利用向量法求空间角经典教案
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算。
2. 引导学生掌握利用向量法求空间角的方法，培养空间想象能力。
3. 通过对空间角的学习，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及基本运算2. 空间向量夹角的定义及计算方法3. 空间向量垂直的判定与性质4. 利用向量法求空间角的大小5. 应用实例解析三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及基本运算（2）空间向量夹角的计算方法（3）利用向量法求空间角的大小2. 教学难点：（1）空间向量垂直的判定与性质（2）应用实例的解析四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量及空间角的相关概念、性质和计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
3. 结合具体实例，引导学生运用向量法求解空间角的大小，提高解决实际问题的能力。
4. 组织课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与意识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍空间向量的概念及基本运算2. 第二课时：讲解空间向量夹角的定义及计算方法3. 第三课时：讲解空间向量垂直的判定与性质4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的大小5. 第五课时：应用实例解析，巩固所学知识六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对空间向量的理解和掌握情况。
2. 新课导入：介绍空间向量夹角的定义，解释其在几何中的意义。
3. 课堂讲解：详细讲解空间向量夹角的计算方法，包括夹角余弦值的求法。
4. 例题讲解：挑选典型例题，演示利用向量法求空间向量夹角的过程。
5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固向量夹角的知识。
六、教学内容1. 空间向量夹角的定义2. 空间向量夹角的计算方法3. 空间向量夹角的应用实例七、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量夹角的定义及其计算方法（2）利用向量夹角解决实际问题2. 教学难点：（1）空间向量夹角的计算方法（2）空间向量夹角在实际问题中的应用八、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解空间向量夹角的含义和应用。
利用向量法求空间角》教案
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算法则。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生解决空间几何问题的综合素质。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的线性运算：加法、减法、数乘、数量积（点积）、叉积。
3. 空间向量的坐标表示与运算。
4. 空间角的概念及求法。
5. 利用向量法求空间角的方法与步骤。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及其表示方法。
（2）空间向量的线性运算及坐标表示。
（3）空间角的概念及求法。
（4）利用向量法求空间角的方法与步骤。
2. 教学难点：（1）空间向量的坐标表示与运算。
（2）利用向量法求空间角的具体步骤。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
五、教学过程1. 导入新课：介绍空间向量的概念，引导学生回顾初中阶段所学的一维向量和二维向量，引出三维空间向量的概念。
2. 知识讲解：讲解空间向量的表示方法、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积（点积）和叉积。
3. 实例演示：利用多媒体课件演示空间向量的坐标表示与运算，让学生直观地感受空间向量的运算过程。
4. 练习巩固：布置一些有关空间向量的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。
5. 讲解空间角的概念及求法：讲解空间角的概念，引导学生理解空间角的大小与两个向量的夹角有关。
6. 方法讲解：讲解利用向量法求空间角的方法与步骤，让学生了解如何运用向量知识求解空间角。
7. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量运算和空间角求解的方法。
8. 课后作业：布置一些有关利用向量法求空间角的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考空间向量在实际问题中的应用，例如物理学中的力、速度等问题。
2. 探讨空间向量与其他数学领域的联系，如代数、微积分等。
七、课堂练习1. 布置一些有关空间向量运算和空间角求解的练习题，让学生独立完成。
解决立体几何中空间角的向量方法(教案).
《解决立体几何中空间角的向量（坐标）方法》（第一课时教案）一、教材分析1、在教材中的地位与作用立体几何中的向量方法被安排在新课标《数学》选修2–1的第三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。
在此之前安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生学习本节知识作了必要的铺垫。
立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。
2、新、旧教材对比分析在前一个版本的教材中，空间向量是在第二册（下B）的第九章的第5、6节出现，而不是以一章的形式出现，并且对于直线的方向向量和平面的法向量只是以概念的形式提出，没有专门作一节来进行重点讨论，所以现行的新课标教材更加重视向量的作用，这样就使得相关的知识体系更加完整，有利于学生的学习。
其次，新课标教材在提出这些概念之前都是以思考和探究的形式出现，教材中还配备了多个图型，不仅激发了学生学习的兴趣，而且增强了感性效果，更好地帮助学生理解这两个抽象的概念。
可见，新教材的编写者们在处理向量的概念上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念。
二、学情分析基础知识方面：学生之前经过了第一轮复习，对必修2第一章《几间几何体》，第二章《点、直线、平面之间的位置关系》，必修2第二章《平面向量》，选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的相关内容有了进一步的认识与理解，对空间图形有比较完整的认识，具有一定的空间想象能力、几何直观能力，了解并基本能判断空间中点、直线、平面之间的位置关系，能全面把握几何体特征，知道立体几何中的向量方法可以解决三维空间中图形的位置关系与度量问题.认知水平与能力方面：学生已经具备初步的抽象概括能力、空间想象能力、逻辑思维能力，简单的知识融合能力和一定的知识综合应用能力，能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些空间中图形的位置关系与度量问题．任教班级学情：我班学生有较好的学习习惯，基础知识较为扎实，但是对平面的法向量与线面角、二面角的平面角之间的关系不很明确，如何选择恰当的位置建立空间直角坐标系不熟练，要准确计算某些特殊点的坐标有困难。
数学 3.2.3用空间向量求空间角教学设计 新人教A版选修2 1 教案
立体几何中的向量方法——空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。
二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。
三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。
认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。
能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。
情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；2）空间角与向量夹角的区别和联系。
教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.四、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 五、教学手段：借助多媒体辅助教学 六、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图 教师提出问题：1、异面直线所成的角、线面角、二面角的X 围分别是什么？2、两向量夹角的X 围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义 （2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？ 提问学生，学生一一作出回答。
高中数学_利用空间向量求空间角教学设计学情分析教材分析课后反思
利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线夹角、线面角、面面角问题。
体会向量法在立体几何中的应用。
二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多。
三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力。
四、教学重难点重点：复习向量法求空间角的方法与步骤。
(重点)难点：强化向量法求空间角公式的理解。
(难点)五、教学过程板书设计：课题思维导图例题例题板演利用空间向量求空间角人教B版选修2-1学情分析学生虽已学完立体几何，也对立体几何有了一定认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作，证，算”三部分组成，学生对做出空间角的方法即如何化空间角为平面角，并在可解三角形中求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立体几何问题难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生更好的掌握。
学生已经分节对每一个空间角进行了学习，有些混淆，需要通过思维导图形成知识框架，讨论解决模糊知识，清除知识障碍，并准确迅速求空间角。
利用空间向量求空间角人教B版选修2-1效果分析新课程提倡自主、合作、探究的学习方式，课堂教学效率是学生学习成绩提高的关键。
教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习。
如何才能提高课堂教学的有效性，我在本节课中的教学中主要运用了以下几种方法。
一、创设数学学习情境，激发学生的学习兴趣“兴趣是最好的老师,有兴趣不是负担”,这句话饱含深刻的道理。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 向量的定义及表示方法。
2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。
d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。
教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。
2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。
2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。
c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。
d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。
教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。
教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。
2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。
b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。
利用向量法求空间角-教案
利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量法概述1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何性质1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的点积向量的叉积1.3 向量法在空间角求解中的应用向量法求解空间角的基本思路向量法与传统解法的比较第二章：空间向量基本定理2.1 空间向量基本定理的定义空间向量基本定理的表述空间向量基本定理的意义2.2 空间向量基本定理的证明向量加法的平行性质向量数乘的分配性质向量点积的性质2.3 空间向量基本定理的应用利用空间向量基本定理求解空间角空间向量基本定理在其他几何问题中的应用第三章：空间向量的线性运算3.1 空间向量的线性组合线性组合的定义线性组合的运算规则3.2 空间向量空间的线性相关性线性相关的定义线性相关的判定条件3.3 空间向量空间的基底基底的概念基底的选取方法第四章：空间向量的内积与距离4.1 空间向量的内积内积的定义内积的运算规则4.2 空间向量的距离距离的定义距离的运算规则4.3 空间向量的内积与距离的应用利用内积与距离求解空间角内积与距离在其他几何问题中的应用第五章：空间向量的外积与向量积5.1 空间向量的外积外积的定义外积的运算规则5.2 空间向量积向量积的定义向量积的运算规则5.3 空间向量的外积与向量积的应用利用外积与向量积求解空间角外积与向量积在其他几何问题中的应用第六章：空间向量法求解空间角6.1 空间向量的加法与减法空间向量的加法运算空间向量的减法运算运算过程中的注意事项6.2 空间向量的数乘空间向量的数乘定义数乘对向量几何性质的影响6.3 空间向量的点积点积的定义与运算规则点积的性质与应用6.4 空间向量的叉积叉积的定义与运算规则叉积的性质与应用第七章：空间向量法在立体几何中的应用7.1 立体几何中的基本概念点、线、面的关系立体几何中的各类角度定义7.2 利用空间向量法求解立体几何问题求解空间角的步骤与方法向量法在立体几何中的应用案例7.3 空间向量法在立体几何教学中的意义提高学生的空间想象能力培养学生的逻辑思维能力第八章：空间向量法在现实生活中的应用8.1 空间向量在导航与定位中的应用导航与定位的基本原理空间向量在导航与定位中的应用案例8.2 空间向量在运动规划中的应用运动规划的基本概念空间向量在运动规划中的应用案例8.3 空间向量在其他现实生活中的应用建筑设计中的空间向量应用航空航天领域的空间向量应用第九章：空间向量法的拓展与延伸9.1 空间向量与线性代数的关系线性代数基本概念回顾空间向量与线性代数之间的联系9.2 空间向量法在其他学科中的应用物理学中的空间向量应用计算机科学中的空间向量应用9.3 空间向量法的进一步研究空间向量法的优化与发展空间向量法在未来的研究方向第十章：空间向量法教学实践与反思10.1 空间向量法教学设计教学目标与内容的安排教学方法与手段的选择10.2 空间向量法教学效果评估学生学习情况的分析教学方法的调整与改进10.3 空间向量法教学反思教学过程中的优点与不足对未来教学的展望与计划重点和难点解析重点一：向量的概念与表示方法向量是既有大小，又有方向的量，通常用箭头表示。
利用向量法求空间角》教案
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 让学生学会使用向量法求解空间角。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 采用演示法，展示向量法求解空间角的步骤。
3. 采用案例教学法，分析实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 引入空间向量的概念，讲解其基本性质。
2. 讲解向量法求解空间角的基本步骤。
3. 分析实际问题中的应用案例，引导学生运用向量法解决问题。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个实际问题，尝试运用向量法解决。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对空间向量概念和性质的理解程度。
2. 课后作业：检查学生对向量法求解空间角的掌握情况。
3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教案、PPT、教材等相关教学资料。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 实际问题案例库。
八、教学时间1课时（45分钟）九、教学重点与难点1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十、教学PPT内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十一、教学案例案例一：求解空间直角坐标系中两向量的夹角。
案例二：求解空间四边形的对角线夹角。
案例三：求解空间旋转体的主轴与旋转轴的夹角。
十二、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对空间向量法的理解和应用能力。
十三、教学拓展1. 研究空间向量在几何中的应用。
2. 探索向量法在物理学、工程学等领域的应用。
十四、教学建议1. 注重学生空间想象能力的培养。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。
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利用空间向量求空间角
目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；
一、复习回顾向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：><=⋅,cos ||||（2）两向量夹角公式：|
|||,cos b a b a >=
<
二、知识讲解与典例分析
知识点1：两直线所成的角（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ， 问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线
的角θ与 和
的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系？
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||,cos |cos n m =
><=θ
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,,0(),0,2
1
,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --
∴ )2,21,23(1a a a AC -
=，)2,2
1
,23(1a a a CB = 即21323,cos 22
111111==>=
<a
a
CB AC ∴1AC 和1CB 所成的角为3π
总结: （1）><11,cos BE DF 与><B E DF 11,cos 相等吗？
（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
a
b
α
θ
O
x
x
y
知识点2、直线与平面所成的角（范围：]2
,
0[π
θ∈）
思考：设平面α的法向量为，则><BA n ,与θ的关系？
据图分析可得：结论：
例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a ==
)2,2
1,23(1a a a AC -
= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x =
由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅000020
01z y ay az AA n 取1=x ，)0,0,1(=∴ 设1AC 和B B AA 11面所成角为θ
213|
23||,cos |sin 2
211=-=
=
><=∴a
a AC θ ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1
. 知识点3：二面角（范围：],0[πθ∈）
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
如图，设二面角βα--l 的大小为θ，其中
α⊂⊥CD AB l AB ,,
A
B
θ
αO
结论：
或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 例3、如图，ABCD 是一直角梯形，
︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，2
1
=
AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)1,0,0(),0,2
1
,0(),0,1,1(),0,0,0(S D C A - 易知面SBA 的法向量为)0,21,0(1==AD n ， )1,2
1
,0(),0,21,1(-=-=SD CD
设面SCD 的法向量为),,(2
z y x n =，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-=-02
02z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，)1,2
1
,1(2=∴n
3
6|
|||,cos 212121=
>=
<∴n n n n 即所求二面角的余弦值为
3
6. 练习1：如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．求二面角11C B A A --的余弦值；
解：取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系．设
平面B AA 1
的法向量为()x y z =，，n ．)3,0,1(-=AB ，
1(020)AA =，，．1,AA ⊥⊥ ⎪⎩⎪⎨
⎧=-=•==•∴0
30
211z x y AA 令1z =，得平面1A AD 的一个法向量)1,0,3(=
设平面11BC A 的法向量为),,(c b a v =．)3,2,1
(1-=BA ，)0,2,2(1-=BC ． 1
1,BC ⊥⊥ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•=++-=•∴0
220
3211b a BC n c b a BA
令1-=a ，得平面11BC A 的一个法向量)3,1,1(-=v
5
155232,cos =
⨯=>=<v n , 所求的二面角1
1C B A A --的余弦值为515-。
练习2:
如图2，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =
2
1
，A B=BC=1，A D=
2
1。
求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值。
解： 以A 为原点如图建立空间直角坐标系，则S （0，0，2
1
）， A
（0，0，0），B （0，1，0），C （1，1，0），D （2
1
，0，0），
∴)2
1,1,0(),2
1,0,0(-=-= )2
1
,1,1(),
2
1,0,21(-=-=，
显然平面SB A 的一个法向量为1n =(1，0，0)，
设平面SCD 的一个法向量为2=(x ，y ，z )，则2⊥平面SCD ∴ )212(,202200
222,,n z z y x z x n SD n -==⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅则取
则3
2
3121|
|||,cos 212121=⨯⨯=
>=
<n n n n ， 所以面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值为
3
2。
三、小结： 1．异面直线所成的角： |
||||,cos |cos n m =
><=θ
2
3．二面角：
或 图2。