偏微分方程数值解
偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用
偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用偏微分方程是描述自然界许多现象的重要数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。
现代科技的发展，需要对偏微分方程进行数值求解，以获得实用的有效解答。
本文将介绍一些常用的偏微分方程数值解法，并探讨这些方法在机械工程中的应用。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是描述函数的变化率与它的各个自变量之间关系的方程。
常见的偏微分方程包括波动方程、扩散方程和泊松方程等。
例如，波动方程可以写作：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波动的位移，t是时间，c是波速，∇²u是拉普拉斯算子，表示u各方向二阶偏导数的和。
二、偏微分方程数值求解方法由于偏微分方程通常难以解析求解，因此需要采用数值求解方法。
下面分别介绍有限差分法、有限元法和谱方法三种常用的数值解法。
1. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）将偏微分方程中的微分算子用差分算子代替，将求解区域离散化为网格点，并在这些点上逐一求解。
基本思想是用中心差分公式近似求得函数在某点处的导数，然后用差分公式得到下一时刻的函数值。
有限差分法简单易行，计算效率高，但需要使用较大的网格才能保证精度。
2. 有限元法有限差分法只能适用于规则网格，而有限元法（Finite Element Method，简称FEM）即使在不规则网格上求解也很有优势。
有限元法将求解区域分成若干个小区域，每个小区域内的函数值近似为一些基函数在该区域内的系数之和。
给定问题的初始边界条件和偏微分方程，可以得到解方程所需的线性方程组，进而求出各个区域内的系数。
有限元法需要选择一组适当的基函数及其系数，计算量较大，但对不规则边界问题的求解有较好的适用性。
3. 谱方法谱方法（Spectral Method）是一种基于傅里叶变换思想的数值解法，将函数在某个特定的函数空间内展开为傅里叶级数，即用一些特定的基函数展开求和。
偏微分方程的数值解法
第十六章 偏微分方程的数值解法科学研究和工程技术中的许多问题可建立偏微分方程的数学模型。
包含多个自变量的微分方程称为偏微分方程(partial differential equation)，简称PDE 。
偏微分方程问题，其求解是十分困难的。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
16.1 几类偏微分方程的定解问题一个偏微分方程的表示通常如下：(,,,,)x x x y y y x y A B C f x y Φ+Φ+Φ=ΦΦΦ (16.1.1) 式中，,,A B C 是常数，称为拟线性(quasilinear)数。
通常，存在3种拟线性方程： 双曲型(hyperbolic)方程：240B AC ->； 抛物线型(parabolic)方程：240B AC -=； 椭圆型(ellliptic)方程：240B AC -<。
16.1.2 双曲型方程最简单形式为一阶双曲型方程：0u ua t x∂∂+=∂∂ (16.1.2) 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程：22222u u a t x∂∂=∂∂ (16.1.3) 描述，它是双曲型方程的典型形式。
方程的初值问题为：2222200,(,0)()()t u uat x tx u x x u x x t ϕψ=⎧∂∂=>-∞<<+∞⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪∂⎪=-∞<<+∞⎪∂⎩ (16.1.4)边界条件一般有三类，最简单的初边值问题为：2222212000,0(,0)(0,)(),(,)()0()t u ua t T x l t x u x lu t g t u l t g t t T ux x t ϕψ=⎧∂∂==<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤⎪⎨==≤≤⎪⎪∂=-∞<<+∞⎪∂⎪⎩ (16.1.5)16.1.3 抛物型方程其最简单的形式为一维热传导方程：220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ (16.1.8) 方程可以有两种不同类型的定解问题：(1) 初值问题：2200,(,0)()u ua t x t xu x x x ϕ⎧∂∂-=>-∞<<+∞⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩(16.1.6)(2) 初边值问题：221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩(16.1.7) 其中()x ϕ，1()g t ，2()g t 为已知函数，且满足连接条件：12(0)(0),()(0)g l g ϕϕ== (16.1.8)边界条件12(0,)(),(,)()u t g t u l t g t ==为第一类边界条件。
偏微分方程数值解
通过数值计算，偏微分方程近似在计算机上求解。
科学和工程学中的大多数实际问题都归因于偏微分方程的定解。
因为很难获得这些定解的解析解（即使在经典意义上也没有解），所以人们转向求解其数值近似解。
通过数值计算，偏微分方程近似在计算机上求解。
科学和工程学中的大多数实际问题都归因于偏微分方程的定解。
因为很难获得这些定解的解析解（即使在经典意义上也没有解），所以人们转向求解其数值近似解。
通常，首先将问题的求解区域划分为网格，然后根据有限元法，有限差分法和有限体积法等数值方法离散化原始求解问题或其等效形式，然后将其简化为线性代数系统方程，最后在计算机上获得离散网格点上精确解的近似值。
解决涉及一系列问题，例如数值方法及其理论分析（稳定性，收敛性，误差估计）以及计算机实现。
一方面，求解的效率取决于计算机的运行速度，另一方面也取决于数值方法或算法，这一点更为重要。
自从1946年第一台电子计算机问世（每秒运行500次）以来，自当前的千万亿次超级计算机以来，计算速度得到了飞速发展。
但是，对于N阶线性代数方程组，如果使用Cramer规则求解（计算量为（n-1）（n + 1）！），则当n = 50时，至少需要几秒钟来计算用每秒1万亿次的计算机，超过了宇宙的年龄（秒）；如果通过消除高斯来解决，则可以在不到1秒的时间内完成。
因此，研究高性能的数值理论方法和算法（例如并行算法）是非常重要的，这是发展趋势。
而且，如何更快，更准确地解决问题并适应更复杂，更大规模的问题，始终是一个值得研究的课题。
数值近似解的研究历史悠久，但直到20世纪后期电子计算机出现后才得到广泛的发展和应用（例如，有限元理论始于1960年代）。
目前，数值解的规模越来越大。
例如，在诸如航天器设计，湍流模拟，气候预测，油田开发等各种实际问题中，经常遇到大规模问题（网格数至少为一百万以上）。
偏微分方程的数值解已经渗透到现代科学和工程的各个领域，例如物理，化学和生物学，并在科学技术和国民经济的发展中发挥了重要作用。
偏微分方程 数值解
偏微分方程数值解
偏微分方程是描述自然现象和工程问题中的物理量随空间和时
间变化的数学模型。
由于这些方程的解析解很难求解，数值解法成为求解偏微分方程的重要手段之一。
偏微分方程数值解的基本思路是将偏微分方程转化为差分方程，然后通过数值计算得到一组离散解。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法、谱方法等。
有限差分法是偏微分方程数值解的最基本方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差分近似替代，然后通过数值迭代得到离散解。
有限元法则是将连续的区域离散化成若干个小的单元，然后在每个单元内应用一些基函数，通过求解一个线性方程组得到离散解。
谱方法则是利用函数的三角函数展开式，通过对展开系数的求解得到离散解。
对于不同的偏微分方程，选择不同的数值方法可以得到不同的精度和计算效率。
因此，对于偏微分方程数值解的研究是数值计算领域中的一个重要研究方向。
- 1 -。
偏微分方程数值求解方法
偏微分方程数值求解方法偏微分方程数值求解方法是使用计算机算法来近似求解偏微分方程的过程。
偏微分方程是描述物理现象和自然现象的主要工具，但大多数偏微分方程不能通过解析方式求解，因此需要使用数值方法进行近似求解。
常用的偏微分方程数值求解方法包括有限差分法、有限元法、谱方法、边界元法和逆时空方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种最简单的数值求解方法，它将偏微分方程中的导数离散化为差分的形式，然后通过有限差分公式求解。
在有限差分法中，将求解区域离散化为网格，然后在每个节点上求解方程，通过节点之间的连通关系建立系数矩阵，最终利用线性代数方法求解线性方程组。
2. 有限元法有限元法是一种广泛运用的数值求解方法，它将求解区域离散化为有限个子域，然后在每个子域内近似求解方程。
有限元法是一种基于变分原理的方法，通过将偏微分方程转化为变分问题，然后在有限维的函数空间中建立逼近函数，最终利用变分方法求解方程。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶变换的数值求解方法，它将求解域上的函数表示为傅里叶级数的形式，然后通过求解系数来近似求解方程。
谱方法具有高精度、高效率的优点，但对于非周期边界和奇异性问题可能不适用。
4. 边界元法边界元法是一种基于积分方程的数值求解方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，然后在求解区域表面上求解方程。
边界元法不需要离散化求解区域，仅需在求解区域表面上采集节点，并通过节点之间的关系建立系数矩阵。
5. 逆时空方法逆时空方法是一种利用观测数据反演偏微分方程的数值求解方法，它通过最优化算法将观测数据反演为偏微分方程的参数。
逆时空方法对模型假设和观测数据的噪声较为敏感，但可以应用于各种偏微分方程的求解。
偏微分方程数值解法
偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，其在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
然而，对于大多数偏微分方程而言，很难通过解析方法得到精确解，因此需要借助数值解法来求解。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常见且直观的偏微分方程数值解法。
其基本思想是将偏微分方程中的导数通过差分近似来表示，然后通过离散化的方式转化为代数方程组进行求解。
对于一维偏微分方程，可以通过将空间坐标离散化成一系列有限的格点，并使用中心差分格式来近似原方程中的导数项。
然后，将时间坐标离散化，利用差分格式逐步计算每个时间步的解。
最后，通过迭代计算所有时间步，可以得到整个时间域上的解。
对于二维或高维的偏微分方程，可以将空间坐标进行多重离散化，利用多维的中心差分格式进行近似，然后通过迭代计算得到整个空间域上的解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种重要的偏微分方程数值解法。
其基本思想是将求解区域分割成有限数量的子区域（单元），然后通过求解子区域上的局部问题来逼近整个求解区域上的解。
在有限元法中，首先选择适当的形状函数，在每个单元上构建近似函数空间。
然后，通过构建变分问题，将原偏微分方程转化为一系列代数方程。
最后，通过求解这些代数方程，可以得到整个求解区域上的解。
有限元法适用于各种复杂的边界条件和几何构型，因此在实际工程问题中被广泛应用。
三、谱方法（Spectral Methods）谱方法是一种基于特定基函数（如切比雪夫多项式、勒让德多项式等）展开解的偏微分方程数值解法。
与有限差分法和有限元法不同，谱方法在整个求解区域上都具有高精度和快速收敛的特性。
在谱方法中，通过选择适当的基函数，并利用其正交性质，可以将解在整个求解区域上展开为基函数系数的线性组合。
偏微分方程的数值解法与逼近方法
偏微分方程的数值解法与逼近方法一、引言偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中重要的研究对象，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
由于PDEs的解析解往往难以得到，因此数值解法和逼近方法成为解决PDEs问题的重要手段。
二、数值解法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为离散的差分形式，利用差分近似代替微分运算，从而得到数值解。
其中，向前、向后和中心差分是常用的差分近似方法。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种将求解区域划分为有限个小单元，在每个小单元上建立局部近似函数，并通过将这些局部函数组合得到整个解的近似。
该方法适用于复杂几何形状和非均匀网格的情况。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法将求解区域划分为小单元，但与有限元法不同的是，它考虑了守恒量在每个小单元中的变化情况。
通过建立控制体积并利用守恒定律，将偏微分方程转化为积分形式进行计算。
三、逼近方法1. 特征线方法（Method of Characteristics）特征线方法利用特征线的性质对偏微分方程进行求解。
通过对特征线方程进行积分，可以将PDEs转化为常微分方程（ODEs），从而得到数值解。
2. 辛方法（Symplectic Method）辛方法是一种在保持系统辛结构的同时进行数值求解的方法。
它适用于哈密顿系统和保守系统的求解，具有优秀的长期数值稳定性和能量守恒性。
3. 射影方法（Projection Method）射影方法是通过将PDEs投影到更低维度的空间中进行近似求解的方法。
通过将偏微分方程分解为几个步骤，如速度-压力分裂和时间分裂，可以以更高效的方式求解复杂的PDEs。
四、数值算例为了验证偏微分方程的数值解法和逼近方法的有效性，我们选取了经典的热传导方程（Heat Equation）作为例子进行数值算例演示。
偏微分方程数值解
02
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法、 谱方法等。
03
数值解法的精度和稳定性是衡量其好坏的重要 指标。
非线性偏微分方程的有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过在离散点上逼近偏导数，得到离散化的 数值解。
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区域。
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较低。
波动问题
谱方法在求解波动问题中也有广泛应用，如 Helmholtz方程、Wave equation等。
固体力学问题
谱方法在求解固体力学问题中也有应用，如 Elasticity equations等。
05
非线性偏微分方程的数值解 法
非线性偏微分方程的解析解法难度
01
非线性偏微分方程的解析解法通常非常复杂，需要深
02
有限差分法的基本思想是将连 续的偏微分方程转化为离散的 差分方程，通过求解差分方程 得到偏微分方程的近似解。
03
有限差分法的精度取决于离散 点之间的间距，间距越小，精 度越高。
一阶偏微分方程的有限差分法
一阶偏微分方程的有限差分法有 多种形式，如向前差分法、向后 差分法和中心差分法等。
中心差分法是向前差分法和向后 差分法的平均值，具有二阶精度 。
通过将微分转化为差分，将原方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到近似解。
有限元法
将连续问题离散化，将微分方程转化为线性方程组，通过求解线性方程组得到近似解。
谱方法
利用函数的谱展开来求解偏微分方程，具有高精度和低数值弥散性的优点。
02
有限差分法
有限差分法的原理
01
有限差分法是一种将偏微分方 程转化为差分方程的方法，通 过在离散点上逼近偏微分方程 的解，得到数值解。
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8.Solve菜单 Solve PDE 对当前的几何结构实体 CSC、三角形网格和图形解偏微分方 程。
Parameters…打开PDE对话框，输入解 PDE的参数。 Expeort Solution… 输出PDE方程的解 矢量u。如果可行，将计算特征值1输 出到主工作区间。
Parameters…打开对话框，可以输入解
在MATLAB的命令窗口中输入pdetool命令， 然后单击回车键，就将显示PDE图形界面，如图：
PDE Toolbox 菜单
1.File 菜单 New 更新或建立一个新的几何结果实体模型 Constructive Soild Geometry(CSG), 并取名为 Untitled。 Open … 从硬盘装载M文件。 Save 将在GUI内完成的成果储存到一个M文件 中。
PDE Specifficatiom…打开一个对话框，输入偏微分方程
类型和应用参数。参数的维数决定于偏微分方程的维数。
如果选择专业应用模式，那么特殊偏微分方程和参数将 代替标准偏微分方程系数。每一个参数c、a、f和d皆可 作为有效的MATLAB表达式，以作为计算三角形单元质 量中心的参数值。下面的变量是很有用的。
二阶线性偏微分方程的分类
自变量多于一个微分方程称为偏微分方程。 一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状：
若二阶偏导数项的系数 满足： 则称方程在点
则称方程在点
则称方程在点
在区域G中某点
为双曲型的； 为抛物型的； 为椭圆型的。
二阶偏微分方程的解法的方法主要有两大类，其中 每一类又包含若干种方法。
第一类是解析法 分为分离变量法、保角变换法、镜像法和格林函 数法等。
前处理
网格剖分
取定沿x轴和y轴方向的步长 和 ，
。作
两族与坐标轴平行的直线：
， y ih2 ， j 0,1, 10
两族直线的交点 ih1, jh2 称为网点或节点，记为 i, j
有限差分的网格分割
方程离散
在直角坐标系中，矩形槽中的电位函数满 足拉普拉斯方程，即
根据Taylor展开式 ,有
v1(1,:)=zeros(1,hx); %左右两列的Dirichlet边界条件
for i=1:hy
v1(i,1)=0;
v1(i,hx)=0;
End v2=v1;maxt=1;t=0; %初始化 k=0
while(maxt>1e-6) %由v1迭代，算出v2，迭代精度为
k=k+1
%计算迭代次数
0.000001
式中： ——加速收敛因子
迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式： 正方形场域、正方形网格
矩形场域、正方形网格
迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精 细有关； 迭代收敛的速度与工程精度要求有关。
end
end
v1=v2
end
subplot(1,2,1),mesh(v2) %画三维曲面 axis([0,10,0,10,0,100]) subplot(1,2,2),contour(v2,15) %画等电位线 hold on x=1:1:hx;y=1:1:hy [xx,yy]=meshgrid(x,y); [Gx,Gy]=gradient(v2,0.6,0.6); axis([-1.5,hx+2.5,-2,13]) plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy,hy,1,1],'k') text(hx/2,0.3,'OV','fontsize',11); text(hx/2-0.5,hy+0.5',11); text(-0.5,hy/2,'OV','fontsize',11); text(hx+0.3,hy/2,'OV','fontsize',11); hold off
方程参数。每组参数的选择取决于 PDE的类型。
建立几何模型 设定边界条件 进行三角剖分
用PDE工具箱进行问题求解
x, y yb 100
x, y x0 0
x, y xa 0
x, y y0 0
应用PDE工具箱求解结 果如下图2：
2 xi1, y j 2 xi , y j xi1, y j
x 2
h12
2 xi , y j1 2 xi , y j xi , y j1
y 2
h22
2 2 xi1, y j
①x和y：x和y坐标； ②u：解； ③ux，uy：解的关于x和y的导数； ④t：时间。
7.Mesh 菜单 Mesh Mode 输入网格模式。 Initialize Mesh 建立和显示初始化三角形网格。 Refine Mesh 加密当前三角形网格。 Jiggle Mesh 优化网格。 Undo Mesh Change 退回上一次网格操作。 Display Triangle Quality 用0～1之间数字化颜色显 示三角形网格的质量，大于0.6的网格是可接受的。 Show Mode Labels 显示网格节点标识开关，三角形 网格标识数据是三角形矩阵t的列。 Export Mesh… 输出节点矩阵p，边界矩阵e和三角 形矩阵t到主工作区间。 Parameters… 打开对话框，修改网格生成参数。
Clear 删除已选的实体。 Select All 选择当前几何结构实体造 型CSG中的所有的实体及其边界和子
域。
3.Optionst 菜单 Grid 绘图时栅格的开启和关闭。 Grid Spacing… 调整栅格大小。 Snap 捕捉栅格开启和关闭。 Axis Limits… 改变绘图轴的比例。 Axis Equal 绘图轴打开和关闭。 Turn off Toolbar 关闭工具栏按钮的帮助文档。 Help 帮助 Zoom 图形缩放的开启和关闭。 Application 应用模式选择。 Refresh 重新显示PDE工具箱中所有的图形实体。
借助计算机进行计算时，其程序框图如下：
N
迭代解程序框图
启动 赋边界节点已知电位值 赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一
次迭代，求
(N i, j
1)
Y
所有内点 相邻二次迭代值的最大误差
是否小于W
打印 N，(i, j) 停机
算法的实现
算法： hx=10;hy=10; %设置网格节点数 v1=ones(hy,hx); %设置行列二维数组 %上下两行的Dirichlet边界条件 v1(hy,:)=ones(1,hx)*100;
如果待求N个点的电位，就需解含有N 个方程的线性方程组。若点的数目较 多，用迭代法较为方便。 1.高斯—赛德尔迭代法
高斯——赛德尔迭代法
式中
节点迭代顺序一般按自然顺序排列，即先从左到右，在 从下到上。
迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分
格式，直到所有节点电位满足
为止。
2、逐次超松弛迭代法 高斯—赛德尔迭代法收敛慢，为了加速收敛，把所得的结果 依次代入进行计算的同时，还进行迭代变化量的加权，有：
Ellipse/Circle(centered) 以中心方式画椭圆/圆（ctrl+ 鼠标）。
Polygon 画多边形，按右键可封闭多边形。 Rotate… 旋转已选的物体。 Export Geometry Description,Set Formula,Labels… 将 几何描述矩阵sd、公式设置字符sf和标识空间矩阵nk 输出到主工作空间去。
第二类是数值法 有限差分法（FDM)和有限单元（FEM）等。 其中有限差分法最为成熟的.在有限差分法中， 通常以差分代替微分，用有限求和代替积分，这 样，就将问题转化为求解差分方程或代数方程问 题。
以椭圆型方程为例介绍有限差分法
例：横截面为矩形的无限长槽由三块接地 导体板构成，如图所示，槽的盖板接直流 电压100V，求矩形槽的电位分布。
2 xi , y j
xi1, y j
xi , y j1
2 xi , y j
xi , y j1
x2 y 2
h12
h22
特别取正方形网格：h1 h2 h 则有：
二维场域的边界条件
区域S的边界为曲线l所包围，若二维场域边界上
的电位
， 是一个事先已知的电位函数，则
4.Draw菜单 Draw Mode 进入绘图模式。 Rectangle/Square 以角点方式画矩形/方形（ctrl+鼠 标）。
Rectangle/Square(centered) 以中心方式画矩形/方形 （ctrl+鼠标）。 Ellipse/Circle 以矩形角点方式画椭圆/圆（ctrl+鼠 标）。
Remove Border Subdomain 当图形进行布尔计算时，删除 已选取的子域边界。
Remove AllSubdomain Borders 当图形进行布尔计算时， 删除所有的子域边界。
Export Decomposed Geometry, Boundary Cond’s...将分解 几何矩阵g和边界条件矩阵b，输出到主工作区间。 Specify Boundary Conditions... 定义边界条件。从显示的对话 框，对已选的边界可输入边界条件，共有三种不同的条件类型。
6.PDE菜单 PDE Mode 进入偏微分方程模式。 Show Subdomain Labels 显示子区域标识开关。 PDE Specification…打开对话框以输入PDE参数和类型 Export PDE Coefficients…将当前PDE参数c，a，f和d 输出到主工作区间，其参数变量为字符类型。