1.0000 0
1.1050 1.1052 -0.0002
1.2208 1.2214 -0.0007
1.3483 1.3499 -0.0015
1.4890 1.4918 -0.0029
1.6439 1.6487 -0.0048
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年月日
实验项目
名称
初值问题的Euler方法和梯形法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解初值问题的欧拉法和梯形法，并能通过计算机语言编程实现这两种算法。1Biblioteka 2000 1.2214 -0.0214
1.4400 1.4918 -0.0518
1.7280 1.8221 -0.0941
2.0736 2.2255 -0.1519
2.4883 2.7183 -0.2300
2.9860 3.3201 -0.3341
3.5832 4.0552 -0.4720
4.2998 4.9530 -0.6532
y(i+1)=y(i)+h*(feval(fun,x(i),y(i))+feval(fun,x(i+1),y(i+1)))/2;
end
x=x';
y=y';
x1=0:0.2:1
y1=exp(2*x1)
plot(x,y,x1,y1)
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
五．实验结果及实例分析
1.2200 1.2214 -0.0014
1.4860 1.4918 -0.0058
1.8074 1.8221 -0.0147
2.1955 2.2255 -0.0300
2.6639 2.7183 -0.0544
3.2289 3.3201 -0.0912
3.9101 4.0552 -0.1451
4.7311 4.9530 -0.2220
1.7716 1.8221 -0.0506
1.9487 2.0138 -0.0650
2.1436 2.2255 -0.0820
2.3579 2.4596 -0.1017
2.5937 2.7183 -0.1245
2.8531 3.0042 -0.1510
3.1384 3.3201 -0.1817
3.4523 3.6693 -0.2170
二．实验内容
考虑如下的初值问题：
该问题有解析解 。
1.用欧拉法求解该问题，取步长 ，将3种步长的计算结果（ 时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。
2.用梯形法求解该问题，取步长 ，将3种步长的计算结果（ 时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。
3.在同一种方法下，请说明哪种网格大小的计算结果更加精确，并说明理由。在相同的网格大小下，比较上述两种算法的计算结果，那种算法的结果要好一些，并说明理由。
其中绿线代表欧拉法，红线为梯度法，蓝线为解析解：
H=0.2
H=0.1
H=0.05
由图形结果易知梯形法的精度比欧拉法更高，更接近解析解。
教师签名
年 月 日
欧拉法输出分析：
H=0.2
计算值 解析值 误差
1.0000 1.0000 0
1.4000 1.4918 -0.0918
1.9600 2.2255 -0.2655
2.7440 3.3201 -0.5761
3.8416 4.9530 -1.1114
5.3782 7.3891 -2.0108
H=0.1
1.0000 1.0000 0
for i=1:n
x(i+1)=x(i)+h;
y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));
end
x=x';
y=y';
x1=0:0.2:1
y1=exp(2*x1)
plot(x,y,x1,y1)
function f=doty(x,y);
f=2*y
[x,y]=euler('doty',0,1,1,10)
三．实验原理、方法（算法）、步骤
欧拉法的迭代格式及误差估计：un+1=un+hf(tn,un).∣un-u( tn)∣=O(h)
欧拉法：
function [x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n)
if nargin<5,n=50;
end
h=(xfinal-x0)/n;
x(1)=x0;y(1)=y0;
计算值 解析值 误差
H=0.2
1.0000 1.0000 0
1.4800 1.4918 -0.0118
2.1680 2.2255 -0.0575
3.1504 3.3201 -0.1697
4.5488 4.9530 -0.4042
6.5342 7.3891 -0.8548
H=0.1
1.0000 1.0000 0
梯形法：
function [x,y]=tixing(fun,x0,xfinal,y0,n)
if nargin<5,n=50;
end
h=(xfinal-x0)/n;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for i=1:n
x(i+1)=x(i)+h;
y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i))
3.9793 4.0552 -0.0759
4.3871 4.4817 -0.0946
4.8362 4.9530 -0.1168
5.3307 5.4739 -0.1432
5.8752 6.0496 -0.1744
6.4748 6.6859 -0.2111
7.1349 7.3891 -0.2541
图像结果：
5.1598 6.0496 -0.8899
6.1917 7.3891 -1.1973
H=0.05
1.0000 1.0000 0
1.1000 1.1052 -0.0052
1.2100 1.2214 -0.0114
1.3310 1.3499 -0.0189
1.4641 1.4918 -0.0277
1.6105 1.6487 -0.0382
学学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解开课实验室数统学院学学院数统年级2013专业班信计02学学生姓名学号开开课时间2015至2016学年第2学期总总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院实验室
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013专业班信计02
学生姓名学号
3.7975 4.0552 -0.2577
4.1772 4.4817 -0.3044
4.5950 4.9530 -0.3581
5.0545 5.4739 -0.4195
5.5599 6.0496 -0.4897
6.1159 6.6859 -0.5700
6.7275 7.3891 -0.6616
梯形法输出分析：